文档内容
2015 年四川省攀枝花市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．﹣3的倒数是（ ）
A．﹣ B．3 C． D．±
2． 2015年我市有1.6万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这1.6万名考生
的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（
）
A．1.6万名考生 B．2000名考生
C．1.6万名考生的数学成绩 D．2000名考生的数学成绩
3．（3分）（2015•攀枝花）已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3，则用科学记
数法表示该数为（ ）
A．1.239×10﹣3g/cm3 B．1.239×10﹣2g/cm3
C．0.1239×10﹣2g/cm3 D．12.39×10﹣4g/cm3
4．（3分）（2015•攀枝花）如图所示的几何体为圆台，其俯视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2015•攀枝花）下列计算正确的是（ ）
A． + = B．a3÷a2=a C．a2•a3=a6 D．（a2b）2=a2b2
6．（3分）（2015•攀枝花）一组数据6、4、a、3、2的平均数是4，则这组数据的方差
为（ ）
A．0 B．2 C． D．10
7．（3分）（2015•攀枝花）将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平
移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ ）A．y=﹣2（x+1）2B．y=﹣2（x+1）2+2
C．y=﹣2（x﹣1）2+2 D．y=﹣2（x﹣1）2+1
8．（3分）（2015•攀枝花）如图，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且
AC=2，AE= ，CE=1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（2015•攀枝花）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2﹣0
有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m＞ 且m≠2 C．﹣ ＜m＜2 D． ＜m＜2
10．（3分）（2015•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、
AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接
CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：
①△AED≌△DFB；②S
四边形BCDG
= CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与
BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．
其中正确的结论个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）（2015•攀枝花）分式方程 = 的根为 ．12．（4分）（2015•攀枝花）计算： +|﹣4|+（﹣1）0﹣（ ）﹣1= ．
13．（4分）（2015•攀枝花）若y= + +2，则xy= ．
14．（4分）（2015•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形
OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为
等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为 ．
15．（4分）（2015•攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E
是AC边上一点，则BE+DE的最小值为 ．
16．（4分）（2015•攀枝花）如图，若双曲线y= （k＞0）与边长为3的等边△AOB
（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为
．
三、解答题：本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．17．（6分）（2015•攀枝花）先化简，再求值： ÷（2+ ），其中a= ．
18．（6分）（2015•攀枝花）“热爱劳动，勤俭节约”是中华民族的光荣传统，某小
学校为了解本校3至6年级的3000名学生帮助父母做家务的情况，以便做好引
导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和做家务程度，分
别绘制了条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．
（1）四个年级被调查人数的中位数是多少？
（2）如果把“天天做”、“经常做”、“偶尔做”都统计成帮助父母做家务，那么
该校3至6年级学生帮助父母做家务的人数大约是多少？
（3）在这次调查中，六年级共有甲、乙、丙、丁四人“天天帮助父母做家务”，现准
备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两
人恰好是甲和乙的概率．
19．（6分）（2015•攀枝花）某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，
售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．
（1）若该超市一次性购进两种商品共80件，且恰好用去1600元，问购进甲、乙两
种商品各多少件？（2）若该超市要使两种商品共80件的购进费用不超过1640元，且总利润（利润=
售价﹣进价）不少于600元．请你帮助该超市设计相应的进货方案，并指出使该
超市利润最大的方案．
20．（8分）（2015•攀枝花）如图，已知一次函数y =k x+b的图象与x轴、y轴分别
1 1
交于A、B两点，与反比例函数y = 的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），
2
点B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y =k x+b与反比例函数y = 的解析式；
1 1 2
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出y ＞y 时自变量x的取值范围．
1 2
21．（8分）（2015•攀枝花）如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛
C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西
30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的
方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来
的速度给游船送去．
（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？
（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距
离．22．（8分）（2015•攀枝花）如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交
于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径R=3，求 的值．
23．（12分）（2015•攀枝花）如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐
标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位
长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形
ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同
时停止运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）当t=5时，请直接写出点D、点P的坐标；（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关
系式，并写出相应t的取值范围；
（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与
△BCD相似时，求出相应的t值．
24．（12分）（2015•攀枝花）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，
0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线
BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大
若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若
存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2015 年四川省攀枝花市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．﹣3的倒数是（ ）
A．﹣ B．3 C． D．±
【考点】倒数．.
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：﹣3的倒数是﹣ ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互
为倒数．
2． 2015年我市有1.6万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这1.6万名考生
的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（
）
A．1.6万名考生 B．2000名考生
C．1.6万名考生的数学成绩 D．2000名考生的数学成绩
【考点】总体、个体、样本、样本容量．.
【分析】根据样本的定义：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本，
依此即可求解．
【解答】解：2015年我市有近1.6万名考生参加升学考试，为了了解这1.6万名考
生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中抽
取的2000名考生的数学成绩为样本．
故选：D．【点评】本题考查了总体、个体、样本和样本容量：我们把所要考察的对象的全体
叫做总体；把组成总体的每一个考察对象叫做个体；从总体中取出的一部分个体
叫做这个总体的一个样本；一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
3．（3分）（2015•攀枝花）已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3，则用科学记
数法表示该数为（ ）
A．1.239×10﹣3g/cm3 B．1.239×10﹣2g/cm3
C．0.1239×10﹣2g/cm3 D．12.39×10﹣4g/cm3
【考点】科学记数法—表示较小的数．.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与
较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个
不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.001239=1.239×10﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜
10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）（2015•攀枝花）如图所示的几何体为圆台，其俯视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．.
【分析】俯视图是从物体上面看，所得到的图形．
【解答】解：从几何体的上面看所得到的图形是两个同心圆，
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都
应表现在三视图中．5．（3分）（2015•攀枝花）下列计算正确的是（ ）
A． + = B．a3÷a2=a C．a2•a3=a6 D．（a2b）2=a2b2
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；二次根式的加
减法．.
【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相
加；积的乘方，先把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，对各选项分析
判断即可得解．
【解答】解：A、 + 不能计算，故本选项错误；
B、a3÷a2=a3﹣2=a，故本选项正确；
C、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；
D、（a2b）2=a4b2，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了二次根式的计算，同底数幂的乘法，积的乘方的性质，同底数
幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
6．（3分）（2015•攀枝花）一组数据6、4、a、3、2的平均数是4，则这组数据的方差
为（ ）
A．0 B．2 C． D．10
【考点】方差；算术平均数．.
【分析】先由平均数计算出a的值，再计算方差．一般地设n个数据，x ，x ，…x 的
1 2 n
平均数为 ，=（x +x +…+x ），则方差S2= （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2 ．
1 2 n 1 2 n
【解答】解：∵a=5×4﹣4﹣3﹣2﹣6=5， ]
∴S2= [（6﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2+（2﹣4）2 =2．
]
故选：B．【点评】本题考查了方差的定义：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则
1 2 n
方差S2= （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2 ．，它反映了一组数据的波动大小，
1 2 n
]
方差越大，波动性越大，反之也成立
7．（3分）（2015•攀枝花）将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平
移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2B．y=﹣2（x+1）2+2
C．y=﹣2（x﹣1）2+2 D．y=﹣2（x﹣1）2+1
【考点】二次函数图象与几何变换．.
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：∵抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位长度，
∴平移后解析式为：y=﹣2（x﹣1）2+1，
∴再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为：y=﹣2（x﹣1）2+2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关
键．
8．（3分）（2015•攀枝花）如图，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且
AC=2，AE= ，CE=1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算；勾股定理的逆定理；圆周角定理；解直角三角形．.【分析】由AC=2，AE= ，CE=1，根据勾股定理的逆定理可判断△ACE为直角三
角形，然后由sinA= ，可得∠A=30°，然后根据圆周角定理可得：∠COB=60°，然
后由∠AEC=90°，可得AE⊥CD，然后根据垂径定理可得： ，进而可得：
∠BOD=∠COB=60°，进而可得∠COD=120°，然后在Rt△OCE中，根据
sin∠COE= ，计算出OC的值，然后根据扇形的面积公式：S
扇形DAB
= ，计算
即可．
【解答】解：∵AE2+CE2=4=AC2，
∴△ACE为直角三角形，且∠AEC=90°，
∴AE⊥CD，
∴ ，
∴∠BOD=∠COB，
∵sinA= = ，[来源:学科网ZXXK]
∴∠A=30°，
∴∠COB=2∠A=60°，
∴∠BOD=∠COB=60°，
∴∠COD=120°，
在Rt△OCE中，
∵sin∠COE= ，
即sin60°= ，
解得：OC= ，
∴S = = = ．
扇形DAB
故选D．
【点评】此题考查了扇形的面积公式，勾股定理的逆定理，圆周角定理及解直角三
角形等知识，解题的关键是：据勾股定理的逆定理判断△ACE为直角三角形．9．（3分）（2015•攀枝花）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2﹣0
有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m＞ 且m≠2 C．﹣ ＜m＜2 D． ＜m＜2
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．.
专题： 计算题．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣2≠0且△=
（2m+1）2﹣4（m﹣2）（m﹣2）＞0，解得m＞ 且m≠2，再利用根与系数的关系得到
﹣ ＞0，则m﹣2＜0时，方程有正实数根，于是可得到m的取值范围为 ＜m
＜2．
【解答】解：根据题意得m﹣2≠0且△=（2m+1）2﹣4（m﹣2）（m﹣2）＞0，
解得m＞ 且m≠2，
设方程的两根为a、b，则a+b=﹣ ＞0，ab= =1＞0，
而2m+1＞0，
∴m﹣2＜0，即m＜2，
∴m的取值范围为 ＜m＜2．
故选D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣
4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程
有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．
10．（3分）（2015•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、
AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接
CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②S
四边形BCDG
= CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与
BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．
其中正确的结论个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】四边形综合题．.
【分析】①先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；
②证明∠BGE=60°=∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此
∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明
△CBM≌△CDN，所以S =S ，易求后者的面积；
四边形BCDG 四边形CMGN
③过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE=DF：DA=1：3，则FP：BE=1：
6=FG：BG，即BG=6GF；
④因为点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，当点E，
F分别是AB，AD中点时，CG⊥BD；
⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°．
【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD，
∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，
∴∠A=∠BDF=60°，
又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB，故本选项正确；
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，
∴∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），
则△CBM≌△CDN（AAS），[来源:学|科|网Z|X|X|K]
∴S =S
四边形BCDG 四边形CMGN，
S =2S ，
四边形CMGN △CMG
∵∠CGM=60°，
∴GM= CG，CM= CG，
∴S =2S =2× × CG× CG= CG2，故本选项错误；
四边形CMGN △CMG
③过点F作FP∥AE于P点（如图2），
∵AF=2FD，
∴FP：AE=DF：DA=1：3，
∵AE=DF，AB=AD，
∴BE=2AE，
∴FP：BE=FP： =1：6，
∵FP∥AE，
∴PF∥BE，
∴FG：BG=FP：BE=1：6，
即BG=6GF，故本选项正确；
④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），
由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，
∵点E，F分别是AB，AD中点，
∴∠BDE=∠DBG=30°，
∴DG=BG，
在△GDC与△BGC中，
，
∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，
∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；
⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，
故本选项正确；
综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，
故选B．
【点评】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判
定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三
角形的面积是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）（2015•攀枝花）分式方程 = 的根为 2 ．【考点】解分式方程．.
专题： 计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+1=3x﹣3，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
故答案为：2．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
12．（4分）（2015•攀枝花）计算： +|﹣4|+（﹣1）0﹣（ ）﹣1= 6 ．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．.
专题： 计算题．
【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化
简，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得
到结果．
【解答】解：原式=3+4+1﹣2=6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（4分）（2015•攀枝花）若y= + +2，则xy= 9 ．
【考点】二次根式有意义的条件．.
专题： 计算题．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0，3﹣x≥0，求出x，代入求出y即
可．
【解答】解：y= 有意义，
必须x﹣3≥0，3﹣x≥0，解得：x=3，
代入得：y=0+0+2=2，
∴xy=32=9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查对二次根式有意义的条件的理解和掌握，能求出x y的值是
解此题的关键．
14．（4分）（2015•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形
OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为
等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为 （ 2. 5 ， 4 ），或（ 3 ， 4 ），或（ 2 ， 4 ），或
（ 8 ， 4 ） ．
【考点】矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理．.
专题： 分类讨论．
【分析】由矩形的性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情
况讨论：①当PO=PD时；②当OP=OD时；③当DP=DO时；根据线段垂直平分线
的性质或勾股定理即可求出点P的坐标．
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，
∵D为OA的中点，
∴OD=AD=5，
①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，
∴点P的坐标为：（2.5，4）；
②当OP=OD时，如图1所示：
则OP=OD=5，PC= =3，
∴点P的坐标为：（3，4）；
③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE= =3；
分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：
OE=5﹣3=2，
∴点P的坐标为：（2，4）；
当E在D的右侧时，如图3所示：
OE=5+3=8，
∴点P的坐标为：（8，4）；
综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；
故答案为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．
【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；
本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．
15．（4分）（2015•攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E
是AC边上一点，则BE+DE的最小值为 ．【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．.
【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时
BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，
故E即为所求的点．
【解答】解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时
BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，
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∵B、B′关于AC的对称，
∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四边形ABCB′是平行四边形，
∵三角形ABC是边长为2，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD= ，BD=CD=1，BB′=2AD=2 ，
作B′G⊥BC的延长线于G，
∴B′G=AD= ，
在Rt△B′BG中，
BG= = =3，
∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，
在Rt△B′DG中，BD= = = ．
故BE+ED的最小值为 ．
故答案为： ．【点评】本题考查的是最短路线问题，涉及的知识点有：轴对称的性质、等边三角
形的性质、勾股定理等，有一定的综合性，但难易适中．
16．（4分）（2015•攀枝花）如图，若双曲线y= （k＞0）与边长为3的等边△AOB
（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为
．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．.
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设OC=2x，则
BD=x，分别表示出点C、点D的坐标，代入函数解析式求出k，继而可建立方程，
解出x的值后即可得出k的值．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
设OC=2x，则BD=x，
在Rt△OCE中，∠COE=60°，
则OE=x，CE= x，
则点C坐标为（x， x），
在Rt△BDF中，BD=x，∠DBF=60°，
则BF= x，DF= x，则点D的坐标为（3﹣ x， x），
将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：k= x2，
将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：k= x﹣ x2，
则 x2= x﹣ x2，
解得：x = ，x =0（舍去），
1 2
故k= x2= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题关键是利用k的
值相同建立方程，有一定难度．
三、解答题：本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17．（6分）（2015•攀枝花）先化简，再求值： ÷（2+ ），其中a= ．
【考点】分式的化简求值．.
【专题】计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法
法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式= ÷ = • =当a= 时，原式= ﹣1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）（2015•攀枝花）“热爱劳动，勤俭节约”是中华民族的光荣传统，某小
学校为了解本校3至6年级的3000名学生帮助父母做家务的情况，以便做好引
导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和做家务程度，分
别绘制了条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．
（1）四个年级被调查人数的中位数是多少？
（2）如果把“天天做”、“经常做”、“偶尔做”都统计成帮助父母做家务，那么
该校3至6年级学生帮助父母做家务的人数大约是多少？
（3）在这次调查中，六年级共有甲、乙、丙、丁四人“天天帮助父母做家务”，现准
备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两
人恰好是甲和乙的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．.
【分析】（1）根据条形统计图中的数据，找出中位数即可；
（2）根据扇形统计图找出的百分比，乘以3000即可得到结果；[来源:
（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是甲与乙的情况，即可确定出
所求概率．
【解答】解：（1）四个年级被抽出的人数由小到大排列为30，45，55，70，
∴中位数为50；
（2）根据题意得：3000×（1﹣25%）=2250人，
则该校帮助父母做家务的学生大约有2250人；（3）画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中恰好是甲与乙的情况有2种，
则P= = ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总
情况数之比．
19．（6分）（2015•攀枝花）某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，
售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．
（1）若该超市一次性购进两种商品共80件，且恰好用去1600元，问购进甲、乙两
种商品各多少件？
（2）若该超市要使两种商品共80件的购进费用不超过1640元，且总利润（利润=
售价﹣进价）不少于600元．请你帮助该超市设计相应的进货方案，并指出使该
超市利润最大的方案．
【考点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用．.
专题： 应用题．
分析：（1）设该超市购进甲商品x件，则购进乙商品（80﹣x）件，根据恰好用去
1600元，求出x的值，即可得到结果；
（2）设该超市购进甲商品x件，乙商品（80﹣x）件，根据两种商品共80件的购进
费用不超过1640元，且总利润（利润=售价﹣进价）不少于600元列出不等式组，
求出不等式组的解集确定出x的值，即可设计相应的进货方案，并找出使该超市
利润最大的方案．
【解答】解：（1）设该超市购进甲商品x件，则购进乙商品（80﹣x）件，
根据题意得：10x+30（80﹣x）=1600，
解得：x=40，80﹣x=40，
则购进甲、乙两种商品各40件；
（2）设该超市购进甲商品x件，乙商品（80﹣x）件，由题意得： ，
解得：38≤x≤40，
∵x为非负整数，
∴x=38，39，40，相应地y=42，41，40，
进而利润分别为5×38+10×42=190+420=610，5×39+10×41=195+410=605，
5×40+10×40=200+400=600，
则该超市利润最大的方案是购进甲商品38件，乙商品42件．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，以及一元一次方程的应用，找出题
中的等量关系及不等式关系是解本题的关键．
20．（8分）（2015•攀枝花）如图，已知一次函数y =k x+b的图象与x轴、y轴分别
1 1
交于A、B两点，与反比例函数y = 的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），
2
点B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y =k x+b与反比例函数y = 的解析式；
1 1 2
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出y ＞y 时自变量x的取值范围．
1 2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．.
【分析】（1）把点D的坐标代入y = 利用待定系数法即可求得反比例函数的解
2
析式，作DE⊥x轴于E，根据题意求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函
数的解析式；（2）联立方程求得C的坐标，然后根据S =S +S 即可求得△COD的面
△COD △AOC △AOD
积；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：∵点D（2，﹣3）在反比例函数y = 的图象上，
2
∴k =2×（﹣3）=﹣6，
2
∴y =﹣ ；
2
作DE⊥x轴于E，
∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，
∴A（﹣2，0），
∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y =k x+b的图象上，
1 1
∴ ，
解得k =﹣ ，b=﹣ ，
1
∴y =﹣ x﹣ ；
1
（2）由 ，解得 ， ，
∴C（﹣4， ），
∴S =S +S = × + ×2×3= ；
△COD △AOC △AOD
（3）当x＜﹣4或0＜x＜2时，y ＞y ．
1 2【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数
和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得A点的坐标是解题
的关键．
21．（8分）（2015•攀枝花）如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛
C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西
30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的
方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来
的速度给游船送去．
（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？
（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距
离．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．.
【分析】（1）要求B到C的时间，已知其速度，则只要求得BC的路程，再利用路
程公式即可求得所需的时间；（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．求出OC=OB•cos30°=60 ，
CD= OC=30 ，OD=OC•cos30°=90，则DE=90﹣3v．在直角△CDE中利用勾股
定理得出CD2+DE2=CE2，即（30 ）2+（90﹣3v）2=602，解方程求出v=20或40，进
而求出相遇处与港口O的距离．[来源:学科网ZXXK]
【解答】解：（1）∵∠CBO=60°，∠COB=30°，
∴∠BCO=90°．
在Rt△BCO中，∵OB=120，
∴BC= OB=60，
∴快艇从港口B到小岛C的时间为：60÷60=1（小时）；
（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．
则OC=OB•cos30°=60 ，CD= OC=30 ，OD=OC•cos30°=90，
∴DE=90﹣3v．
∵CE=60，CD2+DE2=CE2，
∴（30 ）2+（90﹣3v）2=602，
∴v=20或40，
∴当v=20km/h时，OE=3×20=60km，
当v=40km/h时，OE=3×40=120km．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，勾
股定理等知识，理解方向角的定义，得出∠BCO=90°是解题的关键，本题难易程
度适中．22．（8分）（2015•攀枝花）如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交
于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径R=3，求 的值．
【考点】切线的判定．.
专题： 证明题．
【分析】（1）连结OD，如图，由EF=ED得到∠EFD=∠EDF，再利用对顶角相等得
∠EFD=∠CFO，则∠CFO=∠EDF，由于∠OCF+∠CFO=90°，∠OCF=∠ODF，则
∠ODC+∠EDF=90°，于是根据切线的判定定理可得DE是⊙O的切线；
（2）由OF：OB=1：3得到OF=1，BF=2，设BE=x，则DE=EF=x+2，根据圆周角定理
由AB为直径得到∠ADB=90°，接着证明△EBD∽△EDA，利用相似比得 = =
，即 = = ，然后求出x的值后计算 的值．
【解答】（1）证明：连结OD，如图，
∵EF=ED，
∴∠EFD=∠EDF，
∵∠EFD=∠CFO，
∴∠CFO=∠EDF，
∵OC⊥OF，
∴∠OCF+∠CFO=90°，
而OC=OD，
∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵OF：OB=1：3，
∴OF=1，BF=2，
设BE=x，则DE=EF=x+2，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO=∠BDE，
而∠ADO=∠A，
∴∠BDE=∠A，
而∠BED=∠DAE，
∴△EBD∽△EDA，
∴ = = ，即 = = ，
∴x=2，
∴ = = ．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线
是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为
半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．
23．（12分）（2015•攀枝花）如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐
标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位
长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同
时停止运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）当t=5时，请直接写出点D、点P的坐标；
（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关
系式，并写出相应t的取值范围；
（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与
△BCD相似时，求出相应的t值．
【考点】四边形综合题．.
【分析】（1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，则CM⊥x轴，BN⊥x轴，
AD∥x轴，BN∥DM，由矩形的性质得出和勾股定理求出BD，BO=15，由平行线得
出△ABD∽△NBO，得出比例式 ，求出BN、NO，得出OM、DN、PN，
即可得出点D、P的坐标；
（2）当点P在边AB上时，BP=6﹣t，由三角形的面积公式得出S= BP•AD；②当
点P在边BC上时，BP=t﹣6，同理得出S= BP•AB；即可得出结果；
（3）设点D（﹣ t， t）；分两种情况：①当点P在边AB上时，P（﹣ t﹣8， t），由
和 时；分别求出t的值；
②当点P在边BC上时，P（﹣14+ t，t+6）；由 和 时，分别求出t的值
即可．
【解答】解：（1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，如图1所示：则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，
∴BD= =10，
当t=5时，OD=5，
∴BO=15，
∵AD∥NO，
∴△ABD∽△NBO，
∴ ，
即 ，
∴BN=9，NO=12，
∴OM=12﹣8=4，DM=9﹣6=3，PN=9﹣1=8，
∴D（﹣4，3），P（﹣12，8）；
（2）如图2所示：当点P在边AB上时，BP=6﹣t，
∴S= BP•AD= （6﹣t）×8=﹣4t+24；
②当点P在边BC上时，BP=t﹣6，
∴S= BP•AB= （t﹣6）×6=3t﹣18；
综上所述：S= ；
（3）设点D（﹣ t， t）；
①当点P在边AB上时，P（﹣ t﹣8， t），若 时， ，
解得：t=6；
若 时， ，
解得：t=20（不合题意，舍去）；
②当点P在边BC上时，P（﹣14+ t， t+6），
若 时， ，
解得：t=6；
若 时， ，
解得：t= （不合题意，舍去）；
综上所述：当t=6时，△PEO与△BCD相似．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判
定与性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需
要进行分类讨论，由三角形相似得出比例式才能得出结果．
24．（12分）（2015•攀枝花）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，
0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线
BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大
若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若
存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．.
【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y=﹣x2+bx+c即可求出抛物线的解
析式，
（2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，根据S
△BCD
=S
梯形OCDH
+S
△BDH
﹣S
△BOC
=
﹣ t2+ t，即可求出D点坐标及△BCD面积的最大值，
（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，根据直线BC的解析式为
y=﹣x+3，过点P与BC平行的直线为y=﹣x+5，得Q的坐标为（2，3），根据PM的
解析式为：x=1，直线BC的解析式为y=﹣x+3，得M的坐标为（1，2），设PM与x轴交于点E，求出过点E与BC平行的直线为y=﹣x+1，根据 得点
Q的坐标为（ ，﹣ ），（ ，﹣ ）．
【解答】解：（1）由 得 ，则抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，
（2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，
则S =S +S ﹣S = （﹣t2+2t+3+3）t+ （3﹣t）（﹣t2+2t+3）﹣
△BCD 梯形OCDH △BDH △BOC
×3×3=﹣ t2+ t，
∵﹣ ＜0，
∴当t=﹣ = 时，D点坐标是（ ， ），△BCD面积的最大值是 ；
（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，
∵P点的坐标为（1，4），直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∴过点P与BC平行的直线为y=﹣x+5，
由 得Q的坐标为（2，3），
∵PM的解析式为x=1，直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∴M的坐标为（1，2），
设PM与x轴交于点E，
∵PM=EM=2，
∴过点E与BC平行的直线为y=﹣x+1，由 得 或 ，
∴点Q的坐标为（ ，﹣ ），（ ，﹣ ），
∴使得△QMB与△PMB的面积相等的点Q的坐标为（2，3），（ ，﹣
），（ ，﹣ ）．
【点评】此题考查了二次函数综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、三角
形梯形的面积、直线与抛物线的交点，关键是作出辅助线，求出符合条件的所有
点的坐标．
