文档内容
2014 年苏州市初中毕业暨升学考试试卷
数 学
本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成．共29小题，满分130分．考试时间120分
钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．
1．(－3)×3的结果是
A．－9 B．0 C．9 D．－6
2．已知∠α和∠β是对顶角，若∠α＝30°，则∠β的度数为
A．30° B．60° C．70° D．150°
3．有一组数据：1，3.3，4，5，这组数据的众数为
A．1 B．3 C．4 D．5
4．若式子 可在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A．x≤－4 B．x≥－4 C．x≤4 D．x≥4
5．如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停
止转动时，指针指向阴影区域的概率是
1
A． B． C． D．
2
6．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为
A．30° B．40° C．45° D．60°
7．下列关于x的方程有实数根的是
A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋l＝0
8．一次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)．则代数式1－a－b的值为
A．－3 B．－1 C．2 D．59．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km．某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航
行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的
距离（即AB的长）为
A．4km B．2 km C．2 2 km D．（ ＋1）km
10．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为（2， ），底边OB在x轴上．将△AOB绕点
B按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为
A．（ ， ） B．（ ， ） C．（ ， ）D．（ ，4 ）
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．
11． 的倒数是 ▲ ．
12已知地球的表而积约为510000000km2．数510000000用科学记数法可以表示为 ▲ ．
13．已知正方形ABCD的对角线AC＝ 2 ，则正方形ABCD的周长为 ▲ ．
14．某学校计划开设A，B，C，D四门校本课程供全体学生选修，规定每人必须并且只能选修
其中一门．为了了解各门课程的选修人数，现从全体学牛中随机抽取了部分学牛进行调查，
并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人数为 1200名，由此可以
估计选修C课程的学生有 ▲ 人．
1
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC＝ ∠BAC，则tan∠BPC＝ ▲ ．
216．某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部
分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8
天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天，设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程
队平均每天疏通河道ym，则（x＋y）的值为 ▲ ．
17．如图，在矩形ABCD中， ，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E，若
AE·ED＝ ，则矩形ABCD的面积为 ▲ ．
18．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点
P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是 ▲ ．
三、解答题：本大题共11小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出
必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
19．（本题满分5分）
计算： ．
20．（本题满分5分）
解不等式组： ．21．（本题满分5分）
先化简，再求值： ，其中x＝ ．
22．（本题满分6分）
解分式方程： ．
23．（本题满分6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB．连
接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
(1)求证：△BCD≌△FCE；
(2)若EF∥CD．求∠BDC的度数．
1
24．（本题满分7分）如图，已知函数y＝－ x＋b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函
2
数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为2．在x轴上有一点P (a，0（) 其中a>2），过点P作
1
x轴的垂线，分别交函数y＝－ x＋b和y＝x的图象于点C，D．
2
(1)求点A的坐标；
(2)若OB＝CD，求a的值．25．（本题满分7分）如图，用红、蓝两种颜色随机地对A，B，C三个区域分别进行涂色，每个
区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法（画树状图或列表）求A，C两个区域所涂颜
色不相同的概率．
26（本题满分8分）如图，已知函数y＝ （x>0）的图象经过点A，B，点A的坐标为
(1，2)．过点A作AC∥y轴，AC＝1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象
交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC，OD．
(1)求△OCD的面积；
1
(2)当BE＝ AC时，求CE的长．
227．（本题满分8分）如图，已知⊙O上依次有A，B，C，D四个点， ，连接AB，AD，BD，
弦AB不经过圆心O．延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．
(1)若⊙O的半径为3，∠DAB＝120°，求劣弧 的长；
1
(2)求证：BF＝ BD；
2
(3)设G是BD的中点探索：在⊙O上是否存在点P（小同于点B），使得PG＝PF?并说明PB
与AE的位置关系．28．（本题满分9分）如图，已知l ⊥l ，⊙O与l ，l 都相切，⊙O的半径为2cm．矩形ABCD的边
1 2 1 2
AD，AB分别与l ，l 重合，AB＝4 cm，AD＝4cm．若⊙O与矩形ABCD沿l 同时向右移动，
1 2 1
⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t(s)．
(1)如图①，连接OA，AC，则∠OAC的度数为 ▲ °；
(2)如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O 的位置，矩形ABCD到达A B C D 的位
1 1 1 1 1
置，此时点O ，A ，C 恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离(即OO 的长）；
1 1 1 1
(3)在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为
d(cm)．当d<2时，求t的取值范围．（解答时可以利用备用图画出相关示意图）29．（本题满分10分）如图，一次函数y＝a(x2－2mx－3m2（) 其中a，m是常数，且a>0，m>0）
的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次
函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分
∠DAE．
(1)用含m的代数式表示a；
(2)求证： 为定值；
(3)设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段
GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点
G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．2014 年江苏省苏州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014•苏州）（﹣3）×3的结果是（ ）
A．﹣9B．0C．9D．﹣6
【解答】解：原式=﹣3×3=﹣9，
故选：A．
2．（3分）（2014•苏州）已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为（ ）
A．30°B．60°C．70°D．150°
【解答】解：∵∠α和∠β是对顶角，∠α=30°，
∴根据对顶角相等可得∠β=∠α=30°．
故选：A．
3．（3分）（2014•苏州）有一组数据：1，3，3，4，5，这组数据的众数为（ ）
A．1B．3C．4D．5
【解答】解：这组数据中3出现的次数最多，
故众数为3．
故选：B
4．（3分）（2014•苏州）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣4B．x≥﹣4C．x≤4D．x≥4
【解答】解：依题意知，x﹣4≥0，
解得x≥4．
故选：D．
5．（3分）（2014•苏州）如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个
转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设圆的面积为6，
∵圆被分成6个相同扇形，∴每个扇形的面积为1，
∴阴影区域的面积为4，
∴指针指向阴影区域的概率= = ．
故选：D．
6．（3分）（2014•苏州）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度
数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
【解答】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，
∴∠B=∠ADB=80°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，
∵AD=CD，
∴∠C= = =40°．
故选：B．
7．（3分）（2014•苏州）下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A．x2﹣x+1=0B．x2+x+1=0C．（x﹣1）（x+2）=0D．（x﹣1）2+1=0
【解答】解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；
B、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；
C、x﹣1=0或x+2=0，则x =1，x =﹣2，所以C选项正确；
1 2
D、（x﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误．
故选：C．
8．（3分）（2014•苏州）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b
的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．2D．5
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），
∴a+b﹣1=1，
∴a+b=2，
∴1﹣a﹣b=1﹣（a+b）=1﹣2=﹣1．
故选：B．
9．（3分）（2014•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，
沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的
方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）A．4kmB．2 kmC．2 kmD．（ +1）km
【解答】解：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，
∴AD= OA=2．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，
∴BD=AD=2，
∴AB= AD=2 ．
即该船航行的距离（即AB的长）为2 km．
故选：C．
10．（3分）（2014•苏州）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2， ），底边OB在x轴
上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，
则点O′的坐标为（ ）
A．（ ， ）B．（ ， ）C．（ ， ）D．（ ，4 ）
【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，
∵A（2， ），
∴OC=2，AC= ，
由勾股定理得，OA= = =3，
∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，
∴OB=2OC=2×2=4，由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，
∴O′D=4× = ，
BD=4× = ，
∴OD=OB+BD=4+ = ，
∴点O′的坐标为（ ， ）．
故选：C．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2014•苏州） 的倒数是 ．
【解答】解： 的倒数是 ，
故答案为： ．
12．（3分）（2014•苏州）已知地球的表面积约为510000000km2，数510000000用科学记数法
可表示为 5.1×1 0 8 ．
【解答】解：510 000 000=5.1×108．
故答案为：5.1×108．
13．（3分）（2014•苏州）已知正方形ABCD的对角线AC= ，则正方形ABCD的周长为 4
．
【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC= ，
∴边长AB= ÷ =1，
∴正方形ABCD的周长=4×1=4．
故答案为：4．
14．（3分）（2014•苏州）某学校计划开设A、B、C、D四门校本课程供全体学生选修，规定每人
必须并且只能选修其中一门，为了了解各门课程的选修人数．现从全体学生中随机抽取了部
分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人数为
1200名，由此可以估计选修C课程的学生有 24 0 人．【解答】解：C占样本的比例 ，
C占总体的比例是 ，
选修C课程的学生有1200× =240（人），
故答案为：240．
15．（3分）（2014•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC= ∠BAC，则
tan∠BPC= ．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=5，
∴BE= BC= ×8=4，∠BAE= ∠BAC，
∵∠BPC= ∠BAC，
∴∠BPC=∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE= ，∴tan∠BPC=tan∠BAE= ．
故答案为： ．
16．（3分）（2014•苏州）某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通．若甲工程队先用4天
单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工
程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天．设甲工程队平均每天疏
通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，则（x+y）的值为 2 0 ．
【解答】解：设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，由题意，得
，
解得： ．
∴x+y=20．
故答案为：20．
17．（3分）（2014•苏州）如图，在矩形ABCD中， = ，以点B为圆心，BC长为半径画弧，
交边AD于点E．若AE•ED= ，则矩形ABCD的面积为 5 ．
【解答】解：如图，连接BE，则BE=BC．
设AB=3x，BC=5x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3x，AD=BC=5x，∠A=90°，
由勾股定理得：AE=4x，
则DE=5x﹣4x=x，
∵AE•ED= ，∴4x•x= ，
解得：x= （负数舍去），
则AB=3x= ，BC=5x= ，
∴矩形ABCD的面积是AB×BC= × =5，
故答案为：5．
18．（3分）（2014•苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点
（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是
2 ．
【解答】解：如图，作直径AC，连接CP，
∴∠CPA=90°，
∵AB是切线，
∴CA⊥AB，
∵PB⊥l，
∴AC∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
∴△APC∽△PBA，
∴ ，
∵PA=x，PB=y，半径为4，
∴ = ，
∴y= x2，∴x﹣y=x﹣ x2=﹣ x2+x=﹣ （x﹣4）2+2，
当x=4时，x﹣y有最大值是2，
故答案为：2．
三、解答题（共11小题，共76分）
19．（5分）（2014•苏州）计算：22+|﹣1|﹣ ．
【解答】解：原式=4+1﹣2=3．
20．（5分）（2014•苏州）解不等式组： ．
【解答】解： ，
由①得：x＞3；由②得：x≤4，
则不等式组的解集为3＜x≤4．
21．（5分）（2015•东莞）先化简，再求值： ÷（1+ ），其中x= ﹣1．
【解答】解：
= ÷（ + ）
= ÷
= ×
= ，
把 ，代入原式= = = = ．
22．（6分）（2014•苏州）解分式方程： + =3．
【解答】解：去分母得：x﹣2=3x﹣3，
解得：x= ，
经检验x= 是分式方程的解．23．（6分）（2014•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，
CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．
【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，
在△BCD和△FCE中，
，
∴△BCD≌△FCE（SAS）．
（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE，
∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，
∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，
∵EF∥CD，
∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，
∴∠BDC=90°．
24．（7分）（2014•苏州）如图，已知函数y=﹣ x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函
数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0）（其中a＞2），过点P作
x轴的垂线，分别交函数y=﹣ x+b和y=x的图象于点C、D．
（1）求点A的坐标；
（2）若OB=CD，求a的值．【解答】解：（1）∵点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，
∴点M的坐标为（2，2），
把M（2，2）代入y=﹣ x+b得﹣1+b=2，解得b=3，
∴一次函数的解析式为y=﹣ x+3，
把y=0代入y=﹣ x+3得﹣ x+3=0，解得x=6，
∴A点坐标为（6，0）；
（2）把x=0代入y=﹣ x+3得y=3，
∴B点坐标为（0，3），
∵CD=OB，
∴CD=3，
∵PC⊥x轴，
∴C点坐标为（a，﹣ a+3），D点坐标为（a，a）
∴a﹣（﹣ a+3）=3，
∴a=4．
25．（7分）（2014•苏州）如图，用红、蓝两种颜色随机地对A、B、C三个区域分别进行涂色，每
个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法（画树状图或列表）求A、C两个区域所涂
颜色不相同的概率．
【解答】解：画树状图，如图所示：所有等可能的情况8种，其中A、C两个区域所涂颜色不相同的有4种，
则P= ．
26．（8分）（2014•苏州）如图，已知函数y= （x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，
2），过点A作AC∥y轴，AC=1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交
于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．
（1）求△OCD的面积；
（2）当BE= AC时，求CE的长．
【解答】解；（1）y= （x＞0）的图象经过点A（1，2），
∴k=2．
∵AC∥y轴，AC=1，
∴点C的坐标为（1，1）．
∵CD∥x轴，点D在函数图象上，
∴点D的坐标为（2，1）．
∴ ．
（2）∵BE= ，
∴ ．
∵BE⊥CD，
点B的纵坐标=2﹣ = ，由反比例函数y= ，
点B的横坐标x=2÷ = ，
∴点B的横坐标是 ，纵坐标是 ．
∴CE= ．
27．（8分）（2014•苏州）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点， = ，连接AB、AD、
BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．
（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧 的长；
（2）求证：BF= BD；
（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明
PB与AE的位置关系．
【解答】（1）解：连接OB，OD，
∵∠DAB=120°，∴ 所对圆心角的度数为240°，
∴∠BOD=360°﹣240°=120°，
∵⊙O的半径为3，
∴劣弧 的长为： ×π×3=2π；
（2）证明：连接AC，
∵AB=BE，∴点B为AE的中点，
∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，
∴BF= AC，
∵ = ，
∴ + = + ，
∴ = ，
∴BD=AC，
∴BF= BD；
（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，
∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，
∴∠FBE=∠CAE，
∵ = ，
∴∠CAB=∠DBA，
∵由作法可知BP⊥AE，
∴∠GBP=∠FBP，
∵G为BD的中点，
∴BG= BD，
∴BG=BF，
在△PBG和△PBF中，
，
∴△PBG≌△PBF（SAS），
∴PG=PF．
28．（9分）（2014•苏州）如图，已知l 1⊥l
2
，⊙O与l
1
，l
2
都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD
的边AD、AB分别与l ，l 重合，AB=4 cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l 同时向右移
1 2 1
动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）
（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为 10 5 °；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O 的位置，矩形ABCD到达A B C D 的
1 1 1 1 1
位置，此时点O ，A ，C 恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO 的长）；
1 1 1 1
（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d
（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．
【解答】解：（1）∵l 1⊥l
2
，⊙O与l
1
，l
2
都相切，
∴∠OAD=45°，∵AB=4 cm，AD=4cm，
∴CD=4 cm，
∴tan∠DAC= = = ，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，
故答案为：105；
（2）如图位置二，当O ，A ，C 恰好在同一直线上时，设⊙O 与l 的切点为E，
1 1 1 1 1
连接O
1
E，可得O
1
E=2，O
1
E⊥l
1
，
在Rt△A
1
D
1
C
1
中，∵A
1
D
1
=4，C
1
D
1
=4 ，
∴tan∠C
1
A
1
D
1
= ，∴∠C
1
A
1
D
1
=60°，
在Rt△A
1
O
1
E中，∠O
1
A
1
E=∠C
1
A
1
D
1
=60°，
∴A E= = ，
1
∵A E=AA ﹣OO ﹣2=t﹣2，
1 1 1
∴t﹣2= ，
∴t= +2，
∴OO =3t=2 +6；
1
（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t ，
1
如图位置一，此时⊙O移动到⊙O 的位置，矩形ABCD移动到A B C D 的位置，
2 2 2 2 2
设⊙O 与直线l ，A C 分别相切于点F，G，连接O F，O G，O A ，
2 1 2 2 2 2 2 2
∴O
2
F⊥l
1
，O
2
G⊥A
2
C
2
，
由（2）得，∠C A D =60°，∴∠GA F=120°，
2 2 2 2
∴∠O
2
A
2
F=60°，
在Rt△A
2
O
2
F中，O
2
F=2，∴A
2
F= ，
∵OO =3t ，AF=AA +A F=4t + ，
2 1 2 2 1
∴4t + ﹣3t =2，
1 1∴t =2﹣ ，
1
②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t ，
2
记第一次相切时为位置一，点O ，A ，C 共线时位置二，第二次相切时为位置三，
1 1 1
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，
∴ +2﹣（2﹣ ）=t ﹣（ +2），
2
解得：t =2+2 ，
2
综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣ ＜t＜2+2 ．
29．（10分）（2014•苏州）如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m
＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在
二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平
分∠DAE．
（1）用含m的代数式表示a；
（2）求证： 为定值；
（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段
GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的
点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】（1）解：将C（0，﹣3）代入二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2），
则﹣3=a（0﹣0﹣3m2），
解得 a= ．
（2）方法一：
证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．由a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，
解得 x =﹣m，x =3m，
1 2
则 A（﹣m，0），B（3m，0）．
∵CD∥AB，
∴D点的纵坐标为﹣3，
又∵D点在抛物线上，
∴将D点纵坐标代入抛物线方程得D点的坐标为（2m，﹣3）．
∵AB平分∠DAE，
∴∠DAM=∠EAN，
∵∠DMA=∠ENA=90°，
∴△ADM∽△AEN．
∴ = = ．
设E坐标为（x， ），
∴ = ，
∴x=4m，
∴E（4m，5），
∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，
∴ = = ，即为定值．
方法二：
过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N，
∵a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，
∴x =﹣m，x =3m，
1 2
则A（﹣m，0），B（3m，0），
∵CD∥AB，∴D点的纵坐标为﹣3，∴D（2m，﹣3），
∵AB平分∠DAE，∴K +K =0，
AD AE
∵A（﹣m，0），D（2m，﹣3），∴K = =﹣ ，∴K = ，
AD AE
∴ x2﹣3mx﹣4m2=0，
⇒
∴x =﹣m（舍），x =4m，∴E（4m，5），
1 2
∵∠DAM=∠EAN=90°
∴△ADM∽△AEN，
∴ ，
∵DM=3，EN=5，
∴ ．
（3）解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，﹣4），过点F作FH⊥x轴于点
H．
连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．
∵tan∠CGO= ，tan∠FGH= ，
∴ = ，
∴ ，
∵OC=3，HF=4，OH=m，
∴OG=3m．
∵GF= = =4 ，
AD= = =3 ，
∴ = ．∵ = ，
∴AD：GF：AE=3：4：5，
∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为﹣3m．
