文档内容
2014年青海省中考数学试卷
一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）
1．（4分） 的倒数是 ； = ．
2．（4分）分解因式：a3b﹣9ab= ；不等式组 的解集是 ．
3．（2分）据青海省湿地保护管理中心和世界自然基金会公布的调查数据表明，我
省湿地总面积的最新数据为8140000公顷，居世界第一，该数据用科学记数法
表示为 公顷．
4．（2分）方程 的解是 ．
5．（2分）如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，
使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8
米，与水塔相距32米，则水塔的高度为 米．
6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且
AB=4，BD=5，那么点D到BC的距离是 ．
7．（2分）若点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），则（a+b）2014= ．
8．（2分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则
∠P= 度．9．（2分）从1，2，3，…，10这10个自然数中任取一个数，则它是4的倍数的概率
是 ．
10．（2分）如图，已知∠C=∠D，∠CAB=∠DBA，AD交BC于点O，请写出图中一
组相等的线段 ．
11．（2分）如图所示，坐在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣2，﹣
2），“马”位于点（1，﹣2），则“兵”位于点 ．
12．（4分）一组按照规律排列的式子： ，…，其中第8个式
子是 ，第n个式子是 ．（n为正整数）
二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．
C．（a2）3=a5 D．（a3）2=a6
14．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若
∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（ ）A．15° B．60° C．45° D．75°
15．（3分）如图，点P 、P 、P 分别是双曲线同一支图象上的三点，过这三点分别
1 2 3
作y轴的垂线，垂足分别是A 、A 、A ，得到的三个三角形△P A O、△P A O、
1 1 3 1 1 2 2
△P A O．设它们的面积分别为S 、S 、S ，则它们的大小关系是（ ）
3 3 1 2 3
A．S ＞S ＞S B．S ＞S ＞S C．S =S =S D．S ＞S ＞S
1 2 3 3 2 1 1 2 3 2 3 1
16．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（3分）如图，∠1=∠2，∠3=30°，则∠4等于（ ）A．120° B．130° C．145° D．150°
18．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体
的侧面积是（ ）
A．12π B．15π C．24π D．30π
19．（3分）某商场四月份的利润是28万元，预计六月份的利润将达到40万元．设
利润每月平均增长率为x，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．28（1+x）2=40 B．28（1+x）2=40﹣28
C．28（1+2x）=40 D．28（1+x2）=40
20．（3分）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象（ ）
A． B．C． D．
三、解答题
21．（6分）计算： +（π﹣3.14）0﹣tan60°+|1﹣ |．
22．（6分）先化简，再求值： ，其中x=2+ ，y=2
﹣ ．
23．（8分）如图， ▱ABCD中，点E在边AB上，点F在AB的延长线上，且
AE=BF．求证：∠ADE=∠BCF．
四、（本大题共3小题，第24题9分，第25题9分，第26题8分，共26分）
24．（9分）如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC．
（1）求证：AP是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径是4，AP=4 ，求图中阴影部分的面积．
25．（9分）阅读对一个人的成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生．
某中学为了解学生阅读课外书籍的情况．决定围绕“在艺术类、科技类、动漫
类、小说类、其它类课外书籍中，你最喜欢的课外书籍是哪一类？（只写一
类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分同学进行问卷调查，并将调查问卷
适当整理后绘制成如图1所示的条形统计图和如图2所示的扇形统计图．
（1）请你将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（2）若该校共有1600名学生，请你估计这1600人中喜欢动漫类书籍的约有多少
人？
（3）小东从图书馆借回2本动漫书和3本科技书放进一个空书包里准备回家阅读，
那么他从书包里任取2本，恰好都是科技类图书的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）
26．（8分）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全
长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比
乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
（1）求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来
多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，能够比原来
少用多少天完成任务？五、解答题（共2小题，满分20分）
27．（10分）请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
（1）如图1，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD
的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，将另一边交BA的延长线于点G．求
证：EF=EG．
（2）如图2，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其
余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF EG（用
“=”或“≠”填空）
（3）运用（1）（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图3，将（2）
中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A（即点G、A
重合），其余条件不变，若AB=4，BC=3，求 的值．28．（10分）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于
A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，
请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．2014 年青海省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）
1．（4分） 的倒数是 ﹣ 4 ； = 3 ．
【考点】17：倒数；24：立方根．
【专题】11：计算题．
【分析】利用倒数及立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：∵﹣ ×（﹣4）=1，
∴﹣ 的倒数为﹣4；
∵33=27，
∴ =3．
故答案为：﹣4，3
【点评】本题考查了如何求一个数的倒数和立方根，解题的关键是准确掌握倒数
和立方根的概念．
2．（4分）分解因式：a3b﹣9ab= a b（ a+ 3 ）（ a﹣ 3 ） ；不等式组 的解集是
﹣ 2 ＜ x ＜ 3 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；CB：解一元一次不等式组．
【专题】11：计算题．
【分析】原式提取ab，再利用平方差公式分解即可；分别求出不等式组中两不等式
的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：a3b﹣9ab=ab（a2﹣9）=ab（a+3）（a﹣3）；
，不等式①的解集为x＞﹣2，
不等式②的解集为x＜3，
∴不等组的解集为﹣2＜x＜3．
故答案为ab（a+3）（a﹣3），﹣2＜x＜3
【点评】本题考查了分解因式和解一元一次不等式，对于因式分解解题的关键是
理解因式分解的分析步骤，对于不等式组解题关键是正确解出每个不等式的
解集．
3．（2分）据青海省湿地保护管理中心和世界自然基金会公布的调查数据表明，我
省湿地总面积的最新数据为8140000公顷，居世界第一，该数据用科学记数法
表示为 8.14×1 0 6 公顷．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动
的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：∵8140000的整数位数为7，
∴8140000=8.14×106．
故答案为8.14×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2分）方程 的解是 x= 5 ．
【考点】B3：解分式方程．
【专题】11：计算题．
【分析】在方程两侧同时乘以最简公分母（x+3）（x﹣1）去掉分母转化为整式方程
求出解即可．
【解答】解：在方程两侧同时乘以最简公分母（x+3）（x﹣1）去分母得，
2x﹣2=x+3，
解得x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故答案为：x=5．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
5．（2分）如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，
使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8
米，与水塔相距32米，则水塔的高度为 1 0 米．
【考点】SA：相似三角形的应用．
【分析】由已知可得BC∥DE，因此△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可求得
水塔的高度．
【解答】解：∵BC⊥AD，ED⊥AD，
∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ，即 ，
∴DE=10，即水塔的高度是10米．
故答案为：10．
【点评】本题考查了考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能利用比例
式求解线段长．
6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且
AB=4，BD=5，那么点D到BC的距离是 3 ．【考点】KF：角平分线的性质；KQ：勾股定理．
【分析】首先过点 D 作 DE⊥BC 于 E，由在 Rt△ABC 中，∠A=90°，BD 平分
∠ABC，根据角平分线的性质，即可得DE=AD，又由勾股定理求得AD的长，
继而求得答案．
【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，
即AD⊥BA，
∴DE=AD，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴AD= =3，
∴DE=AD=3，
∴点D到BC的距离是3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了角平分线的性质与勾股定理的应用．此题难度不大，注意数形
结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
7．（2分）若点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），则（a+b）2014= 1 ．
【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据轴对称的性质，点M和点N的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可以
求得a、b的值，从而可得a+b的值．【解答】解：∵点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），
∴b=﹣3，a=2，
∴a+b=﹣1，
∴（a+b）2014=（﹣1）2014=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了轴对称的性质和幂的运算，解题的关键是先求得a、b的值．
8．（2分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则
∠P= 5 0 度．
【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质．
【分析】连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解．
【解答】解：连接OA，OB．
PA、PB切⊙O于点A、B，则∠PAO=∠PBO=90°，
由圆周角定理知，∠AOB=2∠C=130°，
∵∠P+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，
∴∠P=180°﹣∠AOB=50°．
【点评】本题利用了切线的概念，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解．
9．（2分）从1，2，3，…，10这10个自然数中任取一个数，则它是4的倍数的概率
是 ．
【考点】X4：概率公式．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全
部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．本题先找出4的倍数只
有4和8这两个数，然后用2除以10即可．【解答】解：∵1，2，3，…，10这10个自然数中只有4和8是4的倍数，
因此从1，2，3，…，10这10个自然数中任取一个数，则它是4的倍数的概率是
．
故答案为： ．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且
这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）
= ，难度适中．
10．（2分）如图，已知∠C=∠D，∠CAB=∠DBA，AD交BC于点O，请写出图中一
组相等的线段 AD=BC ．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】26：开放型．
【分析】易证△CAB≌△DBA，根据全等三角形对应边相等的性质可得BC=AD，即
可解题．
【解答】解：在△CAB和△DBA中，
，
∴△CAB≌△DBA（AAS），
∴BC=AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本
题中求证△CAB≌△DBA是解题的关键．
11．（2分）如图所示，坐在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣2，﹣
2），“马”位于点（1，﹣2），则“兵”位于点 （﹣ 4 ， 1 ） ．【考点】D3：坐标确定位置．
【分析】根据“帅”位于点（﹣2，﹣2），“马”位于点（1，﹣2），可知原点在这两
个棋子的上方两个单位长度的直线上且在马的左边，距离马的距离为 1个单
位的直线上，两者的交点就是原点O．
【解答】解：∵“帅”位于点（﹣2，﹣2），“马”位于点（1，﹣2），
∴原点在这两个棋子的上方两个单位长度的直线上且在马的左边，距离马的距离
为1个单位的直线上，两者的交点就是原点O，
∴“兵”位于点（﹣4，1）．
故答案为：（﹣4，1）．
【点评】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位
置．
12．（4分）一组按照规律排列的式子： ，…，其中第8个式
子是 ，第n个式子是 ．（n为正整数）
【考点】42：单项式．
【专题】2A：规律型．
【分析】根据分子的底数都是x，而指数是从1开始的奇数；分母是底数从1开始
的自然数的平方．【解答】解： ，…，其因此第8个式子是 ，第n
个式子是 ．
故答案为 ， ．
【点评】本题考查了单项式，解题的关键是根据分子和分母分别寻找规律：分子的
底数都是x，而指数是从1开始的奇数；分母是底数从1开始的自然数的平方．
二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．
C．（a2）3=a5 D．（a3）2=a6
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；6A：分式的乘除法．
【分析】结合选项分别进行合并同类项、幂的乘方和积的乘方等运算，然后选择正
确选项．
【解答】解：A、不符合同底数幂乘法公式，故本选项错误；
B、 ，故本选项错误；
C、（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；
D、（a3）2=a3×2=a6，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方以及同底数幂乘法，解题的关键是掌握
各知识点的运算法则．
14．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若
∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（ ）A．15° B．60° C．45° D．75°
【考点】R2：旋转的性质．
【分析】根据∠AOD=∠DOB﹣∠AOB求解．
【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，
∴∠BOD=60°，
∵∠AOB=15°，
∴∠AOD=∠DOB﹣∠AOB=60°﹣15°=45°．
故选：C．
【点评】本题考查了图形的旋转的性质，解题的关键是一个旋转图形的对应点的
连线所夹的角相等，都等于旋转角．
15．（3分）如图，点P 、P 、P 分别是双曲线同一支图象上的三点，过这三点分别
1 2 3
作y轴的垂线，垂足分别是A 、A 、A ，得到的三个三角形△P A O、△P A O、
1 1 3 1 1 2 2
△P A O．设它们的面积分别为S 、S 、S ，则它们的大小关系是（ ）
3 3 1 2 3
A．S ＞S ＞S B．S ＞S ＞S C．S =S =S D．S ＞S ＞S
1 2 3 3 2 1 1 2 3 2 3 1
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．
【专题】11：计算题．
【分析】直接根据反比例函数比例系数k的几何意义求解．
【解答】解：∵点P 在双曲线上，
1
∴P A •OA =|k|，
1 1 1
∴S = P A •OA = |k|，
1 1 1 1同理S = |k|、S = |k|，
2 3
∴S =S =S ，
1 2 3
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y= 图象
中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面
积是定值|k|．
16．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对
称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称
图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对
称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形
故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称
图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
17．（3分）如图，∠1=∠2，∠3=30°，则∠4等于（ ）
A．120° B．130° C．145° D．150°
【考点】JB：平行线的判定与性质．
【专题】11：计算题．
【分析】由∠1=∠2，利用同位角相等两直线平行得到a与b平行，再由两直线平行
同位角相等得到∠3=∠5，求出∠5的度数，即可求出∠4的度数．
【解答】解：∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠5=∠3=30°，
∴∠4=180°﹣∠5，=150°，
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本
题的关键．
18．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体
的侧面积是（ ）A．12π B．15π C．24π D．30π
【考点】MP：圆锥的计算；U3：由三视图判断几何体．
【分析】由三视图可知，该几何体是一个圆锥，根据圆锥的侧面积公式求解．
【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个圆锥，且底面圆的半径是6，母线长是
5，
∴底面的周长是2π•3=6π，
∴侧面积为： =15π，
故选：B．
【点评】本题考查了三视图和几何体侧面积的计算等知识点，解题的关键是根据
三视图想象出该几何体的形状．
19．（3分）某商场四月份的利润是28万元，预计六月份的利润将达到40万元．设
利润每月平均增长率为x，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．28（1+x）2=40 B．28（1+x）2=40﹣28
C．28（1+2x）=40 D．28（1+x2）=40
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】123：增长率问题．
【分析】根据“下一个月份的利润等于前一个月份的利润×（1+x）”列方程即可．
【解答】解：五月份的利润为28（1+x），
六月份的利润为28（1+x）（1+x）=28（1+x）2，
故选：A．
【点评】本题考查了列出解决问题的方程，解题的关键是正确理解“利润每月平
均增长率为x”的含义以及找到题目中的等量关系．
20．（3分）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象（ ）A． B．
C． D．
【考点】F3：一次函数的图象．
【分析】先根据程序框图列出正确的函数关系式，然后再根据函数关系式来判断
其图象是哪一个．
【解答】解：根据程序框图可得y=（﹣x）×3+2=﹣3x+2，化简，得y=﹣3x+2，
y=﹣3x+2的图象与y轴的交点为（0，2），与x轴的交点为（ ，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象，利用程序框图列出函数关系式、以及函数的图
象等知识点，解题的关键是首先根据框图写出正确的解析式．
三、解答题
21．（6分）计算： +（π﹣3.14）0﹣tan60°+|1﹣ |．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三
项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算
即可得到结果．
【解答】解：原式= +1﹣ + ﹣1= ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（6分）先化简，再求值： ，其中x=2+ ，y=2
﹣ ．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】根据分式的运算法则先化简原式，然后将x和y的值代入化简后的式子求
值即可．
【解答】解：
=
=
= ，
当x=2+ ，y=2﹣ 时，
原式= =﹣1．
【点评】此题考查分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值
计算．
23．（8分）如图， ▱ABCD中，点E在边AB上，点F在AB的延长线上，且
AE=BF．求证：∠ADE=∠BCF．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
【专题】14：证明题．
【分析】根据平行四边形的性质得出AD=BC且AD∥BC，推出∠DAE=∠CBF，根
据全等三角形的判定推出△ADE≌△BCF即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC且AD∥BC，
∴∠DAE=∠CBF，
在△ADE和△BCF中
∴△ADE≌△BCF（SAS）
∴∠ADE=∠BCF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质
的应用，解题的关键是能将求证角相等的问题转化为寻找其所在的三角形全
等，注意：平行四边形的对边互相平行且相等．
四、（本大题共3小题，第24题9分，第25题9分，第26题8分，共26分）
24．（9分）如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为
C，连接OD，∠AOD=∠APC．
（1）求证：AP是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径是4，AP=4 ，求图中阴影部分的面积．
【考点】MD：切线的判定；MO：扇形面积的计算．【专题】11：计算题．
【分析】（1）连接 OP，如图，利用等腰三角形的性质由 OD=OP 得到
∠OPD=∠ODP，而∠APC=∠AOD，则∠OPD+∠APC=∠ODP+∠AOD，由于
∠ODP+∠AOD=90°，易得∠APO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到AP
是⊙O的切线；
（2）在Rt△APO中，利用勾股定理计算出，AO=8，即PO= ，则∠A=30°，可计
算出∠POA=60°，∠OPC=30°，再利用垂径定理PC=CD，且∠POD=120°，OC=
PO=2，接着在Rt△OPC中计算出PC=2 ，得到PD=2PC= ，然后根据扇
形面积公式和S =S ﹣S 进行计算即可．
阴影 扇形OPBD △OPD
【解答】（1）证明：连接OP，如图，
∵OD=OP，
∴∠OPD=∠ODP，
∵∠APC=∠AOD，
∴∠OPD+∠APC=∠ODP+∠AOD，
又∵PD⊥BE，
∴∠ODP+∠AOD=90°，
∴∠OPD+∠APC=90°，
即∠APO=90°，
∴OP⊥AP，
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△APO中，
∵AP= ，PO=4，
∴AO= ，即PO= ，
∴∠A=30°，
∴∠POA=60°，
∴∠OPC=30°
又∵PD⊥BE，
∴PC=CD，∴∠POD=120°，OC= PO=2，
在Rt△OPC中，∵OC=2，OP=4，
∴PC= =2 ，
∴PD=2PC= ，
∴S =S ﹣S
阴影 扇形OPBD △OPD
=
= ．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆
的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是
否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已
知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半
径垂直于这条直线．也考查了垂径定理和扇形的面积公式．
25．（9分）阅读对一个人的成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生．
某中学为了解学生阅读课外书籍的情况．决定围绕“在艺术类、科技类、动漫
类、小说类、其它类课外书籍中，你最喜欢的课外书籍是哪一类？（只写一
类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分同学进行问卷调查，并将调查问卷
适当整理后绘制成如图1所示的条形统计图和如图2所示的扇形统计图．（1）请你将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（2）若该校共有1600名学生，请你估计这1600人中喜欢动漫类书籍的约有多少
人？
（3）小东从图书馆借回2本动漫书和3本科技书放进一个空书包里准备回家阅读，
那么他从书包里任取2本，恰好都是科技类图书的概率是多少？（请用“画树
状图”或“列表”的方法写出分析过程）
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）由条形统计图可知选择艺术类的有两人，而由扇形统计图可知选择
艺术类的占总人数的4%，因此用（2÷4%）可求得抽样的人数，从而根据扇形统
计图中百分比可求得科技类和小说类的人数，根据扇形统计图又可求得动漫
和其他类的百分比．
（2）用总人数乘喜欢动漫类书籍的百分比求解即可，
（3）利用树状图得出所有的情况，再求出P（两本书都是科技类书）即可．
【解答】解：（1）∵抽样人数为2÷4%=50，
∴科技类的人数为 50×10%=5，小说类的人数为 50×40%=20，动漫的百分比为
12÷50=24%，其他类的百分比为8÷50=16%
所以图形如下：（2）喜欢动漫类书籍的人数约为1600×24%=384人．
（3）树状图为：
∴P（两本书都是科技类书）= ．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用频率进行估算、概率的计算，解题
的关键是能看懂条形统计图和扇形统计图的关系．
26．（8分）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全
长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比
乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
（1）求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来
多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，能够比原来
少用多少天完成任务？
【考点】8A：一元一次方程的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米，列方程组求解；
（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，分
别求出甲乙所用的时间，然后求出比原来少用的天数．
【解答】解：（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，
由题意得 ，
解得
答：甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米；
（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则
a=（1957﹣57）÷（5+4.5）=200（天），
b=（1957﹣57）÷（5+4.5+0.2+0.3）=190（天），
则a﹣b=10（天）．
答：能比原来少用10天．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，
找到题目当中的等量关系，列方程求解．
五、解答题（共2小题，满分20分）
27．（10分）请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
（1）如图1，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD
的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，将另一边交BA的延长线于点G．求
证：EF=EG．
（2）如图2，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其
余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF = EG（用“=”
或“≠”填空）
（3）运用（1）（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图3，将（2）
中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A（即点G、A
重合），其余条件不变，若AB=4，BC=3，求 的值．【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）证明△EAG≌△ECF即可得出结论；
（2）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，由（1）同理证出△EMG≌△ENF
得出结论；
（3）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，由（2）得出经验，证得结论则
需要通过由平行线得出比例式和两三角形相似得出比例式来解决．
【解答】解：（1）证明：∵∠AEF+∠AEG=90°，∠AEF+∠CEF=90°，
∴∠AEG=∠CEF，
又∵∠GAE=∠C=90°，EA=EC，
∴△EAG≌△ECF（ASA）
∴EG=EF
（2）EF=EG；
过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，如图2所示，
则∠MEN=90°，EM=EN，
∴∠GEM=∠FEN，
又因为∠EMG=∠ENF=90°，
∴△EMG≌△ENF
∴EF=EG．
故答案为：=．
（3）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，如图3所示：
则∠MEN=90°，EM∥BC，EN∥AB，
∴ ，
∴ ，又∵∠GEM+∠MEF=90°，∠FEN+∠MEF=90°，
∴∠FEN=∠GEM，
∴Rt△GME∽Rt△FNE，
∴
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和应用，相似三角形的判定
和应用，解题的关键是能从第（1）问的解答中获得解决后两问的经验．
28．（10分）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于
A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，
请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值，即可解题；
（2）易求得点B、C的坐标，即可求得OC的长，即可求得△ABC的面积，即可解
题；
（3）作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，可将△APC的面积转化为△AFP和△CFP
的面积之和，而这两个三角形有共同的底PF，这一个底上的高的和又恰好是
A、C两点间的距离，因此若设设E（x，0），则可用x来表示△APC的面积，得
到关于x的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题．
【解答】解：（1）设此函数的解析式为y=a（x+h）2+k，
∵函数图象顶点为M（﹣2，﹣4），
∴y=a（x+2）2﹣4，
又∵函数图象经过点A（﹣6，0），
∴0=a（﹣6+2）2﹣4
解得a= ，
∴此函数的解析式为y= （x+2）2﹣4，即y= x2+x﹣3；
（2）∵点C是函数y= x2+x﹣3的图象与y轴的交点，
∴点C的坐标是（0，﹣3），
又当y=0时，有y= x2+x﹣3=0，
解得x =﹣6，x =2，
1 2
∴点B的坐标是（2，0），
则S = |AB|•|OC|= ×8×3=12；
△ABC
（3）假设存在这样的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．
设E（x，0），则P（x， x2+x﹣3），设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵直线AC过点A（﹣6，0），C（0，﹣3），
∴ ，解得 ，
∴直线AC的解析式为y=﹣ x﹣3，
∴点F的坐标为F（x，﹣ x﹣3），
则|PF|=﹣ x﹣3﹣（ x2+x﹣3）=﹣ x2﹣ x，
∴S =S +S
△APC △APF △CPF
= |PF|•|AE|+ |PF|•|OE|
= |PF|•|OA|= （﹣ x2﹣ x）×6=﹣ x2﹣ x=﹣ （x+3）2+ ，
∴当x=﹣3时，S 有最大值 ，
△APC
此时点P的坐标是P（﹣3，﹣ ）．
【点评】本题考查了抛物线解析式的求解，考查了一元二次方程的求解，考查了二
次函数最值的求解，考查了二次函数的应用，本题中正确求得抛物线解析式是
解题的关键．
