文档内容
2024 年中考第三次模拟考试（甘肃卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A A C C D A B A D B B C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．﹣30
14．∠ACD＝90°（答案不唯一）．
15．
16．4
三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（4分）【详解】解：
原式＝2 ﹣3 +5 （3分）
＝4 （4分）
18．（4分）【详解】解： ÷ ﹣
＝ ﹣ （1分）
＝
＝ ，（3分）
当m＝4时，原式＝ ＝ ．（4分）19．（4分）【详解】】解： ，
解不等式①得，x＞1，（1分）
解不等式②得，x≤4，（2分）
则不等式组的解集为1＜x≤4．（4分）
20．（5分）【详解】【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠FCD，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，（1分）
又∵AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．（3分）
（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，
∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，（4分）
∵△ABE≌△CDF，
∴∠CFD＝∠AEB＝100°．（5分）
21．（6分）【详解】解：延长AC交EF于P，交MN于Q，如图所示：
则QN＝AB＝1.6m，PQ＝FN＝6m，
在Rt ECP中，∠ECP＝60°，tan∠ECP＝ ＝tan60°＝ ，
△
∴EP＝ CP，（1分）
设CP＝x m，则EP＝ x m，
∴AP＝AC+CP＝（8+x）m，AQ＝AC+CP+PQ＝8m+x m+6m＝（14+x）m，（2分）
∵tan∠EAP＝ ＝tan35°≈0.7，
∴ ≈0.7，
解得：x＝5.6，（4分）
∴AQ＝19.6（m），
∵tan∠MAQ＝ ＝tan35°≈0.7，
∴MQ≈0.7AQ＝0.7×19.6＝13.72（m），（5分）
∴MN＝MQ+QN＝13.72+1.6≈15（m），答：大树的高MN约为15m．（6分）
22．（6分）【详解】解：（1）设y ＝kx，
甲 1
根据题意得4k＝80，解得k＝20，
1 1
∴y ＝20x；（1分）
甲
设y ＝kx+80，
乙 2
根据题意得：12k+80＝200，
2
解得k＝10，
2
∴y ＝10x+80；（2分）
乙
（2）解方程组 （3分）
解得： ，
∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；（4分）
（3）当y＝240时，y ＝20x＝240，
甲
∴x＝12；
当y＝240时，y ＝10x+80＝240，
乙
解得x＝16；（5分）
∵12＜16，
∴选择乙种更合算．（6分）
23．（6分）【详解】解：（1） ＝（110+90+83+87+80）÷5＝90（分）；（1分）
（2）甲队成绩的极差是98﹣80＝18分，
乙队成绩的极差是110﹣80＝30分；（3分）（3）从平均分看，两队的平均分相同，实力大体相当；
从折线的走势看，甲队比赛成绩呈上升趋势，而乙队比赛成绩呈下降趋势；
从获胜场数看，甲队胜三场，乙队胜两场，甲队成绩较好；
从极差看，甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小，甲队成绩较稳定．（5分）
综上，选派甲队参赛更能取得好成绩．（6分）
24．（6分）【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CBA+∠CAB＝90°，AC⊥BD，
∵AD＝AE，
∴∠CAD＝∠CAE，（1分）
∵C是弧AF的中点，
∴ ，
∴∠CAF＝∠CBA，
∴∠CAD＝∠CBA，
∴∠CAD+∠CAB＝90°，
即∠DAB＝90°，
∴AD⊥OA，（2分）
又∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O切线；（3分）
（2）解：∵C是弧AF的中点，
∴ ，
∴∠CBF＝∠CBA，（4分）
设∠CBF＝∠CBA＝x，∠EAB＝y，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠FAB+∠FBA＝90°，
即y+2x＝90°，
∴y＝90°﹣2x，
∵∠FEB＝∠EAB+∠EBA＝y+x，∴∠AEO＝180°﹣∠OEB﹣∠FEB＝180°﹣45°﹣y﹣x＝135°﹣x﹣y＝135°﹣x﹣（90°﹣2x）＝45°+x，
∵∠AOE＝∠OEB+∠OBE＝45°+x，
∴∠AEO＝∠AOE，
∴AE＝AO，
∵∠ACB＝∠ACB，∠CAE＝∠CBA，
∴△CEA∽△CAB，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴CB＝2CA，
∴AB＝ ＝ ＝ CA，
∴sin∠ABD＝ ＝ ＝ ．（6分）
25.（7分）【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数 的图象相交于A（﹣2，
1
3），
∴k＝﹣2×3＝﹣6，3＝﹣2k+b①，
2 1
∴反比例函数解析式为y＝﹣ ，（1分）
∵点B的横坐标为6，
∴点B（6，﹣1），
∴﹣1＝6k+b②，
1
①﹣②得：k＝﹣ ，
1
∴b＝2，
∴一次函数解析式为y＝﹣ x+2；（2分）
（2）由图象可得：当x＜﹣2或0＜x＜6时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
即kx+b﹣ ＞0；（3分）
1
（3）当x＝0时，y＝2，∴S ＝S +S ＝ ×2×2+ ×2×6＝8，
AOB ACO BCO
△ △ △
S ＝ ×2×2＝2，（4分）
AOC
△
分两种情况：
①如图1，当P在线段AB上时，
∵ ，
∴S ＝ ×8＝ ，S ＝2﹣ ＝ ，
AOP POC
△ △
∴ ×2×|x |＝ ，
P
∴x ＝﹣ ，
P
∴点P的坐标为（﹣ ， ）；（5分）
②如图2，当点P在线段BA的延长线上时，
∵ ，
∴S ＝ ×8＝ ，S ＝2+ ＝ ，
AOP POC
△ △∴ ×2×|x |＝ ，
P
∴x ＝﹣ ，
P
∴点P的坐标为（﹣ ， ）；
综上所述，点P的坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ， ）．（6分）
26．（7分）【详解】解：（1）∵AD：AC＝4：5．
∴可设AD＝4x，AC＝5x，
在Rt ACD中，CD＝9，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，
∴（5△x）2＝（4x）2+92，解得：x＝3或x＝﹣3（舍去）
∴AD＝4x＝12，AC＝5x＝15，（1分）
在Rt ABD中，AB＝13，由勾股定理得：
△
∴BD＝ ＝ ＝5，
∴BC＝BD+CD＝5+9＝14，
∴△ABC的面积为 AD× ＝84；（2分）
（2）由△PAB为轴对称图形，得：△PAB是等腰三角形，
如图，当AB＝BP＝13时，
∴PC＝BC﹣BP＝14﹣13＝1，
此时t＝ （秒）；（3分）
如图，当AB＝AP＝13时，点P只能在线段CD上，∵AD⊥BC，
∴PD＝BD＝5，
∴BP＝10，
∴PC＝BC﹣BP＝4，
∴t＝ ＝2（秒）；（4分）
如图，当BP＝AP，且点P在线段CD上时，
设DP＝a，则BP＝AP＝5+a，
在Rt ADP中，由勾股定理得：AP2＝AD2+DP2，
∴（5△+a）2＝122+a2，
解得：a＝ ，
即DP＞DC，故此情况不成立；（5分）
如图，当BP＝AP，且点P在线段AD上时，过点P作PM作PM⊥AB于点M，设PD＝m，则BP＝AP＝12﹣m，
在Rt BDP中，由勾股定理得：BP2＝BD2+DP2，
△
∴（12﹣m）2＝52+m2，解得：m＝ ，
∴PD+CD＝9+ ，
∴此时t＝ （秒）；（6分）
综上所述，当t为 秒或2秒或 秒时，△PAB为轴对称图形．（7分）
27．（8分）【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y
轴交于点C（0，3），
∴ ，
解得： ，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2分）
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+n，则 ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，（3分）
过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，如图，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），
∴PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∵PE∥x轴，
∴△EPD∽△ABD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝﹣ （t+ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴当t＝﹣ 时， 的值最大，最大值为 ，此时点P的坐标为（﹣ ， ）；（5分）
（3）如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3），
则M（m，m+3），
∴PM＝|m+3﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|m2+3m|，
CM＝ ＝ |m|，（6分）
∵△PCM沿直线PC翻折，M的对应点为点M′，M′落在y轴上，
而PM∥y轴，
∴PM∥CM′，PM＝PM′，CM＝CM′，∠PCM＝∠PCM′，
∴∠PCM′＝∠MPC，
∴∠PCM＝∠MPC，∴PM＝CM，
∴|m2+3m|＝ |m|，
当m2+3m＝ m时，
解得：m＝0（舍去），m＝ ﹣3，
1 2
此时点M（ ﹣3， ）；
当m2+3m＝﹣ m时，
解得：m＝0（舍去），m＝﹣ ﹣3，
1 2
此时点M（﹣ ﹣3，﹣ ）；
综上，点M的坐标为（ ﹣3， ）或（﹣ ﹣3，﹣ ）．（8分）
28．（9分）【详解】解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°；
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE；
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABP＝ ∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝60°+30°＝90°，∴CE⊥BC；
故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；（2分）
（2）（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：
如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，
∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°﹣∠DAP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠CAE＝60°+60°﹣∠DAP＝120°﹣∠DAP，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠DCE+∠ADC＝90°，
∴∠CHD＝90°，
∴CE⊥AD；
∵AD∥BC，
∴CE⊥BC．
∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立；（4分）
（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD BD平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，AB＝2 ，
∴∠ABO＝30°，
∴AO＝ AB＝ ，OB＝ AO＝3，
∴BD＝6，（6分）
由（2）知CE⊥AD，
∵AD∥BC，
∴CE⊥BC，
∵BE＝2 ，BC＝AB＝2 ，
∴CE＝ ＝8，
由（2）知BP＝CE＝8，
∴DP＝2，
∴OP＝5，
∴AP＝ ＝ ＝2 ，
∵△APE是等边三角形，
∴S ＝ ×（2 ）2＝7 ，（8分）
AEP
△
如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得AP＝ ＝ ＝2 ，∴S ＝ ×（2 ）2＝31 ，
AEP
△
综上所述，△AEP的面积为7 或31 ．（9分）
