文档内容
方法精讲-数量 5
（笔记）
主讲教师：焦点
授课时间：2024.04.16
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 5（笔记）
数量关系 方法精讲5
学习任务：
1.课程内容：排列组合与概率问题、容斥原理问题
2.授课时长：3小时
3.对应讲义：第 240～244 页
4.重点内容：
（1）掌握常用的排列组合公式，理解分类讨论与分步计算的区别，正难反
易则从反面求解
（2）掌握枚举法、捆绑法、插空法和插板法的适用范围和使用步骤
（3）掌握概率问题的两种题型——给情况求概率、给概率求概率
（4）掌握两集合容斥原理公式、三集合容斥原理的标准型和非标准型公式
（5）掌握画图法在容斥原理问题中的运用
今日内容（P240～244）
第八节：排列组合与概率问题
第九节：容斥原理问题
【注意】今日内容（P240～244）：
1.第八节：排列组合与概率问题，在江苏属于必考题型，每年不止 1 道题，
非常重要。
2.第九节：容斥原理问题，在江苏不属于必考题，不是每年都有，可能 2～
3年考1题，但是很简单。
第八节 排列组合与概率问题
一、排列组合问题
（一）基础概念
两个原理：
1加法原理：分类用加法
乘法原理：分步用乘法
【补例】某中学有语文教师 5名、数学教师 4名、英语教师 3名和体育教师
2名。
问题 1：现要从以上四科教师中共选出 1名教师去参加培训，问有多少种不
同的选法？
加法原理：①一步完成，②要么„„要么„„
问题 2：现要从以上四科教师中各选出 1名教师去参加培训，问有多少种不
同的选法？
乘法原理：①多步完成，②既„„又„„
两个概念：排列与组合
排列（A）：与顺序有关
补例：从 8个人中选出3 个人排成一队照相，共有多少种安排方式？
组合（C）：与顺序无关
补例：从 8个人中选出3 个人打扫卫生，共有多少种选法？
【判定标准】从主体当中任意的挑出两个，调换顺序
对结果有影响，与顺序有关（排列）
对结果无影响，与顺序无关（组合）
排列与组合计算
排列（A）：与顺序有关
A（n,m）=从n开始往下递减乘 m个数
组合（C）：与顺序无关
C（n,m）=从n开始往下递减乘 m个数/从m开始往下递减乘到 1
计算练习
【练习 1】A（6,2）
【练习 2】A（6,4）
【练习 3】C（6,2）
【练习 4】C（6,4）
记住常用的：A（3,3）=6，A（4,4）=24，A（5,5）=120
2【注意】排列组合要想学好，需要知道两对重要的概念。
1.两个原理：
（1）加法原理：也就是做加法，考试遇到题目需要学会识别，知道什么样
的题目做加法，理论上是分类用加法。
（2）乘法原理：理论上是分步用乘法。
（3）补例：某中学有语文教师 5 名、数学教师 4 名、英语教师 3 名和体育
教师2名。
①问题 1：现要从以上四科教师中共选出 1名教师去参加培训，问有多少种
不同的选法？
答：不着急用结论，先分析，问“共选”，在选的时候，如语文老师选 1 个
人干完了活儿，一步即可搞定，从数学老师、英语老师、体育老师选 1个都干完
了活儿，也就是从任意科目老师中选 1人，一步就可以搞定。还是理解不了的话，
可以造句，从语文的形式来理解，造句是“要么„„要么„„”，要么语文老师
选1个、要么数学老师选 1个、要么英语老师选 1个、要么体育老师选 1个，造
句是“或”关系，用加法。所求=5+4+3+2。
②问题 2：现要从以上四科教师中各选出 1名教师去参加培训，问有多少种
不同的选法？
答：要求“各选出 1 名教师”，假设从语文老师中选 1 人，此时没有干完活
儿；一步不能完成，也就是多步完成。从语文造句的角度来讲，应该是“既„„
又„„”或者“先„„又„„”，造句为“且”关系，用乘法。既要从语文老师
选1个，还要数学老师选 1个、还要英语老师选 1个，还要体育老师选 1个，造
句是“且”关系，分步用乘法，所求=5*4*3*2。
2.两个概念：排列与组合。
（1）排列（A）：与顺序有关。“排列”字面意思是“排队”，也就是说有顺
序，题目出现排队、照相，默认有顺序。
补例：从 8个人中选出3 个人排成一队照相，共有多少种安排方式？
答：如选出甲、乙、丙照相，甲乙丙、乙甲丙、甲丙乙，这是三种不同的情
况，如你们科室的3个人去开会，完了之后要合影，照相的时候一定是核心的人
（领导）在中间，在排队、照相的时候默认有顺序，用排列（A）表示，然后大
3数写下边，小数写上边，为 A（8,3）。假如有顺序地从 10 个人中选 2 个人，应
该写为 A（10,2）。还有一种特殊情况是全排列，如 3 个人排队照相，也就是 3
个人选 3个人，无所谓谁大谁小，写为 A（3,3）。
（2）组合（C）：与顺序无关。把 3个人圈起来即可，谁在前谁在后无所谓，
没有顺序。
补例：从 8个人中选出3 个人打扫卫生，共有多少种选法？
答：如选出甲、乙、丙打扫卫生，没有说 3个人的活儿不一样，说明是一样
的，放在一起即可，把甲乙丙圈起来，内部无所谓，故用组合（C）表示，大数
在下边、小数在上边，为 C（8,3）（含义是甲乙丙、乙甲丙、甲丙乙是一样的情
况，比如擦黑板，都是这 3个人在做）。
（3）判定标准：如果搞不清楚用 A 还是 C，可以从主体当中任意的挑出两
个，调换顺序。
①对结果有影响，与顺序有关（排列 A）。
②对结果无影响，与顺序无关（组合 C）。
③例：从 8个人中选3个人打扫卫生，要求一人擦桌子、一人扫地、一人倒
垃圾，共有多少种选法？→搞不清楚用 A还是C，可以尝试，假如选出甲、乙、
丙，甲擦黑板乙倒垃圾，甲倒垃圾乙擦黑板属于不同的情况，说明有顺序，用排
列A，为 A（8,3）。
3.排列与组合计算：高中学过的公式不用背，找到共性的规律即可。
（1）排列（A）：与顺序有关。A（n,m）=从n（下角标→最大的数）开始往
下递减乘 m（上角标）个数。如A（8,3）=8*7*6，A（10,2）=10*9，A（7,5）=7*6*5*4*3，
全排列 A（3,3）=3*2*1。
（2）组合（C）：与顺序无关。C是在A的基础之上除以全排列。C（n,m）=
从n开始往下递减乘 m个数/从 m 开始往下递减乘到1=A（n,m）/上角标全排列。
如C（8,3）=A（8,3）/A（3,3）=8*7*6/（3*2*1），C（10,2）=10*9/（2*1），C
（10,1）=10，C（10,10）=1（没必要 A（10,10）/C（10,10））。
（3）计算练习：
①练习 1：A（6,2）=6*5=30。
②练习 2：A（6,4）=6*5*4*3，数字比较大，考试大多数情况下用尾数可以
4判断出来，尾数为 0，如果选项只有一个尾数为 0，直接选；如果选项有多个尾
数为0，则计算一下，结果为 360。
③练习 3：C（6,2）=6*5/（2*1）=15。
④练习 4：C（6,4）=6*5*4*3/（4*3*2*1）=6*5/（2*1）=C（6,2）=15。
⑤C（6,4）=C（6,2）不是巧合，是必然的，C（n,m）=C（n,n-m）。理解：
从6个人里边选 4个人跟我去吃饭，也就是从 6个人里边选2 个人在家里，剩下
的人去吃饭；两句话是一个意思，故 C（6,4）=C（6,2）。再如从 10 个人中选 8
个人，也就是从10个人中抛弃 2个人，C（10,8）=C（10,2）=10*9/（2*1）=5*9=45。
（4）记住常用的：A（3,3）=3*2*1=6，A（4,4）=4*3*2*1=24，A（5,5）
=5*4*3*2*1=120，C（4,2）=A（4,2）/A（2,2）=4*3/（2*1）=6，C（5,2）=10，
C（6,2）=15。
4.小结：分类（要么„„要么„„）→加法，分步（既„„又„„）→乘法。
排列A→对顺序有要求，组合 C→对顺序没有要求。
【例1】（2023广东）某公司向餐馆订购盒饭，要求每份盒饭包含 2种荤菜、
2种素菜。如果餐馆共准备了 6种荤菜和4种素菜，则最多有多少种盒饭？
A.42 B.60
C.72 D.90
【解析】1.做题要识别的是加法、乘法，A、C。问“有多少种情况”，为排
列组合问题。本题需要选菜，从 6种荤菜中选2种，比如炖牛肉、炖鸡肉，无所
谓先拿谁，拿出来即可，故没有顺序，为 C（6,2）；从 4 种素菜中选 2 种素菜，
同理，没有顺序，为 C（4,2）。“每份盒饭包含 2 种荤菜、2 种素菜”，为“且”
关系，造句→既要选荤菜，又要选素菜，用乘法，所求=C（6,2）*C（4,2）=15*6=90，
对应D项。【选D】
【例 2】（2024 山东网友回忆版）某医院积极响应国家号召，组建医疗小分
队赴西部地区开展对口支援工作。该医院现有 6名男医生和3 名女医生报名，现
从9人中抽取一组男、女医生都有的 3人小分队。问有多少种不同的组队方式？
A.63 B.70
5C.73 D.60
【解析】2.问“有多少种不同的组队方式”，为排列组合问题。要识别的是
加法、乘法，A、C。
方法一：在选人的时候要求男女都有，一共有 3人，不能一下区分清楚有几
个男、几个女，需要分类讨论：
（1）2 男 1 女：从 6 个男医生中选 2 个，只需要选出来去西部地区，不需
要看去哪个城市，为 C（6,2）；同理，从 3 个女医生中选 1 个，为 C（3,1）。既
要选男，又要选女，“且”关系用乘法，为 C（6,2）*C（3,1）=15*3=45种。
（2）1男2女：从 6个男医生中选 1个，为 C（6,1）；同理，从 3个女医生
中选 2 个，为 C（3,2）。既要选男，又要选女，“且”关系用乘法，为 C（6,1）
*C（3,2）=6*3=18种。
要么2男1女，要么 1男 2 女，两种情况之间是“或”关系，用加法。所求
=45+18=63（尾数为3，如果选项只有一个尾数为 3，可以直接选），对应A项。
方法二：反面求解，但是本题在考场上正向很简单，当题目正向求解复杂，
考虑反向。要求“男、女医生都有”，反面是全男、全女，全男：从 6 男中选 3
个，为 C（6,3）；全女：3 个女生全选，只有 1 种情况。总情况：不考虑任何要
求，9个人中选3个，为C（9,3）。所求=C（9,3）-[C（6,3）+1]=9*8*7/（3*2*1）
-[6*5*4/（3*2*1）+1]=84-21=63，对应A项。【选A】
【注意】
1.正向求解复杂，考虑反向。即满足条件情况数=总的情况数-不满足情况数。
2.本题在考场上正面更简单。
【例 3】（2021 新疆兵团）某部门有 9 名员工，从中随机抽取 2 人参加公司
代表大会，要求女员工人数不得少于 1 人。已知该部门女员工比男员工多 1 人，
则共有多少种方案符合要求？
A.24 B.30
C.36 D.72
【解析】3.“某部门有9 名员工，从中随机抽取2人参加公司代表大会”→
69人中选2人；要求“女员工人数不得少于 1人”，女员工≥1 个，也就是必须有
女员工，不能没有。“该部门女员工比男员工多 1人”，不知道男有几个、女有几
个，但是根据“总员工9个人、男比女多 1人”迅速得出5女 4男。
方法一：正面求解。（1）1 女 1 男：从 5 个女的里边选 1 个→C（5,1）=5
种情况，从 4个男的里边选1个→C（4,1）=4种情况，既选男又选女，为 C（5,1）
*C（4,1）=20 种。（2）2 女：从 5 个女的里边选 2 个，不用考虑顺序→C（5,2）
=5*4/（2*1）=10种。分类用加法，所求=20+10=30种，对应 B项。
方法二：反面求解。总情况数：从 9 人中选 2 人→C（9,2）。反面情况数：
没有女的，即都是男的，从 4 个男的里边选 2 个→C（4,2）；所求=总-反（没有
女）=C（9,2）-C（4,2）=9*8/（2*1）-6=36-6=30，对应B项。【选 B】
【注意】排列组合问题正面只需要考虑两种情况的时候，认为正面是比较简
单的，建议使用正面做题，如果先想到反面，也是可以的。
（二）经典题型
➢枚举法
➢捆绑法
➢插空法
➢插板法
枚举法
适用范围：①凑数字（钱数）
②情况少（看选项）
【引例】妈妈给了小明 8 块钱让其去买早餐并且把钱用完。早餐摊只有两种
食品，包子 3块钱一个，馒头 2 块钱一个，问小明有（ ）种不同的买法？
注意：按一定的顺序枚举，做到不重复、不遗漏。
【注意】枚举法（最笨的方法，但是考场上最容易操作的方法）：把所有的
情况都列出来，非常直观，没有思维压力。
1.适用范围：
7（1）凑数字（钱数）。
（2）情况少（看选项），选项数据非常小（四个选项≤10，枚举法是最优解；
如果有两个选项＜10，还有两个选项比 10大一点，也可以使用枚举法）。
2.引例：妈妈给了小明 8 块钱让其去买早餐并且把钱用完。早餐摊只有两种
食品，包子 3块钱一个，馒头 2 块钱一个，问小明有（ ）种不同的买法？
答：问“有多少种不同的卖法”，排列组合问题。用 3 块钱和 2 块钱凑 8 块
钱，用 C 或A无法做题，只能枚举。枚举的时候注意方向性，不要天马行空去枚
举，否则漏掉或重复是不知道的，按照从大到小的顺序枚举。（1）8块钱最多可
以买2个包子，此时可以再买 1个馒头，符合；（2）包子只买 1个，此时可以买
2.5个馒头，但是不会卖半个馒头，不符合；（3）不买包子，可以买 4个馒头，
符合。综上，有 2种不同买法。
3.注意：按一定的顺序枚举，做到不重复、不遗漏。
【例 1】（2022 联考）某健身房近期推出甲、乙、丙、丁 4 项课程，每项课
程的一次消费分别为 200 元、300 元、400 元、500 元，会员可根据充值卡内余
额自行进行消费。会员小李充值卡内还剩 2200 元，打算在有效期内每项课程都
至少消费1次，且将充值卡内余额恰好用完，问他消费这 4项课程的组合有多少
种不同的可能性？
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】1.“小李充值卡内还剩 2200 元，打算在有效期内每项课程都至少
消费 1 次”，小李最后还剩 2200-200-300-400-500=800 元，需要用这 4 项课程
消费的钱数凑 800 元。凑数字，问排列组合，且选项均小于 10，可以尝试用枚
举法，枚举的时候要保持方向性，从多到少（或者从少到多）进行枚举。
（1）200元的课最多可以上 4节课。
（2）200元的课上2节课，400元的课上1节。
（3）200元的课上1节，剩下 600元，可以上2节300元的课。
（4）200 元的课上 0 节（容易遗忘），300 元的课上 1 节，500 元的课上 1
节。
8（5）200元的课上0节，400元的课上2节。
一共有5种情况，对应C 项。【选C】
捆绑法：在一起、相邻、相连
【补例】A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中 A、B 是一对情侣，要
求照相时必须相邻，一共有多少种排法？
方法：
①先捆：把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序；
②再排：将捆绑后的看成一个元素，进行后续排列。
【注意】捆绑法：当发现题目是排列组合，题目要求“在一起、相邻、相连”，
这些关键字是识别的突破口。
1.补例：A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中 A、B 是一对情侣，要
求照相时必须相邻，一共有多少种排法？
答：照相默认有顺序，要求 A、B必须相邻，用捆绑法。把 A、B捆起来，需
要注意内部有没有顺序，A 左 B 右，A 右 B 左是不同的情况，说明内部有顺序，
为A（2,2）。然后把A、B看成一个大胖子，再和剩下的 C、D、E排序，相当于4
个人（胖子、C、D、E）排列，为 A（4,4）。先„„再„„，分步用乘法，所求
=A（2,2）*A（4,4）。
2.方法：
（1）先捆：把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序。
（2）再排：将捆绑后的看成一个元素，进行后续排列。
9【例 2】（2020 事业单位）现有七年级的学生 1 名，八年级的学生 4 名，九
年级的学生5名，需让他们排一排拍一张合照，要求同一年级的学生要挨在一起
站，且七年级的学生不站两边，则有多少种不同的排法？
A.3760 B.4760
C.5760 D.6760
【解析】2.排列组合问题，要求“同一年级的学生要挨在一起站，且七年级
的学生不站两边”，为捆绑法的题目，先捆再排。
（1）先捆：在捆的过程中，七年级的 1 个人不捆也行，单独放在旁边；八
年级 4 人捆绑，且内部有顺序，A（4,4）；九年级 5 人捆绑，且内部有顺序，A
（5,5）；既要捆八年级，还要捆九年级，用乘法，为 A（4,4）*A（5,5）。
（2）再排：七年级（1 人）、八年级（胖子）、九年级（胖子）排序，但是
要求“七年级的学生不站两边”，也就是七年级只能在中间，左右两边的八年级、
九年级可以随便换，前八后九、前九后八，有 2种情况。
所求=A（4,4）*A（5,5）*2=24*120*2=24*240，如果选项尾数不一样可以直
接用尾数，但是本题尾数都一样，需要计算，24²=576，原式结果=5760，对应 C
项。【选C】
【注意】改题：现有七年级的学生 1名，八年级的学生4 名，九年级的学生
5名，需让他们排一排拍一张合照，要求同一年级的学生要挨在一起站，则有多
少种不同的排法？
答：先捆再排。（1）先捆：既要捆八年级，还要捆九年级，为 A（4,4）*A
（5,5）。（2）排列：七年级（1人）、八年级（胖子）、九年级（胖子）排序，没
有额外要求，三个主体随便排，即三个主体全排列为 A（3,3）。所求=A（4,4）
*A（5,5）*A（3,3）。
插空法：不在一起、不相邻、不相连
【补例】A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中 A、B 吵架了，要求照
相时不能相邻，一共有多少种排法？
10方法：
①先排：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位；
②再插：将不相邻的元素插入到空位中。
【注意】插空法：要求“不在一起、不相邻、不相连”。
1.补例：A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中 A、B 吵架了，要求照
相时不能相邻，一共有多少种排法？
答：方法一：要求“不能相邻”，想办法把 A、B拆开，用人把他们隔开，利
用C、D、E 把他们隔开，先把 C、D、E的顺序搞定。C、D、E 三个人照相为全排
列A（3,3）；然后需要把 A、B 插入这 3个人的空隙中，3个人形成 4个空位，在
4个空位插入2个人，AB和BA 是不同的，说明有顺序，为 A（4,2）。所求=A（3,3）
*A（4,2）=6*12=72。
方法二：用反面也可以做，但是没有必要。所求=总情况数-反面情况数（相
邻的情况）。总情况数：5个人全排列，A（5,5）；反面情况数：先捆再排，A、B
捆起来→A（2,2），AB（大胖子）、C、D、E排列→A（4,4），为A（2,2）*A（4,4）。
所求=A（5,5）-A（2,2）*A（4,4）。
2.方法：
（1）先排：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位。
（2）再插：将不相邻的元素插入到空位中。
【例 3】（2023 事业单位）要将不同的五种商品 A、B、C、D、E 在货柜上排
成一排，其中A、B必须排在一起，C、D不能排在一起。则有多少种不同的排列
方式？
A.12 B.20
C.24 D.48
【解析】3.要求“A、B必须排在一起，C、D不能排在一起”，既有捆绑，又
有插空，逐个解决。A、B 必须排在一起，捆绑，A、B 捆绑变成大胖子，内部有
顺序→A（2,2），AB（大胖子）和 E排序，相当于2个主体排序→A（2,2）；2个
主体形成 3 个空位，在 3 个空位中插入 C、D 两种商品，先 C 后 D、先 D 后 C 不
一样，说明有顺序，为A（3,2）。先捆再排再插空，用乘法连接，所求=A（2,2）
11*A（2,2）*A（3,2）=2*2*6=24，对应C项。【选C】
插板法
【补例】7个相同的苹果分给三个小盆友，每人至少分一个，有多少种分法？
用法特征：①必须是相同的东西，②每人至少一个
方法
①n个相同物品形成n-1个空，分给 m个人，每人至少一个，需要 m-1个板
子
②共有C（n-1,m-1）种分法。
【拓展】同素分堆
【补例】20 个相同的苹果分给三个小盆友，每人至少分 4 个，有多少种分
法？
【注意】插板法：要把相同的物品分给不同的人，再起一个名字是“同素（相
同的元素）分堆”，分的是相同的东西。
1.补例：7个相同的苹果分给三个小盆友，每人至少分一个，有多少种分法？
答：题目的本质是把7个苹果分成 3堆，小朋友去拿即可，7个苹果分3堆
需要用2个板子，但是这 2个板子只能在中间的空位插板子，头尾不能插，板子
没有差别，不用考虑顺序，为 C（6,2）。
2.用法特征：
（1）必须是相同的东西。
（2）每人至少一个。
3.方法：
（1）n 个相同物品形成 n-1 个空，分给 m 个人，每人至少一个，需要 m-1
个板子。
12（2）共C（n-1,m-1）种分法。
4.拓展：同素分堆。补例：20个相同的苹果分给三个小盆友，每人至少分 4
个，有多少种分法？
答：要求“每人至少分4 个”，此时需要转化为“每人至少 1个”。假如分给
甲、乙、丙，苹果是一模一样的，可以先给每人 3 个，此时拿出 3*3=9 个苹果，
还剩下 20-9=11 个苹果，则题目转化为“11 个苹果分给 3 个小朋友，每个小朋
友至少1个”，11个苹果10个空位，分给 3个小朋友需要2个板子，为 C（10,2）。
【例 4】（2020 联考）某城市一条道路上有 4 个十字路口，每个十字路口至
少有1名交通协管员，现将 8 个协管员名额分配到这4个路口，则每个路口协管
员名额的分配方案有：
A.35种 B.70种
C.96种 D.114种
【解析】4.问“分配方案”，为排列组合问题，“8 个协管员名额分配到这 4
个路口，每个路口至少 1 个”，“名额”相当于“苹果”，人和人不一样，但是名
额是一样的。“8 个协管员名额分配到这 4 个路口”，符合 C（n-1,m-1）的模型，
所求=C（7,3）=7*6*5/（3*2*1）=35，对应A项。【选A】
【注意】改题：将 18 个协管员名额分配到这 4 个路口，每个路口至少 2 个
交通协管员。
答：先给每个路口 1 个交通协管员，分出去 4 个，转化为“14 个协管员名
额分配到这4个路口，每个路口至少1个交通协管员”，所求=C（13,3）=13*12*11/
（3*2*1）=13*2*11。
【拓展】（2019 江苏事业单位）某领导要把 20 项任务分配给三个下属，每
个下属至少要分得3项任务，则共有（ ）种不同的分配方式。
A.28 B.36
C.54 D.78
【解析】拓展.“20项任务”→如果任务不一样，则没有答案，故默认任务
13是相同的。要求“每个下属至少要分得 3 项任务”，不符合“每人至少分 1 项”
的模型，需要先转化为一下，每个下属先领走 2个任务，剩下 20-3*2=14个任务，
14个任务分给3个下属，每人至少 1项任务，所求=C（n-1,m-1）=C（13,2）=13*12/
（2*1）=13*6，尾数是8，且结果＞60，对应D项。【选D】
概率问题
1.给情况求概率
公式：概率=满足要求的情况数/所有的情况数
2.给概率求概率
分类：P=P+P+„„+P。
1 2 n
分步：P=P*P*„„*P。
1 2 n
逆向思维：正难反易，P=1-反面情况概率
【注意】概率问题：用的是排列组合的基础知识，分类分步；排列组合。
1.给情况求概率：公式：概率=满足要求的情况数/所有的情况数。
2.给概率求概率：
（1）分类：造句是或关系，P=P+P+„„+P。
1 2 n
（2）分步：造句是且关系，P=P*P*„„*P。
1 2 n
3.逆向思维：正难反易，P=1-反面情况概率。
【例 1】（2020 联考）物业派出小王、小曾、小郭三名工作人员负责修剪小
区内的 6 棵树，每名工作人员至少修剪 1 棵（只考虑修剪的棵数），则小王至少
修剪3棵的概率为：
A.3/10 B.3/7
C.1/4 D.3/5
【解析】1.概率问题，给树的情况，为给情况求概率，P=满足要求的情况数
/所有的情况数。总情况是 6 棵树分给 3 个人，每人至少 1 棵，可以直接套 C
（n-1,m-1）的公式，为C（5,2）。满足要求的情况，如果小王修剪3棵，小曾、
小郭还有3棵，可以小曾2棵、小郭1棵；小曾1棵、小郭 2 棵；如果小王修剪
4棵，则小曾1棵、小郭1棵，共 3种情况，则P=3/C（5,2）=3/10。【选A】
14【例 2】（2024 山东网友回忆版）山东手造精品众多，某展览会有叶雕、皮
影、风筝、麦秸画、柳编、葫芦画、锡雕、鲁班枕 8个展厅。因时间原因，一名
参观者决定从8个展厅中随机选取 3个进行参观。问叶雕和皮影展厅至少一个被
选中的概率是多少？
A.5/14 B.15/28
C.9/14 D.19/28
【解析】2.如果正面求解，叶雕和皮影至少1个，可能只有叶雕、只有皮影、
既有叶雕又有皮影，正面情况复杂，考虑反面。P =1-P 。反面是叶雕和皮影一
正 反
个都没有，从剩下的 6 个展厅中选择 3 个，C（6,3）。总的情况是从 8 个展厅中
选择3个，题目要求随机选，选出来即可，不考虑顺序，C（8,3）。P =C（6,3）
反
/C（8,3）=[6*5*4/（3*2*1）]÷[（8*7*6）/（3*2*1）]=5/14，P =1-5/14=9/14。
正
【选C】
【注意】概率问题，如果考虑顺序，分子、分母都考虑；如果不考虑顺序，
分子、分母都不考虑顺序。
【例 3】（2023 事业单位）一枚骰子共有六面，点数从 1 到 6，每次掷骰子
得到的数字概率相同。掷三次骰子得到的三个数字完全相同的概率：
A.小于2% B.在2%～5%之间
C.在5%～8%之间 D.大于8%
【解析】3.做题有2种方式。
方法一：如果认为是给情况求概率，P=满足要求的情况数/总情况，三个骰
子，每次是独立的。第一次掷骰子，有 6种情况；第二次、第三次也都是 6种情
况，既要掷第一次，又要掷第二次、第三次，为 6*6*6，满足要求的是 6种情况
（都是1、或者都是 2、或者都是 3、或者都是4、或者都是5、或者都是 6），P=6/
（6*6*6）=1/36。
方法二：如果关注到“每次掷骰子得到的数字概率相同”，即 1/6，为给概
率求概率的情况，用分类、分步的思维做题。第一个骰子随便掷，概率为 1，第
15一个是多少，第二个就必须是多少，概率为 1/6，同理，第三个骰子也只有 1/6
的可能和第一个相同，分步相乘，1*1/6*1/6=1/36=2+%，选择 B项。【选B】
【例 4】（2024 上海网友回忆版）某市向广大市民随机发放消费券，规则是
先公布消费券发放额，再根据商家的参与量决定中签率。第一批消费券商家参与
度较高，中签率为 60%；第二批和第三批消费券的中签率均为 20%。三批消费券
依次发放，市民张先生连续三次申请，则他恰好成功两次的概率约为：
A.20% B.40%
C.60% D.80%
【解析】4.题干中给多个小概率，问概率，为给概率求概率问题。恰好成功
两次和至少成功两次不同，至少成功两次，可能成功 2次或者 3次，用反面做比
较好。本题明确说恰好成功2 次，要讨论成功的到底是哪两次。
第一次中、第二次中，不管第三次，那么第三次可能也中，要求恰好，则第
三次必须不中，第三次不中的概率为 1-20%=80%。60%*20%*80%。
第一次中、第二次不中、第三次中，第二次不中的概率为 1-20%=80%。
60%*80%*20%。
第一次不中、第二次中、第三次中，第一次不中的概率为 1-60%=40%。
40%*20%*20%。
选项是百分数，则用百分数算。题干出现“约”，说明是估算的结果，选项
差距大，估算即可。三个式子都含有 20%，可以提取出来，三种情况加和=20%*
（48%+48%+8%）≈20%*100%=20%，选择A项。【选A】
16【注意】
1.排列组合：
（1）思维量大、计算量小。要学好排列组合，核心是学好分类分步、排列
组合。这两个学清楚了，中等和简单题目可以做，特别难的题目可以放弃。如果
是15道题，多的时候可能考3 道题，少的时候基本考2道题。
（2）特殊题型：
①出现相邻，先捆再排。
②出现不相邻，先排再插。
③同素分堆，方法是C（n-1,m-1）。
2.概率：在排列组合的基础上。正面麻烦考虑反面。理论上正面、反面都一
定能做出来，考试中要找最快的方法。
第九节 容斥原理问题
一、两集合公式
二、三集合公式
三、画图法
两集合公式
A+B-A∩B=总数-都不
17【注意】
1.题目大多数直接套公式可以解决，公式一定要背。公式：A+B-A∩B=总数-
都不。
2.比如班级中有喜欢语文的（A 集合）；喜欢数学的（B 集合），算 2 个圆圈
中一共有多少人，如果用 A+B，多了要减去，A+B-A∩B，算出来是两个圆围成的
数据，同时等于大方框（总数）-都不喜欢的，即A+B-A∩B=总数-都不。
【例 1】（2022 广东）某单位计划从全部 80 名员工中挑选专项工作组成员，
要求该组成员须同时有基层经历和计算机等级证书。已知，单位内有 40 人有基
层经历，有 46 人有计算机等级证书，既没有基层经历又未获得计算机等级证书
的有10人。那么能够进入工作组的员工有多少人？
A.16 B.40
C.46 D.54
【解析】1.“单位内有40 人有基层经历，有46人有计算机等级证书”为两
个集合；“既没有基层经历又未获得计算机等级证书的有 10 人”为都不，两个集
合有交叉，为容斥原理问题，所给、所求都是公式中的数据，套公式：A+B-A∩
B=总数-都不，40+46-A∩B=80-10，容斥原理，大多数都可以用尾数解题，解得
18尾数为6，排除B、D项。需要计算，86-A∩B=70→A∩B=16。【选 A】
【注意】容斥原理问题，通常题干比较长，特别是三集合容斥，要描述三个
集合。就算题干长，也是简单题目，必得分的题目。
【例 2】（2022 联考）某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人
数占全班的 14%，物理及格的人数比化学及格的人数多 10 人，且化学及格的人
数占全班人数的 60%。已知全班人数不超过 70 人，问物理及格的人中化学也及
格的有多少人？
A.25 B.26
C.27 D.28
【解析】2.看到百分数，问题问的是多少人，看到14%，考虑倍数特性。都
不/总数=14/100=7/50，总数是 50的倍数。全班人数是 50的倍数，但不超过 70，
则全班只能是50人，则都不=7 人，化学=50*3/5=30人，物理=30+10=40人。套
公式：A+B-A∩B=总数-都不，40+30-A∩B=50-7，优先用尾数，尾数 0-A∩B=尾
数7→A∩B的尾数为7，仅C项符合。【选C】
【注意】
1.看到比例、分数、百分数、倍数，问具体数据，想到倍数特性。
2.给比例，如果求的也是比例，考虑赋值法。
【练一练】（2023 浙江）某班级对 70 多名学生进行数学和英语科目摸底测
验，有 12%的学生两个科目均不及格。已知有 2/3的学生英语及格，数学及格的
学生比英语多10人，那两科均及格的学生有多少人？
A.31 B.37
C.41 D.44
【解析】练习.有比例、人数范围，最后问人数，考虑倍数特性。都不/总数
=12/100=3/25，总数是 25 的倍数，且是 70 多人，则总数是 75 人，都不=9 人。
“有 2/3 的学生英语及格”，英语=75*（2/3）=50 人；“数学及格的学生比英语
19多10人”，数学=50+10=60人。套公式：A+B-A∩B=总数-都不，50+60-A∩B=75-9，
尾数法计算，尾0-A∩B=尾6→A∩B的尾数为4，D项符合。【选 D】
三集合公式（①标准型）
A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不
【注意】三集合公式：公式比较长。
1.标准型公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不
2.比如班级中有喜欢语文的（A 集合）、喜欢数学的（B 集合）、喜欢英语的
（C集合）。用 A+B+C，会产生重复，需要减去“-A∩B-A∩C-B∩C”，中间蓝色部
分，加了三次、减了三次，没有了，需要加上“+A∩B∩C”。
3.记忆：加和、去重、补漏。
【例3】（2020新疆）某单位共有 240名员工，其中订阅A 期刊的有125人，
订阅B期刊的有126人，订阅 C期刊的有 135人，订阅A、B期刊的有 57人，订
阅A、C期刊的有 73人，订阅 3种期刊的有31人，此外，还有 17人没有订阅这
20三种期刊中的任何一种。问订阅 B、C期刊的有多少人？
A.57 B.64
C.69 D.78
【解析】3.三个集合有交叉，为三集合容斥原理问题。所有条件中都是标准
型公式中有的条件，考虑套公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不，
代入数据，125+126+135-57-73-B∩C+31=240-17。三集合容斥原理，如果选项尾
数各不相同，则不用抄数据，直接抄尾数即可，写成（基础更好可以直接口算尾
数）：5+6+5-7-3-B∩C+1=0-7→尾 7-B∩C=尾3→B∩C的尾数为 4，选择B项。【选
B】
【注意】如果有2个尾数为 4的选项，则要用原始的式子去计算。
三集合公式（②非标准型）
A+B+C-（只）满足两项-满足三项*2=总数-都不
【注意】三集合公式：
1.非标准型公式：A+B+C-（只）满足两项-满足三项*2=总数-都不。
2.先用A+B+C，注意去重，m 的部分A和B都算了1次，要减去 1次，同理，
n 和 p 也要减去一次；q 在 A、B、C 中都有，加了 3 次，要减去 2 次。m、n、p
是满足且恰好满足 2 项的，用“只二”表示，则 A+B+C-m-n-p-2q=总数-都不→
A+B+C-（只）满足两项-满足三项*2=总数-都不。
213.“只二”是满足且仅满足 2项的，比如紫色部分，是至少满足两项。其中
①是“只二”，A∩B包含只二和只三。
【例 4】（2023 事业单位联考）某高新技术园区对园区内的部分企业的专利
申请情况进行了调查，在接受调查的企业中，申请了发明专利的有 46 家，申请
了实用新型专利的有69家，申请了外观设计专利的有 25家，三类专利都申请了
的有 12 家，申请了其中两类专利的有 39 家，三类专利都没申请的有 16 家，那
么接受调查的企业有多少家？
A.89 B.93
C.106 D.111
【解析】4.“申请了发明专利的有 46 家，申请了实用新型专利的有 69 家，
申请了外观设计专利的有 25 家”，给出 A、B、C，为三集合容斥原理问题。“申
请了其中两类专利的有 39 家”为“只二”，已知或问的条件中有“只二”，考虑
22非标公式：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不，不要着急抄数据，先看尾
数，尾数四个选项都不同，只抄尾数：6+9+5-9-2*2=总数-6→-尾 3=总数-尾 6
→尾6-尾3=总数→总数的尾数为 3，选择B项。【选B】
三集合标准型与非标准型的区分
➢标准型判定：分别给出或求两两集合的交集（既 A 又 B、既 A 又 C、既 B
又C）
【例3】（2020新疆）某单位共有 240名员工，其中订阅A 期刊的有125人，
订阅B期刊的有126人，订阅 C期刊的有135人，订阅 A、B期刊的有 57人，订
阅A、C期刊的有 73人，订阅 3种期刊的有31人，此外，还有 17人没有订阅这
三种期刊中的任何一种。问订阅 B、C期刊的有多少人？
➢非标准型判定：统一给出或求解只满足两项（满足两种）
【例 4】（2023 事业单位联考）某高新技术园区对园区内的部分企业的专利
申请情况进行了调查，在接受调查的企业中，申请了发明专利的有 46 家，申请
了实用新型专利的有69家，申请了外观设计专利的有 25家，三类专利都申请了
的有 12 家，申请了其中两类专利的有 39 家，三类专利都没申请的有 16 家，那
么接受调查的企业有多少家？
【注意】标准型和非标准型都有 A+B+C。
1.标准型：
（1）公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。逻辑：加和、去
重、补漏。
（2）区别：有既A又B、既 A又C、既B又C，用标准公式。
2.非标准型：
（1）公式：A+B+C-只二-2*只三=总数-都不。逻辑：加和之后，分别去重。
（2）区别：出现“只二”，用非标公式。
容斥原理的方法选择
1.公式法：
题目中所给所求都是公式中的一部分
232.画图法：
题目中所给所求公式里没有，或者公式法不好用（往往是出现只满足一个条
件）
画图法三步走：
第一步，画圈圈
第二步，标数字（从里到外，注意去重）
第三步，列算式
【注意】容斥原理的方法选择：容斥原理中，80%的题目可以用公式解决，
少部分需要画图。
1.公式法：题目中所给所求都是公式中的一部分。
2.画图法：
（1）题目中所给所求公式里没有，或者公式法不好用（往往是出现只满足
一个条件）。比如只A，公式中不会有只 A的部分（图中阴影部分）。
（2）画图法三步走：从中间开始标数。
①第一步，画圈圈。
②第二步，标数字（从里到外，注意去重）。
③第三步，列算式。
【例 5】（2024 江苏网友回忆版）某基层工会共有 180 名会员，举行甲、乙
两项工会活动，60%的会员参加甲活动，50%的会员参加乙活动，若只参加甲活动
的会员有80人，则只参加乙活动的会员有：
A.10人 B.36人
C.62人 D.78人
【解析】5.“60%的会员参加甲活动”，参加甲活动的人数=180*3/5=108；“50%
的会员参加乙活动”，参加乙活动的人数=90。“只参加甲活动的会员有 80 人”，
24公式中没，考虑画图。一个圆圈代表甲、一个圆圈代表乙，只甲=80，整个甲=108，
则中间甲乙都满足的为108-80=28，只乙=90-28=尾2，选择C 项。【选C】
【注意】容斥原理：2、3 年考查一道题。
1.公式法：
（1）两集合：A+B-A∩B=总数-都不。
（2）三集合：
①标准型：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
②非标准型：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。
2.画图法：如果所求数据公式中没有给，用画图法，注意先标中间，用中间
推两边。2024年国考考了一道容斥原理。
【课后练习 1】（2024 江苏网友回忆版）小张所在单位共有 4 个科室，现以
科室为单位组织文艺演出，每个科室出 2个节目。演出结束后，因 8个节目都非
常精彩，决定从中随机选 3个节目参加上级组织的汇演。则小张所在科室出的节
目至少有一个被选送参加汇演的概率是（ ）。
A.11/20 B.9/14
C.9/20 D.5/14
25【解析】练习 1.方法一：读题“共有 4 个科室”“每个科室出 2 个节目”，
共3个节目，小张所在科室出 2个节目，比如是 A节目和B节目，问至少一个被
选中的概率，所求=1-P ，反面是小张所在科室的2个节目一个都没有。总的情
反
况是从8个中选3个，满足反面要求的情况是从剩下的 6个节目中选择 3个，所
求=1-P =1-C（6,3）/C（8,3）=9/14。
反
方法二：正面计算。总的情况是从 8 个中选择 3 个，C（8,3）。满足要求的
情况是至少选1个，比如只有 1个A，共3 个节目，还要选2 个，从剩下的 6个
中选择 2 个，C（6,2）。还可能只有 1 个 B，从剩下的 6 个选择 2 个，C（6,2）。
还有可能是A和B都有，从剩下的 6个中选择1个，则P=满足要求的情况数/总
的情况数=[C（6,2）+C（6,2）+C（6,1）]/C（8,3）=9/14。【选 B】
【注意】一般分类讨论情况数是三种或者三种以上，考虑反面。
【课后练习 2】（2019 江苏）市电视台向 150 位观众调查前一天晚上甲、乙
两个频道的收视情况，其中 108 人看过甲频道，36 人看过乙频道，23 人既看过
甲频道又看过乙频道，则受调查观众中在前一天晚上两个频道均未看过的人数是
（ ）。
A.17 B.22
C.29 D.38
【解析】练习 2.两集合容斥原理问题，直接用公式，选项尾数不同，直接
用尾数列式：8+6-3=0-都不→尾 1=尾0-都不→都不的尾数为 9，选择C项。【选
C】
数学运算考场策略
数量放最后，挑着做
核心原则：先短后长，先易后难
怎么挑？？？秒易代熟猜
秒：倍数特性、三角形相关结论类
易：工程、经济、几何公式、容斥
26代：余数、年龄、多位数、不定方程
熟：你的专属题型，自己去挖掘
猜：下下策，考眼神、拼运气
【注意】
1.数学运算考试目标是对 60%，挑着做。学习的时候，要把理论课每一个知
识点都学会，后面还会扩充其他小的知识点，都学会之后，考试中，先选择短的、
会的做，再做长的。
2.常见简单题：
（1）秒：倍数特性、三角形相关结论类。
（2）易：工程、经济、几何公式、容斥。
（3）代：余数、年龄、多位数、不定方程。
（4）熟：行程、排列组合与概率比较难，看哪个题型擅长，可以发展为专
属题型。
（5）猜：下下策，考眼神、拼运气。
课程最后寄语
1.结合思维导图整理每节课的思维逻辑，看回放查缺补漏，把能够掌握的题
型做到烂熟于心，对于确实怎么都弄不懂的题型可以战略性放弃。
2.理论知识掌握扎实后，不断做题总结，将题目和理论相结合。
3.循序渐进：听懂—会做—提速；题型—模块—套卷。
4.题目选择：江苏、国考、山东、浙江/北京/联考等。
5.有困难找点点：粉笔App-发现-圈子-搜索用户-“数资-焦点”
【注意】
1.结合思维导图整理每节课的思维逻辑，再做一下讲义的题目，如果不能独
立做出来，要看回放，听不会的、忘记的点。
2.理论知识掌握扎实后，不断做题总结，边刷题边总结，将题目和理论相结
合。
3.循序渐进：听懂、会做、提速，提速需要不断刷卷子；题型、模块、套卷。
4.题目选择：江苏、国考、山东、浙江/北京/联考等。
27【答案汇总】
基础概念1-3：DAB
经典题型1-4：CCCA
概率1-4：ACBA
容斥原理问题1-5：ACBBC
28遇见不一样的自己
Be your better self
29
