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2 0 2 4 年 教 师 资 格 证
高等代数3
讲师：吉吉
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选+简
（四）逆矩阵
1.逆矩阵的定义
2024FENBI补充
下列说法错误的是（）
①若𝑋𝑌 = 𝑋𝑍，则当 𝑋 ≠ 0时，𝑌 = 𝑍；
②若𝑋𝑌 = 𝑋𝑍，则当𝑋 −1存在时，𝑌 = 𝑍；
③若𝑋𝑌 = 𝑋𝑍，则当𝑋 = 𝟎时，则𝑌不一定等于𝑍；
④若𝑋𝑌 = 𝑋𝑍，则当𝑋 = 𝟎时，𝑌一定等于𝑍；
2024FENBI2024FENBI
1 ． （ 2 0 1 8 上 - 高 ， 2 0 1 8 下 - 初 ） 在 什 么 条 件 下 ， 矩 阵
a
c
b
d
存 在 逆 矩 阵 ， 并 求 出 其 逆 矩 阵 ．
补充2024FENBI
1
1
解
即
．
．
（
【
析
A
2
答
：
0
=
1
案
若
8
a
c
上
】
矩
-
在
阵
高
b
d
a
A
，
=
d
2
存
a
−
0
d
1
b
在
8
−
c
逆
下
b
矩
c
-
0
初
阵
时
）
0
，
在
A
，
则
−
什
1
有
=
么
A
(
A
*
条
a d
−
=
1
件
1
−
=
−
下
b
d
A
c
c
A
，
)
*
矩
，
−
−
a
d
b
阵
c
故
而
，
a
c
−
a
要
b
A
求
−
．
1
b
d
矩
=
阵
A
存
A
*
A
在
=
的
逆
(
行
a
矩
d
列
阵
1
−
式
b
，
c
并
A
)
求
−
d
出
0
c
其
−
a
逆
b
矩
．
阵 ．P82
2024FENBIP82
2024FENBIP83
（四）逆矩阵
2.奇异矩阵与非奇异矩阵
2024FENBIP83
（四）逆矩阵
3.求逆矩阵的方法
1 1
例1：A=
1 2
1 1 2
例2：A= 1 2 3
1 3 5
2024FENBIP83
选
（四）逆矩阵
4.逆矩阵的运算性质
2024FENBIP83
2024FENBI 总结：矩阵运算、矩阵逆
选
【例】判断下列命题正误：
（1）若𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，则𝐵 = 𝐶 . 4 若𝐴 = 𝑶，则𝐴𝐵 = 𝐴𝐶.
（2）若𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，则𝐵一定不等于𝐶.
（5）若𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，则𝐴 = 𝑶.
（3）若𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，且|𝐴| ≠ 0，则𝐵 = 𝐶 .
2024FENBI
✓ 矩阵与矩阵乘法不满足消去律总结
2024FENBIP84
三、矩阵的初等变换
工具
（一）初等行、列变换 𝟏 𝟐
𝑨 =
𝟑 𝟒
2024FENBIP83
（四）逆矩阵
3.求逆矩阵的方法
1 1
例1：A=
1 2
1 1 1 0 𝑟 −𝑟 1 1 1 0 𝑟 −𝑟 1 0 2 −1 2 −1
𝐴|𝐸 = 2 1 1 2 ； 𝐴−1 = ;
1 2 0 1 0 1 −1 1 0 1 −1 1 −1 1
1 1 2
例2：A= 1 2 3
1 3 5
1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 0 0
𝑟 −𝑟 ;𝑟 −𝑟 𝑟 −2𝑟
2 1 3 1 3 2
𝐴|𝐸 = 1 2 3 0 1 0 0 1 1 −1 1 0 0 1 1 −1 1 0
1 3 5 0 0 1 0 2 3 −1 0 1 0 0 1 1 −2 1
1 1 2 1 0 0 1 0 0 1 1 −1 1 1 −1
𝑟 −𝑟 𝑟 −2𝑟 ;𝑟 −𝑟 2024FENBI
2 3 0 1 0 −2 3 −1 1 3 1 2 0 1 0 −2 3 −1 ， 𝐴−1 = −2 3 −1 ;
0 0 1 1 −2 1 0 0 1 1 −2 1 1 −2 1P84
（二）矩阵等价
1 2 3 1 2 3 1 2 3
r −2r ;r −3r r −2r
2 1 3 1 3 2
𝐴 = 2 3 5 0 −1 −1 0 −1 −1 = 𝐵
3 4 6 0 −2 −3 0 0 −1
2024FENBIP85
工具
（三）行阶梯形矩阵与行最简形矩阵
2024FENBIP85 工具
如何变换行阶梯形
1 2
𝐴 =
3 4
1 0 1
𝐴 = 2 3 1
−3 6 −5
2024FENBIP85
行阶梯形矩阵
总结：需要可截图，但重在理解！
1 0 1
步骤：
𝐴 = 2 3 1
（1）判定第一行第一列元素是否为1，不是先用初等
−3 6 −5
变换化1或把首行为1的元素换过来；
2 0 4
… … … （2）以第一行为基准，把每行的首元素化“0”；
𝐵 =
… … …
（3）画阶梯线，每个阶梯只有一个非0行，若不满足，
0 1 2
再以每个台阶第一行为基准，将下面阶梯首元素化0；
𝐶 = 1 0 3
… … …
（4）出现“0”多的某行在上方，也可以先交换提到
1 0 1
下面，再进行（2）（3）步变换。
𝐷 = 0 0 1
2024FENBI
0 1 2P85
（三）行阶梯形矩阵与行最简形矩阵
工具
2024FENBIP85
选
（四）矩阵的秩
1. 定义
1 2 3 4 1 0 0 3
1 1 1 1 1 1
0 1 0 2 0 1 0 2
𝐴 = 0 2 3 𝐵 = 1 2 0 𝐶 = 𝐷 =
； ； ；
0 20 01 124F0 E0 1N0 BI
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1P85
选
（四）矩阵的秩
2. 矩阵秩的求法
1 1
𝑟 −𝑟 1 1
2 1
A=
1 2
0 1
1 1 1 𝑟 −2𝑟
2 1 1 1 1 1 1 1
𝑟 −4𝑟 𝑟 +𝑟
B= 2 3 0 3 1 3 2
0 1 −2 0 1 −2
2024FENBI
4 3 6
0 −1 2 0 0 0P86
2024FENBIP86 选
求矩阵的秩R(A)
(√)方法一：行阶梯形变换
0 1 2 −1 2 0 −1 2 0 −1 2 0 −1 2 0
3 0 1 → 3 0 1 → 0 6 1 → 0 1 2 → 0 1 2
−1 2 0 0 1 2 0 1 2 0 6 1 0 0 −11
(*)方法二：方阵，求行列式的值
𝐴 , 若 𝐴 ≠ 0 ⇒ 𝑟 𝐴 = n
0 1 2
𝑛
例： 𝐴 = 3 0 1 = 11 ≠ 0
−1 2 0
⇒ 𝑟 𝐴 = 3 ⋅
2024FENBI
𝐴 , 若 𝐴 = 0 ⇒ 𝑟 𝐴 < n
，具体秩无法确定。
𝑛总结
求秩𝑅(𝐴)
2024FENBI
初等行变换 化行阶梯型 化最简型一 向量的概念及运算规律
第二节
二 向量组的线性相关性
向 量
2024FENBI真题链接
初中真题
高中真题
2017年上：10
2017年上：10
2018年下：5
2018年下：5
2019年下：5
2019年下：5
2020年下：3
2020年下：3
2021年下：14
2021年下：6、9（2）
2023年上：3
2022年上：6
2024FENBI
2023年上：3
2023年下：4、5（C）P87
一、向量的概念及运算规律
（一）n维向量
2024FENBIP88
二、向量组的线性相关性
1 2 3
𝛼 = 1 ，𝛼 = −1 ，𝛼 = 0
（一）向量组的概念 1 2 3
1 0 −1
2024FENBIP88
（一）向量组的概念
2024FENBI选+简
（二）向量组的线性相关性和最大线性无关向量组
2024FENBI
1
2
1
1
=
=
1
0
-
0
1
0
1
2
2
=
=
1
0
0
1
0
0
3
3
=
=
0
0
1
0
0
- 3
例
例
：
：
，
，
，
，
；
；
P88选+简
（二）向量组的线性相关性和最大线性无关向量组
2024FENBI
1
2
1
1
=
=
1
0
-
0
1
0
1
2
2
=
=
1
0
0
1
0
0
3
3
=
=
0
0
1
0
0
- 3
例
例
：
：
，
，
，
，
；
；
P88选+简
（二）向量组的线性相关性和最大线性无关向量组
2024FENBI
1
2
1
1
=
=
1
0
-
0
1
0
1
2
2
=
=
1
0
0
1
0
0
3
3
=
=
0
0
1
0
0
- 3
例
例
：
：
，
，
，
，
；
；
P89
1 1 0 1 1 0 1 1 0
𝐴 = 𝛼 ,𝛼 , 𝛼 = 0 0 0 → 0 0 0 → 0 1 1
1 2 3
−1 0 1 0 1 1 0 0 0
𝑅 𝐴 =?选+简
（二）向量组的线性相关性和最大线性无关向量组
2024FENBI
1
2
1
1
=
=
1
0
-
0
1
0
1
2
2
=
=
1
0
0
1
0
0
3
3
=
=
0
0
1
0
0
- 3
例
例
：
：
，
，
，
，
；
；
P89
0 1 0 1 0 0
𝐵 = 𝛼 , 𝛼 ,𝛼 = 1 0 0 → 0 1 0
1 2 3
0 0 −3 0 0 −3
𝑅 𝐵 =?补充P89 1 2 0
0 −1 2
例：判定𝛼 = ， 𝛼 = ，𝛼 = 线性相关性。
1 2 3
1 0 3
−1 0 0
1 2 0
0 −1 2
𝐴 = 𝛼 , 𝛼 ,𝛼 =
1 2 3 1 0 3
−1 0 0
2024FENBI补充P89
1 0 2
𝐴 = 𝛼 , 𝛼 ,𝛼 = 1 2 4
1 2 3
1 5 7
2024FENBI补充P89
2024FENBI2024FENBI
1
=
a
a
a
1
2
n
,
2
=
b
b
b
1
2
n
, ,
m
=
m
m
m
1
2
n
1
2
.
.
r
r
=
(
(
(
A
A
)
)
1
m
m
2
m
1
1
)
2
2
m
m
①
②
③
拼
初
比
矩
等
较
阵
行
A
变 换 ，
=
，
化 行
阶
向
向
，
梯
量
量
，
型
组
组
：
，
，
，
，
，
，
必
必
线
线
性
性
相
无
关
关
；
。
P89
选+简
考点—判断向量组的相关性的步骤
设有𝒎个𝑛维向量，P89
选+简
（二）向量组的线性相关性和极大线性无关向量组
2024FENBI考点：求极大线性无关组
2024FENBI
(
(
(
(
1
2
3
4
)
)
)
)
1
A
B
,
A
2
,
(
,
1
,
r
2
, ,
m
) ;
1
,
2
, ,
B
m
= (
1
,
2
, ,
m
)
1
,
2
, ,
r
构
对
在
造
作
的
=
初
每
等
个
行
台
即
变
阶
为
换
上
向
，
取
量
化
第
组
为
一
行
个
阶
非
梯
零
型
元 所
的
在
一
列
个
的
极
对
大
应
线
向
性
量
无
，
关
构
组
成
。
向 量 组
选+简
找一个向量组极大无关组技巧：非零行第一个非零元所在的列对应的向量
例 ：
1
2
1
3
−
1
1
1
1
1
3
3
5
−
4
5
6
3
−
−
−
−
3
5
2
7
→
1
0
0
0
−
−
−
1
1
2
2
1
1
2
2
−
−
−
4
3
7
6
−
1
1
2
3
→
1
0
0
0
−
1
0
0
1
1
1
0
0
−
−
4
1
3
1
−
−
1
1
3
1
P89补充P89
2024FENBI补充P89
2024FENBIP89
选+简
（二）向量组的线性相关性和极大线性无关向量组
2024FENBIP89
考点：极大线性无关组的性质 选
1 1 1 4 −3 1 1 1 4 −3 1 1 1 4 −3
2 1 3 5 −5 0 −1 1 −3 1 0 −1 1 −3 1
例： → →
1 −1 3 −3 −2 0 −2 2 −7 1 0 0 0 −1 −1
3 1 5 6 −7 0 −2 2 −6 2 0 0 0 1 1
2024FENBIP89
2024FENBIP89
2024FENBI
找一个向量组极大无关组技巧：非零行第一个非零元所在的列对应的向量P90
2024FENBIP90
2024FENBIP90
2024FENBIP90
选
（二）向量组的线性相关性和极大线性无关组
4. 向量组的秩
向量组的最大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记向量组A: 𝜶 ，
1
𝜶 ， … ，𝜶 的秩为R ，则R =R（𝜶 ，𝜶 ， … ，𝜶 ）。
2 𝑛 A A 1 2 𝑛
矩阵A的秩=非零子式的最高阶数＝矩阵A行向量组的秩＝矩阵A列向量组的秩＝
有效方程的个数。
2024FENBI
