在济南:初中数学140+不是光靠刷题刷出来的

大家好，我是吕老师，在济南教初中数学。

有些孩子数学学得特别辛苦，每天题没少做，周末也在补，错题本一本接一本。你看他的学习量，会觉得怎么也该成绩提升了，可一到考试，还是原来的位置。

更让家长想不明白的是，有时候同一道题明明已经做过，隔两周换个图、换个问法，孩子又做不出来了。

这种情况我见得很多，所以我现在越来越不喜欢用做了多少题，来判断一个孩子数学练得到不到位。

真正值得关注的，是这些题最后到底在孩子脑子里留下了什么。如果做完一道题，只留下一个答案，那基本没什么用；如果做完十道题，只记住十种长相，后面照样用不上。

初中数学真正开始发生质变，是孩子慢慢出现一个变化：题做得越来越多，脑子里的东西反而越来越少。留下来的不是题，而是关系、方法和判断。

1、第一层质变，是孩子开始不满足于把题做对

很多孩子学数学的终点，就是答案对了。一道几何题做出来，翻篇；一道函数题算对了，继续下一道，家长也会觉得挺好，至少会做。

但我上课时反而经常追一句，你刚才为什么会想到这一步？这一问，马上就能看出区别。

有的孩子会愣住，因为他刚才只是顺着做，或者模仿了一道类似题，至于为什么想到这里，他自己并没有真正说清楚。

真正开始学明白的孩子，不会只满足于答案对，他会慢慢注意到一些更关键的地方。

这道几何题真正卡人的，不是后面，而是为什么先连这条辅助线；这道函数题真正有价值的，不是最后算出多少，而是为什么看到顶点的特征以后，可以不用题目给的解析式，自己设顶点式。

我觉得这就是数学训练的第一个分水岭。一个孩子开始从做答案，变成研究思路，这时候哪怕一天少做几道题，我觉得更有效果。

因为他开始知道，一道题真正值得留下来的东西是什么。

2、第二层质变，是题目换了样子，他还能认出那个老朋友

很多孩子特别依赖题目的长相。图一模一样，他会；数字换了，他也能做；但只要把图旋转一下，把条件换个位置，或者把问题从求长度改成证明关系，马上就说这种题没见过。

这种孩子题做得再多，也很容易一直陷在题海里。因为每一道题对他来说，都是新的。

真正练到一定程度以后，孩子会慢慢出现一种很有意思的感觉。题目明明不一样，他却会说，这个和之前那道其实是一回事。

这句话我特别喜欢听，因为它意味着孩子已经开始从题目表面往里面看了。

比如一道题给的是中点，另一道题给的是倍长，图完全不一样，但孩子能发现，最后都在制造一组相等的线段。

函数题也是，一道题给两个图象交点，另一道题给一个点同时在两条曲线上，孩子会发现，本质上都在说这个坐标同时满足两个关系。

这时候孩子真正拥有的，就不是某一道题，而是一种能迁移的方法。

我一直觉得，数学学习最大的质变之一，就是新题开始越来越少。不是考试不出新题了，而是孩子看到的很多所谓新题，在他脑子里都能找到一个旧关系。

这时候他才会慢慢觉得，数学没以前那么乱了。

3、第三层质变，是孩子开始知道自己为什么会错

这一点特别重要。

很多孩子错题做得很多，但错误一直在重复。今天负号错，过一周还在负号上错；今天几何少一个理由，下个月考试又是同样的问题。

家长就会觉得，这孩子怎么一点记性都没有。其实不一定是记性问题，很多时候，是孩子每次改错都只改到了答案。

比如一道计算错了，他重新算一遍，对了，结束。但他没有继续往下想一点，刚才到底是哪一步最容易让我出问题，是去括号、负号，还是连续运算时跳步太大？

几何也一样，老师讲完以后把正确过程抄下来，不等于这个错误已经处理了。真正有用的是孩子知道，我刚才为什么会卡住想不出来。

是条件没标到图上，是明明知道结论，却不知道从结论往回找，还是一直在图里乱试，没有先判断要证明什么关系？

当孩子开始能把错误说具体，学习会发生很大的变化。因为他下一次再做题时，会开始提防。

以前错误是在发生以后才知道，后来他会在错误发生之前，对自己有一点预判。

比如做到去括号，他自己会慢一下；写完几何证明，他会主动回来看看关键理由有没有落下。

这才是错题真正有价值的地方。不是让孩子记住我曾经错过，而是让他逐渐知道自己最容易在哪里掉坑。

4、最后一层质变，是过了一段时间，方法还能自己调出来

我觉得这是很多孩子最难跨的一关。

刚学完都会，刚听完也懂，甚至当天重新做一遍，正确率特别高，家长很开心，觉得孩子终于掌握了。可两三个星期以后再拿出来，又忘了。

为什么？因为刚学完时，孩子依赖的是短期记忆。

真正的能力，不是今天刚讲完会做，而是过了一段时间以后，题目重新出现，孩子仍然能把回忆起方法。

这也是为什么有些孩子平时看起来都会，考试却不稳定。学校考试不会按照刚讲完的顺序出题，一个知识可能是一个月前学的，突然混在一道综合题里，孩子必须自己识别、自己调用。

真正高水平的数学学习，最后练的就是这个。不是老师提醒你现在用全等，不是题目告诉你这是一次函数，而是条件摆在那里，你自己把以前学过的东西重新调出来。

这才叫能力。

5、所以真正的练到位，不是把题做得越来越多

我现在看一个孩子数学有没有发生质变，会特别注意四个变化。

一道题做完以后，他能不能说清关键一步；题目换个样子，他还能不能认出背后的关系；做错以后，他能不能找到自己真正出问题的位置；隔一段时间以后，遇到相似结构，他还能不能把方法重新调出来。

如果这些东西都没有发生，只是每天多做二十道题，我不会觉得训练真的到位了。

相反，有的孩子一晚上可能只认真处理七八道题，但这七八道题做完，他把其中两三种关系彻底弄清楚了，这种训练我觉得更有用。

初中数学到后面，真正拉开孩子的，不是题库见得有多厚，而是题做过以后，有多少东西被孩子获得了。

刚开始，孩子眼里是一道一道题；再往后，他开始看见题型；再往后，题型也不重要了，他看到的是条件之间的关系、方法什么时候能用、自己为什么会卡。

到了这个阶段，数学才真正从外面的题，慢慢变成孩子自己的东西。

这就是我理解的质变。不是某一天突然开窍，也不是刷到了某一个神奇的题量，而是做过的题不再只是做过，它们开始在孩子脑子里互相连接。

等这些连接越来越多，很多家长会突然发现，孩子好像没有以前那么依赖老师了，碰到陌生题也敢自己试了，题目一变也没那么容易慌了。

这时候，数学才算真正练到了一个新的层次。