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2015年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只
有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上.
1．（3分）﹣7的绝对值为（ ）
A．7 B． C．﹣ D．﹣7
2．（3分）计算（a2）3的结果为（ ）
A．a4 B．a5 C．a6 D．a9
3．（3分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）截止到2014年底，泸州市中心城区人口约为1120000人，将1120000用科学记数法
表示为（ ）
A．1.12×105 B．1.12×106 C．1.12×107 D．1.12×108
5．（3分）如图，AB∥CD，CB平分∠ABD．若∠C＝40°，则∠D的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
6．（3分）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
7．（3分）某校男子足球队的年龄分布情况如下表：
年龄（岁） 13 14 15 16 17 18
人数 2 6 8 3 2 1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15 B．15，14 C．16，15 D．14，15
第1页（共24页）8．（3分）如图，PA、PB分别与 O相切于A、B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（ ）
⊙
A．65° B．130° C．50° D．100°
9．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x＝﹣1，则使
函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4≤x≤2 C．x≤﹣4或x≥2 D．﹣4＜x＜2
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y
＝kx+b的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tanC＝2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点
B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为（ ）
A．13 B． C． D．12
12．（3分）在平面直角坐标系中，点A（ ， ），B（3 ，3 ），动点C在x轴上，若以A、
B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
第2页（共24页）二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：2m2﹣2＝ ．
14．（3分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的
半径是 ．
15．（3分）设x 、x 是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x 2+x 2的值为 ．
1 2 1 2
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝ AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于
点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．给出下列命题：
∠AEB＝∠AEH； DH＝2 EH； HO＝ AE； BC﹣BF＝ EH
① ② ③ ④
其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）．
三、解答题（每小题6分，共18分）
17．（6分）计算： ×sin45°﹣20150+2﹣1．
18．（6分）如图，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD．求证：BC＝DE．
19．（6分）化简： ÷（1﹣ ）
四、（每小题7分，共14分）
20．（7分）小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的生
活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数
分布表和频数分布直方图（如图）．
月均用水量（单位：t） 频数 百分比
2≤x＜3 2 4%
第3页（共24页）3≤x＜4 12 24%
4≤x＜5
5≤x＜6 10 20%
6≤x＜7 12%
7≤x＜8 3 6%
8≤x＜9 2 4%
（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本
估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？
（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取
出的2个家庭来自不同范围的概率．
21．（7分）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种
花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花
费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）．
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你
给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
五、解答题，每题8分
22．（8分）如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的
西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A
的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔
船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似
值）．
第4页（共24页）23．（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角
形的面积为3．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若反比例函数y＝ 的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，且AC
＝2BC，求m的值．
六、（每小题12分，共24分）
24．（12分）如图，△ABC内接于 O，AB＝AC，BD为 O的弦，且AB∥CD，过点A作 O的
切线AE与DC的延长线交于点⊙E，AD与BC交于⊙点F． ⊙
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AE＝6，CD＝5，求OF的长．
第5页（共24页）25．（12分）如图，已知二次函数的图象M经过A（﹣1，0），B（4，0），C（2，﹣6）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，
求点G的坐标；
（3）设图象M的对称轴为l，点D（m，n）（﹣1＜m＜2）是图象M上一动点，当△ACD的面
积为 时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点
D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
第6页（共24页）2015年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只
有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上.
1．【分析】根据当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a可得答案．
【解答】解：﹣7的绝对值等于7，
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握 当a是正有理数时，a的绝对值是它本身
a； 当a是负有理数时，a的绝对值是它的相①反数﹣a； 当a是零时，a的绝对值是零．
2．【分②析】根据幂的乘方，即可解答． ③
【解答】解：（a2）3＝a6．
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
3．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：从左向右看，得到的几何体的左视图是中间无线条的矩形．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现
在三视图中．
4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1120000用科学记数法表示为：1.12×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．【分析】先利用平行线的性质易得∠ABC＝40°，因为CB平分∠ABD，所以∠ABD＝80°，再
利用平行线的性质两直线平行，同旁内角互补，得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝40°，
∴∠ABC＝40°，
第7页（共24页）∵CB平分∠ABD，
∴∠ABD＝80°，
∴∠D＝100°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，利用两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．
6．【分析】根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．
【解答】解：A、不正确，两组对边分别平行；
B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；
C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选：D．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平
分的性质的理解．
7．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均
数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15；
22名队员中，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，
中位数是（15+15）÷2＝15．
故选：A．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，众数是出现次数最多的数据，
一组数据的众数可能有不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和
偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找
中间两位数的平均数，中位数不一定是这组数据中的数．
8．【分析】由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，
可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数
求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵PA、PB是 O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP， ⊙
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∵∠AOB＝2∠C＝130°，
第8页（共24页）则∠P＝360°﹣（90°+90°+130°）＝50°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性
质及定理是解本题的关键．
9．【分析】由抛物线与x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据
图象求出使函数值y＞0成立的x的取值范围即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x＝﹣1，
∴二次函数的图象与x轴另一个交点为（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
则使函数值y＞0成立的x的取值范围是﹣4＜x＜2．
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数与不等式（组），求出抛物线与x轴另一个交点坐标是解本题
的关键．
10．【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，
求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．
【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＜0，b＝0，即kb＝0，故D不正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情
况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0 方程有两个
相等的实数根；（3）△＜0 方程⇔没有实数根． ⇔
11．【分析】利用三线合一得到G⇔为BC的中点，求出GC的长，过点A作AG⊥BC于点G，在
直角三角形AGC中，利用锐角三角函数定义求出AG的长，再由E为AC中点，求出EC的
长，进而求出FC的长，利用勾股定理求出EF的长，在直角三角形DEF中，利用勾股定理
求出x的值，即可确定出BD的长．
第9页（共24页）【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，
∵AB＝AC，BC＝24，tanC＝2，
∴ ＝2，GC＝BG＝12，
∴AG＝24，
∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，
过E点作EF⊥BC于点F，
∴EF＝ AG＝12，
∴ ＝2，
∴FC＝6，
设BD＝x，则DE＝x，
∴DF＝24﹣x﹣6＝18﹣x，
∴x2＝（18﹣x）2+122，
解得：x＝13，
则BD＝13．
故选：A．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表
示出DE的长是解题关键．
12．【分析】首先根据线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等，求出AB的中垂线与x
轴的交点，即可求出点C 的坐标；然后再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径
1
画弧，与x轴的交点为点C 、C ；最后判断出以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x
2 3
轴没有交点，据此判断出点C的个数为多少即可．
【解答】解：如图，
第10页（共24页），
∵AB所在的直线是y＝x，
∴设AB的中垂线所在的直线是y＝﹣x+b，
∵点A（ ， ），B（3 ，3 ），
∴AB的中点坐标是（2 ，2 ），
把x＝2 ，y＝2 代入y＝﹣x+b，
解得b＝4 ，
∴AB的中垂线所在的直线是y＝﹣x+4 ，
∴C （4 ，0）
1
以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C 、C ；
2 3
AB＝ ＝4，
∵3 ＞4，
∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点．
综上，可得
若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为3．
故选：B．
【点评】（1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要
熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 等腰三角形的两腰相等． 等腰三角形的两个底
角相等． 等腰三角形的顶角平分线、①底边上的中线、底边上的②高相互重合．
（2）此题③还考查了坐标与图形性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：到x轴的距
第11页（共24页）离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关； 距离都是非负数，而坐标可以是负数，
在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． ②
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．【分析】先提取公因式2，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：2m2﹣2，
＝2（m2﹣1），
＝2（m+1）（m﹣1）．
故答案为：2（m+1）（m﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方
差公式进行二次因式分解．
14．【分析】易得扇形的弧长，除以2 即为圆锥的底面半径．
π
【解答】解：扇形的弧长＝ ＝4 ，
π
∴圆锥的底面半径为4 ÷2 ＝2．
故答案为：2． π π
【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周
长．
15．【分析】首先根据根与系数的关系求出x +x ＝5，x x ＝﹣1，然后把x 2+x 2转化为x 2+x 2
1 2 1 2 1 2 1 2
＝（x +x ）2﹣2x x ，最后整体代值计算．
1 2 1 2
【解答】解：∵x 、x 是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，
1 2
∴x +x ＝5，x x ＝﹣1，
1 2 1 2
∴x 2+x 2＝（x +x ）2﹣2x x ＝25+2＝27，
1 2 1 2 1 2
故答案为：27．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两
根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大．
16．【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝ AB＝ CD，由DE平分∠ADC，得到△ADH
是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE＝ CD，得到等腰三角形求出
∠AED＝67.5°，∠AEB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，得到 正确；设DH＝1，则AH＝DH＝
1，AD＝DE＝ ，求出HE＝ ，得到2 HE＝ ① ≠1，故 错误；通过角
的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到 正确；由△AFH≌②△CHE，到AF
＝EH，由△ABE≌△AHE，得到BE＝EH，于是得到BC③﹣BF＝（BE+CE）﹣（AB﹣AF）＝
第12页（共24页）（CD+EH）﹣（CD﹣EH）＝2EH，从而得到 错误．
【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝BC＝ ④AB＝ CD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∵AH⊥DE，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AD＝ AB，
∴AH＝AB＝CD，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝ CD，
∴AD＝DE，
∴∠AED＝67.5°，
∴∠AEB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠AEB，
故 正确；
设①DH＝1，
则AH＝DH＝1，AD＝DE＝ ，
∴HE＝ ，
∴2 HE＝ ≠1，
故 错误；
∵②∠AEH＝67.5°，
∴∠EAH＝22.5°，
∵DH＝CD，∠EDC＝45°，
∴∠DHC＝67.5°，
∴∠OHA＝22.5°，
∴∠OAH＝∠OHA，
∴OA＝OH，
∴∠AEH＝∠OHE＝67.5°，
∴OH＝OE，
∴OH＝ AE，
故 正确；
第13页（共24页）
③∵AH＝DH，CD＝CE，
在△AFH与△EHC中，
，
∴△AFH≌△EHC，
∴AF＝EH，
在△ABE与△AHE中，
，
∴△ABE≌△AHE，
∴BE＝EH，
∴BC﹣BF＝（BE+CE）﹣（AB﹣AF）＝（CD+EH）﹣（CD﹣EH）＝2EH，
故 错误，
故④答案为： ．
【点评】本题①考③查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形
的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得
到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题（每小题6分，共18分）
17．【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值及二次根式性质化简，第二项利用零指数幂
法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝2 × ﹣1+ ＝1 ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】先证出∠CAB＝∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠CAB＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中， ，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴BC＝DE．
第14页（共24页）【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三
角形全等是解决问题的关键．
19．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，
约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝ ÷ ＝ • ＝ ．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、（每小题7分，共14分）
20．【分析】（1）根据第一组的频数是2，百分比是4%即可求得总人数，然后根据百分比的意
义求解；
（2）利用总户数540乘以对应的百分比求解；
（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示，利用
树状图法表示出所有可能的结果，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）调查的总数是：2÷4%＝50（户），
则6≤x＜7部分调查的户数是：50×12%＝6（户），
则4≤x＜5的户数是：50﹣2﹣12﹣10﹣6﹣3﹣2＝15（户），所占的百分比是： ×100%＝
30%．
月均用水量（单位：t） 频数 百分比
2≤x＜3 2 4%
3≤x＜4 12 24%
4≤x＜5 15 30%
5≤x＜6 10 20%
6≤x＜7 6 12%
第15页（共24页）7≤x＜8 3 6%
8≤x＜9 2 4%
（2）中等用水量家庭大约有450×（30%+20%+12%）＝279（户）；
（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示．
则抽取出的2个家庭来自不同范围的概率是： ＝ ．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获
取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21．【分析】（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据第一次分别购进
A、B两种花草30棵和15棵，共花费940元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，
两次共花费675元；列出方程组，即可解答．
（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31﹣m）株，根据B种花草的数量少
于A种花草的数量的2倍，得出m的范围，设总费用为W元，根据总费用＝两种花草的费
用之和建立函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论．
【解答】解：（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：
，
解得： ，
∴A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元．
（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31﹣m）株，
∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，
∴31﹣m＜2m，
解得：m＞ ，
∵m是正整数，
∴m最小值 ＝11，
第16页（共24页）设购买树苗总费用为W＝20m+5（31﹣m）＝15m+155，
∵k＞0，
∴W随m的增大而增大，
当m＝11时，W最小值 ＝15×11+155＝320（元）．
答：购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元．
【点评】本题考查了列二元一次方程组，一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的
解析式的运用，一次函数的性质的运用，解答时根据总费用＝两种花草的费用之和建立函
数关系式是关键．
五、解答题，每题8分
22．【分析】首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC＝x海里，分别在Rt△APC中与Rt△APB
中，利用正切函数求得出PC与BP的长，由PC+BP＝BC＝30× ，即可得方程，解此方程
求得x的值，再计算出BP，然后根据时间＝路程÷速度即可求解．
【解答】解：过点A作AP⊥BC，垂足为P，设AP＝x海里．
在Rt△APC中，∵∠APC＝90°，∠PAC＝30°，
∴tan∠PAC＝ ，
∴CP＝AP•tan∠PAC＝ x．
在Rt△APB中，∵∠APB＝90°，∠PAB＝45°，
∴BP＝AP＝x．
∵PC+BP＝BC＝30× ，
∴ x+x＝15，
解得x＝ ，
∴PB＝x＝ ，
∴航行时间： ÷30＝ （小时）．
答：该渔船从B处开始航行 小时，离观测点A的距离最近．
第17页（共24页）【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，准确作出
辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
23．【分析】（1）先由一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），得出3k+b＝0 ，由于
一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），根据三角形的面积公式可求得①b的值，
然后利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．由△ACD∽△BCE，得出 ＝
＝2，那么AD＝2BE．设B点纵坐标为﹣n，则A点纵坐标为2n．由直线AB的解析式为y＝
﹣ x+2，得出A（3﹣3n，2n），B（3+ n，﹣n），再根据反比例函数y＝ 的图象经过A、B
两点，列出方程（3﹣3n）•2n＝（3+ n）•（﹣n），解方程求出n的值，那么m＝（3﹣3n）
•2n，代入计算即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），
∴3k+b＝0 ，点C到y轴的距离是3，
∵k＜0， ①
∴b＞0，
∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），
∴ ×3×b＝3，
解得：b＝2．
把b＝2代入 ，解得：k＝﹣ ，则函数的解析式是y＝﹣ x+2．
①
故这个函数的解析式为y＝﹣ x+2；
第18页（共24页）（2）如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．
∵AD∥BE，
∴△ACD∽△BCE，
∴ ＝ ＝2，
∴AD＝2BE．
设B点纵坐标为﹣n，则A点纵坐标为2n．
∵直线AB的解析式为y＝﹣ x+2，
∴A（3﹣3n，2n），B（3+ n，﹣n），
∵反比例函数y＝ 的图象经过A、B两点，
∴（3﹣3n）•2n＝（3+ n）•（﹣n），
解得n ＝2，n ＝0（不合题意舍去），
1 2
∴m＝（3﹣3n）•2n＝﹣3×4＝﹣12．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，
三角形的面积，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，
难度适中．正确求出一次函数的解析式是解题的关键．
六、（每小题12分，共24分）
24．【分析】（1）根据弦切角定理证明∠EAC＝∠ABC，根据等腰三角形等边对等角的性质和
等量代得到∠EAC＝∠ACB，从而根据内错角相等两直线平行的判定得到AE∥BC，结合
第19页（共24页）已知AB∥CD即可判定四边形ABCD是平行四边形；
（2）作辅助线，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD于点N，M，根据切割
线定理求得EC＝4，证明四边形ABDC是等腰梯形，根据对称性、圆周角定理和垂径定理
的综合应用证明△OFH∽△DMF∽△BFN，并由勾股定理列式求解即可．
【解答】（1）证明：∵AE与 O相切于点A，
∴∠EAC＝∠ABC， ⊙
∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴AE∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M，
∵AE是 O的切线，
由切割线⊙定理得，AE2＝EC•DE，
∵AE＝6，CD＝5，
∴62＝CE（CE+5），解得：CE＝4，（已舍去负数），
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴ ＝ ，
∴AC＝BD，
∴AB＝AC＝BD＝CE＝4，
又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，
设OF＝x，OH＝Y，FH＝z，
∵AB＝4，BC＝6，CD＝5，
∴BF＝ BC﹣FH＝3﹣z，DF＝CF＝ BC+FH＝3+z，
易得△OFH∽△DFM∽△BFN，
∴ ， ，
第20页（共24页）即 ，
①
，
②
+ 得： ，
① ②
÷ 得： ，
① ②
解 得 ，
∵x2＝y2+z2，
∴ ，
∴x＝ ，
∴OF＝ ．
【点评】本题考查了切线的性质，弦切角定理，圆周勾股定理，等腰三角形的性质，平行的
判定，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，垂径定理，相似判定和性质，勾
股定理，正确得作出辅助线是解题的关键．
25．【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可求得直线AC的解析式，设G（k，﹣2k﹣2），可表示出AB、BC、AG的长，由条件可知
只有△AGB∽△ABC，再利用相似三角形的性质可求得k的值，从而可求得G点坐标；
（3）可设出D点坐标，从而表示出△ACD的面积，由条件求得D点坐标，可求得DE的长，
当DE为边时，根据平行四边形的性质可得到PQ＝DE＝2，从而可求得P点坐标；当DE
第21页（共24页）为对角线时，可知P点为抛物线的顶点，可求得P点坐标．
【解答】解：
（1）∵二次函数的图象M经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴可设二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）．
∵二次函数的图象M经过C（2，﹣6）点，
∴﹣6＝a（2+1）（2﹣4），解得a＝1．
∴二次函数的解析式为y＝（x+1）（x﹣4），即y＝x2﹣3x﹣4．
（2）设直线AC的解析式为y＝sx+t，把A、C坐标代入可得 ，解得 ，
∴线段AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
设点G的坐标为（k，﹣2k﹣2）．
∵G与C点不重合，
∴△ABG与△ABC相似只有△AGB∽△ABC一种情况．
∴ ＝ ．
∵AB＝5，AC＝ ＝3 ，AG＝ ＝ |
k+1|，
∴ ＝ ，
∴|k+1|＝
∴k＝ 或k＝﹣ （舍去），
∴点G的坐标为（ ，﹣ ）．
（3）能．理由如下：
如图，过D点作x轴的垂线交AC于点H，
第22页（共24页）∵D（m，n）（﹣1＜m＜2），
∴H（m，﹣2m﹣2）．
∵点D（m，n）在图象M上，
∴D（m，m2﹣3m﹣4）．
∵△ACD的面积为 ，
∴ [﹣2m﹣2﹣（m2﹣3m﹣4）][（m+1）+（2﹣m）]＝ ，即4m2﹣4m+1＝0，
解得m＝ ．
∴D（ ，﹣ ）．
∵y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣ ）2﹣ ，
∴图象M的对称轴l为x＝ ．
∵点D关于l的对称点为E，
∴E（ ，﹣ ），
∴DE＝ ﹣ ＝2，
若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，有两种情况：
当DE为边时，则有PQ∥DE且PQ＝DE＝2．
∴点P的横坐标为 +2＝ 或 ﹣2＝﹣ ，
第23页（共24页）∴点P的纵坐标为（ ﹣ ）2﹣ ＝﹣ ，
∴点P的坐标为（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）；
当DE为对角线时，则可知P点为抛物线的顶点，即P（ ，﹣ ）；
综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）．
【点评】本题主要考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾
股定理、平行四边形的性质等知识点．在（1）中注意二次函数解析式三种形式的灵活运用，
在（2）中确定出只有△AGB∽△ABC一种情况是解题的突破口，在（3）中求得D点的坐标
从而求得DE的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性质较强，难度较大．
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