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2012 年宁夏中考数学试卷（教师版）
一、选择题（下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝3 B．（a2）3＝a5 C．a3•a6＝a9 D．（2a2）2＝4a2
【微点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【思路】根据同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方的性质进行计算．
【解析】解：A、应为3a2﹣a2＝2a2，故本选项错误；
B、应为（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误；
C、a3•a6＝a3+6＝a9，正确；
D、应为（2a）2＝22a2+2＝4a4，故本选项错误．
故选：C．
【点拨】本题考查合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的性质，需
熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
2．（3分）根据人民网﹣宁夏频道 2012年1月18日报道，2011年宁夏地区生产总值为
2060亿元，比上年增长12%，增速高于全国平均水平，2060亿元保留两个有效数字用
科学记数法表示为（ ）
A．2.0×109元 B．2.1×103元 C．2.1×1010元 D．2.1×1011元
【微点】科学记数法与有效数字．
【思路】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定
a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点；有效数字的计算方法是：从左边第
一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数
字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解析】解：2060亿元＝206000000000元＝2.06×1011≈2.1×1011，
故选：D．
【点拨】本题考查学生对科学记数法的掌握和有效数字的运用．用科学记数法表示数，
一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
3．（3分）一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是（ ）
A．13 B．17 C．22 D．17或22
【微点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．
第 1 页 / 共 22 页【思路】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等
腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要
应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解析】解： 若4为腰长，9为底边长，
由于4+4＜9，①则三角形不存在；
9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
②所以这个三角形的周长为9+9+4＝22．
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角
形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应
养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
4．（3分）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共
用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．
若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【微点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【思路】两个等量关系为：上坡用的时间+下坡用的时间＝16；上坡用的时间×上坡的速
度+下坡用的时间×下坡速度＝1200，把相关数值代入即可求解．
【解析】解：可根据所用时间和所走的路程和得到相应的方程组为：
故选：B．
第 2 页 / 共 22 页【点拨】考查用二元一次方程组解决行程问题；得到走不同路段所用时间及所走的路程
之和的等量关系是解决本题的关键．解题的关键是统一单位．
5．（3分）如图，一根5m长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴
着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（
）
A． m2 B． m2 C． m2 D． m2
π π π π
【微点】扇形面积的计算．
【思路】小羊A在草地上的最大活动区域是一个扇形+一个小扇形．
【解析】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积 m2；
小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，
则面积 （m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积 （m2）．
故选：D．
【点拨】本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计
算即可．
6．（3分）如图，AB为 O的直径，PD切 O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝
⊙ ⊙
第 3 页 / 共 22 页CD，则∠PCA＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．67.5°
【微点】切线的性质．
【思路】根据图形利用切线的性质，得到∠COD＝45°，连接AC，∠ACO＝22.5°，所以
∠PCA＝90°﹣22.5°＝67.5°．
【解析】解：如图，∵PD切 O于点C，
∴OC⊥PD， ⊙
又∵OC＝CD，
∴∠COD＝45°，
∵AO＝CO，
∴∠ACO＝22.5°，
∴∠PCA＝90°﹣22.5°＝67.5°．
故选：D．
【点拨】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到OC⊥PD，然后进行计算求出
∠PCA的度数．
7．（3分）一个几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长均为 1，那么下列选项
中最接近这个几何体的侧面积的是（ ）
A．24.0 B．62.8 C．74.2 D．113.0
【微点】圆锥的计算；由三视图判断几何体．
【思路】由题意可知，几何体是圆锥，根据公式直接求解即可．
【解析】解：几何体为圆锥，母线长为5，底面半径为4，
则侧面积为 rl＝ ×4×5＝20 ≈62.8，
π π π
第 4 页 / 共 22 页故选：B．
【点拨】本题考查三视图求侧面积问题，考查空间想象能力，是基础题．首先判定该立
体图形是圆锥是解决此题的关键．
8．（3分）运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费
40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕
价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【微点】由实际问题抽象出分式方程．
【思路】若设甲种雪糕的价格为x元，根据等量关系“甲种雪糕比乙种雪糕多20根”可
列方程求解．
【解析】解：设甲种雪糕的价格为x元，则
甲种雪糕的根数： ；
乙种雪糕的根数： ．
可得方程： 20．
故选：B．
【点拨】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显
的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系
是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）当a ≠﹣ 2 时，分式 有意义．
【微点】分式有意义的条件．
【思路】根据分母不等于0列式计算即可得解．
第 5 页 / 共 22 页【解析】解：根据题意得，a+2≠0，
解得a≠﹣2．
故答案为：≠﹣2．
【点拨】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
10．（3分）已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是 6 ．
【微点】勾股定理；菱形的性质．
【思路】因为菱形的四条边都相等，所以AB＝AD，又因为∠A＝60°，所以△ABD为等
边三角形，所以BD＝6．
【解析】解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝6．
∴菱形较短的对角线长是6．
故答案为6．
【点拨】此题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等．
11．（3分）已知a，b为两个连续整数，且 ，则a+b＝ 7 ．
【微点】估算无理数的大小．
【思路】因为32＜13＜42，所以3 4，求得a、b的数值，进一步求得问题的答案
即可．
【解析】解：∵32＜13＜42，
∴3 4，
即a＝3，b＝b，
所以a+b＝7．
故答案为：7．
第 6 页 / 共 22 页【点拨】此题考查无理数的估算，利用平方估算出根号下的数值的取值，进一步得出无
理数的取值范围，是解决这一类问题的常用方法．
12．（3分）点B（﹣3，4）关于y轴的对称点为A，则点A的坐标是 （ 3 ， 4 ） ．
【微点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【思路】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解析】解：点B（﹣3，4）关于y轴的对称点为A（3，4）．
故答案为：（3，4）．
【点拨】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13．（3分）在△ABC中∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则tanA＝ ．
【微点】勾股定理；锐角三角函数的定义．
【思路】根据勾股定理求出AC的长度，再根据正切 计算即可得解．
【解析】解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC 3，
∴tanA ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，作出图形更容易理解．
14．（3分）如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看
A、B两岛的视角∠ACB＝ 7 0 度．
第 7 页 / 共 22 页【微点】方向角．
【思路】先求出∠CAB及∠ABC的度数，再根据三角形内角和是180°即可进行解答．
【解析】解：连接AB．
∵C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏25°方向，
∴∠CAB+∠ABC＝180°﹣（45°+25°）＝110°，
∵三角形内角和是180°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70．
【点拨】本题考查的是方向角的概念及三角形内角和定理，根据题意得出∠CAB及
∠ABC的度数是解答此题的关键．
15．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O，DE⊥AC 于 E，
∠E∠EDA＝1：2，且AC＝10，则DE的长度是 ．
【微点】含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质．
【思路】根据∠E∠EDA＝1：2，可得∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，进而得出△OCD是
等边三角形，再由AC＝10，求得DE．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
第 8 页 / 共 22 页∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝10，OA＝OC AC＝5，OB＝OD BD＝5，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠E∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°，
∴∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝60°，
∴∠ODC＝∠OCD＝60°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC＝180°，
∴∠COD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
DE＝sin60°•OD 5 ，
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查了勾股定理和矩形的性质，根据已知得出三角形 OCD是等边三
角形是解题关键，此题难度不大．
16．（3分）如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A B C ．若BC＝3，
1 1 1
，则BB ＝ 1 ．
1
【微点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；平移的性质．
【思路】过P作PD⊥B C于D，根据等边三角形和平移性质得出∠PB C＝∠C＝60°，
1 1
求出△PCB 是等边三角形，设等边三角形PCB 的边长是2a，得出B D＝CD＝a，由勾
1 1 1
第 9 页 / 共 22 页股定理求出PD，根据三角形的面积公式得出 2a a ，求出a即可．
【解析】解：过P作PD⊥B C于D，
1
∵将等边△ABC沿BC方向平移得到△A B C ，
1 1 1
∴∠PB C＝∠C＝60°，
1
∴∠CPB ＝60°，
1
∴△PCB 是等边三角形，
1
设等边三角形PCB 的边长是2a，
1
则B D＝CD＝a，
1
由勾股定理得：PD a，
∵ ，
∴ 2a a ，
解得：a＝1，
∴B C＝2，
1
∴BB ＝3﹣2＝1．
1
故答案为：1．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，平移的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，
解此题的关键是得出关于a的方程，题目比较典型，是一道比较好的题目．
三、解答题（共24分）
17．（6分）计算： ．
【微点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【思路】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊三角函数值和绝对值的运算法则求出各项
的值，然后根据四则运算求出结果即可．
第 10 页 / 共 22 页【解析】解：原式
＝6
【点拨】本题主要考查实数的运算的知识点，解答本题的关键是掌握零值数幂、负整数
指数幂的运算法则，此题比较简单．
18．（6分）化简，求值： ，其中x ．
【微点】分式的化简求值．
【思路】将分子、分母因式分解，通分化简，再代值计算．
【解析】解：原式
当x 时，
原式
【点拨】本题考查了分式的化简求值．关键是熟练掌握运算法则，先化简，再代值计算．
19．（6分）解不等式组： ．
【微点】解一元一次不等式组．
【思路】分别解两个不等式，再求其公共部分即可．
【解析】解：解不等式 ，
由 得
①
第 11 页 / 共 22 页x＜4，
由 得
x≤②1，
∴原不等式组的解集是x≤1．
【点拨】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等
式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
20．（6分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有 4
个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规
定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一
次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在
本商场消费，某顾客刚好消费200元．
（1）该顾客至少可得到 1 0 元购物券，至多可得到 5 0 元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概
率．
【微点】列表法与树状图法．
【思路】（1）如果摸到0元和10元的时候，得到的购物券是最少，一共10元．如果摸
到20元和30元的时候，得到的购物券最多，一共是50元；
（2）列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成
的事件．
【解析】解：（1）10，50；
（2）解法一（树状图）：
从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，
因此P（不低于30元） ；
解法二（列表法）：
第二次 0 10 20 30
第 12 页 / 共 22 页第一次
0 ﹣﹣ 10 20 30
10 10 ﹣﹣ 30 40
20 20 30 ﹣﹣ 50
30 30 40 50 ﹣﹣
（以下过程同“解法一”）
【点拨】本题主要考查概率知识．解决本题的关键是弄清题意，满200元可以摸两次，
但摸出一个后不放回，概率在变化．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之
比．
四、解答题（共48分）
21．（6分）商场对每个营业员在当月某种商品销售件数统计如下：
解答下列问题
（1）设营业员的月销售件数为x（单位：件），商场规定：当x＜15时为不称职；当
15≤x＜20时为基本称职；当20≤x＜25为称职；当x≥25时为优秀．试求出优秀营业
员人数所占百分比；
（2）根据（1）中规定，计算所有优秀和称职的营业员中月销售件数的中位数和众数；
（3）为了调动营业员的工作积极性，商场决定制定月销售件数奖励标准，凡达到或超
过这个标准的营业员将受到奖励．如果要使得所有优秀和称职的营业员中至少有一半能
获奖，你认为这个奖励标准应定为多少件合适？并简述其理由．
【微点】条形统计图；中位数；众数．
【思路】（1）首先求出总人数与优秀营业员人数，进而求出优秀营业员人数所占百分
比，
第 13 页 / 共 22 页（2）根据中位数、众数的意义解答即可．
（3）如果要使得称职和优秀这两个层次的所有营业员的半数左右能获奖，月销售额奖
励标准可以定为称职和优秀这两个层次销售额的中位数，因为中位数以上的人数占总人
数的一半左右．
【解析】解：（1）根据条形图可以得出：优秀营业员人数为3人，总人数为：30人，
则优秀营业员人数所占百分比： ；
（2）∵所有优秀和称职的营业员为21人，最中间的是第11个数据，第11个数据22，
故中位数为：22，20出现次数最多，
∴所有优秀和称职的营业员中月销售件数的中位数22、众数20．
（3）奖励标准应定为22件．中位数是一个位置代表值，它处于这组数据的中间位置，
因此大于或等于中位数的数据至少有一半．所以奖励标准应定为22件．
【点拨】本题考查的是条形统计图的综合运用以及众数与中位数定义．读懂统计图，从
不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22．（6分）在 O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
求∠D的度数⊙．
【微点】等边三角形的判定与性质；垂径定理．
【思路】连接BD，根据平行线的性质可得：BD∥CF，则∠BDC＝∠C，根据圆周角定
理可得∠BDC ∠BOC，则∠C ∠BOC，根据直角三角形的两个锐角互余即可求
解．
【解析】解：方法一：连接BD．
∵AB是 O直径，
⊙
第 14 页 / 共 22 页∴BD⊥AD．
又∵CF⊥AD，
∴BD∥CF，
∴∠BDC＝∠C．
又∵∠BDC ∠BOC，
∴∠C ∠BOC．
∵AB⊥CD，
∴∠C＝30°，
∴∠ADC＝60°．
方法二：设∠D＝x，
∵CF⊥AD，AB⊥CD，∠A＝∠A，
∴△AFO∽△AED，
∴∠D＝∠AOF＝x，
∴∠AOC＝2∠ADC＝2x，
∴x+2x＝180，
∴x＝60，
∴∠ADC＝60°．解法三：连结AC，
∵直径AB⊥CD，
∴由垂径定理得AC＝AD，
∵CF过圆心O，且CF⊥AD，同理CD＝AD，
∴AC＝AD＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠D＝60°
第 15 页 / 共 22 页【点拨】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，正确得到∠C ∠BOC是解
题的关键．
23．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．
将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝FM；
（2）当AE＝1时，求EF的长．
【微点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质．
【思路】（1）由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由
∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS
可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝MF；
（2）由第一问的全等得到AE＝CM＝1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，
再由BC+CM求出BM的长，设EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝4﹣x，
在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即
为EF的长．
【解析】解：（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
第 16 页 / 共 22 页∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF；
（2）设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝1，且BC＝3，
∴BM＝BC+CM＝3+1＝4，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝4﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x ，
则EF ．
【点拨】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股
定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
24．（8分）直线 与反比例函数 （x＞0）的图象交于点A，与坐标轴
分别交于M、N两点，当AM＝MN时，求k的值．
第 17 页 / 共 22 页【微点】反比例函数综合题．
【思路】过点A作AB⊥x轴，垂足为B，先求出M点的坐标得到OM ；由AM＝
MN，易得OM为△ABN的中位线，根据中位线的性质得到AB＝2MO＝2 ，得到A点
的纵坐标为2 ，然后将y＝2 代入 中得x＝1，则A点坐标为（1， ），
然后把A（1， ）代入y＝kx 得到关于k的方程，再解方程即可．
【解析】解：如图，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．
对于直线y＝kx ，
当x＝0时，y ，即OM ；
∵AM＝MN，OM∥AB，
∴OM为△ABN的中位线，
∴AB＝2MO＝2 ．
将y＝2 代入 中，得x＝1，
∴A点坐标为（1， ）．
把A（1， ）代入y＝kx 中，
∴ k ，
∴k ．
【点拨】本题考查了反比例函数综合题：点在函数图象上，则点的横纵坐标满足函数的
第 18 页 / 共 22 页解析式；三角形中位线的性质．
25．（10分）某超市销售一种新鲜“酸奶”，此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出．这
种“酸奶”的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理．
（1）该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售．若设售出酸奶的瓶数为x（瓶），销售酸
奶的利润为y（元），写出这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的
函数关系式．为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？
（2）小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进酸奶20瓶的销售
情况统计如下：
每天售出瓶数 17 18 19 20
频数 1 2 2 5
根据上表，求该超市这10天每天销售酸奶的利润的平均数；
（3）小明根据（2）中，10天酸奶的销售情况统计，计算得出在近10天当中，其实每
天购进19瓶总获利要比每天购进20瓶总获利还多．你认为小明的说法有道理吗？试通
过计算说明．
【微点】一次函数的应用．
【思路】（1）根据此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出，该超市某一天购进20瓶酸
奶进行销售，即可得出y与x的函数关系式，再利用y大于0得出x的取值范围；
（2）根据频数分布表得出总数，进而得出平均数即可；
（3）利用每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系
式，得出在10天当中，利润为28元的有1天.33元的有2天.38元的有7天，进而得出
总利润比较即可得出答案．
【解析】解（1）由题意知，这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间
的函数关系式为：
y＝5x﹣60，
当5x﹣60≥0时．x≥12，
故当天至少应售出12瓶酸奶超市才不亏本．
（2）在这10天当中，利润为25元的有1天，30元的有2天，35元的有2天，40元的
有5天，
故这10天中，每天销售酸奶的利润的平均数为：
（25+30×2+35×2+40×5）÷10＝35.5；
第 19 页 / 共 22 页（3）小明说的有道理．
∵在这10天当中，每天购进20瓶获利共计355元．
而每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式为：y
＝5x﹣57，
在10天当中，利润为28元的有1天.33元的有2天.38元的有7天．
总获利为28+33×2+38×7＝360＞355，
∴小明说的有道理．
【点拨】此题主要考查了一次函数的应用以及加权平均数求法，根据已知得出y与x的
函数关系式进而求出是解题关键．
26．（10分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重
合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E．
（1）连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式．当x取何值时，y的值最大？
最大值是多少？
（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长．
【微点】一元二次方程的应用；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理；
矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
【思路】（1）根据全等三角形的对应边相等知AP＝AD＝3；然后在Rt△ABP中利用勾
股定理可以求得BP的长度；
（2）根据相似三角形Rt△ABP∽Rt△PCE的对应边成比例列出关于x、y的方程，通过
二次函数的最值的求法来求y的最大值；
（3）如图，连接BD．利用（2）中的函数关系式设BP＝x，则CE ，然
后根据相似三角形△CPE∽△CBD的对应边成比例列出关于x的一元二次方程，通过解
第 20 页 / 共 22 页该方程即可求得此时BP的长度．
【解析】解：（1）∵△APE≌△ADE（已知），AD＝3（已知），
∴AP＝AD＝3（全等三角形的对应边相等）；
在Rt△ABP中，BP （勾股定理）；
（2）∵AP⊥PE（已知），
∴∠APB+∠CPE＝∠CPE+∠PEC＝90°，
∴∠APB＝∠PEC，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE，
∴ 即 （相似三角形的对应边成比例），
∴
∴当x 时，y有最大值，最大值是 ；
（3）如图，连接BD．设BP＝x，
∵PE∥BD，
∴△CPE∽△CBD，
∴ （相似三角形的对应边成比例），
即
化简得，3x2﹣13x+12＝0
第 21 页 / 共 22 页解得，x ，x ＝3（不合题意，舍去），
1 2
∴BP ．
【点拨】本题综合考查了矩形的性质、勾股定理、二次函数的最值等知识点．本题中求
二次函数的最值时，采用了配方法．
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