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2011年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
（湖南卷）
参考公式（1）柱体体积公式V Sh，其中S 为底面面积，h为高．
4
（2）球的体积公式V R3，其中R为球的半径．
3
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．设全集U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩C N=﹛2,4﹜,则N=
u
A．{1,2,3} B． {1,3,5} C． {1,4,5} D． {2,3,4}
2．若 ， 为虚数单位，且 则
3
A． ， B．
C． D．
2
3．“ ”是“ ” 的 3
正视图 侧视图
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C． 充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
俯视图
5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下图的1列联表：
女 总计
男
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
由 算 得 ，
附表：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
第1页 | 共5页C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关”
6．设双曲线 的渐近线方程为 ，则a的值为
A．4 B．3 C．2 D．1
7．曲线 在点M（ ，0）处的切线的斜路为
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若有 ，则b的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题
卡中对应题号后的横线上.
（一）选做题（请考生在9、10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）
9．在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 （ 为参数）.在极坐标系
1
（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）
中，曲线C 的方程为 ，则C 与C 的交点个数为
2 1 2
10．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是
（二）必做题（11～16题）
11．若执行如图2所示的框图，输入 ， 则输出的数等于
12．已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（-2）=3，则f（2）=_________．
13．设向量a，b满足|a|=2 ，b=（2，1），且a与b的方向相反，则a的坐标为
________．
y x
14．设m1,在约束条件 ymx 下，目标函数z x5y的最大值为4，则m的值为
x y1
．
15．已知圆 直线
C:x2 y2 12, l:4x3y 25.
（1）圆C的圆心到直线l的距离为 ．
（2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 ．
16．给定 ，设函数 满足：对于任意大于 的正整数 ，
kN* f :N* N* k n f(n)nk
第2页 | 共5页（1）设 ，则其中一个函数 在 处的函数值为 ；
k 1 f n1
（2）设 ，且当 时， ，则不同的函数 的个数为 .
k 4 n4 2 f(n)3 f
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且满足c sinA=acosC．
（I）求角C的大小；
（II）求 sinA-cos（B+ ）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小.
18．（本小题满分12分）
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y（单位：万千瓦时）与该河
上游在六月份是我降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每
增加10，Y增加5．已知近20年X的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220,
200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.
（Ⅰ）完成如下的频率分布表
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
（Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是
为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490（万千瓦时）或超过530
（万千瓦时）的概率．
19．（本小题满分12分）
如图 3，在圆锥 中，已知 的直径
PO PO 2,O
AB 2,点C在AB上, 且CAB=30,D为AC
的中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ;
（Ⅱ）求直线 和平面 所成角的正弦值.
第3页 | 共5页20．（本小题满分13分）
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备 ， 的价值在使用过程中
逐年减少．从第2年到第6年，每年初 的价值比上年初减少10万元；从第7年开
始，每年初 的价值为上年初的75%．
（Ⅰ）求第 年初 的价值 的表达式；
（Ⅱ）设 ，若 大于80万元，则 继续使用，否则须在第
年初对 更新，证明：须在第9年初对 更新．
21．（本小题满分13分）
已知平面内一动点 到点 的距离与点 到 轴的距离的差等于1．
（Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）过点 作两条斜率存在且互相垂直的直线 ，设 与轨迹 相交于点 ，
与轨迹 相交于点 ，求 的最小值.
22．（本小题满分13分）
设函数 .
（Ⅰ）讨论函数 的单调性.
（Ⅱ）若 有两个极值点 ，记过点 的直线斜率为 .
问：是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
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