文档内容
2015 年江苏省常州市中考数学试卷
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．－3的绝对值是
A．3 B．－3 C． D．－
2．要使分式 有意义，则x的取值范围是
A．x＞2 B．x＜2 C．x≠－2 D．x≠2
3．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴
影图片）中为轴对称图形的是
A． B． C． D．
4．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝40°，则∠ECD的度数是
E
C D
A B
A．70° B．60° C．50° D．40°
5．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是
A D
O
B C
A．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB
6．已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则下列大小关系正确的是
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
7．已知二次函数y＝ ＋（m－1）x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是
A．m＝－1 B．m＝3 C．m≤－1 D．m≥－1
8．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则
这个三角形面积的最小值是
第1页（共29页）B
A
C
A． cm2 B．8cm2 C． cm2 D．16cm2
二、填空题（每小题2分，共20分）
9．计算 ＝_________．
10 ． 太 阳 的 半 径 约 为 696000km ， 把 696000 这 个 数 用 科 学 记 数 法 表 示 为
_______________________．
11．分解因式： ＝____________________________．
12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是________．
13．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，则BC的长是______．
A
D E
B C
14．已知x＝2是关于x的方程 ＋x的解，则a的值是______________．
15．二次函数y＝－ ＋2x－3图像的顶点坐标是____________．
16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，
古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向
左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是_______________．
y（单位：m）
C
B
300 A
O 400 x（单位：m）
17．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．
4＝2＋2； 12＝5＋7；
6＝3＋3； 14＝3＋11＝7＋7；
8＝3＋5； 16＝3＋13＝5＋11；
10＝3＋7＝5＋5 18＝5＋13＝7＋11；
…
第2页（共29页）通过这组等式，你发现的规律是_______________________________________（请用文字语
言表达）．
18．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，
则AC的长是_______________．
A
O
B
D
C
三、解答题（共10小题，共84分）
19．（6分）先化简，再求值： ，其中x＝2．
20．（8分）解方程和不等式组：
⑴ ； ⑵
21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时
间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：
⑴该调查小组抽取的样本容量是多少？
⑵求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；
⑶请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．
人数
200
180
160
0.5小时 140
2小时
20％ 120
100
80
1.5小时
60
24％
1小时 40
20
0
0.5小时 1小时 1.5小时 2小时 时间/小时
22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通
过抽签来决定比赛的出场顺序．
⑴求甲第一个出场的概率；
⑵求甲比乙先出场的概率．
23．（8分）如图，在□ABCD中，∠BCD＝120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和
△CDF都是正三角形．
⑴求证：AE＝AF；
第3页（共29页）⑵求∠EAF的度数．
A
B
D
C
E F
24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如
图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中
午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超
过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．
光明中学 市图书馆 光明电影院
2公里 5公里
⑴求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；
⑵如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问
小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？
25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°．
⑴若AD＝2，求AB；
⑵若AB＋CD＝2 ＋2，求AB．
C
D
A B
26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出
一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．
⑴阅读填空
如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE＝DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆
于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．
理由：连接AH，EH．
∵ AE为直径 ∴ ∠AHE＝90° ∴ ∠HAE＋∠HEA＝90°．
第4页（共29页）∵ DH⊥AE ∴ ∠ADH＝∠EDH＝90°
∴ ∠HAD＋∠AHD＝90°
∴ ∠AHD＝∠HED ∴ △ADH∽_____________．
∴ ，即 ＝AD×DE．
又∵ DE＝DC ∴ ＝____________，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．
H
G
A D
A
D E F
B C B C
⑵操作实践
平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的
正方形．
如图②，请用尺规作图作出与□ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．
⑶解决问题
三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的_________________（填写图形名称），
再转化为等积的正方形．
如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不
要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．
⑷拓展探究
n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n－1边形，…，直至转化为等
积的三角形，从而可以化方．
如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形
（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．
A A
D
B C B C
27．（10分）如图，一次函数y＝－x＋4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴
的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都
第5页（共29页）不重合．
⑴写出点A的坐标；
⑵当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P
的坐标；如果不存在，请说明理由．
⑶若点M在直线l上，且∠POM＝90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是 、
，求 的值．
y l
P
Q
B
O A x
28．（10分）如图，反比例函数y＝ 的图像与一次函数y＝ x的图像交于点A、B，点B的横
坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB的上方．
⑴若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
⑵设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；
⑶设点Q是反比例函数图像上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较
∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．
y
P
B
O x
A
第6页（共29页）一、选择题（每小题2分，共16分）
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
考点：绝对值．
.
分析：根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．
解答： 解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．
故选：A．
点评：考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的
绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（2分）（2015•常州）要使分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≠﹣2 D．x≠2
考点：分式有意义的条件．
.
专题：计算题．
分析：根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围．
解答： 解：要使分式 有意义，须有x﹣2≠0，即x≠2，
故选D．
点评：此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为0．
3．（2分）（2015•常州）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个
交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：轴对称图形．
.
分析：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．
解答： 解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
点评：本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分沿对称轴折叠后可重合．
第7页（共29页）4．（2分）（2015•常州）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
考点：平行线的性质；垂线．
.
专题：计算题．
分析：由BC与AE垂直，得到三角形ABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，求出
∠A的度数，再利用两直线平行同位角相等即可求出∠ECD的度数．
解答： 解：∵BC⊥AE，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠B=40°，
∴∠A=90°﹣∠B=50°，
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠A=50°，
故选C．
点评：此题考查了平行线的性质，以及垂线，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
5．（2分）（2015•常州）如图， ▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的
是（ ）
A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB
考点：平行四边形的性质．
.
分析：根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．
解答： 解：对角线不一定相等，A错误；
对角线不一定互相垂直，B错误；
对角线互相平分，C正确；
对角线与边不一定垂直，D错误．
故选：C．
点评：本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平
分是解题的关键．
6．（2分）（2015•常州）已知a= ，b= ，c= ，则下列大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
第8页（共29页）考点：实数大小比较．
.
专题：计算题．
分析：将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．
解答： 解：∵a= = ，b= = ，c= = ，且 ＜ ＜ ，
∴ ＞ ＞ ，即a＞b＞c，
故选A．
点评：此题考查了实数比较大小，将a，b，c进行适当的变形是解本题的关键．
7．（2分）（2015•常州）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而
m的取值范围是（ ）
A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1
考点：二次函数的性质．
.
分析：根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
解答： 解：抛物线的对称轴为直线x=﹣ ，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣ ≤1，
解得m≥﹣1．
故选D．
点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式
是解题的关键．
8．（2分）（2015•常州）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部
分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（ ）
A． cm2 B．8cm2 C． cm2 D．16cm2
考点：翻折变换（折叠问题）．
.
分析：当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．
解答： 解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，
∵∠BAC=90°∠ACB=45°
∴AB=AC=4cm，
第9页（共29页）∴S△ABC= ×4×4=8cm2．
故选：B．
点评：本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关
键．
二、填空题（每小题2分，共20分）
9．（2分）（2015•常州）计算（π﹣1）0+2﹣1= 1 ．
考点：负整数指数幂；零指数幂．
.
分析：分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计
算结果．
解答： 解：（π﹣1）0+2﹣1
=1+
=1 ．
故答案为：1 ．
点评：本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任
何非0数的0次幂等于1．
10．（2分）（2015•常州）太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为
6.96×10 5 ．
考点：科学记数法—表示较大的数．
.
专题：应用题．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题中696 000有6
位整数，n=6﹣1=5．
解答：解：696 000=6.96×105．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．（2分）（2015•常州）分解因式：2x2﹣2y2= 2 （ x+ y ）（ x﹣ y ） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
.
分析：先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
解答： 解：2x2﹣2y2=2（x2﹣y2）=2（x+y）（x﹣y）．
第10页（共29页）故答案为：2（x+y）（x﹣y）．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分
解，注意分解要彻底．
12．（2分）（2015•常州）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是 27 π ．
考点：扇形面积的计算．
.
分析：利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．
解答： 解：设扇形的半径为r．
则 =6π，
解得r=9，
∴扇形的面积= =27π．
故答案为：27π．
点评：此题主要考查了扇形面积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式l= ；扇形的面
积公式S= ．
13．（2分）（2015•常州）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是 6
．
考点：相似三角形的判定与性质．
.
分析：由平行可得对应线段成比例，即AD：AB=DE：BC，再把数值代入可求得BC．
解答： 解：∵DE∥BC，
∴ ，
∵AD：DB=1：2，DE=2，
∴ ，
解得BC=6．
故答案为：6．
点评：本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是
解题的关键．
14．（2分）（2015•常州）已知x=2是关于x的方程a（x+1）= a+x的解，则a的值是 ．
第11页（共29页）考点：一元一次方程的解．
.
专题：计算题．
分析：把x=2代入方程计算即可求出a的值．
解答： 解：把x=2代入方程得：3a= a+2，
解得：a= ．
故答案为： ．
点评：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
15．（2分）（2015•常州）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是 （ 1 ，﹣ 2 ） ．
考点：二次函数的性质．
.
分析：此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出
其顶点的坐标．
解答： 解：∵y=﹣x2+2x﹣3
=﹣（x2﹣2x+1）﹣2
=﹣（x﹣1）2﹣2，
故顶点的坐标是（1，﹣2）．
故答案为（1，﹣2）．
点评：本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法，②配方法．
16．（2分）（2015•常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口
位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园
B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是 （ 40 0 ， 80 0 ） ．
考点：勾股定理的应用；坐标确定位置；全等三角形的应用．
.
分析：根据题意结合全等三角形的判定与性质得出△AOD≌△ACB（SAS），进而得出C，A，D
也在一条直线上，求出CD的长即可得出C点坐标．
解答： 解：连接AC，
由题意可得：AB=300m，BC=400m，
在△AOD和△ACB中
第12页（共29页）∵ ，
∴△AOD≌△ACB（SAS），
∴∠CAB=∠OAD，
∵B、O在一条直线上，
∴C，A，D也在一条直线上，
∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，
∴C点坐标为：（400，800）．
故答案为：（400，800）．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出C，A，D也在一条直线
上是解题关键．
17．（2分）（2015•常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．
4=2+2； 12=5+7；
6=3+3； 14=3+11=7+7；
8=3+5； 16=3+13=5+11；
10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；
…
通过这组等式，你发现的规律是 所有大于 2 的偶数都可以写成两个素数之和 （请用文字
语言表达）．
考点：规律型：数字的变化类．
.
分析：根据以上等式得出规律进行解答即可．
解答： 解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，
故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和
点评：此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．
18．（2分）（2015•常州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点
C为弧BD的中点，则AC的长是 ．
第13页（共29页）考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
.
分析：过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出 = ，求出
∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证
△CBE≌△ CDF，推出BE=DF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，
求出x，解直角三角形求出即可．
解答： 解：
过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
则∠E=∠CFD=∠CFA=90°，
∵点C为弧BD的中点，
∴ = ，
∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠D=∠CBE，
在△CBE和△CDF中
∴△CBE≌△CDF，
∴BE=DF，
在△AEC和△AFC中
∴△AEC≌△AFC，
∴AE=AF，
设BE=DF=x，
∵AB=3，AD=5，
∴AE=AF=x+3，
第14页（共29页）∴5=x+3+x，
解得：x=1，
即AE=4，
∴AC= = ，
故答案为： ．
点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角
形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．
三、解答题（共10小题，共84分）
19．（6分）（2015•常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（2﹣x），其中x=2．
考点：整式的混合运算—化简求值．
.
专题：计算题．
分析：原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号
合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=x2+2x+1﹣2x+x2=2x2+1，
当x=2时，原式=8+1=9．
点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8分）（2015•常州）解方程和不等式组：
（1） ；
（2） ．
考点：解分式方程；解一元一次不等式组．
.
专题：计算题．
分析： （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可
得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出解集．
解答： 解：（1）去分母得：x=6x﹣2+1，
解得：x= ，
经检验x= 是分式方程的解；
（2） ，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜3．
第15页（共29页）点评：此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关
键．
21．（8分）（2015•常州）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光
体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：
（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？
（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；
（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．
考点：频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数．
.
分析： （1）利用0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，即可求出样本容量；
（2）利用样本容量乘以1.5小时的百分数，即可求出1.5小时的人数，画图即可；
（3）计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可．
解答： 解：（1）由题意可得：0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，
∴本次调查共抽样了500名学生；
（2）1.5小时的人数为：500×2.4=120（人）
如图所示：
（3）根据题意得： ，即该市中小学生一天中阳
光体育运动的平均时间约1小时．
点评：此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题
关键．
22．（8分）（2015•常州）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决
赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．
第16页（共29页）（1）求甲第一个出场的概率；
（2）求甲比乙先出场的概率．
考点：列表法与树状图法．
.
专题：计算题．
分析： （1）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲第一个出场的情况数，即可求出所
求的概率；
（2）找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率．
解答： 解：（1）画树状图如下：
所有等可能的情况有6种，其中甲第一个出场的情况有2种，
则P（甲第一个出场）= = ；
（2）甲比乙先出场的情况有3种，
则P（甲比乙先出场）= = ．
点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）（2015•常州）如图，在 ▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得
△BCE和△CDF都是正三角形．
（1）求证：AE=AF；
（2）求∠EAF的度数．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质．
.
分析： （1）由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，
BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，证出
∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根据SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出
∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，
第17页（共29页）∵△BCE和△CDF都是正三角形，
∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，
∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，
在△ABE和△FDA中， ，
∴△ABE≌△FDA（SAS），
∴AE=AF；
（2）解：∵△ABE≌△FDA，
∴∠AEB=∠FAD，
∵∠ABE=60°+60°=120°，
∴∠AEB+∠BAE=60°，
∴∠FAD+∠BAE=60°，
∴∠EAF=120°﹣60°=60°．
点评：本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌
握平行四边形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
24．（8分）（2015•常州）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之
间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，
付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费
标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．
（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；
（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．
问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？
考点：一次函数的应用．
.
分析： （1）根据题意，不超过3公里计费为m元，由图示可知光明中学和市图书馆相距2
公里，可由此得出m，由出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公
里计费．当x＞3时，由收费与路程之间的关系就可以求出结论；
（2）分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数，即可得出结论．
解答： 解：（1）∵由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，付费9元，
∴m=9，
∵从市图书馆乘出租车去光明电影院，路程5公里，付费12.6元，
∴（5﹣3）n+9=12.6，
解得：n=1.8．
∴车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式为：y=1.8（x﹣3）+9=1.8x+3.6（x＞
3）．
（2）小张剩下坐车的钱数为：75﹣15﹣25﹣9﹣12.6=13.4（元），
乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用：1.8×7+3.6=16.2（元）
∵13.4＜16.2，
故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学．
第18页（共29页）点评：本题考查了分段函数，一次函数的解析式，由一次含数的解析式求自变量和函数值，解
答时求出函数的解析式是关键
25．（8分）（2015•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．
（1）若AD=2，求AB；
（2）若AB+CD=2 +2，求AB．
考点：勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．
.
分析： （1）在四边形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC
﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，求得AE，利用锐角三角函
数得BE，得AB；
（2）设DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果．
解答： 解：（1）过A点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，
∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，
∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，
△ADE与△BCF为等腰直角三角形，
∵AD=2，
∴AE=DE= = ，
∵∠ABC=105°，
∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，
∴BE= = = ，
∴AB= ；
（2）设DE=x，则AE=x，BE= = = ，
∴BD= =2x，
∵∠BDF=60°，
∴∠DBF=30°，
∴DF= =x，
∴BF= = = ，
第19页（共29页）∴CF= ，
∵AB=AE+BE= ，
CD=DF+CF=x ，
AB+CD=2 +2，
∴AB= +1
点评：本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，
解题的关键是作辅助线DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数．
26．（10分）（2015•常州）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺
规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化
方”．
（1）阅读填空
如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于
点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．
理由：连接AH，EH．
∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°
∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽ △ HDE ．
∴ ，即DH2=AD×DE．
又∵DE=DC
∴DH2= AD×DC ，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．
（2）操作实践
平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的
正方形．
如图②，请用尺规作图作出与 ▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．
（3）解决问题
三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 矩形 （填写图形名称），再转化为等
积的正方形．
如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不
要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．
（4）拓展探究
n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等
积的三角形，从而可以化方．
如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形
（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．
第20页（共29页）考点：相似形综合题．
.
分析： （1）首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；然后根据等量代换，可
得DH2=AD×DC，据此判断即可．
（2）首先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN，然后延长AD到E，使DE=DM，以
AE为直径作半圆．延长MD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与
矩形ABMN等积，所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积，据此解答即可．
（3）首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积
的矩形MBCD；然后延长MD到E，使DE=DC，以ME为直径作半圆．延长CD交半圆于点
H，则DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．
（4）首先根据AG∥EH，判断出AG=2EH，然后根据CF=2DF，可得CF•EH=DF•AG，据此判断
出S
△CEF
=S
△ADF
，S
△CDI
=S
△AEI
，所以S
△BCE
=S四边形ABCD ，即△BCE与四边形ABCD等积，据此
解答即可．
解答： 解：（1）如图①，连接AH，EH， ，
∵AE为直径，
∴∠AHE=90°，
∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，
∴∠ADH=∠EDH=90°，
第21页（共29页）∴∠HAD+∠AHD=90°，
∴∠AHD=∠HED，
∴△ADH∽△HDE．
∴ ，
即DH2=AD×DE．
又∵DE=DC，
∴DH2=AD×DC，
即正方形DFGH与矩形ABCD等积．
（2）如图②，延长AD到E，使DE=DM，连接AH，EH， ，
∵矩形ADMN的长和宽分别等于平行四边形ABCD的底和高，
∴矩形ADMN的面积等于平行四边形ABCD的面积，
∵AE为直径，
∴∠AHE=90°，
∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，
∴∠ADH=∠EDH=90°，
∴∠HAD+∠AHD=90°，
∴∠AHD=∠HED，
∴△ADH∽△HDE．
∴ ，
即DH2=AD×DE．
又∵DE=DM，
∴DH2=AD×DM，
即正方形DFGH与矩形ABMN等积，
∴正方形DFGH与平行四边形ABCD等积．
第22页（共29页）（3）如图③，延长MD到E，使DE=DC，连接MH，EH，
，
∵矩形MDBC的长等于△ABC的底，矩形MDBC的宽等于△ABC的高的一半，
∴矩形MDBC的面积等于△ABC的面积，
∵ME为直径，
∴∠MHE=90°，
∴∠HME+∠HEM=90°．
∵DH⊥ME，
∴∠MDH=∠EDH=90°，
∴∠HMD+∠MHD=90°，
∴∠MHD=∠HED，
∴△MDH∽△HDE．
∴ ，
即DH2=MD×DE．
又∵DE=DC，
∴DH2=MD×DC，
∴DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．
（4）如图④，延长BA、CD交于点F，作AG⊥CF于点G，EH⊥CF于点H，
，
△BCE与四边形ABCD等积，理由如下：
∵AG∥EH，
∴ ，
∴AG=2EH，
又∵CF=2DF，
第23页（共29页）∴CF•EH=DF•AG，
∴S =S ，
△CEF △ADF
∴S =S ，
△CDI △AEI
∴S
△BCE
=S四边形ABCD ，
即△BCE与四边形ABCD等积．
故答案为：△HDE、AD×DC、矩形．
点评： （1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的
应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了矩形、三角形的面积的求法，以及对等积转化的理解，要熟练掌握．
27．（10分）（2015•常州）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过
点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、
Q与点A都不重合．
（1）写出点A的坐标；
（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点
P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S 、
1
S ，求 的值．
2
考点： 圆的综合题．
.
分析： （1）将y=0代入y=﹣x+4，求得x的值，从而得到点A的坐标；
（2）首先根据题意画出图形，然后在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB的长度，然后由全等三
角形的性质求得QA的长度，从而得到BQ的长，然后根据PA=BQ求得PA的长度，从而可求
得点P的坐标；
（3）首先根据题意画出图形，设AP=m，由△OAM∽△PAO，可求得AM的长度，然后根据勾股
定理可求得两圆的直径（用含m的式子表示），然后利用圆的面积公式求得两圆的面积，最后
代入所求代数式求解即可．
解答： 解（1）令y=0，得：﹣x+4=0，解得x=4，
所以点A的坐标为（4，0）；
第24页（共29页）（2）存在．
理由：如图下图所示：
将x=0代入y=﹣x+4得：y=4，
∴OB=4，
由（1）可知OA=4，
在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB= =4 ．
∵△BOQ≌△AQP．
∴QA=OB=4，BQ=PA．
∵BQ=AB﹣AQ=4 ﹣4，
∴PA=4 ﹣4．
∴点P的坐标为（4，4 ﹣4）．
（3）如下图所示：
∵OP⊥OM，
∴∠1+∠3=90°．
又∵∠2+∠1=90°，
∴∠2=∠3．
又∵∠OAP=∠OAM=90°，
∴△OAM∽△PAO．
∴ ，
设AP=m，则： ，
第25页（共29页）∴AM= ．
在Rt△OAP中，PO= ，
∴S = = = ，
1
在Rt△OAM中，OM= = ，
∴S = = = ，
2
∴ = + =1 + = ．
点评： 本题主要考查的是全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定以及勾股定理和
一次函数的综合应用，根据题意画出图形，利用全等三角形和相似三角形的性质和判定求得
AM和PA的长度是解题的关键．
28．（10分）（2015•常州）如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，
点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；
（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比
较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．
考点：反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问
题；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
.
专题：综合题．
分析： （1）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点
C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即
第26页（共29页）可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA=OB，由此可得
S =2S ，要求△PAB的面积，只需求△PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；
△PAB △AOP
（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N
的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，
即△PMN是等腰三角形；
（3）过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q
为（c， ），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c﹣4，0），同理
可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有
∠QDE=∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ=∠PBQ．
解答： 解：（1）k=4，S =15．
△PAB
提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，
设AP与y轴交于点C，如图1，
把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1），
把点B（4，1）代入y= ，得k=4．
解方程组 ，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），
则点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S =S ，
△AOP △BOP
∴S =2S ．
△PAB △AOP
设直线AP的解析式为y=mx+n，
把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，
求得直线AP的解析式为y=x+3，
则点C的坐标（0，3），OC=3，
∴S =S +S
△AOP △AOC △POC
= OC•AR+ OC•PS
= ×3×4+ ×3×1= ，
∴S =2S =15；
△PAB △AOP
（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．
设直线PB的解析式为y=ax+b，
把点P（1，4）、B（4，1）代入y=ax+b，得
，
解得： ，
∴直线PB的解析式为y=﹣x+5．
第27页（共29页）当y=0时，﹣x+5=0，
∴x=5，点N（5，0）．
同理可得M（﹣3，0），
∴MH=1﹣（﹣3）=4，NH=5﹣1=4，
∴MH=NH，
∴PH垂直平分MN，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；
（3）∠PAQ=∠PBQ．
理由如下：
过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．
可设点Q为（c， ），直线AQ的解析式为y=px+q，则有
，
解得： ，
∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1．
当y=0时， x+ ﹣1=0，
解得：x=c﹣4，
∴D（c﹣4，0）．
同理可得E（c+4，0），
∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4，
∴DT=ET，
∴QT垂直平分DE，
∴QD=QE，
∴∠QDE=∠QED．
∵∠MDA=∠QDE，
∴∠MDA=∠QED．
∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．
∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED，
∴∠PAQ=∠PBQ．
第28页（共29页）点评：本题主要考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、求反比例函数及一
次函数图象的交点，三角形的中线平分三角形的面积、垂直平分线的性质、等腰三角形的判
定与性质、三角形外角的性质、对顶角相等等知识，运用（2）中的结论及（2）中的解题方法是
解决第（3）小题的关键．
第29页（共29页）
