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2024 年中考第三次模拟考试（广东省卷）
数学·全解全析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选
项中，只有一项符合题目要求的）
1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世
界数学史上首次正式引入负数.如果收入200元记作 元，那么 元表示（ ）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
【答案】C
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答.
【详解】解：如果收入200元记作 元，那么 元表示支出80元.
故选：C.
【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，
明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，
则另一个就用负表示.
2．在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形．下列汉字中，是轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一
个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全
重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对
称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分折叠后可重合．
3．2011年12月，天文学家发现一颗新的与地球放近的系外类地行星，名为
“HD85512B”，距地球大约36光年，此距复用科学记数法表示为（1光年 万千
米）（ ）A． 米 B． 米 C． 米 D． 千米
【答案】B
【分析】由 万千米 ，再将 写成 （ ，
n为整数）的形式即可．
【详解】解： 万千米 ，
．
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成 （ ，n为整数）的
形式，确定a和n的值是解答本题的关键．
4．如图，已知 ，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行，内错角相等得出答案．
【详解】解：
（两直线平行，内错角相等．）
故选B．
【点睛】本题考查平行线的性质，其中准确找到平行线形成的内错角是解题的关键．
5．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】利用同分母分式的减法法则计算再约分即可得到结果．
【详解】解：故选：B．
【点睛】本题考查了同分母分式减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．神奇的自然界中处处蕴含着数学知识．如图是古希腊时期的帕提农神庙（
），我们把图中的虚线表示为矩形 ，并发现
，这体现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
【答案】D
【分析】根据黄金分割比可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴体现了数学中的黄金分割；
故选D
【点睛】本题考查的是黄金分割比的含义，熟记黄金分割比为 是解本题
的关键．
7．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大
发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”
“大寒”四张邮票中的一张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票
背面完全相同），则小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据概率公式直接求解即可．【详解】
解：由题意知，一共有4种等可能结果，其中小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的只有1
种结果，
所以小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率为 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
8．一元一次不等式组 的解集为（ ）
A． B． C． D．无解集
【答案】C
【分析】分别求解组中两个不等式，取公共部分：同大取较大，同小取较小，大小小
大取中间，大大小小无公共部分．
【详解】解：由原不等式组，得
∴不等式组解集为 ；
故选：C．
【点睛】本题考查不等式组的求解，掌握取公共部分的法则是解题的关键．
9．如图， 内接于 的直径，若 ，则 的度数是（
）
A．50° B．55° C．60° D．70°
【答案】C
【分析】连接 ，由直径所对的圆周角是直角得到 ，由∠ABC＝30°得到
，由同弧所对的圆周角相等即可得到 ．
【详解】解：连接 ，∵ 是 的直径，
∴∠ABD=900，
∵∠ABC＝30°，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆
周角相等是解题的关键．
10．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝ 的第一象限的图象上，若点B的横
坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】设点B（x， ），构造方程 +x=6，确定点B的坐标，计算OB的长度，根
据正方形的性质即可得到AC．
【详解】设点B（x，y）
∵正方形OABC的顶点B在抛物线y＝ 的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵
坐标之和等于6，
∴AC=BO， +x=6，
解得 （舍去），
∴B（2，4），∴BO= = ，
∴AC= ，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式与点的坐标，正方形的性质，一元二次方程的
解法，两点间的距离公式，熟练掌握抛物线的性质，灵活求解方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．把多项式 分解因式的结果是 ．
【答案】 /
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查因式分解．掌握公式法分解因式是解题关键．
12．计算： （ ）= ..
【答案】
【分析】根据二次根式的运算法则计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴√3a∙√12ab= ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握乘法法则是解答本题的关键．二次根
式相乘，把系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，并化为最简二次根式．
13．在对物体做功一定的情况下，力 （牛）与此物体在力的方向上移动的距离
（米）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为 牛时，此物体在力的方向上
移动的距离是 米．【答案】36
【分析】由题意及图像易得反比例函数解析式，然后再把 牛代入函数关系式即
可求解．
【详解】解： 力 （牛）与此物体在力的方向上移动的距离 （米）成反比例函数关
系，
设其函数关系式为 ，
点 在该反比例函数图象上，
，
解得： ，
该反比例函数的函数关系式为 ，
当 牛时，则 ，
（米），
故答案为：36．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求解反比例函数
解析式是解题的关键．
14．2022北京冬奥会已于2月20日圆满闭幕，北京冬（残）奥会吉祥物“冰墩墩”和
“雪容融”引起许多人的喜爱，某商场以200元/件的价格购进一批“冰墩墽”和“雪
容融”玩具套装礼品，标价300元/件出售，节假日打折促销，为了保证利润崒不低于
，则每件套装礼品在销售时最多可 打折．
【答案】8
【分析】设每件套装礼品在销售时打 折，根据题意和题目中的数据，可以列出相应
的不等式，然后求解即可．
【详解】解：设每件套装礼品在销售时打 折，
由题意得： ，解得 ，
每件套装礼品在销售时最多可打8折，
故答案为：8．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的
不等式．
15．如图，正方形 的边长为1，正方形 的边长为2，正方形
的边长为4，正方形 的边长为8…依次规律继续作正方形 ，且点 ，
， ， ，…， 在同一条直线上，连接 交， 于点 ，连接 ，交
于点 ，连接 ，交 于点 ，…记四边形 的面积为 ，四边形
的面积为 ，四边形 的面积为 ，…，四边形 的面积
为 ，则 ．
【答案】
【分析】先根据正方形的性质、相似三角形的判定与性质计算出 ， ， 的面积，
从中探索发现其蕴含的规律，代入计算即可．
【详解】解：∵正方形 的边长为1，正方形 的边长为2，
∴ ， ，
，∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ， ，
归纳类推得： （ 为正整数），
则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，正确归纳类推出一般
规律是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题个7分，共24分）
16．（1）计算：（ ＋ ）× ﹣ ＋ ；
（2）已知直线y＝kx＋b经过（1，0），（2，3），求直线的解析式．
【答案】（1）2 +4 ；（2）y＝3x﹣3
【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则算乘法，再根据二次根式的加减法则算加减
即可；
（2）把点的坐标代入函数的解析式，得出关于k、b的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：（1）（ ＋ ）× ﹣ ＋
＝4 +3 ﹣2 ＋
＝2 +4 ；
（2）∵直线y＝kx＋b经过点（1，0），（2，3），
∴代入得： ，
解得：k＝3，b＝﹣3，
∴直线的解析式是y＝3x﹣3．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，待定系数法求一次函数解析式．（1）中熟练
掌握二次根式的混合运算的运算顺序和每一步的运算法则是解题关键；（2）中能根据
题意列出二元一次方程组并正确求解是解题关键．
17．某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．
回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？
【答案】篮球的单价为 元，排球的单价为 元．
【分析】设排球的单价为x元，则篮球的单价为 元，根据“用 元购买的排
球个和用 元购买的篮球个数相等”列方程，解方程并检验即可．
【详解】设排球的单价为x元，则篮球的单价为 元，根据题意，列方程得：
．
解得： ．
经检验， 是原方程的根，
当 时， ．
答：篮球的单价为 元，排球的单价为 元．
【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，分式方程的解法的运用，解答时根据
排球和篮球的数量相等建立方程是解题的关键．
18．如图，在 的正方形网格中， ， ， ， 均在网格的格点上．
(1)平移线段 ，使得 点与 点重合，画出平移后的线段 ；
(2) 绕 点顺时针旋转 ，画出旋转后的三角形 ， 点旋转所经过的路线长为__________．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析，
【分析】（1）根据平移的性质找到点B的对应点，再画出图形；
（2）找到旋转后的对应点，依次连接，再根据旋转找到点B经过的路线，利用弧长公
式计算即可．
【详解】（1）解：如图，线段 即为所求；
（2）如图， 即为所求．
点旋转所经过的路线为弧 ，
∵ ，
∴路线长为 ．
【点睛】本题考查了平移作图和旋转作图，勾股定理，求弧长，解题的关键是正确画
出图形，找到正确的路线．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．如图，已知 是等边三角形，边长为 平分 交 于点 ．(1)尺规作图：在线段 上找一点 ，使得 ；（不要求写作法，保留
作图痕迹）
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) cm
【分析】（1）作 的垂直平分线，交 于点E，根据线段垂直平分线的性质可得
，则 ，故点E即为所求；
（2）根据等边三角形的性质和（1）的结论可得 ， ，然后利用30
度角的正切求解即可．
【详解】（1）如图所示，点E即为所求．
（2） 等边 中， ，
又 平分 ，
，
由（1）得： ，
在 中， ，
即 ．
cm．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、尺规作线段的垂直平分线、解直角三角形等
知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
20．为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新
的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测
试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷
进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．
表1：前测数据
测试分数x
控制班A 28 9 9 3 1
实验班B 25 10 8 2 1
表2：后测数据
测试分数x
控制班A 14 16 12 6 2
实验班B 6 8 11 18 3
(1)A，B两班的学生人数分别是多少？
(2)请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．
(3)通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．
【答案】(1)A，B两班的学生人数分别是50人，46人
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由统计表中的数据个数之和可得两个班的总人数；
（2）先求解两个班成绩的平均数，再判断中位数落在哪个范围，以及15分以上的百
分率，再比较即可；
（3）先求解前测数据的平均数，判断前测数据两个班的中位数落在哪个组，计算15
人数的增长百分率，再从这三个分面比较即可．
【详解】（1）解： A班的人数： （人）
B班的人数： （人）
答：A，B两班的学生人数分别是50人，46人．
（2） ，
，从平均数看，B班成绩好于A班成绩．
从中位数看，A班中位数在 这一范围，B班中位数在 这一范围，B
班成绩好于A班成绩．
从百分率看，A班15分以上的人数占16%，B班15分以上的人数约占46%，B班成绩
好于A班成绩．
（3）前测结果中：
从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教
学方法效果较好．
从中位数看，两班前测中位数均在 这一范围，后测A班中位数在 这
一范围，B班中位数在 这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升
得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从百分率看，A班15分以上的人数增加了100%，B班15分以上的人数增加了600%，
两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较
好．
【点睛】本题考查的是从统计表中获取信息，平均数，中位数的含义，增长率的含义，
选择合适的统计量作分析，熟练掌握基础的统计知识是解本题的关键．
21．如图①，这是一款升降电脑桌，它的升降范围是 ，图②是它的示意图．
已知 ，点 、 在 上滑动，点 ， 在 上滑动， ， 相交于点
， ．
(1)如图②，当 时，求这款电脑桌当前的高度；
(2)当电脑离桌从图②位置升到最大高度（如图③）时，求 的度数及点 滑动的
距离．（结果精确到十分位，参考数据： ， ， ，
， ）【答案】(1)这款电脑桌当前的高度为
(2) 的大小约为 ，点 滑动的距离约为
【分析】（1）过点 作 于点 ，交 于点 ，根据含有 角的直角三角
形的性质即可得出答案；
（2）先求出图 中 的长，再根据 解直角三角形 得出图 中 的长，
相减即可得出结论
【详解】（1）过点 作 于点 ，交 于点 ，如图：
，
，
∴当 时， ，
在 中
，
在 中，
同理可得：
，
即这款电脑桌当前的高度为 ；
（2）在图 的 中，
，
当电脑桌从图 位置升到最大高度 如图 时，则 ，如图：，
在 中，
，
，
，
，
即 的大小约为 ，点 滑动的距离约为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，读懂题意得出 的长是解题的关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．综合与探究
问题情境：如图，已知 为 的直径，点C为 上异于A，B的一点，过点C作
的切线 ，过点A作 于点D，连接 ．
(1)探究发现：证明：无论点C在何处，将 沿 折叠，点D一定落在直径
上；
(2)探究引申：如图2，勤奋小组继续探究发现，若 是等腰三角形且对称轴经过
点D，此时， 与 存在数量关系，请写出结论并证明；
(3)探究规律：如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当 为正三角形时，
与 存在的数量关系是： ______ ．
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析(3)
【分析】（1）先根据切线的性质得到 ，再证明 得到
，加上 ，所以 ，然后根据折叠的性质可
判断将 沿 折叠，点 一定落在直径 上；
（2）由于 是等腰三角形且对称轴经过点 ，则根据折叠的性质得到 ，
再证明 ，接着根据切线的性质得到 ，则可计算出 ，
然后证明四边形 为矩形，则 ，从而得到 ；
（3）先根据正三角形的性质得到 ， ，再计算 ，则利
用含30度角的直角三角形三边的关系得到 ， ，则
，从而得到 ．
【详解】（1）证明： 为 的切线，
，
，
，
，
，
，
∴∠DAC=∠OAC，
无论点 在何处，将 沿 折叠，点 一定落在直径 上；
（2）解： ．
理由如下： 是等腰三角形且对称轴经过点 ，
，
，
为 的切线，
，
，，
，
，
四边形 为矩形，
，
；
（3）解： 为正三角形，
， ，
，
，
， ，
，
，
而 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三
角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和折叠的性质．
23．（1）如图1，在矩形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，垂
足为点 ．求证： ．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，延长
到点 ，使 ，连接 ．求证： ．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，
， ，求 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3
【分析】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正
方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等
知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角
形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
（1）由矩形的性质得 ，再证 ，即可得出结论；
（2）证 ，得 ，再证 ，得 ，
然后由平行线的性质得 ，即可得出结论；
（3）延长 至点 ，使 ，连接 ， ，得
， ，再证 是等边三角形，得 ，即可解决
问题．
【详解】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明： 四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
，
，
点 在 的延长线上，
，
又 ，，
，
，
，
；
（3）解：如图3，延长 至点 ，使 ，连接 ，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
即 的长为3．
