文档内容
2024 年中考第一次模拟考试（全国通用卷）
数学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题有12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题
目
1．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是 米．将数字 用科学记数
法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了科学记数法：“把一个大于 的数表示成 的形式，其中 ， 是正整数，
的值为小数点向左移动的位数”．根据科学记数法的定义，计算求值即可．
【详解】解： ，
故选：D．
2．有理数a，b在数轴上对应点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，根据数轴可得 ，据此可得推出 ， ， ，进一步可得 ， ，据此可得答案．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴四个选项中只有D选项中结论正确，符合题意，
故选D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的除法、单项式乘法、幂的乘方、完全平方公式进行计算，即可得到答案，此题考
查了同底数幂的除法、单项式乘法、幂的乘方、完全平方公式，熟练掌握法则和公式是解题的关键．
【详解】解：A． ，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项错误，不符合题意；
C． ，故选项正确，符合题意；
D． ，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
4．下列运算结果最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题重点考查了幂的运算，掌握零指数幂，负指数幂的运算法则是解题的关键．将各数化简即可
求出答案．【详解】解： ， ， ， ，
∵ ，
∴ 最大，
故选：A．
5．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图就是从上面看该几何体所得到的图形逐项判断即可，理
解俯视图的意义是解此题的关键．
【详解】解：俯视图就是从上面看该几何体所得到的图形， 比较符合题意；
故选：C．
6．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼
器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，这个八边形的内角和是( )
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查了多边形内角定理的运用．利用多边形内角和定理，即可求出八边形的内角和．
【详解】解：根据题意得，八边形的内角和是 ．
故选：C．
7．如图，小西家的梯子由等距离的六条平行横梁（踏板）组成，下宽上窄，其中点 ， ， ， 均在
横梁的端点处，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，作 于 ，作 于 ，由题意知， ， ，证明 ，则
，计算求解即可．
【详解】解：如图，作 于 ，作 于 ，
由题意知， ， ，
∴ ，∴ ，即 ，
解得， ，
故选：C．
8．用配方法解方程 ，下列配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再配方即可得出结果．
【详解】解： ，
移项，得： ，
配方，得： ，
即 ，
故选：C．
9．据天气网预报，三月下旬天气回暖，其中最低气温的天数情况统计如下
气温（ ） 11 13 14 15 16
天数（天） 1 1 3 4 2
根据表中的信息，判断下列结论中错误的是（ ）
A．三月下旬共有11天
B．三月下旬中，最低气温的众数是
C．三月下旬中，最低气温的中位数是
D．三月下旬中，最低气温的平均数是
【答案】D
【分析】此题考查求众数，求中位数，求平均数，根据题意分别计算并判断各选项，熟练掌握众数，中位
数，平均数的求法是解题的关键．
【详解】解：天数有： （天），
最低气温是 的天数最多，众数为 ，
第6天的最低气温为中位数，中位数为 ，平均数为： ．
故错误的为D．
故选：D．
10．某乡镇决定对一段长 的公路进行修建改造．根据需要，该工程在实际施工时增加了施工人员，
每天修建的公路比原计划增加了 ，结果提前4天完成任务．设原计划每天修建 ，那么下面所列方程
中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的应用；根据工作时间 工作总量 工作效率，以及提前4天完成任务列分
式方程即可．
【详解】解：设原计划每天修建 ，则实际施工时每天修建 ，
由题意得： ，
故选：C．
11．如图，等腰 内接于 ， ，连结 ，过点 作 的垂线交 于点 ，交 于点
，交 于点 ，连结 ，若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等、全等三角形的判定与性质等知识点，连接 ，证
可得 ，求出 ，再结合 即可求解．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ ， ，
∴
∴
∵ ， ，
∴
∴
∵
∴
故选：A
12．如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，且 ．
则下列结论：① ；② ；③ ；④方程 有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数与 轴的交点问题、二次函数的图象与
性质、解一元二次方程，由二次函数的图象得出 、 、 ，即可判断①；由二次函数与 轴有两
个交点得出 ，结合 ，即可判断②；求出 ，代入抛物线解析式得出
，即可判断③；解一元二次方程即可判断④，从而得到答案，熟练掌握以上知识点并灵活运
用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴在 轴的右侧，
，
，
抛物线交 轴于正半轴，
，
，故①正确，符合题意；
抛物线与 轴有两个交点，
，
，
，故②错误，不符合题意；
在 中，当 时， ，
，
，
，
把 代入 得： ，
，故③正确，符合题意；
，
，，
，
，
，
方程 有两个不相等的实数根，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①③④，共 个，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13．比较大小： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
比较两数的平方，即可求解．
【详解】解：∵
，
故答案为： ．
14．已知 ， ，则 = ．
【答案】
【分析】此题主要考查代数式的值，先把 因式分解为 ，再整体代入求值即可.
【详解】解：故答案为： .
15．用半径为 ，圆心角为 的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为
．
【答案】 /10厘米
【分析】本题考查了求圆锥的底面半径，弧长公式．设圆锥的底面圆半径为 ，根据圆锥的底面周长等
于扇形的弧长列方程求解，即可得到答案．熟练掌握相关公式是解题关键．
【详解】解：设圆锥的底面圆半径为 ，
依题意，得 ，
解得： ，
故答案为： ．
16．如图，点A在函数 的图象上，点B在函数 的图象上，且 轴，
轴于点C，则四边形 的面积为 ．
【答案】3
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中 的几何意义，是解题的关
键．延长 交 轴于点 ，根据反比例函数 值的几何意义得到 ， ，根据四
边形 的面积等于 ，即可得解．
【详解】解：延长 交 轴于点 ，∵ 轴，
∴ 轴，
∵点A在函数 的图象上，
∴ ，
∵ 轴于点C， 轴，点B在函数 的图象上，
∴ ，
∴四边形 的面积等于 ，
故答案为：3．
17．如图，在边长为6的正方形 内作 ， 交 于点E， 交 于点F，连接 ，
将 绕点A顺时针旋转 得到 ．若 ，则 的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌
握上述基本知识、灵活应用方程思想是解题的关键．
根据旋转的性质可得 ， ， ，然后根据正方形的性质和等量代换可得
，进而可根据 证明 ，可得 ，设 ，则 与 可用含x
的代数式表示，然后在 中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程即得答案．
【详解】∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ，，
，
在正方形 中，
，
，
点G、B、E在同一直线上,
又 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又 四边形 是正方形，
，
设 ，
，
，
在 中，由勾股定理，得：
，
即
解得：
的长为2
故答案为：2．
18．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如： ， ，，…按此规律，若 分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是 ．
【答案】45
【分析】本题主要考查探索数的规律的问题，主要从特殊出发得出一般规律，观察规律，分裂成的数都是
奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出所在
的奇数的范围，即可得解．
【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，且分裂后的第一个数可以表示为 ；底数为3的
分裂成3个奇数，且分裂后的第一个数可以表示为 ；底数为4的分裂成4个奇数，且分裂后
的第一个数可以表示为 ，
∴ 分裂成m个奇数，分裂后的第一个数是 ，
∵ ， ，
∴2015是 的立方分裂的一个奇数，
即 ．
故答案为：45．
三、解答题：本题共7小题，共66分.其中：19题6分，20-21每题8分，22-23每题10分，24-25每题12
分.
19．（1）计算： ．
（2）先化简，再求值： ，其中x是满足条件 的合适的非负整数．
【答案】（1）4；（2） ；
【分析】（1）分别进行化简绝对值、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、零指数幂等运算，然后按
照实数的运算法则计算即可；
（2）先根据分式的混合运算法则进行化简， 再根据分式分母不为零，确定在 范围内合适的非负整数，
最后再代入化简后的式子即可．【详解】（1）解：原式
；
（2）解：
x是满足条件 的非负整数，且
原式
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的意义，二次根式的化简以及零指数幂的运算，分式的
混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则，注意分式分母不为零．
20．中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新技术、新手段得到广泛应用，基础设施的功能日益增加，
承载能力、系统性和效率都有了显著的提升．城市经济发展了，居民生活条件改善了，如5G基础进设、
新能源汽车充电桩、人工智能等，其中，随着人们对新能源汽车的认可，公共充电桩的需求量逐渐增大．
根据巾商情报网信息：某月“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快充”等企业投放公共充电桩的数
量及市场份额的统计图如图所示：请根据图中信息，解答下列问题：
(1)①将统计图中“国家电网”的公共充电桩数量和市场份额补充完整；
②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是 万台．
(2)小辉收集到下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，
其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．
请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率．
【答案】(1)①见解析；②2
(2)
【分析】本题考查的是从统计图中获取信息，求解中位数，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以上
基础的统计知识是解本题的关键；
（1）①由星星充电10万台充电桩占比 求解总的充电桩的数量，再求解国家电网的充电桩的数量与占
比即可；②根据11家企业的充电桩是数量按照从大到小顺序排列后，排在第6的数据是中位数，从而可得
答案；
（2）先画树状图得到所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，结合概率公式可得答案．
【详解】（1）解：①公共充电桩的总数为 （万台），
∴“国家电网”的公共充电桩数量为 （万台），
“国家电网”的公共充电桩的市场份额为 ；
如图，②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是2万台．
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的结果数为2，
所以抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率 ．
21．桑梯一登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全
书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知 米， 米，设 ，为
保证安全，a的调整范围是 ．（参考数据：
，精确到0.1米）
(1)当 时，若人站在 的中点E处，求此人离地面（ ）的高度．
(2)在安全使用范围下，求桑梯顶端D到地面 的距离范围．【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解直角三角形应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
（1）过E作 于点H，由题意易得 ，然后问题可求解；
（2）过点D作 于点D，，然后分当 时和当 时，进而分类求解即可．
【详解】（1）解：过E作 于点H，
∵ ， ，
∴ ，
∵点E为 的中点， 米，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ；
（2）解：过点D作 于点D，
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
当 时， ；∴ ，
即 ；
∴D与地面的距离范围为 ．
22．“健康湖南，云动潇湘”，为迎接2023年全民健身线上运动会，某中学计划购进一批篮球和排球．若
购买3个篮球和1个排球共需 元；若购买5个篮球和3个排球共需 元．
(1)求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元？
(2)该学校计划购进篮球和排球共 个，且购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，怎样购买才能使总费
用最少？并求出最少总费用．
【答案】(1)篮球 元/个，排球 元/个
(2)当学校购买进篮球 个，购进排球 个，总费用最少，最少费用是 元
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．根据题意正确的列
等式和不等式是解题的关键．
（1）设篮球x元/个，排球y元/个，依题意，得： ，计算求解即可；
（2）设购进篮球m个，则购进排球 个，设总费用为w元，则 ，解得 ．依题
意，得： ，根据一次函数的性质进行判断作答即可．
【详解】（1）解：设篮球x元/个，排球y元/个，
依题意，得： ，
解得 ，
答：设篮球 元/个，排球 元/个．
（2）解：设购进篮球m个，则购进排球 个，设总费用为w元，
∵购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，
∴ ，解得 ．
依题意，得： ，
∵ ，
∴w随m值的增大而增大，
∴当学校购买进篮球 个，购进排球 个，总费用最少，最少费用是 元．
23．如图 是 的外接圆， ，延长 于 ，连接 ，使得 ， 交 于 ．
(1)求证： 与 相切；
(2)若 ， ．
①求 的半径；
②求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)① 的半径4，②
【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理．
（1）连接 ，根据圆周角定理得出 ，再根据平行线的性质得出 ，即可求
证 与 相切；
（2）①设 的半径为r，则 ， ，根据勾股定理可得 ，列出方程
求解即可；
②过点O作 于点F，用等面积法求出 ，进而得出 ，最后根据垂径定理可得．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 与 相切；
（2）解：①设 的半径为r，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： 或 （舍去），
∴ 的半径4；
②过点O作 于点F，
∵ ， ，
∴ ，
则 ，解得： ，
根据勾股定理可得： ，
∵ ，
∴ ．
24． 在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形 中，
为锐角， 为 中点，连接 ，将菱形 沿 折叠，得到四边形 ，点 的对应点为点 ，
点 的对应点为点 ．
(1)【观察发现】 与 是什么位置关系？
(2)【思考表达】连接 ，判断 与 是否相等，并说明理由；
(3)如图（2），延长 交 于点 ，连接 ，请探究 的度数，并说明理由；
(4)【综合运用】如图（3），当 时，连接 ，延长 交 于点 ，连接 ，请写出 ，
， 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)结论： ．理由见解析部分；
(3)结论： ．理由见解析部分；
(4)结论： ．理由见解析部分．
【分析】（1）利用翻折变换的性质判断即可；（2）结论： ．证明 即可；
（3）证明 ，推出 ，即可解决问题．
（4）结论： ．如图（3）中，延长 交 的延长线于点 ，过点 作 交
的延长线于点 ．想办法证明 ，可得结论．
【详解】（1）如图（1）中，由翻折的性质可知， ．
故答案为： ；
（2）结论： ．
理由：如图（2）中，连接 ．
，
，
，
由翻折变换的性质可知 ，
，
；
（3）结论： ．
理由：如图（2）中，连接 ， ，
由翻折的性质可知 ，
设 ， ．
四边形 是菱形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（4）结论： ．
理由：如图（3）中，延长 交 的延长线于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．
设 ， ，
，
，
，
， ，
在 中，则有 ，，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，翻折变换，勾股定理，解直角三角形，平行线分线
段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决
问题，属于中考压轴题．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 两点（点A在点B的
左侧），与y轴交于点C，连接 ，点P为直线 上方抛物线上一动点，连接 交 于点Q．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 的值最大时，求点P的坐标和 的最大值；
(3)把抛物线 沿射线 方向平移 个单位得新抛物线 ，M是新抛物线上一点，N是新
抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求
其中一个N点坐标的过程写出来．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为
(2)当 时， 取得最大值 ，此时，
(3)N点的坐标为 其中一个N点坐标的解答过程见解析
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）运用待定系数法求得直线 的解析式为 ，如图1，过点 作 轴交 于点 ，设
，则 ，证明 ，得出：
，运用求二次函数最值方法即可得出答案；
（3）设 ，分三种情况：当 为 的边时；当 为 的边时；当 为 的对角线时，运用平行四边形性质即可求得答案．
【详解】（1）∵抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左侧)，
解得： ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）∵抛物线 与 轴交于点 ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 代入，
得：
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
如图1，过点 作 轴交 于点 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴当 时， 取得最大值 ，此时， ．
（3）如图2，沿射线 方向平移 个单位，即向右平移1个单位，向上平移2个单位，
∴新的物线解析式为 ，对称轴为直线 ，
设 ，
当 为 的边时，
则 ，
解得： ，
当 为 的边时，
则 ，
解得： ，当 为 的对角线时，
则 ，
解得： ，
综上所述， 点的坐标为：
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边
形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思
想是解题关键．
