2026青岛高三上学期期初考试试题赏析(二)

18. 在现代电子装备中，常通过电场和磁场对带电粒子运动轨迹实施精准控制。如图所示，平面直角坐标系Oxy的第一象限内，MN间的虚线与y轴之间存在沿x轴负向的匀强电场；第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场I，磁感应强度大小为B，第四象限内直线上方与x轴正半轴之间（包含x轴）存在沿y轴负向的匀强电场。直线下方存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为2B。将若干质量均为m、电荷量均为的粒子从虚线MN上由静止释放，粒子经过第一、二象限的电场和磁场后，均从O点进入第四象限。磁场中有一长直收集板（未画出），所有粒子在返回电场前均垂直到达该板并被吸收。已知两电场的电场强度大小分别为、点坐标为点横坐标，不计粒子重力。求：

（1）粒子经过O点的最大速度；

（2）虚线MN的曲线方程；

（3）从N点释放的粒子进入磁场时的位置坐标；

（4）收集板所在位置的直线方程。

【答案】（1）

（2）

（3）

（4）

【解析】

【小问1详解】

设粒子从虚线上的任一点由静止释放，到达轴时速度大小为。电场力做功，由动能定理得

粒子以水平向左的速度进入磁场Ⅰ，所受洛伦兹力方向向下。粒子从入射点运动到点，入射点和点为圆轨迹一条竖直直径的两端，故轨迹半径满足

由洛伦兹力提供向心力得，结合上述半径关系可得

虚线上点的纵坐标最大，故粒子从点释放时经过点的速度最大，最大速度为

【小问2详解】

沿用小问1中同一粒子在磁场Ⅰ内的推导，且和均未改变。将题给代入小问1的动能定理方程，并结合此前速度与的关系，整理得

因此虚线的轨迹方程为

由端点和可得取值范围为

【小问3详解】

将点横坐标代入虚线的轨迹方程，得

沿用小问1已推导的速度关系，且磁场Ⅰ的条件不变，点释放的粒子经过点时速度大小为

粒子从点沿轴正方向进入电场。沿轴负方向应用牛顿第二定律，有，代入题给场强可得

粒子从轴运动到电场与磁场Ⅱ的分界线，沿轴负方向的位移满足

解得

水平方向做匀速直线运动，故到达分界线时坐标为

所以粒子进入磁场Ⅱ时的位置坐标为。

【小问4详解】

仍设粒子在虚线上的释放点纵坐标为。沿用小问1的推导，粒子从点进入第四象限时的水平速度为

电场及分界线位置不变，故由小问3的推导可知粒子在电场中的运动时间仍为。粒子进入磁场Ⅱ的位置为

粒子进入磁场Ⅱ时，水平速度大小和竖直速度大小分别为和。

设此时速度方向与轴正方向的夹角为，则和。在磁场Ⅱ中，洛伦兹力提供向心力，有

由此解得轨迹半径

圆心相对点的水平向左距离为

圆心相对点的竖直向下距离为

因此圆心坐标满足和。

粒子到达收集板时速度沿圆轨迹的切线方向。由于所有粒子均垂直到达收集板，碰板处的半径均沿收集板方向，故收集板就是各圆轨迹的圆心轨迹。下图表示粒子在磁场Ⅱ中的圆心、轨迹与收集板的几何关系。

消去，得收集板所在直线的方程为