人教版五年级数学上册第三单元《小数除法》学习重点1

【单元导读】本单元与第二单元《小数乘法》是“姊妹单元”，是小学“数与运算”中内容最丰富、思维层次最深的计算单元之一。学习主线依然是转化：利用商不变的规律，把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法。本单元有两大“首次”：首次认识循环小数，经历从“有限”到“无限”的数观念飞跃；首次系统学习三种取近似值的方法（四舍五入法、进一法、去尾法），体会数学的精确与现实的合理如何统一。

一、单元定位与知识框架

1.1 单元在教材中的位置

所属册次：人教版五年级数学上册（2026 秋新教材）第三单元，位于教材第 24 页起，前承第二单元《小数乘法》，后启第四单元《图形的运动》。

教材编排：小数除以整数（有余数添 0 继续除，并自然引出“除不尽”的循环小数）→ 循环小数、有限小数与无限小数 → 一个数除以小数 → 商的近似数 → 解决问题（进一法、去尾法）→ 用计算器探索规律 → 整理和复习。

知识基础：整数除法（除数是一位数、两位数）、小数的意义和性质、第二单元小数乘法、商不变的规律。

后续延伸：本单元的“转化”思路与“商不变规律”将延伸到六年级分数除法；循环小数、无限小数为初中认识无理数埋下种子。

新版亮点：① 先“算不尽”体验循环现象，再给出概念（先体验后定义）；② 进一法、去尾法升级为正式例题，与四舍五入法并列；③ 练习中新增快递收费、停车场收费等分段计费问题。

1.2 全单元知识树

小数除法（第三单元· 全单元知识树）

├─ 小数除以整数 —— 商的小数点与被除数对齐 · 不够商 1 就商 0 · 有余数添 0 再除 · 除不尽引出循环小数

├─ 循环小数 —— 循环节 · 简便写法 · 有限小数与无限小数的分类

├─ 一个数除以小数 —— 商不变规律（一看二移三算四查）· 位数不够末尾补 0

├─ 商的近似数 —— 四舍五入法（比保留位数多除一位）· 末尾的 0 不能去

├─ 解决问题 —— 进一法（装东西）· 去尾法（做东西）· 分段计费（快递、停车）

├─ 用计算器探索规律 —— 用计算器算 → 发现规律 → 直接写出得数

└─ 整理和复习 —— 自己动手画一张单元知识结构图

1.3 课标要求与素养指向

二、核心知识要点详解

要点一：小数除以整数（除数是整数的小数除法）

1. 基本法则：按照整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。

2. 三种典型情况：

① 整数部分够除：22.4 ÷ 4，先算 22 ÷ 4 商 5 余 2，落下 4（表示 4 个十分之一）继续除得 6，商 5.6——商的小数点与被除数的小数点对齐；

② 整数部分不够除（不够商 1）：5.6 ÷ 7，整数部分 5 小于 7，商的整数部分写 0 占位，点上小数点继续除，商 0.8；

③ 除到被除数末尾仍有余数：在余数后面添 0 继续除。如 5.8 ÷ 4：商 1 余 1，落下 8 商 4 余 2，添 0 得 20 个百分之一再除商 5，结果 1.45。

3. 算理（为什么可以添 0 继续除）：教材情境“4 名同学兑换 22 元”：22 ÷ 4 商 5 余 2，余下的 2 元 = 20 角，换成更小的单位继续分，每人再得 5 角，所以 22 ÷ 4 = 5.5。添 0 的本质是把余数转化为更小的计数单位继续细分——这正是除法“细分”思想的核心。

4. 验算：商× 除数 = 被除数；被除数 ÷ 商 = 除数。

5. 书写提醒：商的小数点“对齐”是竖式的命根子；哪一位不够商 1，就在那一位上写 0 占位。

要点二：一个数除以小数

1. 核心依据——商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0 除外），商不变。

2. 转化方法（四步口诀）：

一看（看清除数有几位小数）· 二移（除数、被除数的小数点同时向右移动相同位数，把除数变成整数）· 三算（按除数是整数的除法计算）· 四查（验算）

3. 例（7.65 ÷ 0.85）：0.85 → 85（小数点右移两位），7.65 → 765（同步右移两位），765 ÷ 85 = 9。也可以按单位换算理解：7.65 m = 765 cm，0.85 m = 85 cm，765 ÷ 85 = 9。

4. 被除数位数不够要补 0（高频难点）：12.6 ÷ 0.28，除数 0.28 → 28（右移两位），被除数 12.6 只有一位小数，右移两位不够，末尾用 0 补足 → 1260，1260 ÷ 28 = 45。

5. 商与被除数的大小关系（除数不为 0）——判断、估算神器：

除数大于 1，商小于被除数（如 3.6 ÷ 1.2 < 3.6）；

除数小于 1（0 除外），商大于被除数（如 3.6 ÷ 0.9 > 3.6）；

除数等于 1，商等于被除数。与第二单元“积与因数的大小关系”正好互为镜像：乘小于 1 的数变小，除以小于 1 的数反而变大。

特别提醒：移动的是除数和被除数的小数点；商的小数点是“算出来的”，要与移动后被除数的小数点对齐，千万不要跟着“移动”。

要点三：商的近似数（四舍五入法）

1. 方法：比需要保留的小数位数多除一位，再四舍五入。

2. 例：32 ÷ 2.7 = 11.851…，保留两位小数：除到小数第三位（千分位是 1），1 < 5 舍去 → ≈ 11.85。

3. 常见要求：算钱一般保留两位小数（精确到分），有时保留一位小数（精确到角）。

4. 两个细节：① 近似数末尾的 0 不能去掉——保留一位小数时 6.0 不能写成 6，“0”说明精确到了十分位；② 除不尽或取了近似值，结果前用“≈”，除尽才用“=”。

要点四：循环小数——从“有限”走向“无限”

1. 怎么产生的：400 ÷ 75 = 5.333…，永远除不尽：余数总是 25，商的小数部分“3”依次不断重复出现——这就是循环小数。

2. 定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。

3. 循环节：依次不断重复出现的数字。5.333… 的循环节是 3；7.14545… 的循环节是 45；6.9258258… 的循环节是 258。

4. 简便写法：只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。如 5.333… 写作“5.3”且在 3 上面记一个点；7.14545… 写作“7.145”且在 4、5 上面各记一个点。

5. 有限小数与无限小数：

有限小数：小数部分位数有限，如 0.9375；

无限小数：小数部分位数无限，如 5.333…；

重要关系：循环小数一定是无限小数；无限小数不一定是循环小数（如 2.125432221456… 不循环，就没有循环节）。

6. 比较大小：循环小数比大小按位进行，需要多写出几位再比。如 5.333… 与 5.32 比：写成 5.333… 与 5.320…，十分位相同，百分位 3 > 2，所以 5.333… > 5.32。

要点五：用计算器探索规律

1. 三步法：用计算器计算→ 观察发现规律 → 不用计算器直接写出得数。

2. 经典例子（1 ÷ 7 ~ 6 ÷ 7）：

1 ÷ 7 = 0.142857142857…2 ÷ 7 = 0.285714…3 ÷ 7 = 0.428571…

4 ÷ 7 = 0.571428…5 ÷ 7 = 0.714285…6 ÷ 7 = 0.857142…

规律：商都由 1、4、2、8、5、7 六个数字循环排列而成——发现“数字循环”后，后面的结果可以直接写出来。

3. 提醒：规律题是“找规律 + 用规律”；写出得数后可用计算器抽查 1～2 个验证，确保规律找对。

要点六：解决问题——进一法与去尾法（重点！）

策略口诀：装东西，用进一法；做东西，用去尾法。（需要容器就进一，材料不够就去尾）

进一法：不管省略部分是几，都向前一位进 1

典型情境：装东西（瓶子、箱子、袋子、油桶）、租车、租船——余下的部分也必须“装”进去，必须多备一个容器。

例 1：每个瓶子最多装 0.4 kg 红豆，2.5 kg 红豆需要准备几个瓶子？

2.5 ÷ 0.4 = 6.25（个），剩下的 0.25 kg 也必须用瓶子装 → 用进一法取 7。答：需要准备 7 个瓶子。

注意：能装满 6 瓶，但第 7 个瓶子只装一部分——“装满的瓶数”是 6，“需要的瓶数”是 7，看清问题问的是哪一个。

去尾法：不管省略部分是几，全都舍去

典型情境：做东西（做衣服、包装礼盒、做蛋糕）——剩下的材料不够做完整的一件，只能舍去。

例 2：每个礼盒需要 1.5 m 丝带，25 m 丝带最多能包装多少个礼盒？

25 ÷ 1.5 = 16.666…（个），剩下的丝带不足 1.5 m，不够再包装一个 → 用去尾法取 16。答：最多能包装 16 个礼盒。

判断三问：① 求的是“容器个数”还是“完整成品数”？② 余下的部分够不够一个单位？③ 是“必须多一个”（进一）还是“不足一个就舍去”（去尾）？

与四舍五入的区别：四舍五入是纯数学地取近似值；进一法、去尾法是根据生活实际“合情合理”地取值——该进就进、该舍就舍，不受“满 5 进 1”的约束。