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2014年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个
均记零分）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣（﹣3）2＝9 B． ＝3 C．﹣（﹣2）0＝1 D．|﹣3|＝﹣3
2．（3分）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）图甲是某零件的直观图，则它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）第六次全国人口普查数据显示，德州市常驻人口约为556.82万人，此数用科学记数
法表示正确的是（ ）
A．556.82×104 B．5.5682×102 C．5.5682×106 D．5.5682×105
5．（3分）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C为（ ）
第1页（共26页）A．30° B．60° C．80° D．120°
6．（3分）不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB
的长为（ ）
A．4 米 B．6 米 C．12 米 D．24米
8．（3分）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐
店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信
息，以下四个说法错误的是（ ）
A．体育场离张强家2.5千米
B．张强在体育场锻炼了15分钟
C．体育场离早餐店4千米
第2页（共26页）D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时
9．（3分）雷霆队的杜兰特当选为2013﹣2014赛季NBA常规赛MVP，下表是他8场比赛的得
分，则这8场比赛得分的众数与中位数分别为（ ）
场次 1 2 3 4 5 6 7 8
得分 30 28 28 38 23 26 39 42
A．29 28 B．28 29 C．28 28 D．28 27
10．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．若a＞b，则c﹣a＜c﹣b
B．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖
C．点M（x ，y ），点N（x ，y ）都在反比例函数y＝ 的图象上，若x ＜x ，则y ＞y
1 1 2 2 1 2 1 2
D．甲、乙两射击运动员分别射击10次，他们射击成绩的方差分别为S ＝4，S ＝9，
这过程中乙发挥比甲更稳定
11．（3分）分式方程 ﹣1＝ 的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1+ C．x＝2 D．无解
12．（3分）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸
片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结
论：
四边形CFHE是菱形；
①EC平分∠DCH；
②线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
③当点H与点A重合时，EF＝2 ．
④以上结论中，你认为正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
第3页（共26页）13．（4分）﹣ 的相反数是 ．
14．（4分）若 ，则（x+y）y＝ ．
15．（4分）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三
点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是 ．
16．（4分）方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根x ，x 满足x 2+x 2＝4，则k的值为 ．
1 2 1 2
17．（4分）如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依
次为A ，A ，A …A ，…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满
1 2 3 n
足下列条件：
抛物线的顶点M ，M ，M ，…M ，…都在直线L：y＝x上；
1 2 3 n
①抛物线依次经过点A
1
，A
2
，A
3
…A
n
，…．
②则顶点M
2014
的坐标为（ ， ）．
三、解答题（本大题共7小题，共61分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（6分）先化简，再求值： ÷ ﹣1．其中a＝2sin60°﹣tan45°，b＝1．
19．（8分）2011年5月，我市某中学举行了“中国梦•校园好少年”演讲比赛活动，根据学生
的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图．
第4页（共26页）根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加演讲比赛的学生共有 人，并把条形图补充完整；
（2）扇形统计图中，m＝ ，n＝ ；C等级对应扇形的圆心角为 度；
（3）学校欲从获A等级的学生中随机选取2人，参加市举办的演讲比赛，请利用列表法或
树状图法，求获A等级的小明参加市比赛的概率．
20．（8分）目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号
召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
进价（元/只） 售价（元/只）
甲型 25 30
乙型 45 60
（1）如何进货，进货款恰好为46000元？
（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？
21．（10分）如图，双曲线y＝ （x＞0）经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A
的坐标为（2，3）．
（1）确定k的值；
（2）若点D（3，m）在双曲线上，求直线AD的解析式；
（3）计算△OAB的面积．
第5页（共26页）22．（10分）如图， O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与
O，AB的交点，⊙P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
⊙（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与 O的位置关系，并说明理由．
⊙
23．（10分）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，
CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G．使 DG＝BE．连结 AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且
∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中
心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正
东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前
进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为
70°，试求此时两舰艇之间的距离．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动
第6页（共26页）点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合
条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为
F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
第7页（共26页）2014 年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个
均记零分）
1．【分析】A．平方是正数，相反数应为负数，
B，开立方符号不变．
C.0指数的幂为1，1的相反数是﹣1．
D．任何数的绝对值都≥0．
【解答】解：A、﹣（﹣3）2＝9，故A选项错误，
B、 ＝3，故B选项正确，
C、﹣（﹣2）0＝1，故C选项错误，
D、|﹣3|＝﹣3，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查立方根，绝对值，零指数的幂，解本题的关键是确定符号．
2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故C选项不合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后
与原图重合．
3．【分析】根据主视图是从正面看得到的视图判定则可．
【解答】解：从正面看，主视图为 ．
故选：A．
第8页（共26页）【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看到的视图．
4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将556.82万人用科学记数法表示为5.5682×106人．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠EAD＝∠B，再根据角平分线的定义求出
∠EAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD∥BC，∠B＝30°，
∴∠EAD＝∠B＝30°，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAC＝2∠EAD＝2×30°＝60°，
∴∠C＝∠EAC﹣∠B＝60°﹣30°＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及三角形的一个外角等于与它不
相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
6．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的
解集表示在数轴上即可．
【解答】解： ，
解得 ，
故选：D．
【点评】本题考查了在数轴表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来
（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表
示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．
在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7．【分析】先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，
第9页（共26页）∵i＝ ＝ ，AC＝12米，
∴BC＝6米，
根据勾股定理得：
AB＝ ＝6 米，
故选：B．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度
的定义求出BC的长是解题的关键．
8．【分析】结合图象得出张强从家直接到体育场，故第一段函数图象所对应的y轴的最高点
即为体育场离张强家的距离；进而得出锻炼时间以及整个过程所用时间．由图中可以看出，
体育场离张强家2.5千米；平均速度＝总路程÷总时间．
【解答】解：A、由函数图象可知，体育场离张强家2.5千米，故A选项正确；
B、由图象可得出张强在体育场锻炼30﹣15＝15（分钟），故B选项正确；
C、体育场离张强家2.5千米，体育场离早餐店距离无法确定，因为题目没说体育馆，早餐
店和家三者在同一直线上，故C选项错误；
D、∵张强从早餐店回家所用时间为95﹣65＝30（分钟），距离为1.5km，
∴张强从早餐店回家的平均速度1.5÷0.5＝3（千米/时），故D选项正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了函数图象与实际问题，根据已知图象得出正确信息是解题关键．
9．【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：23，26，28，28，30，38，39，42，
则众数为：28，
中位数为： ＝29．
故选：B．
【点评】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数
据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的
数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这
组数据的中位数．
10．【分析】根据不等式的性质对A进行判断；
根据概率的意义对B进行判断；
第10页（共26页）根据反比例函数的性质对C进行判断；
根据方差的意义对D进行判断．
【解答】解：A、当a＞b，则﹣a＜﹣b，所以c﹣a＜c﹣b，故A选项正确；
B、某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票不一定会中奖，故B选项错误；
C、点M（x ，y ），点N（x ，y ）都在反比例函数y＝ 的图象上，若0＜x ＜x ，则y ＞y ，故
1 1 2 2 1 2 1 2
C选项错误；
D、甲、乙两射击运动员分别射击10次，他们射击成绩的方差分别为S ＝4，S ＝9，
这过程中甲发挥比乙更稳定，故D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和
结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成
“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
11．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得
到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，
去括号得：x2+2x﹣x2﹣x+2﹣3＝0，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转
化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
12．【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根
据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出 正确；
根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH①＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时
EC平分∠DCH，判断出 错误；
点H与点A重合时，设B②F＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到
BF的最小值，点G与点D重合时，CF＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断
出 正确；
过③点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出 正确．
④
第11页（共26页）【解答】解：∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形，（故 正确）；
①
∴∠BCH＝∠ECH，
∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，（故 错误）；
②
点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
点G与点D重合时，CF＝CD＝4，
∴BF＝4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故 正确）；
③
过点F作FM⊥AD于M，
则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，
由勾股定理得，
EF＝ ＝ ＝2 ，（故 正确）；
④
综上所述，结论正确的有 共3个．
故选：C． ①③④
【点评】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于 判
断出BF最小和最大时的两种情况． ③
第12页（共26页）二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．【分析】求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：﹣ 的相反数是﹣（﹣ ）＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；
一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的
意义与倒数的意义混淆．
14．【分析】根据被开方数是非负数，可得x、y的值，根据负数的乘方，可得答案．
【解答】解：由 ，得
x＝4，y＝﹣2，
（x+y）y＝（4﹣2）﹣2＝2﹣2＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出x、y的值是解题
关键，又利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．
15．【分析】观察发现，阴影部分的面积等于正三角形ABC的面积减去三个圆心角是60°，半
径是2的扇形的面积．
【解答】解：连接AD．
∵△ABC是正三角形，BD＝CD＝1，
∴∠BAC＝∠B＝∠C＝60°，AD⊥BC．
∴AD＝ ．
∴阴影部分的面积＝ ×2× ﹣3× ＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
第13页（共26页）【点评】此题主要考查了扇形面积的计算，能够正确计算正三角形的面积和扇形的面积．
正三角形的面积等于边长的平方的 倍，扇形的面积＝ ．
16．【分析】由x 2+x 2＝x 2+2x •x +x 2﹣2x •x ＝（x +x ）2﹣2x •x ＝4，然后根据根与系数的关
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．
【解答】解：∵方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根，
∴△＝4k2﹣4（k2﹣2k+1）≥0，
解得 k≥ ．
∵x 2+x 2＝4，
1 2
∴x 2+x 2＝x 2+2x •x +x 2﹣2x •x ＝（x +x ）2﹣2x •x ＝4，
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
又∵x +x ＝﹣2k，x •x ＝k2﹣2k+1，
1 2 1 2
代入上式有4k2﹣2（k2﹣2k+1）＝4，
解得k＝1或k＝﹣3（不合题意，舍去）．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根
为x ，x ，则x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．
1 2 1 2 1 2
17．【分析】根据抛物线y＝x2与抛物线y ＝（x﹣a ）2+a 相交于A ，可发现规律，根据规律，可
n n n n
得答案．
【解答】解：M （a ，a ）是抛物线y ＝（x﹣a ）2+a 的顶点，
1 1 1 1 1 1
抛物线y＝x2与抛物线y ＝（x﹣a ）2+a 相交于A ，
1 1 1 1
得x2＝（x﹣a ）2+a ，
1 1
即2a x＝a 2+a ，
1 1 1
x＝ （a +1）．
1
第14页（共26页）∵x为整数点
∴a ＝1，
1
M （1，1）；
1
M （a ，a ）是抛物线y ＝（x﹣a ）2+a ＝x2﹣2a x+a 2+a 顶点，
2 2 2 2 2 2 2 2 2
抛物线y＝x2与y 相交于A ，
2 2
x2＝x2﹣2a x+a 2+a ，
2 2 2
∴2a x＝a 2+a ，
2 2 2
x＝ （a +1）．
2
∵x为整数点，
∴a ＝3，
2
M （3，3），
2
M （a ，a ）是抛物线y ＝（x﹣a ）2+a ＝x2﹣2a x+a 2+a 顶点，
3 3 3 2 3 3 3 3 3
抛物线y＝x2与y 相交于A ，
3 3
x2＝x2﹣2a x+a 2+a ，
3 3 3
∴2a x＝a 2+a ，
3 3 3
x＝ （a +1）．
3
∵x为整数点
∴a ＝5，
3
M （5，5），
3
∴点M ，两坐标为：2014×2﹣1＝4027，
2014
∴M （4027，4027），
2014
故答案为：（4027，4027）
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，定点沿直线y＝x平移是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共61分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
18．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值，把a、b的值代入进
行计算即可．
【解答】解：原式＝ ÷ ﹣1
＝ • ﹣1
第15页（共26页）＝ ﹣1
＝ ，
当a＝2sin60°﹣tan45°＝2× ﹣1＝ ﹣1，b＝1时，
原式＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，要熟记特殊角的三角函数值．
19．【分析】（1）根据D等级的有12人，占总数的30%，即可求得总人数，利用总人数减去其
它等级的人数求得B等级的人数，从而作出直方图；
（2）根据百分比的定义求得m、n的值，利用360°乘以C等级所占的百分比即可求得对应
的圆心角；
（3）利用列举法即可求解．
【解答】解：（1）参加演讲比赛的学生共有：12÷30%＝40（人），
则B等级的人数是：40﹣4﹣16﹣12＝8（人）．
（2）A所占的比例是： ×100%＝10%，
C所占的百分比： ×100%＝40%．
C等级对应扇形的圆心角是：360×40%＝144°；
（3）设A等级的小明用a表示，其他的几个学生用b、c、d表示．
第16页（共26页）共有12种情况，其中小明参加的情况有6种，则P（小明参加比赛）＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．【分析】（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，根据两种节能
灯的总价为46000元建立方程求出其解即可；
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200﹣a）只，商场的获利为y元，由
销售问题的数量关系建立y与a的解析式就可以求出结论．
【解答】解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，由题意，得
25x+45（1200﹣x）＝46000，
解得：x＝400．
∴购进乙型节能灯1200﹣400＝800（只）．
答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200﹣a）只，商场的获利为y元，由
题意，得
y＝（30﹣25）a+（60﹣45）（1200﹣a），
y＝﹣10a+18000．
∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，
∴﹣10a+18000≤[25a+45（1200﹣a）]×30%，
∴a≥450．
∵y＝﹣10a+18000，
∴k＝﹣10＜0，
∴y随a的增大而减小，
∴a＝450时，y最大＝13500元．
∴商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元．
【点评】本题考查了单价×数量＝总价的运用，列了一元一次方程解实际问题的运用，一次
函数的解析式的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
第17页（共26页）21．【分析】（1）将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）将D坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出D坐标，设直线AD解析式为y＝
kx+b，将A与D坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AD解析式；
（3）过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，得到CN与BM平行，进而确
定出三角形OCN与三角形OBM相似，根据C为OB的中点，得到相似比为1：2，确定出
三角形OCN与三角形OBM面积比为1：4，利用反比例函数k的意义确定出三角形OCN
与三角形AOM面积，根据相似三角形面积之比为1：4，求出三角形AOB面积即可．
【解答】解：（1）将点A（2，3）代入解析式y＝ ，
得：k＝6；
（2）将D（3，m）代入反比例解析式y＝ ，
得：m＝ ＝2，
∴点D坐标为（3，2），
设直线AD解析式为y＝kx+b，
将A（2，3）与D（3，2）代入
得： ，
解得：
则直线AD解析式为y＝﹣x+5；
（3）过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，
∵AB∥x轴，
∴BM⊥y轴，
∴MB∥CN，
∴△OCN∽△OBM，
∵C为OB的中点，即 ＝ ，
第18页（共26页）∴ ＝（ ）2，
∵A，C都在双曲线y＝ 上，
∴S△OCN ＝S△AOM ＝3，
由 ＝ ，
得：S△AOB ＝9，
则△AOB面积为9．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与
图形性质，相似三角形的判定与性质，以及反比例函数k的意义，熟练掌握待定系数法是
解本题的关键．
22．【分析】（1）连接BD，先求出AC，在Rt△ABC中，运用勾股定理求AC， 由CD平分
∠ACB，得出AD＝BD，所以Rt△ABD是直角等腰三角形，求出AD， ②
（2）连接OC，由角的关系求出∠PCB＝∠ACO，可得到∠OCP＝90°，所以直线PC与 O
相切． ⊙
【解答】解：（1） 如图，连接BD，
∵AB是直径， ①
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，
AC＝ ＝ ＝8（cm），
∵CD平分∠ACB，
②∴∠ACD＝∠BCD，
∴ ，
∴AD＝BD，
第19页（共26页）∴Rt△ABD是直角等腰三角形，
∴AD＝ AB＝ ×10＝5 cm；
（2）直线PC与 O相切．理由如下：
连结OC如图， ⊙
∵PC＝PE，
∴∠PCE＝∠PEC，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
而∠PEC＝∠EAC+∠ACE，∠PCE＝∠PCB+∠BCE，
∴∠EAC＝∠PCB，
∴AB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
而∠ABC＝∠OCB，
∴∠BAC+∠OCB＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即∠PCO＝90°，
∴PC⊥OC
∴直线PC与 O相切
⊙
【点评】本题主要考查了切线的判定，勾股定理和圆周角，解题的关键是运圆周角和角平
分线及等腰三角形正确找出相等的角．
第20页（共26页）23．【分析】问题背景中，根据小亮的设计可以得到所要的结论；
探索延伸中，先判断结论是否成立，然后根据图形和题目中条件，作出合适的辅助线，进
行说明即可；
在实际应用中，根据题目中的条件进行合理的推导，只要能说明符合探索延伸的条件，即
可解答本题．
【解答】解：问题背景：
∵小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，
∴EF＝FG，FG＝FD+DG＝FD+BE，
∴EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD；
探索延伸：
上述结论EF＝BE+FD成立，
理由：如图2，延长FD到点G，使得DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠GAF＝∠EAF，
又∵AG＝AE，AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝GF，
∵GF＝DF+DG＝DF+BE，
∴EF＝BE+FD；
实际应用：
如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
在四边形AOBC中，
第21页（共26页）∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠FOE＝70°＝ ，
又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝60°+120°＝180°，
∴图3符合探索延伸的条件，
∴EF＝AE+FB＝1.5×（60+80）＝210（海里），
即此时两舰艇之间的距离210海里．
【点评】本题考查三角形综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用
数形结合的思想进行解答．
24．【分析】方法一：
（1）根据A的坐标，即可求得OA的长，则B、C的坐标即可求得，然后利用待定系数法即
可求得函数的解析式；
（2）分点A为直角顶点时，和C的直角顶点两种情况讨论，根据OA＝OC，即可列方程求
解；
（3）据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短，根据等腰三角形的性质，D
是AC的中点，则DF＝ OC，即可求得P的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得横
坐标，得到P的坐标．
方法二：
（1）略．
（2）因为AC为直角边，分类讨论PC⊥AC 及AP⊥AC两种情况，利用斜率垂直公式求出
直线方程，再与抛物线联立，求出P点坐标．
（3）设P点参数坐标，从而得出E，F的参数坐标，利用两点间距离公式，得出EF的函数表
达式，从而求解．
【解答】方法一：
解：（1）由A（4，0），可知OA＝4，
第22页（共26页）∵OA＝OC＝4OB，
∴OA＝OC＝4，OB＝1，
∴C（0，4），B（﹣1，0）．
设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c，
则 ，
解得： ，
则抛物线的解析式是：y＝﹣x2+3x+4；
（2）存在．
第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP ⊥AC，交抛物线于点P ．过点P 作y轴
1 1 1
的垂线，垂足是M．
∵∠ACP ＝90°，
1
∴∠MCP +∠ACO＝90°．
1
∵∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠MCP ＝∠OAC．
1
∵OA＝OC，
∴∠MCP ＝∠OAC＝45°，
1
∴∠MCP ＝∠MP C，
1 1
∴MC＝MP ，
1
设P（m，﹣m2+3m+4），
则m＝﹣m2+3m+4﹣4，
解得：m ＝0（舍去），m ＝2．
1 2
∴﹣m2+3m+4＝6，
即P（2，6）．
第二种情况，当点A为直角顶点时：过A作AP ，交抛物线于点P ，过点P 作y轴的垂线，
2 2 2
垂足是N，AP 交y轴于点F．
2
∴P N∥x轴，
2
由∠CAO＝45°，
第23页（共26页）∴∠OAP ＝45°，
2
∴∠FP N＝45°，AO＝OF．
2
∴P N＝NF，
2
设P （n，﹣n2+3n+4），
2
则n＝（﹣n2+3n+4）+4，
解得：n ＝﹣2，n ＝4（舍去），
1 2
∴﹣n2+3n+4＝﹣6，
则P 的坐标是（﹣2，﹣6）．
2
综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；
（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC＝OA＝4，
根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴DF＝ OC＝2，
∴点P的纵坐标是2．
则﹣x2+3x+4＝2，
解得：x＝ ，
∴当EF最短时，点P的坐标是：（ ，2）或（ ，2）．
方法二：
第24页（共26页）（1）略．
（2） 当以C为直角顶点时，过点C作CP⊥AC，交抛物线于点P，
∵A（①4，0），C（0，4），
∴K ＝﹣1，
AC
∵CP⊥AC，∴K ×K ＝﹣1，K ＝1，
CP AC CP
∴l ：y＝x+4，
CP
∴ x2﹣2x＝0，
⇒
∴x ＝0（舍），x ＝2，
1 2
∴P（2，6），
当点A为直角顶点时，过点A做AP⊥AC交抛物线于点P，
②∵AP⊥AC，
∴K ×K ＝﹣1，
AP AC
∴K ＝1
AP
∴l ：y＝x﹣4，
AP
∴ x2﹣2x﹣8＝0，
⇒
∴x ＝4（舍），x ＝﹣2，∴P（﹣2，﹣6），
1 2
综上所述，P点的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6），
（3）设P（t，﹣t2+3t+4），E（0，﹣t2+3t+4），
l ：y＝﹣x+4，
AC
∴D（t2﹣3t，﹣t2+3t+4），F（t2﹣3t，0），
∴EF2＝（t2﹣3t）2+（t2﹣3t﹣4）2，
令t2﹣3t＝m，
∴EF2＝m2+（m﹣4）2＝2m2﹣8m+16，
∴当m＝2时，EF2有最小值，即t2﹣3t＝2时，
∴t＝ 或 ，
∴当EF最短时，点P的坐标是：（ ，2）或（ ，2）．
第25页（共26页）【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析
式，以及等腰三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
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日期：2019/10/23 19:55:29；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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