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C H A O G E J I A O Y U
2026数量拿分稳稳班
第9节课（第九章 数列问题）
主讲老师： 高 照第九章 等差数列和等比数列
一、等差数列
1.等差数列性质
2.等差数列求和
3.等差数列和时间段等差数列
4.等差数列的应用题
5.等差数列巧求方程组两数差
6.64的秘密
二、等比数列等差数列
𝑎 、 𝑎 、 𝑎 、…… 𝑎 ，d表示等差数列的公差 𝑎 、 𝑎 、 𝑎 、 𝑎 、 𝑎
1 2 3 4 5
1 2 3 n
（1）通项公式：𝑎 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑑
𝑛 1
性质：𝑎 = 𝑎 + (𝑛 − 𝑚)𝑑 𝑎 − 𝑎 = 𝑛 − 𝑚 𝑑
𝑛 𝑚 𝑛 𝑚等差中项（等差数列中位数）：
数列为奇数项时，第𝑎 项真实存在；数列为偶数项时，第𝑎 项可看成是中间两项
中 中
形式1： 𝑎 、 𝑎 、 𝑎 、 𝑎 、 𝑎
1 2 3 4 5
形式2：𝑎 、 𝑎 、 𝑎 、 𝑎 、 𝑎 、 𝑎
1 2 3 4 5 6
(𝑎 +𝑎 )
求和公式：𝑆 = 1 𝑛 × 𝑛 = a × 𝑛 = 平均数 × 𝑛
𝑛 中
2小技巧：
（1）求和有中项，优先用中项。𝑆 = a × 𝑛，可做可猜
𝑛 中
(𝑎 +𝑎 )
（2）无中项，用 𝑆 = 1 𝑛 × 𝑛
𝑛
2
（3）常考：3项等差、 5项等差、 7项等差、 9项等差
（4） 𝑎 、 𝑎 、 𝑎 既是等差又是等比，那么 𝑎 = 𝑎 = 𝑎 （常数列）
1 2 3 1 2 3
（5）1-10， 𝑆 = 55
10等差数列性质【例1】（2025上海）有一个均匀的正二十面体形状的骰子，将r ，r ，······，r 这n个连续的自然数分
1 2 n
别标到骰子的各个面上，每个面上只标1个数字，且标有数r （i=1，2，······，n，n>1）的面恰有r 个，
i i
那么这个骰子所有面上的数字之和可能为：
A.55
B.90
C.108
D.139
此题的难点是你没见过这种表述。【例2】（2024江苏）已知某家族中4位成员的年龄总和为142岁，且他们的年龄恰好成等差数列，若
其中一位的年龄为47岁，则这4人中最年长者的年龄为（ ）
A.65岁
B.70岁
C.83岁
D.90岁【例3】（2022江苏）某金融机构向9家“专精特新”企业共发放了4500万元贷款，若这9家企业获得
的贷款额从少到多排列，恰好为一个等差数列，且排第3的企业获得420万元贷款，排第8的企业获得
的贷款额为：
A.620万元
B.660万元
C.720万元
D.760万元等差数列求和
(𝑎 +𝑎 )
求和公式：𝑆 = 1 𝑛 × 𝑛 = a × 𝑛 = 平均数 × 𝑛
𝑛 中
2【例4】（2022联考）某市对下辖9个文艺表演团体去年新创节目的数量进行统计分析，发现9个团
体新创节目的数量恰好成等差数列，其中前5个团体的新创节目总数是60，前7个团体的新创节目总
数是70。那么这9个文艺表演团体去年新创节目的总数是：
A.72
B.76
C.78
D.80【例5】（2025全国事业单位）某果园每天最多可采摘10箱水果，每箱水果每天的保存成本为10元。
该果园接到一笔75箱水果的订单并要求一次性交付（交付当天不计保存成本）。问保存成本最低为
多少元？（ ）
A.2100
B.2450
C.2650
D.2800【例6】（2020新疆）某阶梯会议室有16排座位，后一排比前一排多2个，最后一排有40个座位。这
个阶梯会议室共有多少个座位？
A. 300
B. 350
C. 400
D. 440【例7】（2022四川）某共享汽车公司年初购入一批二手电动汽车，每台16200元。第一年每台电动
汽车的维护费用为1100元，以后每年增加400元，每台电动汽车每年可产生收益9100元。问在第几
年时，单排汽车扣除购置和维护成本后产生的利润将超过2万元?
A.5
B.6
C.7
D.8【例8】（2021联考）小张和小李负责生产1200个零件，小张每天均生产20个。小李第一天生产10
个，往后除最后一天外，每一天的产量都比前一天多1个。问整个任务中小张生产的个数比小李：
A.多40个
B.多80个
C.少40个
D.少80个等差数列和时间段等差数列
各项成等差数列，可推知每个“时间段”的和也成等差数列。
常考：一个星期7天，十几五规划5年。【例9】（2023国考）工厂从某周第一天开始生产某种零件，每周生产7天，从第二天开始每一天都
比前一天多生产200件。已知工厂第三周的产量是第一周的2倍，问第几天其日产量第一次达到1万件？
A.37
B.38
C.39
D.40等差数列的应用题【例10】（2025天津）某种商品今年1月的定价为1000元/吨，2月起由于每月原材料上涨导致每月成本
增加20元/吨，3月、6月、9月、12月每月初定价在上月基础上向上调50元/吨。则本年度利润最高的月
份和最低的月份分别是：
A.3月、10月
B.3月、11月
C.4月、10月
D.4月、11月【例11】（2023联考）桌上整齐摆放着若干只相同玻璃杯，除一只空杯外，其余杯中都放有彩色珠子，
共有45颗。如果在有彩色珠子的每个杯中取1颗放入空杯，则只需调整玻璃杯的位置，即可与最初完全
一样。问桌上共有几只玻璃杯？
A.7
B.8
C.9
D.10等差数列巧求方程组两数差
剪刀差原理
x + y = M
小技巧：ቊ ，求x-y，巧用等差数列ab的中位数求解。
ax + by = N
x + y = 10
ቊ ，求x-y
5x + 7y = 56【例12】（2022江苏）某餐饮公司甲、乙两种外卖每份的售价分别为30元和50元，若该公司某天售
出这两种外卖共500份，销售收入为21400元，则售出的两种外卖数量相差：
A. 140份
B. 160份
C. 180份
D. 200份64的秘密
6
每次都是剩下偶数，故应该为100以内2的最大幂次数，即为2 = 64。
就像剥洋葱：偶中偶，100以内，最内层的偶数。【例13】（2024浙江）某工厂有100个零件，从1-100 编号后将编号为奇数的零件拿掉，余下50个
零件按顺序重新从1开始编号后将编号为奇数的零件拿掉，重复上述操作直到剩下一个零件，那么余
下这个零件最初的编号是多少？
A.32
B.50
C.64
D.100第九章 等差数列和等比数列
一、等差数列
1.等差数列性质
2.等差数列求和
3.等差数列和时间段等差数列
4.等差数列的应用题
5.等差数列巧求方程组两数差
6.64的秘密
二、等比数列等比数列
通项公式：𝑎 = 𝑎 × 𝑞 𝑛−1，q表示等比数列的公比
𝑛 1
𝑛
1−𝑞
求和公式：𝑆 = 𝑎 ×
𝑛 1
1−𝑞
注：等比数列考察频率较低，不会用公式，咱就枚举一下，一样拿分。【例14】（2023联考）某口罩生产车间一月份生产口罩100万包，以后每个月都比
前一个月按相同增长率增长，四月份生产口罩133.1万包，这个增长率是：
A.10%
B.8%
C.6%
D.5%【例15】（2025江苏）今年3月初，小李以月租1万元（月付）的价格租下店面，经营绿色节能家电，
店面装修两个月花费11万元。第三个月开始营业，当月纯利润为3万元，若此后每月纯利润都比上月
增长10%，则开始盈利的月份是：
A.6月
B.7月
C.8月
D.9月梳理：专项拔高练习九【练习1】（2020联考）三个自然数成等差数列，公差为20，其和为4095。这三个
数中最大的是：
A.1345
B.1365
C.1385
D.1405【练习2】（2020联考）小李一家3人进行抢红包游戏，每人发1个红包。结果每人
抢得金额总额一致，均为100元，刚巧3人所发红包金额为互不相同整数且成等差数
列。问3人中所发红包金额最多的可能是多少元？
A.197
B.198
C.199
D.200【练习3】（2023联考）19个不同的正整数从小到大排序，总和为191，则最大的
数只能取：
A.18
B.19
C.20
D.21【练习4】（2020联考）红星中学高二年级在本次期末考试中竞争激烈，年级前七名的三科（语文、
数学、英语）平均成绩构成公差为1的等差数列，第七、八、九名的平均成绩既构成等差数列，又构
成等比数列，张龙位列第十，与第九名相差1分，张龙的英语成绩为121分，但老师误登记为112分。
那么，张龙的名次本该是：
A.第四
B.第五
C.第七
D.第八【练习5】（2018四川）现有10个相同的盒子中分别装有1～10个球，任意两个盒子中的球数都不相
同。小李分三次每次取出若干个盒子，每次取出的盒子中的球数之和都是上一次的3倍，且最后剩下
1个盒子。问剩下的盒子中有多少个球？
A.9
B.6
C.5
D.3【练习6】（2021上海）将从1到11连续自然数填入下图中的圆圈内，要使每边上的三个数的和都相
等，a不可能是（ ）。
A.1
B.6
C.7
D.11【练习7】（2024广东事业单位）在荔枝成熟的季节，某果园雇人采摘荔枝。已知从第二天起，每天
的采摘量比前一天少50千克；从第十天起，每天的采摘量都是前一天的一半。如果第十三天的采摘
量为10千克，则果园第一天采摘了（ ）千克荔枝。
A.540
B.560
C.580
D.600【练习8】（2020山东）某公司2017年每个月的销售额都比上个月高x万元。其9月的销售额是1月的
2倍，11月的销售额为900万元。问该公司2017年全年的销售额是多少万元?
A.7200
B.7650
C.8100
D.8550【练习9】（2022四川下）商场6月6日开始销售某种电器，从6月7日起，每天这种电器的销量都比
前一天多1台。已知6月16日卖了22台这种电器，问其6月共卖了多少台这种电器？
A.555
B.600
C.645
D.690【练习10】（2022联考）某商场1月尝试采购一款新产品进行销售，每月进货量固定为1000件，1
月的销售量为800件。销售一段时间发现，从2月开始，每月的销售量均比上月高10%。问几月份会
出现第1次库存清零？
A.4月
B.5月
C.6月
D.7月作业：今天所讲的题进行“3+2作业”（数量要精做、精刷）
3：三遍（先问题、再题干）（问题圈谁?）数量的表述看似多样，实则相对单一，熟悉和记忆就是最好的
方法。了解等差数列常见的表述和特征，以及等差数列的特定表述的考法。
2：计算2遍：计算是思路的展开，题型理解，该做做，该猜猜（等差数列尤其重视猜题）。
预习：第十章 行程问题所有的逆袭都是有备而来，
所有的幸运都是，努力埋下的伏笔，
承认自己的普通，家庭的普通（当你承认家庭普通，说明你长大了）
拼尽全力
提升自己永远比仰望别人更有意义
如果你现在还不够强大，那就先把自己藏起来，拼命强大
与其抱怨黑暗
不如提灯前行
成为自己的一束光，照亮自己的世界
沉淀的日子，孤独且漫长，但一定值得。上岸的秘密：
提前准备、持续努力、刻意练习
