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2024 年中考第三次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（本题3分） 的绝对值是（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】解： 的绝对值是2024．
故选：A．
2．（本题3分）下列图案中，任意选取一个图案，既是中心对称图形也是轴对称图形的为（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】①、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
②、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
③、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
④、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
符合题意的有②④，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 后两部分重合．
3．（本题3分）如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形，俯视图是圆的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据主视图的定义从前往后看，俯视图的定义从上往下看，即可求解．
【详解】解：A.主视图和俯视图都是矩形，故此项错误；
B.主视图是矩形，俯视图是三角形，故此项错误；
C.主视图是矩形，俯视图是圆，故此项正确；
D. 主视图是三角形，俯视图是含圆心的圆，故此项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了主视图和俯视图的定义，理解定义，会用定义看出几何体的三视图是解题的关键．
4．（本题3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，平方差公式的运算即可求解．
【详解】 选项， ， 错误，不符合题意；
选项， 与 不是同类项，不能合并， 错误，不符合题意；
选项， ， 正确，符合题意；
选项， ， 错误，不符合题意．
故选 ．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，合并同类项的运算，积的乘方的运算，平方差公式的运算，掌握
整式的混合运算法则是解题的关键．
5．（本题3分）在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功
率 （ ）与做功所用的时间 （ ）成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）A．P与t的函数关系式为 B．当 时，
C．当 时， D．p随t的增大而减小
【答案】C
【分析】
求得解析式，进而根据反比例函数的图象，即可求解．
【详解】解：功率 （ ）与做功所用的时间 （ ）成反比例函数关系，
设解析式为 ，
∵过点 ，
∴ ，
∴解析式为 ，故A选项正确，不合题意，
当 时， ，故B选项正确，不合题意，
当 时， ，故C选项不正确，符合题意，
∵
∴在第一象限，p随t的增大而减小，故D选项正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】反比例函数的应用，关键是求得解析式．
6．（本题3分）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得 ，将已知等式两边同时除以 ，得到 ，进而根据完全平方公式的变
形即可求解．【详解】∵ ，且由题意可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了等式，完全平方公式，分式求值，熟练掌握等式的性质 ,完全平方公式变形是解
题的关键．
7．（本题3分）如图，一架飞机在空中 处检测到正下方地平面目标 ，此时飞机的飞行高度
米，从飞机上看地平面指挥台 的俯角 ，此时 长为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【分析】在 中， ，则 的正弦值是 的对边 与斜边 的比值，即可得出
的长度．
【详解】解：由题意得 ， 米，
在 中， ，
∴ ，
∴ （米）．
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，需结合三角函数的定义进行求解．
8．（本题3分）如图，在 中 平分 ，按以下步骤作图：第一步分别以点A、D为圆心，以
大于 的长为半径在 两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接 分别交 于点E、F；第三步，连接 ，若 ， ， ，则 的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；
作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线
的性质、相似三角形的判定与性质．
由基本作图得到 垂直平分 ，则 ， ， ，再根据等腰三角形三线合一得到
，则可判断四边形 为菱形，所以 ，然后根据相似三角形的判定与性质可计算出
．
【详解】解：由作法得 垂直平分AD，
， ， ，
平分 ，
，
，
∴四边形 为菱形，
，
，
，
，
，
解得： ，
．
故选：B．
9．（本题3分）如图， 的直径 ， ，则弦 的长为（ ）A．3 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】
本题主要考查圆周角定理和等边三角形的性质．连接 ， ，根据圆周角定理，易求得 ，
由此可得出 是等边三角形，已知了圆的直径，即可求出 的长．
【详解】
解：连接 ， ，
， ，
， ，
是等边三角形；
．
故选：A
10．（本题3分）已知点 ， ， ， 在二次函数 的图象上，
若 ， ， ， 四个数中有且只有一个数大于0，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】先求出 ，同理： ， ， ，根据， ， ， 四个数中有且只有一个数大于0，列不等式组 ，或者 ，
问题随之得解．
【详解】根据题意有： ，
同理： ， ， ，
∵ ， ， ， 四个数中有且只有一个数大于0，
∴ ，或者 ，
解得： ，或者 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及不等式的知识，正确求出 ， ， ， 值，根据题意
列出不等式组，是解答本题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（本题3分）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据积的乘方法则求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．（本题3分）作为“一带一路”倡议的重大先行项目，中国、巴基斯坦经济走廊建设进展快，成效显
著，两年来，已有18个项目在建或建成，总投资额达18500000000美元，将“18500000000”用科学记数法
可表示为 ．
【答案】1.85×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；
当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】将“18500000000”用科学记数法可表示为=1.85×1010.
故答案为1.85×1010
【点睛】考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键.
13．（本题3分）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买
个这样的电子产品，可能会出现1个次品．
【答案】4
【分析】根据“合格率”，“不合格率”的意义，结合“频数与频率”的意义进行判断即可．
【详解】解：∵产品的抽样合格率为 ，
∴产品的抽样不合格率为
∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品
故答案为：4．
【点睛】本题考查频数与频率，理解“频率”“合格率”“不合格率”的意义是正确判断的前提．
14．（本题3分）如图，在平行四边形 中， ： ： ，则 ： ．
【答案】
【分析】根据四边形 是平行四边形，可得 ， ，所以 ，再根据相似
三角形判定可知 ，从而可求 ．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
∴
∵
∴
，故答案是 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题的关键是注意先求出 的
值．
15．（本题3分）下图显示的填数幻方只填了一部分，将下列九个数： ， ，1，2，4，8，16，32，64
填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数的乘积相等．则填“x”格中的数应是 ．
【答案】8
【详解】将未填各空格标注字母，如下图．
九个已知数的乘积是 ．
所以，每行、每列、每条对角线上三个数的乘积等于64．
因为乘积等于64，所以从第二列和第三行分别得到 ．
由此得到，a，c，e，f分别是 ， ，2，4中的某个数．
考虑第一行的乘积，得 ．
这样一来，x只可能是1或8．
考虑到对角线的乘积，得 ．
若 ，则 ，不可能．
唯一可能是 ．
故答案为：8．这时的填法是
16．（本题3分）已知抛物线 （ 为常数，且 ），其对称轴为直线 ．下列结
论：
① ；
②若 是抛物线上两点 ，若 ，则 ；
③若方程 有四个根，则这四个根的和为12；
④当 时，若 ，对应y的整数值有4个，则 ．
其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】 /
【分析】②本题③主③要②考查二次函数图象与系数的关系．根据题意可得 ，从而得到a，b异号，但无法
判断c的符号，故①错误；根据题意可得 ，再
由 ，可得 ，故②正确；根据题意可得 ，可
得这四个根的和为12，故③正确；④分两种情况讨论，可得④错误．
【详解】解：①∵对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，
∴a，b异号，
∴ ，
∵无法判断c的符号，
是错误的，故①错误；②由题意知： ，
．
，
．
，
，
，
，
．故②正确．
③ ，
，
当 时， ，
当 时， ，
这四个根的和为12，故③正确；
④（i）当 时，若 随x的增大而增大，
当 时， ，
当 时， ，
，
的整数值有4个，
，
，
（ii） 时，若 随x的增大而减小，
，的整数值有4个，
，
，
综上所述： 或， ，故④错误．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题8分）解不等式组 并写出该不等式组的最小整数解．
【答案】不等式组的解集为：－4＜x≤3，不等式组的最小整数解为－3
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，进而写出不等式
组的所有整数解即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得：x≤3，
解不等式②，得：x＞－4，
将不等式①，②的解集在数轴上表示为：
所以，不等式组的解集为：－4＜x≤3，
所以，不等式组的最小整数解为－3．
【点睛】考查了一元一次不等式组的解法，分别解不等式，找出解集的公共部分即可．
18．（本题8分）如图，在△ABC中， ，交边BC于点D，点E为边AC的中点，过点A作
，交DE的延长线于点F，连结CF．
(1)求证：四边形ADCF是矩形；
(2)若 ，且 ，则 ______．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用ASA证明 ，进而先判断四边形ADCF是平行四边形，最后根据有一个
角是直角的平行四边形为矩形可证得结论．
（2）根据正切函数假设未知数，利用勾股定理表示出未知数之间的关系，根据对应的面积公式建立比值
即可．
【详解】（1）证明：
点E为边AC的中点
（对顶角相等）
（ASA）
四边形ADCF是平行四边形．
四边形ADCF是矩形．
（2）解：
设
，且由（1）得四边形ADCF是矩形
在 中，即
化简得：
【点睛】本题主要考查了矩形的判定以及几何图形面积的比值，熟知矩形的判定定理以及不同图形对应的
面积公式是解决本题的关键．
19．（本题8分）某中学为了解学生对襄阳市“文明城市创建”知识的知晓情况，从七、八年级中各随机
抽取了20名学生进行调查测试（百分制），测试成绩均不低于50分，对测试成绩进行了收集、整理、分
析、描述、应用，将测试成绩共分五组： ； ； ； ；
，并绘制了不完整的统计图（如图所示），请将统计过程中的有关问题补充完整．
I．收集、整理数据
七年级20名学生的测试成绩分别为：51，66，68，73，75，78，85，86，86，86，87，87，87，87，90，
91，93，93，94，97．
八年级学生测试成绩在C组和D组的分别为：76，78，78 ，78，78，78，78，84， 86，88，89．
II．分析数据
成绩 平均数 中位数 众数 方差
七年级 83 a
八年级 81 b cIII．描述、应用数据
(1)补全频数分布直方图（直接在图中作答）；
(2)统计表格中 _______， _______， ________；
(3)从样本数据分析可以看出，测试成绩较好且比较整齐的是______年级（填“七”或“八”）；
(4)若该中学七年级共有学生300名，八年级共有学生200名，则估计七、八年级本次测试成绩不低于80分
的总人数为_________人．
【答案】(1)见解析；
(2)87；78；78
(3)七
(4)300
【分析】（1）根据七年级测试成绩在 组的有8人，补全频数直方图；
（2）根据七年级测试成绩中87分的最多，得到七年级测试成绩的众数是87分，根据八年级学生测试成绩
在A组的有2人，在B组的有2人，在C组和D组的分别为：76，78，78，78，78，78，78，84，86，
88，89，得到在C组的有7人，根据2+2+7=11，得到八年级学生测试成绩的中位数是78分，根据E组学
生有5人，C组中78分的有6人，得到八年级学生测试成绩的众数是78分；
（3）根据表中的平均数，中位数，众数，方差，七年级的这些数据都好于八年级的，得到测试成绩较好
且比较整齐的是七年级；
（4）用300乘以七年级D组E组所占比率，200乘以八年级D组E组所占比率，取和即得．
【详解】（1）解：七年级测试成绩在 组的有 人，
补全直方图如图所示；
；（2）解：∵七年级测试成绩中87分的最多，
∴七年级测试成绩的众数是87分，
∵八年级学生测试成绩在A组的有： （人），
在B组的有： （人），
在C组和D组的分别为：76，78，78，78，78，78，78，84，86，88，89
∴在C组的有7人，
∴ ，
∴第10位与第11位学生的成绩位于C组的最后2位，成绩都是78分，
∴八年级学生测试成绩的中位数是78分，
∵E组学生有： （人），C组中78分的有6个，
∴八年级学生测试成绩的众数是78分，
∴ ；
故答案为：87；78；78；
（3）解：
成绩 平均数 中位数 众数 方差
七年级 83 87
八年级 81 78 78
∵表中七年级的的平均数，中位数，众数，方差都优于八年级的，
∴测试成绩较好且比较整齐的是七年级，
故答案为：七；
（4） （人）．
故答案为：300．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，中位数和众数，解决问题的关键是熟练掌握频数
分布直方图和扇形统计图的特点，频数分布直方图的补全方法，中位数和众数的定义与计算方法，根据平
均数，中位数，众数和方差做判断，用样本频数估计总体频数．
20．（本题8分）如图， 是 的内接三角形， 为 的直径， 是直径 下方一点，且
，连接 交 于点 ．(1)如图1，若 ，则 ；
(2)如图2， 是 延长线上一点，连接 ，且 ．
①求证： 与 相切；
②若 的半径为 ， ，求 的长．
【答案】(1) ；
(2)①证明见解析；② ．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于直角，得到 ，再利用等弧所对的圆周角相等，得到
，然后利用三角形外角的性质，即可求出 的度数；
（2）①连接 ，根据等边对等角的性质，得出 ，再利用 ，得到
，即可证明结论；
②根据等边对等角的性质，得出 ，再利用三角形内角和定理，得到
，进而证明 是等腰直角三角形，得到 ， ，即可求出 的长．
【详解】（1）解： 是 的直径，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解：①如图，连接 ，
，，
，
，
， ，
由（1）知 ，
，
，
，
，
，
点 在 上，
是 的切线；
② ，
，
，
，
，
， ，
，
由①知， ，
，
是等腰直角三角形，
， ，
．【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的性质，等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，
勾股定理等知识，灵活掌握相关知识点解决问题是解题关键．
21．（本题8分）如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个顶点都
是格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图．
(1)如图1，在边 上画点D，使 平分 ，再在线段 上画点E，使 ；
(2)如图2，P是边 上一点，先将 绕点B逆时针旋转，得到线段 ，旋转角等于 ，画出线段
，再画点Q，使 两点关于直线 对称．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转性质、等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．
（1）设小正方形的边长为 ， ，得出 是等腰三角形，连接 ，与网
格的顶点交于点M，结合三线合一性质，连接 与 的交点为点D，得出 平分 ，根据网格性
质，得证 ，则 ，根据网格性质，得出 ，故 ．
（2）先根据将 绕点B逆时针旋转，得到线段 ，旋转角等于 ，得出 是等腰三角形，
是 的角平分线，结合等腰三角形的三线合一，得出 ，作出 ，连接 交 于一点，然
后连接点P与该点，交 于一点，即为点Q，
【详解】（1）解：如图所示：（2）解：如图所示：
22．（本题10分）如图，用一段长 的篱笆围成一个一边 靠墙（无需篱笆）的矩形 菜园，并
且中间也用篱笆 隔开， ，墙长 ．
(1)设 ，矩形 的面积为y ，则y关于x的函数关系式为______，x的取值范围为______．
(2)求矩形 面积的最大值，并求出此时 的长；
(3)在（2）的情况下，若将矩形 和矩形 分别种植甲，乙两种农作物．甲种农作物的年收入
（单位：元）和种植面积 （单位： ）的函数关系式为 ；乙种农作物的年收入 （单位：
元）和种植面积S（单位： ）的函数关系式为 ，若两种农作物的年收入之和不少于5184
元，求 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)矩形 面积的最大值为72 ，此时 的长为12m；
(3)【分析】
（1）先求出 ，利用矩形面积公式求出函数关系式，由 得到x的取值范围；
（2）利用自变量的取值范围，结合抛物线的增减性即可得到答案；
（3）设矩形 的面积为a ，两种农作物的总年收入为w元，列得总收入的函数解析式，由此得到
，解得 ，再求出 ， 求出当 时，当 时，
的值，即可得到 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴矩形 的面积 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2） ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
令 ，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∴当 时，y最大值为 ，
此时 的长为 m；
（3）设矩形 的面积为a ，两种农作物的总年收入为w元，
∴ ，依题意， ，
解得 ，
∵ ，且 ，
∴ 随着a的增大而减小，
∴当 时， 有最小值为 （m），
当 时， 有最小值为 （m），
∴ ．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质与图象，一次函数的应用，正确理解题意列得
函数关系式是解题的关键．
23．（本题10分）如图，四边形 是正方形，点 在线段 上运动， 平分 交 边于点
．过 作 ，交 延长线于点 ，求证：
(1)① ；
② ；
(2)连接 ，若正方形的边长为4， ．求 的长；
(3)延长 交 延长线于点 ，若 ，求此时 的值．
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）①由四边形 是正方形，得到 ， ，根据
，即可证明 ；②先由 ，得
，则 ；（2）作 于点 ，先证明 ，则 ，得到 ，再证明
，得 ，求得 ，则 ，得到 ，
即可求得 ， ；
（3）在 上取一点 ，连接 ，使 ，先证明 ，得 ，即可求得
，则 ，设 ，则 ， ，即可求得
的值为 ．
【详解】（1）①∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
②∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（2）如图2，作 于点 ，
则 ，
由（1）得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图3，在 上取一点 ，连接 ，使 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值为 ．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的
判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
24．（本题12分）如图1，抛物线 与 轴相交于点 ，直线 与 轴相交于
点 ，与抛物线有公共点 ．
(1)求证：直线 与抛物线只有唯一的公共点；
(2)过点 作 轴于点 ，连接 ，证明： ；(3)如图2，直线 交新抛物线 于 两点，连接 交 轴于 点．
若 ，说明直线 必过定点，并求此定点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)直线 恒过定点
【分析】（1）联立直线和抛物线，得到 ，求解即可；
（2）连接 ，根据题意求得 点和 的坐标，根据解析式求得 两点坐标，得到线段
的长度，从而得到 ，得到 ，即可求证；
（3）设 ， ，联立直线和抛物线，利用根与系数的关系得到两根之和和两根之积，表示
出 、 的解析式，得到 两点坐标，再根据 ，得到 的关系，即可求解．
【详解】（1）证明：联立直线 和抛物线 可得
，即
解得 ，即直线 与抛物线只有唯一的公共点；
（2）证明：连接 ，如下图：
将 代入 可得， ，即
由题意可得，
将 代入 可得 ，即将 代入 可得 或 ，即
则 ， ， ，
∴ ， ，即
又∵
∴ ，
∴
∴ ；
（3）解：设 ， ，联立直线 和抛物线 可得
，可得
由根与系数的关系可得： ， ，
将 代入 可得
解得 或
即
设直线 为 ，将 、 代入，解得
即 ，可得 ，
同理可得 ，
∵
∴ ，即
可得 ，化简可得： ，即将 代入 可得， ，即
即直线 恒过定点 ．
【点睛】此题考查了二次函数与几何的综合，涉及了待定系数法求解析式，一元二次方程判别式与根的关
系，根与系数的关系，相似三角形的判定与性质，因式分解法求解一元二次方程，综合性比较强，难度较
大，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的有关知识，注意计算．
