文档内容
2024 年中考押题预测卷 01【云南卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1.中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数.如果在检测一批足球时，随机抽取了4
个足球进行检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数.从轻重的角度看，最
接近标准的是( )
A. +2.5 B. +0.5
C. −1.0 D. −3.5
【答案】B
【解析】解：由题意可得各数的绝对值分别为：2.5，0.5，1.0，3.5，
∵0.5<1.0<2.5<3.5，
∴最接近标准的是+0.5，
故选：B．根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值，然后比较大小即可．
本题考查正数和负数，理解其实际意义是解题的关键．
2.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A. 正六边形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 等腰三角形
【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后
可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；
即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；
即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．
故选：A．
3.截至2022年3月24日，“祝融号”火星车在距离地球277000000千米的火星表面工作306个火星日，数
据277000000用科学记数法可表示为
( )
A. 277×106 B. 27.7×107 C. 2.77×108 D. 0.277×109
【答案】C
【解析】【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，
表示时关键要正确确定a的值以及n的值.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为
整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
根据科学记数法逐一判断即可．
【解答】
解：277000000=2.77×1084.如图，将等腰直角三角形板和直尺摆放如下，直角顶点E正好落在直尺的边上．如果∠ABC=75°，那
么∠ADE的大小为
( )
A. 50° B. 55° C. 60° D. 65°
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形．
先得出∠A=45°，再得出∠AED=75°，即可解答．
【解答】
解：∵BC//ED，∠ABC==75°，
∴∠AED=75°，
∵∠A=45°
∴∠ADE=180°−∠A−∠AED=60°．
故选C
5.下列运算中，正确的是( )
A. B.
(x2 ) 3=x5 x3 ⋅x3=x6
C. D.
3x2+2x3=5x5 (x+ y) 2=x2+ y2
【答案】B
【解析】【分析】
直接利用幂的乘方运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别判断得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算以及完全平方公式、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【解答】
解： 、 ，故此选项错误；
A (x2 ) 3=x6B、x3 ⋅x3=x6，正确；
C、3x2+2x3，无法计算，故此选项错误；
D、 ，故此选项错误；
(x+ y) 2=x2+2xy+ y2
故选：B．
6.如图，在△ABC中，M、N分别为 AC，BC的中点，若S =1，则
△CMN
S =( )
四 边 形ABNM
A. 2
B. 7
C. 4
D.3
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题
的关键．
1
根据三角形中位线定理得到MN= AB，MN//AB，得到△CMN∽△CAB，根据相似三角形的性质计
2
算即可．
【解答】
解：∵M、N分别为AC，BC的中点，
1
∴MN= AB，MN//AB，
2
∴△CMN∽△CAB，
∴S =4S =4，
△ABC CMN
∴S =3，
四 边 形ABNM
故选：D．
7.已知√a+1有意义，则a的取值范围是
( )
A. a≥−1 B. a≤1 C. a>−1 D. a≠−1
【答案】A【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：若√a+1有意义，则a+1≥0，
解得：a≥−1．
故选：A．
8.下图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，
则这个几何体的左视图是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了三视图的概念和根据三视图还原几何体．根据俯视图得出每一组小正方体的个数是解决问
题的关键．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形来解答即可．
【解答】
解：从俯视图可以看出直观图的各部分的个数，
可得出左视图前面有2个，中间有3个，后面有1个，
据此得出左视图的形状．
故选B．
9.正n边形的一个外角为72°，则n的值为( )A. 4 B. 7 C. 6 D.5
【答案】D
【解析】解：∵正n边形的一个外角为72°，
∴n的值为360°÷72°=5．
故选：D．
可以利用多边形的外角和定理求解．
此题考查了多边形的外角和为360°．
y y y y y
10.有一组按一定规律排列的多项式：x− ，3x2+ ，5x3− ，7x4+ ，9x5− ，…，根据上述规
2 4 8 16 32
律，则第2023个多项式为( )
y y
A.
4045x2023−
B.
4045x2023−
4046 22023
y y
C.
4045x2023+
D.
4045x2023+
4046 22023
【答案】B
y
【解析】解：由题意可知，第n个多项式为(2n−1)xn+
，
(−2) n
y
故，第2023个多项式为(2×2023−1)x2023+
，
(−2) 2023
y
即为：4045x2023−
，
22023
故选：B．
根据给出的规律，推出对应的第n个多项式的规律，从而得到第2023个多项式为多少．
本题考查了多项式的计算和根据给出的式子来找出规律等．
11.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若AB=10，CD=8，
则sin∠OCE等于( )
3
A.
5
3
B.
44
C.
5
4
D.
3
【答案】A
【解析】解：∵AB=10，
1
∴OC= AB=5，
2
∵AB⊥CD，且AB为⊙O的直径，CD=8，
1
∴∠OEC=90°，CE=DE= CD=4，
2
，
∴OE=√52−42=3
OE 3
∴sin∠OCE= = ．
OC 5
故选：A．
根据直径AB=10，可得OC的长度，再利用垂径定理求得CE的长度，根据勾股定理求出OE的长度，进而
求得sin∠OCE的值．
本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OE的长是解答此题的关键．
12.定义运算：m⊕n=n2−mn+1.例如：1⊕2=22−1×2+1=3，则方程1⊕x=0的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根
C. 无实数根 D. 有两个不相等的实数根
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当 时，
ax2+bx+c=0(a≠0) Δ=b2−4ac Δ>0
方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
根据新运算得到x2−x+1=0，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况．
【解答】
解：由方程1⊕x=0可得x2−x+1=0，
，
∵Δ=(−1) 2−4×1=−3<0
∴方程无实数根．
故选C．
1
13.如图，在矩形ABCD中，分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为半径
2
作弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点E，交AD于点F，若
BE=3，AF=5，则矩形的周长为( )
A. 24
B. 12
C. 8
D. 36
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠FAC=∠ECA，
根据作图过程可知：
MN是AC的垂直平分线，
∴∠FOA=∠EOC=90°，AO=CO，
在△AFO和△CEO中，
{∠FAC=∠ECA
∠FOA=∠EOC，
AO=CO
∴△AFO≌△CEO(AAS)，
∴AF=CE，
连接AE，∵AE=CE，
∴AE=CE=AF=5，
∴BC=BE+CE=3+5=8，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得
AB=√AE2−BE2=4，
∴矩形的周长为2(AB+BC)=2(4+8)=24．
故选：A．
根据作图过程可得，MN是AC的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明△AFO≌△CEO，可得
AF=CE=AE=5，再根据勾股定理可得AB的长，进而可得矩形的周长．
本题考查了作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
14.某中学对延时服务选课意向进行了随机抽样调查，要求被调查者只能选择其中的一项，根据得到的数
据，绘制不完整统计图如下，则下列说法中不正确的是( )
A. 这次调查的样本容量是200B. 全校1200名学生中，估计选篮球课大约有400人
C. 扇形统计图中，科技课所对应的圆心角是144°
D. 被调查的学生中，选绘画课人数占比为20%
【答案】B
54
【解析】解：∵30÷ =200，
360
∴这次调查的样本容量为200，故A选项不符合题意；
1200×25%=300(人)，
即估计选篮球课大约有300人，故选项B说法错误，符合题意；
80
扇形统计图中，科技课所对应的圆心角是 ×360°=144°，故C选项不符合题意；
200
40
被调查的学生中，选绘画课人数占比为 ×100%=20%，故D选项不符合题意；
200
故选：B．
根据统计图分别判断各个选项即可．
本题主要考查统计的知识，熟练掌握扇形统计图等统计的知识是解题的关键．
15.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交
1
AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于
2
点O，连接BO，并延长交AC于点D，若AB=2，则CD的长为( )
A. √5−1 B.3+√5 C. √5+1 D. 3−√5
【答案】D
【解析】解：∵∠A=36°，AB=AC=2，
1
∴∠ABC=∠C= (180°−36°)=72°，
2
由题意得：BD平分∠ABC，
1
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=36°，
2
∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，
∴AD=BD=BC，△BCD∽△ABC，BC CD AD CD
∴ = ，∴ = ，
AB BC AC AD
∴点D是AC的黄金分割点，AD>CD，
√5−1
∴AD= AC=√5−1，
2
∴CD=AC−AD=3−√5，
故选：D．
BC CD AD CD
证AD=BD=BC，再证△BCD∽△ABC，得 = ，则 = ，则点D是AC的黄金分割点，求
AB BC AC AD
出AD的长，即可求解．
本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质
和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16.分解因式：5x2−5 y2= ______．
【答案】5(x+ y)(x−y)
【解析】解：原式 ，
=5(x2−y2 )=5(x+ y)(x−y)
故答案为：5(x+ y)(x−y)．
提公因式后再利用平方差公式即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
17.某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的
测试，他们的各项成绩如下表所示：
项目
应聘 综合知识工作经验语言表达
者
甲 75 80 80
乙 85 80 70
丙 70 78 70
如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5:2:3的比例计算其总成绩，并录用总成绩
最高的应聘者，则被录用的是___________．【答案】乙
【解析】【分析】分别计算甲、乙、丙三名应聘者的成绩的加权平均数，比较大小即可求解．
5 2 3
【详解】解：x =75× +80× +80× =77.5，
甲 10 10 10
5 2 3
x =85× +80× +70× =79.5，
乙 10 10 10
5 2 3
x =70× +78× +70× =71.6，
丙 10 10 10
∵71.6<77.5<79.5
∴被录用的是乙，
故答案为：乙．
18.已知圆锥的母线长6cm，底面半径2cm，则它的侧面展开扇形的圆心角为 ．
【答案】120°
【解析】【分析】
此题主要考查了圆锥的有关计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长是解题
关键．
易得圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的
圆心角．
【解答】
解：∵圆锥的底面半径为2cm，
∴圆锥的底面周长为4π，
设扇形的圆心角为n°，
nπ×6
∴ =4π，
180
解得n=120．
∴圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．
k
19.如图，点M是反比例函数y= (x<0)图象上的一点，过点M作MN⊥x轴于点N，点P在y轴上，若
x
△MNP的面积是2，则k= ．【答案】−4
【解析】解：连接OM，如图，
∵MN⊥x轴，
∴MN// y轴，
∴S =S =2，
△OMN △PMN
1
∵S = |k|，
△OMN 2
1
∴ |k|=2，
2
而k<0，
∴k=−4．
故答案为：−4．
利用反比例函数系数k的几何意义求得即可．
k k
本题考查了反比例函数y= (k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数y= (k≠0)图象上任意一点向x轴
x x
和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20.(本小题7分)
1
计算：( ) −1−(π−3.14) 0−4cos60°+√9．
3
1
【答案】解：( ) −1−(π−3.14) 0−4cos60°+√9
31
=3−1−4× +3
2
=3−1−2+3
=3．
【解析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，
要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要
按照从左到右的顺序进行．
首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计
算，求出算式的值即可．
21.(本小题6分)
如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AB
于点E.求证：△ACD≌△BED．
【答案】证明：∵△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作
DE⊥AB于点E．
∴∠CAD=30°=∠B，CD=DE，∠ACD=∠DEB=90°，
{
∠CAD=∠B
在△ACD与△BED中 ∠ACD=∠BED，
CD=DE
∴△ACD≌△BED．
【解析】根据直角三角形的性质和全等三角形的判定证明即可．此题考查全等三角形的判定，关键是根据
直角三角形的性质和全等三角形的判定解答．
22.(本小题7分)
当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”
.2月14日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”
5
的利润是每杯“满杯杨梅”的 倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯，求每杯“芝士杨梅”和“满
4杯杨梅”的利润．
5
【答案】解：设每杯“满杯杨梅”的利润是y元，则每杯“芝士杨梅”的利润是 y元，
4
480 400
− =20
由题意得： y 5 ，
y
4
解得：y=8，
经检验：y=8是原方程的解，
5
×8=10
4
答：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润分别为10元，8元
【解析】本题考查的是分式方程的应用有关知识，设每杯“满杯杨梅”的利润是y元，则梅杯“芝士杨
5
梅”的利润为 y，根据题意的数量关系，列出方程解答即可．
4
23.(本小题6分)
某同学用计算机从3，4，5，x这四个数中，随机同时抽取两个数，并计算它们的和作为一次实验数据，
多次重复实验后的数据记录如下：
实验总次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 10000 20000 50000
“和为8”的次数 2 25 43 191 334 619 1608 3397 6622 16499
“和为8”的频率(结果保
0.20 0.50 0.43 0.38 0.33 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33
留两位小数)
(1)随着实验次数的增加，出现“和为8”的频率将越来越稳定于它的概率附近.由此可以估计出现“和为8
”的概率是______；
(2)当x=6时，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求“两数之和为8”的概率．
【答案】0.33
【解析】解：(1)利用图表得出：
实验次数越大越接近实际概率，所以出现“和为8”的概率是0.33．
故答案为：0.33；
(2)当x=6时，列表如下：3 4 5 6
3 (4,3) (5,3) (6,3)
4 (3,4) (5,4) (6,4)
5 (3,5) (4,5) (6,5)
6 (3,6) (4,6) (5,6)
共有12种等可能的情况数，其中“两数之和为8”的有2种，
2 1
则“两数之和为8”的概率是 = ．
12 6
(1)根据实验次数越大越接近实际概率求出出现“和为8”的概率即可；
(2)根据小球分别标有数字3、4、5、x，用列表法或画树状图法说明当x=6时，得出“和为8”的概率，
即可得出答案．
本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所
求情况数与总情况数之比．
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE
的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若∠ACB=60°，平行线AF与BC间的距离为4√3，求菱形ADCF的面积．
【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AFE和△DBE中，{∠AFE=∠DBE
∠AEF=∠DEB，
AE=DE
∴△AFE≌△DBE(AAS)，
∴AF=DB，
∵AD是BC边上的中线，
∴DC=DB，
∴AF=DC，
∵AF//DC，且AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，
1
∴AD=CD= BC，
2
∴四边形ADCF是菱形．
(2)解：作AG⊥BC于点G，则∠AGC=90°，AG=4√3，
∵AD=CD，∠ACB=60°，
∴△ACD是等边三角形，∠CAG=90°−∠ACB=30°，
∴AC=2CG，DG=CG，
∵AG=√AC2−CG2=√(2CG) 2−CG2=√3CG=4√3，
∴CG=4，
∴CD=2CG=8，
∴S =CD⋅AG=8×4√3=32√3，
菱 形ADCF
∴菱形ADCF的面积是32√3．
【解析】(1)由AF//BC，得∠AFE=∠DBE，而∠AEF=∠DEB，AE=DE，即可根据“AAS”证
1
明△AFE≌△DBE，得AF=DB=DC，可证明四边形ADCF是平行四边形，而AD=CD= BC，所以
2
四边形ADCF是菱形；
(2)作 AG⊥BC于 点 G， 则 AG=4√3， 可 证 明 △ACD是 等 边 三 角 形 ， 则 DG=CG， 由，求得 ，则 ，所以 ．
AG=√AC2−CG2=√3CG=4√3 CG=4 CD=2CG=8 S =CD⋅AG=32√3
菱 形ADCF
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、
等边三角形的判定与性质等知识，证明△AFE≌△DBE是解题的关键．
25.(本小题8分)
某商场经营某种商品，该商品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(单位：件)与
售价x(单位：元/件)(x为正整数)之间满足一次函数的关系，下表记录的是某三周的有关数据．
x/元/件) 50 60 70
y/件 1000 900 800
(1)求y与x之间的函数表达式(不求自变量的取值范围)；
(2)若某周该商品的销售量不少于700件，求这周该商场销售这种商品获得的最大利润．
【答案】解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将(50,1000)(60,900)分别代入，可得
{50k+b=1000
，
60k+b=900
{k=−10
解得： ，
b=1500
∴y关于x的函数关系式为y=−10x+1500；
(2)设这周该商场销售这种商品获得的利润为w元，
∵某周该商品的销售量不少于700件，
∴−10x+1500≥700，
解得：x≤80，
，
w= y(x−30)=(−10x+1500)(x−30)=−10(x−90)❑ 2+36000
∵−10<0，
∴当x<90时，函数值w随自变量x的增大而增大，
∵x≤80，
时， 有最大值，最大值为 ，
∴x=80 w −10(80−90)❑ 2+36000=35000∴这周该商场销售这种商品获得的最大利润为35000元．
【解析】本题主要考查二次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质，解题关键是
读懂题意，根据等量关系正确列出函数关系式．
(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，根据待定系数法即可求解；
(2)设这周该商场销售这种商品获得的利润为w，根据某周该商品的销售量不少于700件可得x的取值范围，
再根据“利润=(售价−进价)×销售量”得出w关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求出最大值即
可．
26.(本小题8分)
已知抛物线 与 轴有两个不同的交点．
y=kx2−(2k−1)x−2 x
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是整数，当该抛物线与坐标轴的交点是整数时，请求出它们的交点坐标．
【答案】解： 是抛物线，
(1)∵y=kx2−(2k−1)x−2
∴k≠0．
∵抛物线与轴有两个不同的交点，
∴[−(2k−1] 2−4⋅k⋅(−2)>0,
化简，得 ，
(2k+1) 2>0
1
∴k≠− ．
2
1
故k的取值范围是k≠0且k≠− ．
2
当 时，得 ；当 时，即 ，
(2) x=0 y=−2 y=0 kx2−(2k−1)x−2=0
1
解得x =2，x =− ．
1 2 k
∵k是整数，抛物线与坐标轴的交点也是整数，
∴k=±1．当k=1时，x =−1；当k=−1时，x =1，
2 2
∴抛物线与坐标轴的交点是(2,0)、(−1.0)、(0,−2)或(2,0)、(1,0)、(0,−2)．
【解析】(1)因为抛物线与x轴有两个不同的点，所以Δ>0，列出不等式解不等式即可解决问题．
(2)求 自 变 量 为 0时 的 函 数 值 可 确 定 该 抛 物 线 与 y轴 的 交 点 的 坐 标 (0,−2)； 通 过 解 方 程
，可确定该抛物线与 轴的交点的横坐标， 是整数，抛物线与坐标轴的交点也是
kx2−(2k−1)x−2=0 x k
整数，则k=±1，即可得到抛物线与坐标轴的交点．
本题二次函数的综合题，会用图象交点个数，判定字母的取值范围．又考查抛物线与坐标轴的交点，解答
本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
27.(本小题12分)
如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足是H，连接AD、BD．
(1)如图1，求证：AD=BD；
(2)如图2，点 E在直径CD上，连接 AE并延长交⊙O于点 F，连接 DF， DE=DF，求证：
∠CDF=2∠ADC；
(3)如图3，在(2)的条件下，M是弧BC上的点，连接AM交CD于N，连接DM交AB、AF分别于G、P，
1
若∠AMD=2∠MAB，tan∠MAB= ，OH=3，求直径CD的长．
2
【答案】(1)证明：∵CD为直径，CD⊥AB，
∴AH=BH，
∴H是AB的中点，∴△ABD为等腰三角形，
∴AD=BD；
(2)证明：由(1)知，△ABD为等腰三角形，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC，∠BAD=∠B，
由圆周角定理可知，∠B=∠F，
∵DE=DF，
∴∠≝=∠F，
∴∠≝=∠ADB，
∵∠ADB=2∠ADC，
∴∠CDF=2∠ADC；
(3)解：作AN的垂直平分线交AH于S，连接NS，OB，如图：
∴∠NSH=2∠MAB=∠AMD，AS=NS，
1
∵tan∠MAB= ，
2
∴AH=2NH，
在Rt△NSH中，NS2=HS2+N H2，
5
解得：NS= NH，
44 4
∴tan∠NSH= ，即tanB= ，
3 3
设OB=OD=x，
在Rt△OHB中，HB2=OB2−OH2=x2−9，
DH 4
在Rt△DHB中，tanB= = ，
BH 3
DH2 (x+3) 2 16
∴ = = ，
HB2 x2−9 9
75
解得：x= 或−3(舍去)，
7
150
∴CD=2x= ．
7
【解析】(1)由垂径定理可知，AH=BH，然后根据等腰三角形的判定求证AD=BD即可；
(2)根据圆周角定理可知，∠B=∠F，在根据等腰三角形的性质可以得出∠EDF=∠ADB，从而得证；
(3)作AN的垂直平分线交AH于S，可得∠NSH=2∠MAB=∠AMD=∠B，然后根据三角函数值以及
勾股定理，求出∠B的三角函数，连接OB，设半径OD=OB=x，根据三角函数值的定义以及勾股定理求
出半径长即可求出直径CD的长．
本题主要考查了圆的综合题，合理运用锐角三角函数的定义是本题解题的关键．
