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2024 年中考第三次模拟考试
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C A C B A C B A A B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共15分）
11．
12．
13．
14．
15．①②③④
16. /1+n
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹
17.（4分）
【详解】解：如图，△PAB和△P′AB为所作．四、解答题（本大题共9小题，共68分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（6分）
【详解】（1）解：
；—————（3分）
（2）解：解不等式组 ，得 ，其中整数为2，
∴ ，
∴ ．—————（6分）
19.（6分）
【详解】（1）被调查的学生有 （名）， ，即 ，
故答案为： ， ；—————（1分）
（2）最喜爱 活动项目的学生有 （名），
补全统计图如图所示：
—————（3分）
（3） （名） ，
答：估计最喜爱 和 活动项目的学生一共有 名；—————（4分）
（4）画树状图为：共有 种等可能的结果，最喜爱 和 项目的两位学生的可能情况由 种，
∴最喜爱 和 项目的两位学生的概率为 ．—————（6分）
20.（6分）
【详解】
解：由题意可知， ， ，
则 ，
，
， ，
则 ，
，—————（3分）
，
则 ，
，
．
答：树 的高度约为 ．—————（6分）
21.（6分）
【详解】
（1）解： ．
．
．又 在反比例函数 上，
．—————（1分）
（2） 或 —————（3分）
解：由题意， 在函数 上，
．
．
由图象可得不等式 的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的自变量的取值范围，
又 ， ，
或 ．
（3）解：由题意，令 ，
．
直线 交 轴于点 ．
对于函数 ，令 ，
．
．—————（4分）
设 ，
又 ， ，
．
．
或 ．
或 ．—————（6分）
22.（6分）
【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点坐标为 ，且过点 ，
设解析式为 ，
代入 得： ，
解得： .
∴解析式为： ；—————（2分）
（2）解：经过平移后抛物线的解析式为 ，
即为：
当 时， ，
∵ ，
∴水能够射进窗户；—————（4分）
（3）由题意可得，抛物线的解析式为，
此时着火点的横坐标为40，当 时， ，因此，正好能击中火苗．—————（6分）
23.（6分）
【详解】（1）证明：∵ 为 的中点，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，—————（2分）
∵ ，∴ ，
∴平行四边形 是矩形；—————（3分）
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，—————（4分）
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，—————（5分）
在 中，由勾股定理得： ，
即 的长为 ．—————（6分）
24.（10分）
【详解】（1）① ；—————（1分）②证明： 平分
又
，
；—————（3分）
（2）证明：如图，延长 交 的延长线于点 ，
又
—————（4分）
在 和 中
—————（5分）
平分又
；—————（7分）
（3）作 于 ，交 于 ，
—————（8分）
是 的中点
由（1）
—————（9分）
在 中，
又
．—————（10分）25.（10分）
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
将 ， 代入 ，
可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ；—————（1分）
∵ ，
∴顶点 ；—————（2分）
（2）解：连接 交对称轴于点 ，如下图，
∵ 、 点关于对称轴对称，
∴ ，∴ ，当 时， 有最小值，—————（3分）
设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入，
可得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
将 代入直线 ，可得
∴ ，—————（4分）
当 时，解得 或 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 的周长 ；—————（6分）
（3）证明：设直线 的解析式为 ， ， ，
当 时， ， ，
过点 作 轴，过点 作 交于 点，过点 作 交于 点，—————（7分）
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得， ，
∴ ，—————（9分）
∴ ，
∴直线 经过定点 ．—————（10分）
26.（12分）
【详解】（1）解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
当 平分 时，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．—————（2分）
（2）解：如图， 分别为 的边 ， 上的高，∵ ，
∴ ， ，—————（4分）
根据旋转可知： ，
∴ ， ，
∴
；—————（6分）
（3）解：存在，理由如下：
如图过点C作 ，交 的延长线于点G，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，—————（8分）
∵ ，
∴ ，
∴ ，—————（10分）
∵ ， ， ，
∴ ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
故存在某一时刻 ，使点 为线段 的中点．—————（12分）
