文档内容
2016 年江苏省苏州市中考数学试卷
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）
1．（3 分）（2016•苏州） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．（3 分）（2016•苏州）肥皂泡的泡壁厚度大约是 0.0007mm，0.0007 用科学记数法
表示为（ ）
A．0.7×10﹣3B．7×10﹣3C．7×10﹣4D．7×10﹣5
3．（3 分）（2016•苏州）下列运算结果正确的是（ ）
A．a+2b=3ab B．3a2﹣2a2=1
C．a2•a4=a8D．（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b
4．（3 分）（2016•苏州）一次数学测试后，某班 40 名学生的成绩被分为 5 组，第 1～4
组的频数分别为 12、10、6、8，则第 5 组的频率是（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
5．（3 分）（2016•苏州）如图，直线 a∥b，直线 l 与 a、b 分别相交于 A、B 两点，过点 A
作直线 l 的垂线交直线 b 于点 C，若∠1=58°，则∠2 的度数为（ ）
A．58° B．42° C．32° D．28°
6．（3 分）（2016•苏州）已知点 A（2，y ）、B（4，y ）都在反比例函数 y= （k＜0）的
1 2
图象上，则 y 、y 的大小关系为（ ）
1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y =y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
7．（3 分）（2016•苏州）根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结
合地方实际，决定从 2016 年 1 月 1 日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收
费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了 30 户家庭某月的用水量，
如表所示：
用水量
15 20 25 30 35
（吨）
户数 3 6 7 9 5
则这 30 户家庭该用用水量的众数和中位数分别是（ ）
A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，25
8．（3 分）（2016•苏州）如图，长 4m 的楼梯 AB 的倾斜角∠ABD 为 60°，为了改善楼
梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为 45°，则调整后的楼梯 AC
的长为（ ）
第1页（共26页）A．2 m B．2 m C．（2 ﹣2）m D．（2 ﹣2）m
9．（3 分）（2016•苏州）矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B 的坐
标为（3，4），D 是 OA 的中点，点 E 在 AB 上，当△CDE 的周长最小时，点 E 的坐标为
（ ）
A．（3，1） B．（3， ） C．（3， ） D．（3，2）
10．（3 分）（2016•苏州）如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，AB=BC=2 ，E、
F 分别是 AD、CD 的中点，连接 BE、BF、EF．若四边形 ABCD 的面积为 6，则△BEF
的面积为（ ）
A．2 B． C． D．3
二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）
11．（3 分）（2016•苏州）分解因式：x2﹣1= ．
12．（3 分）（2016•苏州）当 x= 时，分式 的值为 0．
13．（3 分）（2016•苏州）要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016 里约奥运
会”100m 比赛，对这两名运动员进行了 10 次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动
员的平均成绩均为 10.05（s），甲的方差为 0.024（s2），乙的方差为 0.008（s2），则这
10 次测试成绩比较稳定的是 运动员．（填“甲”或“乙”）
14．（3 分）（2016•苏州）某学校计划购买一批课外读物，为了了解学生对课外读物的
需求情况，学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查，设置了“文学”、“科
第2页（共26页）普”、“艺术”和“其他”四个类别，规定每人必须并且只能选择其中一类，现从全
体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计，并把统计结果绘制了如
图所示的两幅不完整的统计图，则在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是
度．
15．（3 分）（2016•苏州）不等式组 的最大整数解是 ．
16．（3 分）（2016•苏州）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点 C 的切线交
AB 的延长线于点 D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为 ．
17．（3 分）（2016•苏州）如图，在△ABC 中，AB=10，∠B=60°，点 D、E 分别在 AB、
BC 上，且 BD=BE=4，将△BDE 沿 DE 所在直线折叠得到△B′DE（点 B′在四边形
ADEC 内），连接 AB′，则 AB′的长为 ．
18．（3 分）（2016•苏州）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A、B 的坐标分别为（8，
0）、（0，2 ），C 是 AB 的中点，过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D，动点 P 从点 D 出发，
沿 DC 向点 C 匀速运动，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 BP、EC．当 BP 所在直
线与 EC 所在直线第一次垂直时，点 P 的坐标为 ．
第3页（共26页）三、解答题（共 10 小题，满分 76 分）
19．（5 分）（2016•苏州）计算：（ ）2+|﹣3|﹣（π+ ）0．
20．（5 分）（2016•苏州）解不等式 2x﹣1＞ ，并把它的解集在数轴上表示出来．
21．（6 分）（2016•苏州）先化简，再求值： ÷（1﹣ ），其中 x= ．
22．（6 分）（2016•苏州）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为 12 元/辆，
小型汽车的停车费为 8 元/辆，现在停车场共有 50 辆中、小型汽车，这些车共缴纳停
车费 480 元，中、小型汽车各有多少辆？
23．（8 分）（2016•苏州）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字
﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．
（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字 2 的小球的概率为
；
（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 M 的横
坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作
为平面直角坐标系内点 M 的纵坐标，请用树状图或表格列出点 M 所有可能的坐标，
并求出点 M 落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．
24．（8 分）（2016•苏州）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点
D 作对角线 BD 的垂线交 BA 的延长线于点 E．
（1）证明：四边形 ACDE 是平行四边形；
（2）若 AC=8，BD=6，求△ADE 的周长．
第4页（共26页）25．（8 分）（2016•苏州）如图，一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交于点 A，与反比例
函数 y= （x＞0）的图象交于点 B（2，n），过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C，点 P（3n﹣4，
1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表
达式．
26．（10 分）（2016•苏州）如图，AB 是⊙O 的直径，D、E 为⊙O 上位于 AB 异侧的两
点，连接 BD 并延长至点 C，使得 CD=BD，连接 AC 交⊙O 于点 F，连接 AE、DE、
DF．
（1）证明：∠E=∠C；
（2）若∠E=55°，求∠BDF 的度数；
（3）设 DE 交 AB 于点 G，若 DF=4，cosB= ，E 是 的中点，求 EG•ED 的值．
27．（10 分）（2016•苏州）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，AD=8cm，点 P 从点 B
出发，沿对角线 BD 向点 D 匀速运动，速度为 4cm/s，过点 P 作 PQ⊥BD 交 BC 于点
Q，以 PQ 为一边作正方形 PQMN，使得点 N 落在射线 PD 上，点 O 从点 D 出发，沿
DC 向点 C 匀速运动，速度为 3m/s，以 O 为圆心，0.8cm 为半径作⊙O，点 P 与点 O
同时出发，设它们的运动时间为 t（单位：s）（0＜t＜ ）．
（1）如图 1，连接 DQ 平分∠BDC 时，t 的值为 ；
（2）如图 2，连接 CM，若△CMQ 是以 CQ 为底的等腰三角形，求 t 的值；
（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：
①证明：在运动过程中，点 O 始终在 QM 所在直线的左侧；
第5页（共26页）②如图 3，在运动过程中，当 QM 与⊙O 相切时，求 t 的值；并判断此时 PM 与⊙O 是
否也相切？说明理由．
28．（10 分）（2016•苏州）如图，直线 l：y=﹣3x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，
抛物线 y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点 B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点 M 是抛物线上的一个动点，并且点 M 在第一象限内，连接 AM、BM，设点
M 的横坐标为 m，△ABM 的面积为 S，求 S 与 m 的函数表达式，并求出 S 的最大值；
（3）在（2）的条件下，当 S 取得最大值时，动点 M 相应的位置记为点 M′．
①写出点 M′的坐标；
②将直线 l 绕点 A 按顺时针方向旋转得到直线 l′，当直线 l′与直线 AM′重合时停止旋
转，在旋转过程中，直线 l′与线段 BM′交于点 C，设点 B、M′到直线 l′的距离分别为
d 、d ，当 d +d 最大时，求直线 l′旋转的角度（即∠BAC 的度数）．
1 2 1 2
第6页（共26页）2016 年江苏省苏州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）
1．（3 分）（2016•苏州） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵ × =1，
∴ 的倒数是 ．
故选 A．
2．（3 分）（2016•苏州）肥皂泡的泡壁厚度大约是 0.0007mm，0.0007 用科学记数法
表示为（ ）
A．0.7×10﹣3B．7×10﹣3C．7×10﹣4D．7×10﹣5
【解答】解：0.0007=7×10﹣4，
故选：C．
3．（3 分）（2016•苏州）下列运算结果正确的是（ ）
A．a+2b=3ab B．3a2﹣2a2=1
C．a2•a4=a8D．（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b
【解答】解：A、a+2b，无法计算，故此选项错误；
B、3a2﹣2a2=a2，故此选项错误；
C、a2•a4=a6，故此选项错误；
D、（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b，故此选项正确；
故选：D．
4．（3 分）（2016•苏州）一次数学测试后，某班 40 名学生的成绩被分为 5 组，第 1～4
组的频数分别为 12、10、6、8，则第 5 组的频率是（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【解答】解：根据题意得：40﹣（12+10+6+8）=40﹣36=4，
则第 5 组的频率为 4÷40=0.1，
故选 A．
5．（3 分）（2016•苏州）如图，直线 a∥b，直线 l 与 a、b 分别相交于 A、B 两点，过点 A
作直线 l 的垂线交直线 b 于点 C，若∠1=58°，则∠2 的度数为（ ）
第7页（共26页）A．58° B．42° C．32° D．28°
【解答】解：∵直线 a∥b，
∴∠ACB=∠2，
∵AC⊥ BA，
∴∠BAC=90°，
∴∠2=ACB=180°﹣∠1﹣∠BAC=180°﹣90°﹣58°=32°，
故选 C．
6．（3 分）（2016•苏州）已知点 A（2，y ）、B（4，y ）都在反比例函数 y= （k＜0）的
1 2
图象上，则 y 、y 的大小关系为（ ）
1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y =y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
【解答】解：∵点 A（2，y ）、B（4，y ）都在反比例函数 y= （k＜0）的图象上，
1 2
∴每个象限内，y 随 x 的增大而增大，
∴y ＜y ，
1 2
故选：B．
7．（3 分）（2016•苏州）根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结
合地方实际，决定从 2016 年 1 月 1 日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收
费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了 30 户家庭某月的用水量，
如表所示：
用水量
15 20 25 30 35
（吨）
户数 3 6 7 9 5
则这 30 户家庭该用用水量的众数和中位数分别是（ ）
A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，25
【解答】解：因为 30 出现了 9 次，
所以 30 是这组数据的众数，
将这 30 个数据从小到大排列，第 15、16 个数据的平均数就是中位数，所以中位数是
25，
故选 D．
8．（3 分）（2016•苏州）如图，长 4m 的楼梯 AB 的倾斜角∠ABD 为 60°，为了改善楼
梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为 45°，则调整后的楼梯 AC
的长为（ ）
第8页（共26页）A．2 m B．2 m C．（2 ﹣2）m D．（2 ﹣2）m
【解答】解：在 Rt△ABD 中，∵sin∠ABD= ，
∴AD=4sin60°=2 （m），
在 Rt△ACD 中，∵sin∠ACD= ，
∴AC= =2 （m）．
故选 B．
9．（3 分）（2016•苏州）矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B 的坐
标为（3，4），D 是 OA 的中点，点 E 在 AB 上，当△CDE 的周长最小时，点 E 的坐标为
（ ）
A．（3，1） B．（3， ） C．（3， ） D．（3，2）
【解答】解：如图，作点 D 关于直线 AB 的对称点 H，连接 CH 与 AB 的交点为 E，此时
△CDE 的周长最小．
∵D（ ，0），A（3，0），
∴H（ ，0），
∴直线 CH 解析式为 y=﹣ x+4，
∴x=3 时，y= ，
∴点 E 坐标（3， ）
故选：B．
第9页（共26页）10．（3 分）（2016•苏州）如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，AB=BC=2 ，E、
F 分别是 AD、CD 的中点，连接 BE、BF、EF．若四边形 ABCD 的面积为 6，则△BEF
的面积为（ ）
A．2 B． C． D．3
【解答】解：连接 AC，过 B 作 EF 的垂线交 AC 于点 G，交 EF 于点 H，
∵∠ABC=90°，AB=BC=2 ，
∴AC= = =4，
∵△ABC 为等腰三角形，BH⊥AC，
∴△ABG，△BCG 为等腰直角三角形，
∴AG=BG=2
∵S = •AB•AC= ×2 ×2 =4，
△ABC
∴S =2，
△ADC
∵ =2，
∴GH= BG= ，
∴BH= ，
又∵EF= AC=2，
∴S = •EF•BH= ×2× = ，
△BEF
故选 C．
第10页（共26页）二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）
11．（3 分）（2016•苏州）分解因式：x2﹣1= （ x+ 1 ）（ x﹣ 1 ） ．
【解答】解：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
12．（3 分）（2016•苏州）当 x= 2 时，分式 的值为 0．
【解答】解：∵分式 的值为 0，
∴x﹣2=0，
解得：x=2．
故答案为：2．
13．（3 分）（2016•苏州）要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016 里约奥运
会”100m 比赛，对这两名运动员进行了 10 次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动
员的平均成绩均为 10.05（s），甲的方差为 0.024（s2），乙的方差为 0.008（s2），则这
10 次测试成绩比较稳定的是 乙 运动员．（填“甲”或“乙”）
【解答】解：因为 S 甲 2=0.024＞S 乙 2=0.008，方差小的为乙，
所以本题中成绩比较稳定的是乙．
故答案为乙．
14．（3 分）（2016•苏州）某学校计划购买一批课外读物，为了了解学生对课外读物的
需求情况，学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查，设置了“文学”、“科
普”、“艺术”和“其他”四个类别，规定每人必须并且只能选择其中一类，现从全
体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计，并把统计结果绘制了如
图所示的两幅不完整的统计图，则在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是
72 度．
第11页（共26页）【解答】解：根据条形图得出文学类人数为 90，利用扇形图得出文学类所占百分比为：
30%，
则本次调查中，一共调查了：90÷30%=300（人），
则艺术类读物所在扇形的圆心角是的圆心角是 360°× =72°；
故答案为：72．
15．（3 分）（2016•苏州）不等式组 的最大整数解是 3 ．
【解答】解：解不等式 x+2＞1，得：x＞﹣1，
解不等式 2x﹣1≤8﹣x，得：x≤3，
则不等式组的解集为：﹣1＜x≤3，
则不等式组的最大整数解为 3，
故答案为：3．
16．（3 分）（2016•苏州）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点 C 的切线交
AB 的延长线于点 D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为 ．
【解答】解：连接 OC，
∵过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
即∠D+∠COD=90°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=2∠A，
∵∠A=∠D，
∴∠COD=2∠D，
∴3∠D=90°，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°
∵CD=3，
∴OC=3× = ，
∴阴影部分的面积= ×3× ﹣ = ，
第12页（共26页）故答案为： ．
17．（3 分）（2016•苏州）如图，在△ABC 中，AB=10，∠B=60°，点 D、E 分别在 AB、
BC 上，且 BD=BE=4，将△BDE 沿 DE 所在直线折叠得到△B′DE（点 B′在四边形
ADEC 内），连接 AB′，则 AB′的长为 2 ．
【解答】解：如图，作 DF⊥B′E 于点 F，作 B′G⊥AD 于点 G，
∵∠B=60°，BE=BD=4，
∴△BDE 是边长为 4 的等边三角形，
∵将△BDE 沿 DE 所在直线折叠得到△B′DE，
∴△B′DE 也是边长为 4 的等边三角形，
∴GD=B′F=2，
∵B′D=4，
∴B′G= = =2 ，
∵AB=10，
∴AG=10﹣6=4，
∴AB′= = =2 ．
故答案为：2 ．
第13页（共26页）18．（3 分）（2016•苏州）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A、B 的坐标分别为（8，
0）、（0，2 ），C 是 AB 的中点，过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D，动点 P 从点 D 出发，
沿 DC 向点 C 匀速运动，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 BP、EC．当 BP 所在直
线与 EC 所在直线第一次垂直时，点 P 的坐标为 （ 1 ， ） ．
【解答】解：∵点 A、B 的坐标分别为（8，0），（0，2 ）
∴BO= ，AO=8
由 CD⊥BO，C 是 AB 的中点，可得 BD=DO= BO= =PE，CD= AO=4
设 DP=a，则 CP=4﹣a
当 BP 所在直线与 EC 所在直线第一次垂直时，∠FCP=∠DBP
又∵EP⊥CP，PD⊥BD
∴∠EPC=∠PDB=90°
∴△EPC∽△PDB
∴ ，即
解得 a =1，a =3（舍去）
1 2
∴DP=1
又∵PE=
∴P（1， ）
故答案为：（1， ）
三、解答题（共 10 小题，满分 76 分）
19．（5 分）（2016•苏州）计算：（ ）2+|﹣3|﹣（π+ ）0．
【解答】解：原式=5+3﹣1
=7．
20．（5 分）（2016•苏州）解不等式 2x﹣1＞ ，并把它的解集在数轴上表示出来．
第14页（共26页）【解答】解：去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，
移项，得：4x﹣3x＞2﹣1，
合并同类项，得：x＞1，
将不等式解集表示在数轴上如图：
21．（6 分）（2016•苏州）先化简，再求值： ÷（1﹣ ），其中 x= ．
【解答】解：原式= ÷
= •
= ，
当 x= 时，原式= = ．
22．（6 分）（2016•苏州）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为 12 元/辆，
小型汽车的停车费为 8 元/辆，现在停车场共有 50 辆中、小型汽车，这些车共缴纳停
车费 480 元，中、小型汽车各有多少辆？
【解答】解：设中型车有 x 辆，小型车有 y 辆，根据题意，得
解得
答：中型车有 20 辆，小型车有 30 辆．
23．（8 分）（2016•苏州）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字
﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．
（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字 2 的小球的概率为 ；
（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 M 的横
坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作
为平面直角坐标系内点 M 的纵坐标，请用树状图或表格列出点 M 所有可能的坐标，
并求出点 M 落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．
第15页（共26页）【解答】解：（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字 2 的小球的概
率= ；
故答案为 ；
（2）画树状图为：
共有 9 种等可能的结果数，其中点 M 落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结
果数为 6，
所以点 M 落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率= = ．
24．（8 分）（2016•苏州）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点
D 作对角线 BD 的垂线交 BA 的延长线于点 E．
（1）证明：四边形 ACDE 是平行四边形；
（2）若 AC=8，BD=6，求△ADE 的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB=90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，
∴∠AOB=∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形 ACDE 是平行四边形；
（2）解：∵四边形 ABCD 是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，
∵四边形 ACDE 是平行四边形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8，
第16页（共26页）∴△ADE 的周长为 AD+AE+DE=5+5+8=18．
25．（8 分）（2016•苏州）如图，一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交于点 A，与反比例
函数 y= （x＞0）的图象交于点 B（2，n），过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C，点 P（3n﹣4，
1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表
达式．
【解答】解：∵点 B（2，n）、P（3n﹣4，1）在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，
∴ ．
解得：m=8，n=4．
∴反比例函数的表达式为 y= ．
∵m=8，n=4，
∴点 B（2，4），（8，1）．
过点 P 作 PD⊥BC，垂足为 D，并延长交 AB 与点 P′．
在△BDP 和△BDP′中，
∴△BDP≌△BDP′．
∴DP′=DP=6．
∴点 P′（﹣4，1）．
将点 P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得： ，
解得： ．
第17页（共26页）∴一次函数的表达式为 y= x+3．
26．（10 分）（2016•苏州）如图，AB 是⊙O 的直径，D、E 为⊙O 上位于 AB 异侧的两
点，连接 BD 并延长至点 C，使得 CD=BD，连接 AC 交⊙O 于点 F，连接 AE、DE、
DF．
（1）证明：∠E=∠C；
（2）若∠E=55°，求∠BDF 的度数；
（3）设 DE 交 AB 于点 G，若 DF=4，cosB= ，E 是 的中点，求 EG•ED 的值．
【解答】（1）证明：连接 AD，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，即 AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD 垂直平分 BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C；
（2）解：∵四边形 AEDF 是⊙O 的内接四边形，
∴∠AFD=180°﹣∠E，
又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，
∴∠CFD=∠E=55°，
又∵∠E=∠C=55°，
∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；
（3）解：连接 OE，
∵∠CFD=∠E=∠C，
∴FD=CD=BD=4，
在 Rt△ABD 中，cosB= ，BD=4，
∴AB=6，
∵E 是 的中点，AB 是⊙O 的直径，
∴∠AOE=90°，
第18页（共26页）∵AO=OE=3，
∴AE=3 ，
∵E 是 的中点，
∴∠ADE=∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴ = ，
即 EG•ED=AE2=18．
27．（10 分）（2016•苏州）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，AD=8cm，点 P 从点 B
出发，沿对角线 BD 向点 D 匀速运动，速度为 4cm/s，过点 P 作 PQ⊥BD 交 BC 于点
Q，以 PQ 为一边作正方形 PQMN，使得点 N 落在射线 PD 上，点 O 从点 D 出发，沿
DC 向点 C 匀速运动，速度为 3m/s，以 O 为圆心，0.8cm 为半径作⊙O，点 P 与点 O
同时出发，设它们的运动时间为 t（单位：s）（0＜t＜ ）．
（1）如图 1，连接 DQ 平分∠BDC 时，t 的值为 ；
（2）如图 2，连接 CM，若△CMQ 是以 CQ 为底的等腰三角形，求 t 的值；
（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：
①证明：在运动过程中，点 O 始终在 QM 所在直线的左侧；
②如图 3，在运动过程中，当 QM 与⊙O 相切时，求 t 的值；并判断此时 PM 与⊙O 是
否也相切？说明理由．
【解答】（1）解：如图 1 中，∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8，
第19页（共26页）∴BD= = =10，
∵PQ⊥BD，
∴∠BPQ=90°=∠C，
∵∠PBQ=∠DBC，
∴△PBQ∽△CBD，
∴ = = ，
∴ = = ，
∴PQ=3t，BQ=5t，
∵DQ 平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，
∴QP=QC，
∴3t=6﹣5t，
∴t= ，
故答案为 ．
（2）解：如图 2 中，作 MT⊥BC 于 T．
∵MC=MQ，MT⊥CQ，
∴TC=TQ，
由（1）可知 TQ= （8﹣5t），QM=3t，
∵MQ∥BD，
∴∠MQT=∠DBC，
∵∠MTQ=∠BCD=90°，
∴△QTM∽△BCD，
∴ = ，
∴ = ，
∴t= （s），
∴t= s 时，△CMQ 是以 CQ 为底的等腰三角形．
（3）①证明：如图 2 中，由此 QM 交 CD 于 E，
∵EQ∥BD，
∴ = ，
∴EC= （8﹣5t），ED=DC﹣EC=6﹣ （8﹣5t）= t，
∵DO=3t，
第20页（共26页）∴DE﹣DO= t﹣3t= t＞0，
∴点 O 在直线 QM 左侧．
②解：如图 3 中，由①可知⊙O 只有在左侧与直线 QM 相切于点 H，QM 与 CD 交于
点 E．
∵EC= （8﹣5t），DO=3t，
∴OE=6﹣3t﹣ （8﹣5t）= t，
∵OH⊥MQ，
∴∠OHE=90°，
∵∠HEO=∠CEQ，
∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，
∵∠OHE=∠C=90°，
∴△OHE∽△BCD，
∴ = ，
∴ = ，
∴t= ．
∴t= s 时，⊙O 与直线 QM 相切．
连接 PM，假设 PM 与⊙O 相切，则∠OMH= PMQ=22.5°，
在 MH 上取一点 F，使得 MF=FO，则∠FMO=∠FOM=22.5°，
∴∠OFH=∠FOH=45°，
∴OH=FH=0.8，FO=FM=0.8 ，
∴MH=0.8（ +1），
由 = 得到 HE= ，
由 = 得到 EQ= ，
∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣ ﹣ = ，
∴0.8（ +1）≠ ，矛盾，
∴假设不成立．
∴直线 PM 与⊙O 不相切．
第21页（共26页）28．（10 分）（2016•苏州）如图，直线 l：y=﹣3x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，
抛物线 y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点 B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点 M 是抛物线上的一个动点，并且点 M 在第一象限内，连接 AM、BM，设点
M 的横坐标为 m，△ABM 的面积为 S，求 S 与 m 的函数表达式，并求出 S 的最大值；
（3）在（2）的条件下，当 S 取得最大值时，动点 M 相应的位置记为点 M′．
①写出点 M′的坐标；
②将直线 l 绕点 A 按顺时针方向旋转得到直线 l′，当直线 l′与直线 AM′重合时停止旋
转，在旋转过程中，直线 l′与线段 BM′交于点 C，设点 B、M′到直线 l′的距离分别为
d 、d ，当 d +d 最大时，求直线 l′旋转的角度（即∠BAC 的度数）．
1 2 1 2
第22页（共26页）【解答】解：（1）令 x=0 代入 y=﹣3x+3，
∴y=3，
∴B（0，3），
把 B（0，3）代入 y=ax2﹣2ax+a+4，
∴3=a+4，
∴a=﹣1，
∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）令 y=0 代入 y=﹣x2+2x+3，
∴0=﹣x2+2x+3，
∴x=﹣1 或 3，
∴抛物线与 x 轴的交点横坐标为﹣1 和 3，
∵M 在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E，交 AB 于点 D，
由题意知：M 的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
∴D 的纵坐标为：﹣m2+2m+3，
∴把 y=﹣m2+2m+3 代入 y=﹣3x+3，
∴x= ，
∴D 的坐标为（ ，﹣m2+2m+3），
∴DM=m﹣ = ，
∴S= DM•BE+ DM•OE
= DM（BE+OE）
= DM•OB
第23页（共26页）= × ×3
=
= （m﹣ ）2+
∵0＜m＜3，
∴当 m= 时，
S 有最大值，最大值为 ；
（3）①由（2）可知：M′的坐标为（ ， ）；
②过点 M′作直线 l 1∥l′，过点 B 作 BF⊥l
1
于点 F，
根据题意知：d +d =BF，
1 2
此时只要求出 BF 的最大值即可，
∵∠BFM′=90°，
∴点 F 在以 BM′为直径的圆上，
设直线 AM′与该圆相交于点 H，
∵点 C 在线段 BM′上，
∴F 在优弧 上，
∴当 F 与 M′重合时，
BF 可取得最大值，
此时 BM′⊥l
1
，
∵A（1，0），B（0，3），M′（ ， ），
∴由勾股定理可求得：AB= ，M′B= ，M′A= ，
过点 M′作 M′G⊥AB 于点 G，
设 BG=x，
∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，
∴ ﹣（ ﹣x）2= ﹣x2，
∴x= ，
cos∠M′BG= = ，
∵l ∥l′，
1
∴∠BCA=90°，
∠BAC=45°
第24页（共26页）第25页（共26页）参与本试卷答题和审题的老师有：ZJX；sd2011；sks；王学峰；弯弯的小河；gsls；
fangcao；zcx；张其铎；lantin；三界无我；wd1899；sjzx；szl；gbl210；1987483819；
梁宝华；神龙杉（排名不分先后）
菁优网
2016 年 7 月 3 日
第26页（共26页）
