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2024 年中考押题预测卷【上海卷】
数 学
考生注意:
1.本场考试时间100分钟，满分150分.
2.作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号.将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上的作答一律不得分.
4.选择题和作图题用 2B铅笔作答，其余题型用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答.
一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分)
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置
上】
1．下列实数中，为有理数的是
A． B． C． D．0
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数
与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解： 、 是无理数，故本选项不符合题意；
、 是无理数，故本选项不符合题意；
、 是无理数，故本选项不符合题意；
、0是整数，属于有理数，故本选项符合题意．
故选： ．
【点评】此题主要考查了有理数的定义，掌握有理数的概念是解决此题关键．
2．下列各组单项式中，是同类项的是
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同判断即可．
【解答】解： ． 与 是同类项，故 符合题意；
． 与 相同字母的指数不相同，不是同类项，故 不符合题意；
． 与 相同字母的指数不相同，不是同类项，故 不符合题意；
． 与 所含字母不同，不是同类项，故 不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
3．某校为选拔一名运动员参加市运动会100米短跑比赛，对甲、乙两名运动员都进行了5次测试．他们成绩的平均数均为 12秒，其中甲测试成绩的方差 ．乙的5次测试成绩分别为：13，12.5，11，
11.5，12（单位：秒）．则最适合参加本次比赛的运动员是
A．甲 B．乙 C．甲、乙都一样 D．无法选择
【分析】根据方差的定义计算出乙的方差，利用方差的意义可得答案．
【解答】解：乙5次测试成绩的平均数为 （秒 ，
乙测试成绩的方差 ，
，
最适合参加本次比赛的运动员是乙，
故选： ．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度
越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
4．已知 ， 是一次函数 的图象上的两个点，则 ， 的大小关系是
A． B． C． D．不能确定
【分析】由 ，利用一次函数的性质可得出 随 的增大而增大，结合 ，可得出 ．
【解答】解： ，
随 的增大而增大，
又 ， 是一次函数 的图象上的两个点，且 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“ ， 随 的增大而增大； ， 随 的增大而减小”
是解题的关键．
5．在 中， ， ， ，以点 ，点 ，点 为圆心的 ， ， 的半
径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是
A．点 在 上 B． 与 内切
C． 与 有两个公共点 D．直线 与 相切
【分析】根据点圆的位置关系的判定方法，圆与圆的位置关系的判定方法以及切线的判定方法逐项进行判
断即可．
【解答】解： ． 的圆心到点 的距离 ，而 的半径是5，因此点 在 上，所以选项
不符合题意；
． 的半径 ，而 的半径为10，两个圆心之间的距离 ，所以 与 内切，
因此选项 不符合题意；
． 的半径 ，而 的半径为8，两个圆心之间的距离 ，有 ，即，所以 与 相交，即 与 有两个公共点，因此选项 不符合题意；
． 的圆心 到 的距离为 ，所以直线 与 相交，因此选项 符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，掌握点与圆，直线与圆，
圆与圆的位置关系的判定方法是正确解答的关键．
6．如图，四边形 是平行四边形，对角线 ， 相交于点 ，添加下列条件后仍不能判定这个四
边形是矩形的是
A． B． C． D．
【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题．
【解答】解： ． 四边形 是平行四边形，且 ，
平行四边形 是矩形．
故选项不符合题意；
．在平行四边形 中，对角线互相平分，可以得到 ，所以添加 不能判定平行
四边形 是矩形．故选项符合题意；
． ，
，
四边形 是平行四边形，
平行四边形 是矩形．
故选项不符合题意；
． 四边形 是平行四边形，
，
，
，
平行四边形 是矩形．
故选项不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解决问题关键，记住
对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
二、填空题:(本大题共12题，每题4分，共48分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．计算 的结果等于 ．
【分析】根据同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加，进行计算即可．
【解答】解：原式
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则．
8．如果关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是 ．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△
，
，
故答案为：
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
9．正 边形的内角等于外角的5倍，那么 1 2 ．
【 分 析 】 根 据 正 边 形 的 内 角 等 于 ， 外 角 等 于 可 列 出 方 程
，解此方程求出 即可．
【解答】解： 正 边形的内角等于 ，外角等于 ，
又 正 边形的内角等于外角的5倍，
，
解得： ．
经检验得 是该分式方程的根，
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了正 边形的内角和外角，熟练掌握正 边形的内角的度数和外角度数公式是解决
问题的关键．
10．我国新修订的未成年人保护法自2021年6月1日起施行，新修订的未成年人保护法，首次对学生欺凌
进行了定义，学生欺凌是指发生在学生之间，一方蓄意或者恶意通过肢体、语言及网络等手段实施欺压、
侮辱，造成另一方人身伤害、财产损失或者精神损害的行为．某校为了解本校学生对于防欺凌知识的掌握
程度，在全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行防欺凌知识测试，将测试成绩分为优秀、良好、及格
不及格四个等级并进行统计，根据统计的信息，绘制了如图两幅不完整的统计图，则该校学生掌握防欺凌
知识的等级为“不及格”的学生大约为 6 0 人．【分析】先根据良好人数及其对应百分比求得总人数，求出及格对应的百分比，可得不及格对应的百分比，
用总人数乘以样本中不及格对应的百分比即可求解．
【解答】解： 被调查的总人数为 （人 ，
及格对应的百分比为 ，
不及格对应的百分比为 ，
该校学生掌握防欺凌知识的等级为“不及格”的学生大约为 （人 ，
故答案为：60．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的
百分比大小．
11．若关于 的不等式组 的解集为 ，则 的取值范围是 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组的解集为 ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12．已知二次函数 ，当 与 时，函数值相等．则当 时，函数值等于
．
【分析】根据二次函数的图象具有对称性，可以得到该函数的对称轴，从而可以得到和 对应函数
值相等的自变量 的值，然后即可得到当 时的函数值．
【解答】解： 二次函数 ，当 与 时，函数值相等，
该函数的对称轴为直线 ，和 时的函数值相等，
当 时， ，
当 时， ，
故答案为： ．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数的性
质，求出该函数的对称轴．
13．方程 的解是 ．
【分析】先移项得出 ，两边平方得出 ，再求出方程的解，最后进行检验即可．
【解答】解： ，
，
两边平方，得 ，
即 ，
解得： ，
经检验 是方程 的解，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解无理方程，能把求无理方程转化成求有理方程是解此题的关键．
14．已知点 ， 是反比例函数 图象上的两点，则 ， 的大小关系是 （用
“ 、 、 ”填空）．
【分析】根据反比例函数解析式确定图象分布，再确定 、 点所在象限即可求得 ．
【解答】解：在反比例函数 中， ，图象分布在第二、四象限，在每个象限内， 随 的
增大而增大，
点 在第二象限，点 在第四象限，
， ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，确定点所在象限时解得本题的关键．
15．现有4条长度分别为1，3，5，7的线段，随机从中任意选择3条线段，则恰好能组成三角形的概率为
．
【分析】画树状图，共有24种等可能的结果，其中恰好能组成三角形的结果有6种，再由概率公式求解即
可．【解答】解：画树状图如下：
共有24种等可能的结果，其中恰好能组成三角形的结果有6种，
恰好能组成三角形的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了树状图法求概率以及三角形的三边关系，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识
点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
16．如图，已知梯形 中， ， ， 、 交于点 ．设 ， ，那么
向量 可用 表示为 ．
【分析】根据平行线分线段成比例求出 和 的关系，过 作 平行线，构造平行四边形，根据向
量加法的平行四边形法则求出 ，从而可以求得 ．
【解答】解： ，
， ，
过 作 交 于 ，如图：
四边形 为平行四边形，
， ，
．故答案为： ．
【点评】本题主要考查了平面向量，根据平行四边形法则来求解是本题解题的关键．
17．已知正方形 的边长为4，点 、 在直线 上（点 在点 的左侧）， ，如果
，那么 的长是 或 ．
【分析】如图，当点 在点 的左侧，当点 在点 的右侧，连接 ，过 作 交 的延长线
于 ，根据勾股定理，正方形的性质，以及相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：如图，当点 在点 的左侧，
连接 ，过 作 于 ，
正方形 是正方形， ，
， ， ，
是等腰直角三角形， ，
，
设 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点 在点 的左侧，连接 ，过 作 交 的延长线于 ，同理可得 ，
故答案为： 的长是 或 ．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作
出辅助线是解题的关键．
18．如图，在矩形纸片 中， ， ， 是 的中点， 是 边上的一个动点（点
不与点 重合）．将 沿 所在直线翻折，点 的对应点为 ，连接 ， ．当△
是等腰三角形时， 的长为 或 1 或 ．
【分析】存在三种情况：当 ，连接 ，勾股定理求得 的长，可判断 ， ， 三点共线，
根据勾股定理即可得到结论；当 ，证明 是正方形，于是得到结论；当 时，连接
， ，证明点 ， ， 三点共线，再用勾股定理可得答案．
【解答】解：①当 时，连接 ，如图：
点 是 的中点， ， ，四边形 是矩形，
， ， ，，
将 沿 所在直线翻折，得到△ ，
，
，
，
点 ， ， 三点共线，
，
，
设 ，则 ， ，
在 △ 中， ，
，
解得： ，
；
②当 时，如图：
，
点 在线段 的垂直平分线上，
点 在线段 的垂直平分线上，
点 是 的中点，
是 的垂直平分线，
，
将 沿 所在直线翻折，得到△ ，
， ，
四边形 是正方形，
；
③当 时，连接 ， ，如图：点 是 的中点， ， ，四边形 是矩形，
， ，
，
将 沿 所在直线翻折，得到△ ，
，
，
，
点 ， ， 三点共线，
，
，
设 ，则 ， ，
在 △ 中， ，
在 中， ，
，
即 ，
解得： ，
；
综上所述， 的长为 或1或 ，
故答案为： 或1或 ．
【点评】本题考查矩形中的翻折问题，涉及矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类
讨论思想的运用是解题的关键．
三、解答题:(本大题共7题，共78分)
19.(本题满分10分)
计算： ．
【分析】根据零指数幂、分数指数幂、二次根式化简，绝对值的性质，4个考点．在计算时，需要针对每
个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式 ．
【点评】本题考查了实数的综合运算能力，解题的关键是熟练掌握分数指数幂、零指数幂、二次根式、绝
对值等考点的运算．
20.(本题满分10分)
解方程： ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得： ，
解得： ，
检验：把 代入得： ，
分式方程的解为 ．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21.(本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分)
市“第 届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送 8名学生
到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的
地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这
辆车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）．
（1）如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截
止进场的时刻前到达？并说明理由；
（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的
理由．
【分析】（1）根据题意，若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，则根据故障地点距考
场的距离即可求出小汽车运动的总路程，又已知小汽车的平均速度，即可求得小汽车运动的总时间，随后
与距截止进考场的时间进行比较，即可判断能否在截止进考场的时刻前到达考场；
（2）由（1）知，若停留在原地等待则无法在截止进考场的时刻前到达考场，所以让在小汽车运送4人去
考场的同时，留下的4人需步行前往考场，可节省一些时间，根据路程与速度的关系可分别求出小汽车运
送第一批4人到达考场的时间、小汽车接到步行的4人的时间、小汽车从接到第二批4人到运送至考场的
时间，三个时间相加后与距截止进考场的时间进行比较，即可判断方案的可行性．
【解答】解：（1）他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地，
小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，
总路程为： （千米），
第二次到达考场所需时间为： （小时），
0.75小时 分钟，
，
他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地；
（2）先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回接到步行的 4人的后再载他们前往考场，
先将4人用车送到考场所需时间为 （分钟），
，
此时他们与考场的距离为 ，
设汽车返回 后与步行的4人相遇，
则： 十 ，
解得 ，
此时汽车与考场的距离为 ，
汽车由相遇点再去考场所需时间为 ，
用这一方案送这8人到考场共需 （分钟）．
，
采取此方案能使8个人在截止进考场的时刻前到达考场．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方
程．
22.(本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分)
如图，已知 是 与 的公共弦， 与 交于点 ， 的延长线与 交于点 ，联结
并延长，交 于点 ．
（1）联结 、 ，如果 ．求证： ；
（2）如果 ，求证： ．
【分析】（1）连接 ， ， ， ，由直角三角形的判定可知 为直角三角形，然后根据圆
周角定理求出 的度数即可证明；
（2）过 作 于 ，过 作 于 ，根据垂径定理和平行线分线段成比例来证明即可．
【解答】证明：（1）连接 ， ， ， ，如图：，
为直角三角形， ，
由圆周角定理可知， ， ，
是 与 的公共弦，
垂直平分 ，
， ，
，
；
（2）过 作 于 ，过 作 于 ，如图：
，
，
，
由垂径定理可知， ， ，
，
．
【点评】本题主要考查了相交圆的性质，综合运用垂径定理、直角三角形的判定以及平行线分线段成比例
是本题解题的关键．23.(本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分)
已 知 ： 如 图 ， 在 四 边 形 中 ， ， 点 是 对 角 线 上 一 点 ， ， 且
．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）延长 分别交线段 、 的延长线于点 、 ，如果 ，求证： ．
【分析】（1）由 ，得 ，则 ，所以 ，则四边
形 是 平 行 四 边 形 ， 由 ， 且 ， 得 ， 所 以
，则 ，即可证明四边形 是菱形；
（2）由菱形的性质得 ，而 ，所以 ，可证明 ，得
，则 ，再证明 ，得 ，所以 ，再
证明 ，得 ，则 ，即可证明 ．
【解答】（1）证明： ，
， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是菱形．
（2）证明：如图，延长 分别交线段 、 的延长线于点 、 ，
四边形 是菱形，
，
， ，，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，且 ，
，
，
，
，
，
．
【点评】此题重点考查平行线的性质、菱形的判定性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与
性质等知识，推导出 是解题的关键．
24.(本题满分12分，第(1)小题满分2分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分)
新定义：已知抛物线 （其中 ，我们把抛物线 称为 的
“轮换抛物线”．例如：抛物线 的“轮换抛物线”为 ．
已知抛物线 的“轮换抛物线”为 ，抛物线 、 与 轴分别交于点 、 ，
点 在点 的上方，抛物线 的顶点为 ．
（1）如果点 的坐标为 ，求抛物线 的表达式；
（2）设抛物线 的对称轴与直线 相交于点 ，如果四边形 为平行四边形，求点 的坐标；（3）已知点 在抛物线 上，点 坐标为 ，当 时，求 的值．
【分析】（1）将点 的坐标代入 得： ，即可求解；
（2）当四边形 为平行四边形，则 ，即 ，即可求解；
（3）由 得到 ，即 ，即可求解．
【解答】解：（1）将点 的坐标代入 得： ，
则 ，
则抛物线 的表达式为： ；
（2）由抛物线 的表达式知，点 ，
则 的表达式为： ．
则 和 轴的交点 ，
则抛物线 的对称轴为直线 ，
当 时， ，
即 的顶点 的坐标为： ，
当 时， ，
故抛物线 的对称轴和 的交点 ，
点 在点 的上方，
故 ，
解得： ，
则 ，
四边形 为平行四边形，
则 ，即 ，解得： ，
即点 ；
（3） 点 在抛物线 上，
当 时， ，
即点 ，
点 、点 、 、 ，
则 ，
同理可得： ，
， ，
，
则 ，即 ，
解得： 或 ．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的
思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决
相关问题．
25.(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)题满分5分，第(3)小题满分5分)
如图，已知：等腰梯形 中， ， ，以 为圆心， 为半径的圆与 相交于点 ，
与 相交于点 ，联结 、 、 ，设 、 分别与 相交于点 、 ，其中 是 的中
点．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）如图1，如果 ，求 的值；
（3）如图2，如果 ，求 的余弦值．【分析】（1）根据圆的性质以及等腰梯形的性质，可以得出 ，在根据梯形中 ，即可证
明；
（2）由垂径定理可以得出 ，在根据平行线分线段成比例可以得出 和 的关系，设 ，
根据勾股定理以及平行线分线段成比例表示出 和 的长即可求解；
（3）过 作 垂线，交 于 ，连接 ，根据平行线分线段成比例可以得出 和 的比，设
， ，用 和 表示出 和 ，根据勾股定理求出 即为 的余弦值．
【解答】（1）证明： ，
，
等腰梯形 中， ， ，
，
，
，
四边形 为平行四边形；
（2）解： ，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，，
，
；
（3）解： ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
作 ，垂足为点 ，联结 ，
，
，
设 ， ，则 ， ，
，
，
，
，
，
在 中， ，，
在 中， ，
，
，
，
在 中， ，
．
【点评】本题主要考查了圆的综合题，合理运用平行线分线段成比例是本题解题的关键．
