微博里看来的

先看看集合  究竟是个啥，说白了也就是它的某个元素  的二进制表示中有  个 

第(1)问即要求有  个  的最小值二进制数字，显然是连续的  个  ，也就是 

第(2)问，其实也就是求不定方程  的非负整数解，其中 

首先注意到 ，若不然 ，矛盾。

假设 ，两边模  知  无解，故 。

若 ，则有：

显然等式左侧是正整数， 也是正整数，从而  也是正整数，只能 。

• 若 ，由于 ，由奇偶性知 ，矛盾。

• 故 ，两边模  知，，

另一方面显然有 ，于是：

从而  是偶数，只能 

若 ，与上述同理可得 

第(3)问，注意到区间  的上端点  的二进制表达中只有首位是  ，其它都是 

因此 ，而区间  中的所有的正整数的二进制表示均为  位，

从而  为所有  位二进制数字中恰有  个  的正整数的集合，从而：

第(4)是证明一个常见组合恒等式，展开可得：

利用 ，可得：

从而 ，等比数列得证。