文档内容
2024 年中考第二次模拟考试（全国通用卷）
数学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题有12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题
目
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解： ， 是整数， 是分数，他们都不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数；
故选：D．
2．若 ，则 ，“ ”中应填（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选∶C．
3．下列判断正确的是（ ）A．“四边形对角互补”是必然事件
B．一组数据6，5，8，7，9的中位数是8
C．神舟十三号卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查
D．甲、乙两组学生身高的方差分别为 ， ，则乙组学生的身高较整齐
【答案】D
【详解】A、“四边形对角不一定互补”，故四边形对角一定互补是随机事件，故该选项不正确，不符合
题意；
B、一组数据6，5，8，7，9，重新排列为5，6，7，8，9，则中位数是7，故该选项不正确，不符合题意；
C、神舟十三号卫星发射前的零件检查，这个调查很重要不可漏掉任何零件，应选择全面调查，故该选项
不正确，不符合题意；
D、甲、乙两组学生身高的方差分别为s 2＝1.6，s 2＝0.8，则乙组学生的身高较整齐，故该选项正确，
甲 乙
符合题意；
故选：D．
4．如图， ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：B．
5．中国古代将天空分成东、北、西、南、中区域，称东方为苍龙象，北方为玄武（龟蛇）象，西方为白
虎象，南方为朱雀象，是为“四象”．现有四张正面分别印有“苍龙象”“玄武象”“白虎象”“朱雀
象”的不透明卡片（除正面图案外，其余完全相同），将其背面朝上洗匀，并从中随机抽取一张，记下卡
片正面上的图案后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽到的两张卡片恰好是“苍龙象”和“朱雀象”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：将四张卡片分别记为A，B，C，D，
根据题意可画树状图如下，
由图可知共有16种等可能的结果，其中有2种结果为抽到的两张卡片恰好是“苍龙象”和“朱雀象”，
∴抽到的两张卡片恰好是“苍龙象”和“朱雀象”的概率为 ．
故选D.
6．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
所以在数轴上表示正确的如图所示：，
故选：A．
7．如图，在 中， 与 的平分线相交于点O，且分别交 于点E，F. 为 的
中线.已知 ， ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： 平行四边形 ，
，
，
平分 ， 平分 ，
，
，
是 的中线，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
的周长为 ，
故选：D．
8．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出 个球放入乙袋，再从
乙袋中取出 个球放入丙袋，最后从丙袋中取出 个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则
的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
【答案】A
【详解】调整后，甲袋中有 个球， ，乙袋中有 个球，
，丙袋中有 个球．
∵一共有 （个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有 （个）球，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．
9．如图， 是 的内接正三角形，四边形 是 的内接正方形，六边形 是 的
内接正六边形，设上述正三角形周长为 、正方形周长为 、正六边形周长为 ，则 为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 的半径为r，
如图1所示，
在正三角形 中，连接 ，过O作 于M，则 ，
故 ；
∴正三角形周长 为 ；
如图2所示，
在正方形 中，连接 ，过O作 于N，
则 是等腰直角三角形，
，即 ，
故 ；
∴正方形周长 为 ；
如图3所示，
在六边形 中，连接 ，过O作 于P，
则 是等边三角形，故 ，
∴ ，
∴正六边形周长 为 ，
∴ 为 ．
故选：D．
10．如图所示的是某年2月份的月历，其中“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字
（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数
字之和为 ，“十字型”覆盖的五个数字之和为 ．若 ，则 的最大值为（ ）
A．201 B．211 C．221 D．236
【答案】B
【详解】解：设U型阴影覆盖的最小数字为a，则其他的数字分别是 ，
，
设十字形阴影覆盖的中间数字为b，则其他数字分别是 ，
，
，
，
整理得： ，即 ，
，
，随a的增大而增大，
在符合题意得情况下，当 时，a有最大值16，
此时， 的最大值为： ，
故选：B．
11．如图，量筒的液面A－C－B呈凹形，近似看成圆弧，读数时视线要与液面相切于最低点C（即弧中
点）．小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒上点D的高度为37mm；仰视点
C（点E，C，B在同一直线），记录量筒上点E的高度为23mm，若点D在液面圆弧所在圆上，量筒直径
为10mm，则平视点C，点C的高度为（ ）mm．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，连接 ， 交 于点 ，
∵ ，
∴ 是 的直径，由垂径定理得 ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的直径为14，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点F的高度即点C的高度为 ，
故选：A．
12．如图是一个由五张纸片拼成的边长为 10的正方形 ，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中
与 是两张全等的纸片， 与 是两张全等的纸片，中间是一张四边形纸片 已
知 ， ，记 纸片的面积为 ，四边形 纸片的面积为 ，则 的值是（
）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：过点F作 于H，作 于T，延长 交 于P，过点B作 于G，连接 ，
过点M作 于点Q，如图，
≌ ， ≌ ，
， ， ， ，
， ，
即： ， ，
四边形 为平行四边形，
，
四边形 为正方形，且边长为10，
， ，
四边形 为矩形，
， ，
在 中， ，
，
又 ，
由勾股定理得： ，
即： ，
，， ，
， ，
，
∽ ，
，
即： ，
在 中，由勾股定理得： ，
即： ，
，
， ，
∽ ，
，
即： ，
，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
， ，
，
，
，
，
，
点P为 的中点，
，，
为 的中位线，
，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
，
，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
，
，
，
， ，
，
，
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。13．分解因式： ．
【答案】
【详解】解： ．
故答案为： ．
14． 年 月 日，李强总理在十四届全国人大二次会议上提到 年全国城镇新增就业 万人，将
数据 万用科学记数法表示是 ．
【答案】
【详解】解： 万 ，
故答案为： ．
15．已知有一组正整数 ， ， ， ， ，如果这组数据的中位数和平均数相等，那么 的值是
．
【答案】 或
【详解】
∵这组数据的中位数和平均数相等，
∴当 时， ，
解得： ．
当 时， ，
解得： ．
故答案为 或 ．
16．斐波那契数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值
为：1、1、2、3、5、8、13、21、34…，这个数列从第3项开始 ，每一项都等于前两项之和，若我们把斐
波 那 契 数 列 中 第 1 项 表 示 为 ， 第 2 项 表 示 为 ， 第 3 项 表 示 为 ， 以 此 类 推 ， 则
．（用含a的式子表示）【答案】 /
【详解】解：∵从第3项开始 ，每一项都等于前两项之和，
∴ ， ，…， ，
∴原式
，
∵ ，
∴原式 ．
故答案为： ．
17．如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E、F分别为AB、DC上的两个动点，且EF⊥AC，则
AF+FE+EC的最小值为 ．
【答案】10
【详解】解：过B作BH∥EF交CD于H，过A作AG∥EF，且使AG＝EF，连接GE，∴四边形AGEF是平行四边形，
∴AF＝GE，
∴当G、E、C三点共线时，AF+EC最小，
∵EF⊥AC，
∴BH⊥AC，
∵∠HBC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠ACH＝90°，
∴∠HBC＝∠ACH，
∴tan∠HBC＝tan∠ACD，即 = ，
∵AB＝4，AD＝3，
∴， =
∴HC＝ ，
∴BH= = =
∴AF+EF+EC≥GC+BH，
∵GA⊥AC，
∴△ACG为直角三角形，
∵AB＝4，AD＝3，
∴AC＝5，
∵EF＝BH＝AG，
∴AG＝ ，
∴GC＝ = =
∴GC+EF＝ + ＝10，
∴AF+FE+EC的最小值为10，
故答案为：10．
18．在平面直角坐标系Oy中，已知点A（4，3），B（4，4），⊙A的半径为1，直线l：y＝kx（k≠0），
给出下列四个结论：①当k＝1时，直线l与⊙A相离；
②若直线l是⊙A的一条对称轴，则 ；
③若直线l与⊙A只有一个公共点P，则 ；
④若直线l上存在点Q，⊙A上存在点C，使得∠BQC＝90°，则k的最大值为 其中正确的是
（填写所有正确结论的序号）．
【答案】②③④
【详解】①如下图所示，当k＝1，直线l的表达式为：y＝x
当 时，
∴直线l过点B
∵⊙A的半径为1
∴BA=1
∴点B在⊙A上
故当k＝1时，直线l与⊙A相离错误；
②如下图所示
∵圆的对称轴必须过圆心
∴直线l经过圆心A
∴∴
∴若直线l是⊙A的一条对称轴，则 正确；
③如下图所示
∵直线l与⊙A只有一个公共点P
∴直线l与⊙A相切，且存在 和 两个切点
∵
∴
∵ ，AP=1
∴
∵
∴
∴若直线l与⊙A只有一个公共点P，则 正确；
④如下图所示，AC平行于 轴，交直线⊙A于点C
作QC平行于 轴，作BQ平行于 轴, QC、BQ相交于点Q∵QC∥ 轴，BQ∥ 轴，AB=AC
∴∠BQC＝90°，四边形QCAB是正方形
∴QB=1
∴Q点的坐标为（3，4）
∵直线l：y＝kx过点Q
∴
∴
当 时，如图所示，直线 移动至 ，点 移动至 ，点C移动至
∵ ，QC为⊙A的切线， ∥QC
∴当 时，直线 与⊙A相离，点 不在⊙A上
∴若直线l上存在点Q，⊙A上存在点C，使得∠BQC＝90°，则k的最大值为
故答案为：②③④．
三、解答题：本题共7小题，共66分.其中：19题6分，20-21每题8分，22-23每题10分，24-25每题12
分.
19．计算： ．
【答案】
【详解】解：20．与“二十四节气”相关的谚语蕴含了丰富的自然规律，如：“寒露草枯雁南飞”“清明断雪，谷雨断
霜”．某校物理兴趣小组为了解学生对谚语中蕴含的自然规律的掌握情况，从甲、乙两个校区的学生中各
随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道题，根据测试结果绘制出如下统计表和如图所示的统计图．
甲校区学生测试结果统计表
答对题数 5 6 8 10
人数 3 7 6 4
(1)通过计算判断抽取的样本中哪个校区的学生答对题数的平均数更大；
(2)该小组随后又从乙校区随机抽取了几名其他的学生进行相同的测试，得知最少的答对了8道题，将其与
之前乙校区20名学生的成绩数据合并后，发现答对题数的中位数变大了，则最少又测试了__________人．
【答案】(1)乙校区的学生答对题数的平均数更大(2)2
【详解】（1）解：样本中甲校区的学生答对题数的平均数为 ，
样本中乙校区的学生答对题数的平均数为 ，
，
乙校区的学生答对题数的平均数更大．
（2）解：由条形图可知，乙校区原来20名学生的成绩的中位数是第10和第11名学生的答题数的平均数，
乙校区原来20名学生的成绩的中位数是 ，
当加入一名成绩最少答对了8道题的学生，中位数是合并后21名学生中第11名学生的答题数，中位数是
7，没有发生变化；
当加入两名成绩最少答对了8道题的学生，中位数是合并后的22名学生中第11和第12名学生的答题数的
平均数，此时中位数是 ；，
当加入2名学生时，中位数变大了，
最少又测试了2人．
故答案为：2．
21．如图，已知平面直角坐标系中有一个 的正方形网格，网格的横线、纵线分别与 轴、 轴平行，
每个小正方形的边长为1．点 的坐标为 ．
（1）点 的坐标为 ．
（2）若双曲线 与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数 的值有 个．
【答案】 4
【详解】（1）如图所示，
每个小正方形的边长为1，
，
点 的坐标为 ，
点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ，
点 的坐标为 ．
故答案为： ．
（2）由题意得： ，∴当曲线 经
过点B时，代入解析式求得 ，经过点M、D时，求得 ；经过点A、C时， ；经过点E、F时，
；经过点N时， .∴符合题意的正数k有6，2，
∵经过点E、F时， ；经过点N时， ，
∴在这两个临界状态之间，还有两个符合题意的正数 ，
∴共有4个，
故答案为：4．
22．某次科学实验中，小王将某个棱长为 正方体木块固定于水平木板 上， ，将木板
绕一端点O旋转 至 （即 ）（如图为该操作的截面示意图）．（参考数据：
， ， ，（1）（2）题中结果精确到个位）
(1)求点C到 竖直方向上升高度（即过点C， 水平线之间的距离）
(2)求点D到 竖直方向上升高度（即过点D， 水平线之间的距离）．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：过点 作 于E，根据题意得 ， ，
∴ ，
由旋转得， ，
在 ， ，
∴求点C到 竖直方向上升高度为 ．
（2）解：如上图，过点 作 的延长线于点F， 交 于点H，则四边形 为矩形，
∴ ，
由旋转得， ， ，
∴ ，
中， ，
∴ ，
∴点D到 竖直方向上升高度为 ．
23．为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，
具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积（单位： ） 每天施工费用（单位：元）
甲 3000
乙 2000
信息二
甲工程队施工 所需天数与乙工程队施工 所需天数相等．
(1)求 的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的
施工面积不少于 ?求该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?
【答案】(1)300(2)该段时间内体育中心至少需要支付 元施工费用
【详解】（1）解：根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
的值是 ；（2）解：设甲工程队施工 天，则乙工程队单独施工 天，
由题意得： ，
解得： ，
设该段时间内体育中心需要支付 元施工费用，
则 ，即 ，
，
随着 的增大而增大，
当 时， 取得最小值，最小值 ，
该段时间内体育中心至少需要支付 元施工费用．
24．如图， 内接于 ，过点C作 交 于点E，交 于点D，连接
交 于点G，连接 ，设 （m为常数）．
(1)求证： ；
(2)设 ，求证： ；
(3)求 的值（用含m的代数式表示）．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明： ，
是 的直径．
如图，连接 ．，
又 ，即 ，
，
，
， ，
；
（2）证明：如图，设 相交于点M，连接 ．
由（1）可知 ，
，即 ．
又 ．
，
又 ，
． ．
，
；
（3）解： ，
，
，即 ．
又 ，，
，即 ，
．
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于 ， ， 交y轴于点
C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2， 连接 ，点P是直线 上方抛物线上的一动点， 过点 P作 轴交 于点E，过点P
作 交x轴于点 F， 求 的最大值及此时点P坐标；
(3)将抛物线沿y轴方向向下平移，平移后所得新抛物线与y轴交于点 D，过点D作 轴交新抛物线
于点M，射线 交新抛物线于点 N，如果 请写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点
N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1) (2)最大值 ，此时 (3) 或
【详解】（1）∵抛物线 交x轴于 ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（2）延长 交x轴于点Q，
∵ 轴，
∴ 轴．
∵当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
设直线 的解析式为 ，
则 ，
∴ ，
∴ ．设 ，则 ，
∴
，
∴
，
∵ ， ，
∴当 时，取得最大值 ，此时 ；
（3）当点M在x轴的上方时，如图，
过点C作x轴的平行线交抛物线与点G，
∵ ，
∴对称轴为直线 ，
∴ ．
设 ，则 ，
∴平移后的解析式为 ，∵ ，
∴ ，
把 代入 ，得
，
∴ ，
∴ ；
当点M在x轴的下方时，如图，同理可求 ．
综上可知，点N的坐标为 或 ．
