2010年上海市中考数学试卷及答案_中考真题_2.数学中考真题2015-2024年_地区卷_上海中考数学08-22

2010 年上海市初中毕业统一学业考试数学卷 （满分150分，考试时间100分钟 ） 2010-6-20 一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.下列实数中，是无理数的为（ ） A. 3.14 B. C. D. 2.在平面直角坐标系中，反比例函数 y = ( k＜0 ) 图像的量支分别在（ ） A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象 限 3.已知一元二次方程 x + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ ） A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 4.某市五月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26（单位：°C），这组数据的 中位数和众数分别是（ ） A. 22°C，26°C B. 22°C，20°C C. 21°C，26°C D. 21°C，20°C 5.下列命题中，是真命题的为（ ） A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三 角形都相似 6.已知圆O、圆O 的半径不相等，圆O 的半径长为3，若圆O 上的点A满足AO = 3，则 1 2 1 2 1 圆O 与圆O 的位置关系是（ ） 1 2 A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或 内含 二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.计算：a 3 ÷ a 2 = __________. 8.计算：( x + 1 ) ( x ─ 1 ) = ____________. 9.分解因式：a 2 ─ a b = ______________. 10.不等式 3 x ─ 2 ＞ 0 的解集是____________. 11.方程 = x 的根是____________. 12.已知函数 f ( x ) = ，那么f ( ─ 1 ) = ___________. 113.将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移5个单位后，所得直线的表达式是______________. 14.若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入“ 让 更美好” 中的两个 内（每个 只放1张卡片），则其中的文字恰好组成“城市让生活更美 好”的概率是__________ 15.如图1，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O 设向量 = ， = ，则向 AaD AbB 量 =__________.（结果用 、 表示） AO a b D C A O D A 图1 B B C 图2 A D 160 E O 1 2 图3 B 图4 C 16.如图2，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，则DB = __________. 17.一辆汽车在行驶过程中，路程 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系如图3所示 当时 0≤x≤1，y关于x的函数解析式为 y = 60 x，那么当 1≤x≤2时，y关于x的函数解 析式为_____________. 18.已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1（如图4所示） 把线段AE绕点 A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为___________. 三、解答题（本大题共7题，19 ~ 22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分，满分 78分） 1 1 4 19.计算： 273 ( 31)2 ( )1 2 31 220.解方程：─ ─ 1 = 0 21.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从圆心O 出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿 正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上.（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长. （本题参考数据：sin 67.4° = ，cos 67.4° = ，tan 67.4° = ） 北 N A 67.4 O B C S 南 图5 22.某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料 数量的情况，一天，他们分别在A、B、C三个出口处， 对离开园区的游客进行调查，其中在A出口调查所得的 数据整理后绘成图6. 人数（万人） 3 2.5 2 1.5 1 0 1 2 3 4 饮料数量（瓶） 图6 （1）在A出口的被调查游客中，购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占A出口的被调查游 客人数的__________%. （2）试问A出口的被调查游客在园区内人均购买了多少瓶饮料？ （3）已知B、C两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料的数量如表一所示 若C出 口的被调查人数比B出口的被 3调查人数多2万，且B、C两个出口的被调查游客在园区内共购买了49万瓶饮料，试问B出口 的被调查游客人数为多少万？ 表 一 出 口 B C 人均购买饮料数量 3 2 （瓶） 23．已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD（如图7所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连 结DE. （1）在图7中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形 ABED是菱形； （2）∠ABC＝60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC. A D B C 图7 24．如图8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) . （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l 的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值. 图8 25．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相 交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P. （1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长； （2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值； 41 （3）若tanBPD ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式. 3 图9 图 10(备用) 图11(备 用) 2010 年上海市初中毕业统一学业考试数学卷 （满分150分，考试时间100分钟） 2010-6-20 一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.下列实数中，是无理数的为（ C ） A. 3.14 B. C. D. 【解析】无理数即为无限不循环小数，则选C。 2.在平面直角坐标系中，反比例函数 y = ( k＜0 ) 图像的两支分别在（B ） A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四 象限 1 1 【解析】设K=-1，则x=2时，y= ，点在第四象限；当x=-2时，y= ，在第二象限，所以图 2 2 像过第二、四象限，即使选B 3.已知一元二次方程 x2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ B ） A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 【解析】根据二次方程的根的判别式：b2 4ac12 41150，所以方程有 两个不相等的实数根，所以选B 4.某市五月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26（单位：°C），这组数据的中位 数和众数分别是（ D） A. 22°C，26°C B. 22°C，20°C C. 21°C，26°C D. 21°C， 20°C 【解析】中位数定义：将所有数学按从小到大顺序排列后，当数字个数为奇数时即中间那 个数为中位数，当数字的个数为偶数时即中间那两个数的平均数为中位数。 众数：出现次数最多的数字即为众数 5所以选择D。 5.下列命题中，是真命题的为（ D ） A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三 角形都相似 【解析】两个相似三角形的要求是对应角相等，A、B、C中的类型三角形都不能保证两个 三角形对应角相等，即选D。 6.已知圆O、圆O 的半径不相等，圆O 的半径长为3，若圆O 上的点A满足AO = 3，则圆 1 2 1 2 1 O 与圆O 的位置关系是（ A ） 1 2 A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或 内含 【解析】如图所示，所以选择A A A O1 O1 A A O1 O1 二、 填 空题（本大题 共 12题，每题4 分，满分48分） 7.计算：a 3 ÷ a 2 = ___a____. 【解析】a3 a2 a32 a1 a 8.计算：( x + 1 ) ( x ─ 1 ) = ___ _x 2 -1_ _______. 【解析】根据平方差公式得：( x + 1 ) ( x ─ 1 ) = x 2 -1 _ 9.分解因式：a 2 ─ a b = _____a(a-b)_________. 【解析】提取公因式a，得：a2 abaab 10.不等式 3 x ─ 2 ＞ 0 的解集是____x>2/3___. 【解析】 11.方程 = x 的根是______x=3______. 【解析】由题意得：x>0 两边平方得：x6x2，解之得x=3或x=-2（舍去） 12.已知函数 f ( x ) = ，那么f ( ─ 1 ) = ______1/2_____. 1 1 1 【解析】把x=-1代入函数解析式得： f 1   x2 1 12 1 2 13. 将 直 线 y = 2 x ─ 4 向 上 平 移 5 个 单 位 后 ， 所 得 直 线 的 表 达 式 是 ____y=2x+1__________. 6【解析】直线y = 2 x ─ 4与y轴的交点坐标为（0，-4），则向上平移5个单位后交点坐标为 （0,1），则所得直线方程为y = 2 x +1 14.若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入“ 让 更美好”中的 两个 内（每个 只放1张卡片），则其中的文字恰好组成“城市让生活更美好” 的概率是____1/2______ 【解析】“生活”、“城市”放入后有两种可能性，即为：生活让城市更美好、城市让生活更 美好。 则组成“城市让生活更美好”的可能性占所有可能性的1/2。 15.如图1，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O 设向量 A D=a， A=Bb，则向 量 (cid:2)(cid:2)(cid:2)  1 .（结果用 、 表示） AO (ab) a b 2 (cid:2) (cid:2)(cid:2)  (cid:2) (cid:2) (cid:2)(cid:2)(cid:2)  (cid:2) (cid:2)(cid:2)(cid:2)  1  【解析】ADBC a，则ACABBC=ba2AO，所以AO= ba 2 A D A 160 D C D O E A 图1 B B 图2 C O 图 1 3 2 B 图4 C 16.如图2，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，则DB = __3________. AC AD 【解析】由于∠ACD =∠ABC，∠BAC =∠CAD,所以△ADC∽△ACB，即：  ,所以 AB AC ABAD AC2，则AB=4,所以BD=AB-AD=3 17.一辆汽车在行驶过程中，路程 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系如图3所示 当 时 0≤x≤1，y关于x的函数解析式为 y = 60 x，那么当 1≤x≤2时，y关于x的函数解 析式为_____y=100x-40___. 【解析】在0≤x≤1时，把x=1代入y = 60 x，则y=60，那么当 1≤x≤2时由两点坐标（1,60） 与（2,160）得当1≤x≤2时的函数解析式为y=100x-40 18.已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1（如图4所示） 把线段AE绕点 A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_ _1 或 5 _________. 【解析】题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时 A D 针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情 况如图所示： 顺时针旋转得到F 点，则F C=1 1 1 逆 时 针 旋 转 得 到 F 点 ， 则 F BDE 2, 2 2 FC F BBC 5 2 2 E 7 F 2 B F 1 C三、 解答题（本大题共7题，19 ~ 22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分， 满分78分） 1 1 4 19.计算：273 ( 31)2 ( )1 2 31   4 31 解：原式  3 27  3 2 2 31 1  1    31 31 2 4 34 332 312  2 3 12 52 32 32 3 20.解方程：─ ─ 1 = 0 解： xx2x2x11xx10 北 1 N 2 A x2 2  x2 2x1  x2 x0 67.4 O 2x2 4x2x0 2x2 5x20 B C 2x1x20 S 南 1 图5 ∴x 或x2 2 代入检验得符合要求 21.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从圆心O出 发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后 沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上.（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长. （本题参考数据：sin 67.4° = ，cos 67.4° = ，tan 67.4° = ） （1）解：过点O作OD⊥AB，则∠AOD+∠AON=900,即：sin∠AOD=cos∠AON= 即：AD=AO×=5,OD=AO×sin 67.4° =AO× =12 N 又沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处 所以AB∥NS,AB⊥BC,所以E点位BC的中点，且BE=DO=12 所以BC=24 A （2）解：连接OB，则OE=BD=AB-AD=14-5=9 又在RT△BOE中，BE=12, D O E 8 B C S所以 BO OE2 BE2  92 122  22515 即圆O的半径长为15 人数（万人） 22.某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料 3 数量的情况，一天，他们分别在A、B、C三个出口处， 2.5 对离开园区的游客进行调查，其中在A出口调查所得的 2 数据整理后绘成图6. 1.5 1 （1）在A出口的被调查游客中，购买2瓶及2瓶以上饮料 的游客人数占A出口的被调查游客人数的___60____%. （2）试问A出口的被调查游客在园区内人均购买了多少瓶饮料？ 0 1 2 3 4 饮料数量（瓶） 图6 （3）已知B、C两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料 的数量如表一所示 若C出口的被调查人数比B出口的被 调查人数多2万，且B、C两个出口的被调查游客 出 口 B C 人均购买饮料数量（瓶） 3 2 在园区 内共购买了49万瓶饮料，试问B出口的被调查游客人数 表 一 为多少万？ 9万 解：（1）由图6知，购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数为2.5+2+1.5=6（万人） 而总人数为：1+3+2.5+2+1.5=10（万人） 6 所以购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的 100%60% 10 （2）购买饮料总数位：3×1+2.5×2+2×3+1.5×4=3+5+6+6=20（万瓶） 购买饮料总数 20万瓶 人均购买=  2瓶 总人数 10万人 （3）设B出口人数为x万人，则C出口人数为（x+2）万人 则有3x+2(x+2)=49 解之得x=9 所以设B出口游客人数为9万人 23．已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD（如图7所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E， 连结DE. （1）在图7中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形 ABED是菱形； （2）∠ABC＝60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC. （1）解：分别以点B、D为圆心，以大于AB的长度为半径，分别作弧，且两弧交于一点P，则连 接AP，即AP即为∠BAD的平分线，且AP交BC于点E， ∵AB=AD，∴△ABO≌△AOD ∴BO=OD ∵AD//BC, ∴∠OBE=∠ODA, ∠OAD=OEB ∴△BOE≌△DOA ∴BE=AD（平行且相等） ∴四边形ABDE为平行四边形，另AB=AD， ∴四边形ADBE为菱形 （2）设DE=2a,则CE=4a，过点D作DF⊥BC 1 ∵∠ABC＝60°，∴∠DEF=60°, ∴∠EDF=30°, ∴EF= DE=a，则DF= 3a ，CF=CE-EF=4a- 2 9a=3a， ∴ D CD DF2 CF2  3a2 9a2 2 3a A ∴DE=2a，EC=4a,CD= ,构成一组勾股数， O 2 3a ∴△EDC为直角三角形，则ED⊥DC B E F C 24．如图8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝ －x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) . （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对 称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值. （1）解：将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得： 42 4bc0  12 bc3 解之得：b=4，c=0 所以抛物线的表达式为： yx2 4x 将抛物线的表达式配方得： yx2 4xx22 4 图8 所以对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4） （2）点p（m，n）关于直线x=2的对称点坐标为点E（4-m，n），则点E关于y轴对称点为点F坐 标为（4-m,-n）， 则四边形OAPF可以分为：三角形OFA与三角形OAP，则 1 1 S S S = S  OA n + S  OA n = 4 n =20 OFAP OFA OPA OFA 2 OPA 2 所以 =5，因为点P为第四象限的点，所以n<0，所以n= -5 n 代入抛物线方程得m=5 25．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相 交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P. （1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长； （2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值； 1 （3）若tanBPD ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式. 3 图9 图10(备用) 图11(备 用) 10（1）解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60° ∵AD=AE ∴∠AED＝60°=∠CEP ∴∠EPC＝30° ∴三角形BDP为等腰三角形 ∵△AEP与△BDP相似 ∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30° ∴AE=EP=1 1 1 ∴在RT△ECP中，EC= EP= 2 2 （2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x ∵AE=1,EC=2 ∴QC=3-a ∵∠ACB＝90° ∴△ADQ与△ABC相似 AD AQ ∴  AB AC 1 a 3 即  ，∴a x1 3 x1 ∵在RT△ADQ中  3  2 x2 2x8 DQ AD2 AQ2  1   x1 x1 DQ AD ∵  BC AB x2 2x8 ∴ x1 1  A x x1 解之得x=4，即BC=4 D Q F 过点C作CF//DP E ∴△ADE与△AFC相似， AE AD ∴  ，即AF=AC，即DF=EC=2, B C P AC AF ∴BF=DF=2 ∵△BFC与△BDP相似 BF BC 2 1 ∴    ，即：BC=CP=4 BD BP 4 2 EC 2 1 ∴tan∠BPD=   CP 4 2 (3)过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE与△PCE相似,设AQ=a，则QE=1-a QE DQ 1 ∴  且tanBPD EC CP 3 ∴ DQ31a ∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得： AD2  AQ2 DQ2 114 即：12 a2 31a 2，解之得a1(舍去)a   5 ∵△ADQ与△ABC相似 4 ∴ AD DQ AQ 5 4     AB BC AC 1x 55x 55x 33x ∴AB ,BC  4 4 55x 33x ∴三角形ABC的周长y ABBC AC   1x33x 4 4 即：y33x，其中x>0 12