文档内容
2010年山东省菏泽市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）2010年元月19日，山东省气象局预报我市元月20日的最高气温是4℃，最低气温
是﹣6℃，那么我市元月20日的最大温差是（ ）
A．10℃ B．6℃ C．4℃ D．2℃
2．（3分）负实数a的倒数是（ ）
A．﹣a B． C．﹣ D．a
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）（b﹣a）＝a2﹣b2 B．（a﹣2）2＝a2﹣4
C．a3+a3＝2a6 D．（﹣3a2）2＝9a4
4．（3分）如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位
置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，直线PQ∥MN，C是MN上一点，CE交PQ于A，CF交PQ于B，且∠ECF＝
90°，如果∠FBQ＝50°，则∠ECM的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
6．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折
痕为DG，记与点A重合的点为A′，则△A′BG的面积与该矩形面积的比为（ ）
第1页（共16页）A． B． C． D．
7．（3分）如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的
底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（
）
A．R＝2r B．R＝r C．R＝3r D．R＝4r
8．（3分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、
EF、AF，则△AEF的周长为（ ）
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．3cm
9．（3分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气
体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆
炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）
A．不小于 m3 B．小于 m3 C．不小于 m3 D．小于 m3
10．（3分）某医院决定抽调甲、乙、丙、丁4名医护人员参加抗震救灾，先随机地从这4人中
第2页（共16页）抽取2人作为第一批救灾医护人员，那么丁医护人员被抽到作为第一批救灾医护人员的
概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）将多项式a3﹣6a2b+9ab2分解因式得 ．
12．（3分）地球距离月球表面约为384 000千米，将这个距离用科学记数法（保留两个有效数
字）表示应为 千米．
13．（3分）若关于x的不等式3m﹣2x＜5的解集是x＞2，则实数m的值为 ．
14．（3分）已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p＝0的一个根，则该方程的另一个根是
．
15．（3分）已知点P的坐标为（m，n），O为坐标原点，连接OP，将线段OP绕O点顺时针旋转
90°得OP′，则点P′的坐标为 ．
16．（3分）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对
（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到
32+（﹣2）﹣1＝6．现将实数对（﹣2，﹣3）放入其中，得到实数是 ．
17．（3分）如图，在正方形ABCD中，O是CD边上的一点，以O为圆心，OD为半径的半圆恰
好与以B为圆心，BC为半径的扇形的弧外切，则∠OBC的正弦值为 ．
18．（3分）如图，三角板ABC的两直角边AC，BC的长分别是40cm和30cm，点G在斜边AB
上，且BG＝30cm，将这个三角板以G为中心按逆时针旋转90°，至△A′B′C′的位置，
那么旋转后两个三角板重叠部分（四边形EFGD）的面积为 cm2．
第3页（共16页）三、解答题（共6小题，满分66分）
19．（12分）（1）计算： ﹣4sin60°+（4﹣ ）0
π
（2）解不等式组：
（3）解分式方程： +2＝
20．（8分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝
5cm，求AB的长．
21．（10分）某中学初三（1）班、（2）班各选5名同学参加“爱我中华”演讲比赛，其预赛成绩
（满分100分）如图所示：
（1）根据上图信息填写下表：
平均数 中位数 众数
初三（1）班 85 85
初三（2）班 85 80
（2）根据两班成绩的平均数和中位数，分析哪班成绩较好？
（3）如果每班各选2名同学参加决赛，你认为哪个班实力更强些？请说明理由．
22．（12分）如图，△OAB中，OA＝OB，∠A＝30°， O经过AB的中点E分别交OA、OB于
C、D两点，连接CD． ⊙
（1）求证：AB是 O的切线．
（2）求证：CD∥A⊙B．
（3）若CD＝4 ，求扇形OCED的面积．
第4页（共16页）23．（12分）我市为绿化城区，计划购买甲、乙两种树苗共计500棵，甲种树苗每棵50元，乙
种树苗每棵80元，调查统计得：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%，95%．
（1）如果购买两种树苗共用28000元，那么甲、乙两种树苗各买了多少棵？
（2）市绿化部门研究决定，购买树苗的钱数不得超过34000元，应如何选购树苗？
（3）要使这批树苗的成活率不低于92%，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最
低费用是多少？
24．（12分）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y＝kx+4
与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B（1，m）、C（2，2）两点．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P（x，y），设∠PON＝ ，求当△PON的面积最大
时tan 的值； α
（3）若α动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON面
积的 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第5页（共16页）2010 年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．【分析】用最高气温减去最低气温，根据有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的
相反数计算即可．
【解答】解：4﹣（﹣6）＝4+6＝10℃．
故选：A．
【点评】本题是与生活实际相联系，列式后利用有理数的减法运算法则计算求解．
2．【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数可知．
【解答】解：根据倒数的定义可知，负实数a的倒数是 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了倒数的定义．
3．【分析】根据平方差、完全平方公式，合并同类项，积的乘方等知识进行计算即可．
【解答】解：A、应为（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2，故本选项错误；
B、应为（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故本选项错误；
C、应为a3+a3＝（1+1）a3＝2a3，故本选项错误；
D、（﹣3a2）2＝（﹣3）2a2×2＝9a4，正确．
故选：D．
【点评】本题考查平方差公式，完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方的性质，熟练掌
握运算法则和公式是解题的关键．
4．【分析】由俯视图易得此组合几何体有3层，三列，2行．找从左面看所得到的图形，应看俯
视图有几行，每行上的小正方体最多有几个．
【解答】解：从左面看可得到2列正方形从左往右的个数依次为2，3，故选D．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
5．【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出∠BCN，再利用平角定义即可求出．
【解答】解：∵PQ∥MN，∠FBQ＝50°，
∴∠BCN＝∠FBQ＝50°，
又∠ECF＝90°，
∴∠ECM＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
第6页（共16页）故选：C．
【点评】本题是基础题，主要利用平行线的性质和平角的定义解答．
6．【分析】根据已知条件，易求BD＝5．根据折叠的性质DA′＝AD＝3，得A′B＝2．根据
△ABD∽△A′BG可得面积之间的比值，再进一步求与矩形面积的比．
【解答】解：∵矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，
∴BD＝5，
∵DA′＝AD，
∴A′B＝2．
∵∠BA′G＝∠A＝90°，∠A′BG＝∠ABD，
∴△A′BG∽△ABD，
∴S△A′BG ：S△ABD ＝ ＝ ，
∵S△ABD ：S矩形ABCD ＝1：2，
∴S△A′BG ：S矩形ABCD ＝1：8．
故选：C．
【点评】此题考查了图形的折叠变换，同时考查了相似三角形的判定和性质，综合性较强．
7．【分析】让扇形的弧长等于圆的周长即可．
【解答】解：根据扇形的弧长等于圆的周长，
∴扇形弧长等于小圆的周长，
即： ＝2 r，
π
解得R＝4r，故选D．
【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周
长．
8．【分析】首先根据菱形的性质证明△ABE≌△ADF，然后连接AC可推出△ABC以及△ACD
为等边三角形．根据等腰三角形三线合一的定理又可推出△AEF是等边三角形．根据勾股
定理可求出AE的长继而求出周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，
第7页（共16页）∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF．
连接AC，
∵∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC与△ACD是等边三角形，
∴AE⊥BC，AF⊥CD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合），
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴AE＝ cm，
∴周长是3 cm．
故选：B．
【点评】此题考查的知识点：菱形的性质、等边三角形的判定和三角形中位线定理．
9．【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例
函数，且过点（1.6，60）故P•V＝96；故当P≤120，可判断V≥ ．
【解答】解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P＝ ，
∵图象过点（1.6，60）
∴k＝96
即P＝ 在第一象限内，P随V的增大而减小，
∴当P≤120时，V＝ ≥ ．
故选：C．
【点评】根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
第8页（共16页）10．【分析】列举出所有情况，看丁医护人员被抽到作为第一批救灾医护人员的情况占所有情
况的多少即为所求的概率．
【解答】解：从这4人中抽取2人的情况共有6种，
甲乙、甲丙、甲丁；
乙丙、乙丁；
丙丁．
丁被抽到的情况有3中；丁医护人员被抽到作为第一批救灾医护人员的概率是 ＝ ．
故选：A．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．【分析】这个多项式含有公因式a，分解因式时应先提取公因式a，然后再利用完全平方公
式分解．
【解答】解：a3﹣6a2b+9ab2，
＝a（a2﹣6ab+9b2），…（提取公因式）
＝a（a﹣3b）2．…（完全平方公式）
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行
二次分解，注意要分解完全．
12．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数．本题中384
000有6位整数，n＝6﹣1＝5．
有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解答】解：384 000千米＝3.84×105千米≈3.8×105千米．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
13．【分析】首先求出不等式的解集，然后与x＞2比较，就可以得出m的值．
【解答】解：解不等式3m﹣2x＜5，
得x＞ ，
第9页（共16页）又∵此不等式的解集是x＞2，
∴ ＝2，
∴m＝3．
故答案为：3．
【点评】主要考查了一元一次不等式的解法．解一元一次不等式的一般步骤是：去分母，去
括号，移项，合并同类项，系数化为1．
14．【分析】根据根与系数的关系：x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ，此题选择两根和即可求得．
1 2 1 2
【解答】解：∵2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p＝0的一个根，
∴2+x ＝﹣4，
1
∴x ＝﹣6，
1
∴该方程的另一个根是﹣6．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．
15．【分析】不妨设点P在第一象限，画出图形分析．将线段OP绕O点顺时针旋转90°得
OP′，P′落在第四象限，根据旋转前后对应线段相等确定P′坐标．
【解答】解：不妨设点P在第一象限，OP旋转后位置如图所示．
作PQ⊥y轴于Q，P′Q′⊥x轴于Q′．
∵P（m，n），∴PQ＝m，OQ＝n．
∴OQ′＝n，P′Q′＝m．
∴P′（n，﹣m）．
【点评】对于坐标平面上的点顺时针旋转90°后的坐标变化是纵坐标变为横坐标，横坐标
变为纵坐标的相反数．
16．【分析】根据题意，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1．实数
对（﹣2，﹣3）中，﹣2相当于a，﹣3相当于b，代入，利用实数的运算法则即可．
【解答】解：首先将实数对（﹣2，﹣3）放入其中，就会得到（﹣2）2+（﹣3）﹣1＝0．
第10页（共16页）因此得到的实数是0．
故答案为：0．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，要注意参考当任意实数对（a，b）进入其中时，会得
到一个新的实数：a2+b﹣1，这一关系，代入求值．
17．【分析】设正方形的边长是1，半圆的半径是x．根据两圆外切，则圆心距等于两圆半径之
和表示OB的长，从而根据勾股定理求得x的值，进一步根据锐角三角函数的概念求解．
【解答】解：设正方形的边长是1，半圆的半径是x．
则OB＝1+x，OC＝1﹣x．
在Rt△OBC中，根据勾股定理，得
（1+x）2＝（1﹣x）2+1，
x＝ ．
则OB＝ ，OC＝ ．
则sin∠OBC＝ ＝ ．
【点评】此题主要考查了相切两圆的性质、勾股定理以及锐角三角函数的概念．
18．【分析】把所求重叠部分面积看作△A′FG与△A′DE的面积差，并且这两个三角形都
与△ABC相似，根据勾股定理求对应边的长，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方
求面积即可．
【解答】解：由勾股定理得AB＝ ＝ ＝50，
又∵BG＝30，
∴AG＝AB﹣BG＝20，
由△ADG∽△ABC得， ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
解得DG＝15，AD＝25，
A′D＝A′G﹣DG＝AG﹣GD＝20﹣15＝5，
由△A′DE∽△A′B′C′，可知 ＝ ＝ ，
由△A′GF∽△A′C′B′，可知
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可知
第11页（共16页）S 四边形EFGD ＝S△A′FG ﹣S△A′DE ＝ S△A′B′C′ ﹣ S△A′B′C′ ＝ × ×40×30＝
144cm2．
【点评】本题考查了旋转图形的面积不变，勾股定理、相似三角形的性质的运用．
三、解答题（共6小题，满分66分）
19．【分析】（1）根据二次根式的化简、特殊三角函数值、零指数次幂的法则计算；
（2）分别解一元一次不等式，然后求出两个不等式的交集即可；
（3）最简公分母是（x﹣2），方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程求解．
【解答】解：
（1）原式＝ ；
（2）解 得x＜1，
解 得x①≤﹣2．
所②以原不等式的解集是x≤﹣2；
（3）
原方程两边同时乘以（2﹣x），
得：﹣（1﹣x）+2（2﹣x）＝1
解得：x＝2，
经检验：x＝2是原方程的增根，
所以原方程无解．
【点评】注意：解不等式组求的是两个不等式解的公共部分；解分式方程必须验根．
20．【分析】先有∠A＝30°，那么∠ABC＝60°，结合BD是角平分线，那么可求出∠DBC＝
∠ABD＝30°，在Rt△DBC中，利用直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，
可求出BD，再利用勾股定理可求BC，同理，在Rt△ABC中，AB＝2BC，即可求AB．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AD＝DB，
又∵Rt△CBD中，CD＝5cm，
∴BD＝10cm，
∴BC＝ ＝ ＝5 cm，
∴AB＝2BC＝10 cm．
第12页（共16页）【点评】本题利用了角平分线定义、直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半、
勾股定理等知识．
21．【分析】（1）根据中位数和众数的定义填空．
（2）根据平均数和中位数比较两个班的成绩．
（3）把两个班的平均数，众数与中位数结合起来分析，得出结果．
【解答】解：（1）中位数填85，众数填100．
（2）因为两班的平均数都相同，但初三（1）班的中位数高，所以初三（1）班的成绩较好．
（3）如果每个班各选2名同学参加决赛，我认为初三（2）班实力更强些．
因为，虽然两班的平均数相同，但在前两名的高分区中初三（2）班的成绩为100分，而初
三（1）班的成绩为100分和85分．
【点评】本题考查了运用平均数，中位数与众数解决实际问题的能力．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中
位数．
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
22．【分析】（1）连接OE交CD于F，证OE⊥AB即可．根据等腰三角形性质易证；
（2）可求∠O＝120°，∠OCD＝30°＝∠A，得证；
（3）关键在求半径的长．证OE⊥CD，根据垂径定理和三角函数可求半径．根据扇形面积
公式计算求解．
【解答】（1）证明：连接OE交CD于F．
∵OA＝OB，E是AB的中点，
∴OE⊥AB．
∴AB是 O的切线．
⊙
（2）证明：在△OAB，△OCD中，
∠COD＝∠AOB，CO＝OD，OA＝OB，
∴∠OCD＝ ，∠OAB＝ ，
∴∠OCD＝∠OAB，
∴CD∥AB；
第13页（共16页）（3）解：∵CD∥AB，∠A＝30°，OE⊥AB，CD＝4 ，
∴∠OCD＝30°，OE⊥CD，CF＝ CD＝2 ，∠COD＝120°．
OC＝ ＝ ＝4．
S扇形OCED ＝ ．
【点评】此题考查了切线的判定、扇形的面积计算等知识点，难度中等．
23．【分析】（1）根据关键描述语“购买两种树苗共用28000元”，列出方程求解．
（2）找到关键描述语“购买树苗的钱数不得超过34000元”，进而找到所求的量的等量关
系，列出不等式求解．
（3）先找到关键描述语“这批树苗的成活率不低于92%”，进而找到所求的量的等量关
系，列出不等式求出甲种树苗的取值范围．再根据题意列出购买两种树苗的费用之和与甲
种树苗的函数关系式，根据一次函数的特征求出最低费用．
【解答】解：（1）设购买甲种树苗x棵，则乙种树苗（500﹣x）棵，
由题意得：50x+80（500﹣x）＝28000
解得x＝400
所以500﹣x＝100
答：购买甲种树苗400棵，则乙种树苗100棵．
（2）由题意得：50x+80（500﹣x）≤34000
解得x≥200，（注意x≤500）
答：购买甲种树苗不少于200棵，其余购买乙种树苗．（若为购买乙种树苗不多于300棵，
其余购买甲种树苗也对）
（3）由题意得：90%x+95%（500﹣x）≥500×92%，
解得x≤300
设购买两种树苗的费用之和为y，则y＝50x+80（500﹣x）＝40000﹣30x
第14页（共16页）在此函数中，y随x的增大而减小
所以当x＝300时，y取得最小值，其最小值为40000﹣30×300＝31000元
答：购买甲种树苗300棵，乙种树苗200棵，即可满足这批树苗的成活率不低于92%，又使
购买树苗的费用最低，其最低费用为31000元．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，
读懂题列出不等式关系式即可求解．本题难点是求这批树苗的成活率不低于92%时，甲种
树苗的取值范围．
24．【分析】（1）根据C点的坐标可确定直线AD的解析式，进而可求出B点坐标，将B、C、O
三点坐标代入抛物线中，即可求得此二次函数的解析式；
（2）此题的关键是求出P点的坐标；△PON中，ON的长为定值，若△PON的面积最大，那
么P点离ON的距离最远，即P点为抛物线的顶点，根据（1）所得的抛物线解析式即可求
得P点的坐标，进而可求出 的正切值；
（3）设出点P的横坐标，根据α抛物线的解析式可表示出P点的纵坐标；根据直线AD和抛
物线的解析式可求出A、N的坐标；以ON为底，P点纵坐标为高可得到△OPN的面积，以
OA为底，P点横坐标为高可得到△OAP的面积，根据题目给出的△POA和△PON的面积
关系即可求出P点的横坐标，进而可求出P点的坐标．
【解答】解：（1）将点C（2，2）代入直线y＝kx+4，可得k＝﹣1
所以直线的解析式为y＝﹣x+4
当x＝1时，y＝3，
所以B点的坐标为（1，3）
将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y＝ax2+bx+c，
可得
解得 ，
所以所求的抛物线为y＝﹣2x2+5x．
（2）因为ON的长是一定值，
所以当点P为抛物线的顶点时，△PON的面积最大，
第15页（共16页）又该抛物线的顶点坐标为（ ），此时tan∠PON＝ ．
（3）存在；
把x＝0代入直线y＝﹣x+4得y＝4，所以点A（0，4）
把y＝0代入抛物线y＝﹣2x2+5x
得x＝0或x＝ ，所以点N（ ，0）
设动点P坐标为（x，y），
其中y＝﹣2x2+5x （0＜x＜ ）
则得：S△OAP ＝ |OA|•x＝2x
S△ONP ＝ |ON|•y＝ •（﹣2x2+5x）＝ （﹣2x2+5x）
由S△OAP ＝ S△ONP ，
即2x＝ • （﹣2x2+5x）
解得x＝0或x＝1，舍去x＝0
得x＝1，由此得y＝3
所以得点P存在，其坐标为（1，3）．
【点评】此题考查了一次函数与二次函数解析式的确定、函数图象与坐标轴交点坐标的求
法、图形面积的求法等知识，主要考查学生数形结合的数学思想方法．
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