文档内容
2018年兰州市初中学业水平考试
数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.-2018的绝对值是
A. B.-2018 C.2018 D.
2.如图是由5个完全相同的小正方形搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
3.据中国电子商务研究中心（100EC.CN）发布《2017年度中国共享经济发展报告》显示，
截止2017年12月，共有190家共享经济平台获得1159.56亿元投资，数据1159.56亿元用
科 学 计 数 法 可 表 示 为
（ ）
A.1159.56 108 元 B.11.5956 1010 元 C.1.15956 1011 D.1.15956 1010
4.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
× × × ×
A. B. C. D.
5.如图，AB CD，AD=CD，∠1=65，则∠ 的度数是（ ）
°
∥ 2
A.50
6.下列°计算正确的是（ ） °
B.60 C. 65° D. 70°
A.2a.3b=5ab B . a4b7=a11 C.(-3a3b)3=6a7b3 D.a3+a3+a3=2a3
7.如图，边长为4的等边三角形ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则∆ADE的面积是（
）
A. B. C. D.
A A E D A D
D E
B
F C
C B F C E
B
第7题图 第8题图 第9题图
8.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE 且 与 之间的距离为 ，则 的长是（
∥DF BE DF 3 AE）
A. B. C. D.
9.如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若 ∠ ，
°
ABD=48
∠ ，则∠ 为 （ ）
°
CFD=40 E
A.102
° ° C. 122° D.92°
B.112
关于 的分式方程 的解为负数，则a的取值范围为（ ）
10. x
A.a 1 B.a 1 C. a 1且a -2 D. a 1且a
y
11.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a )的图象如图所示，有下列5个结论：
> < < ≠ > ≠2
①abc ②b-a>c; ③4a+2b+c>0; ④3a>-c; ⑤a+b>m(am+b)(m 的实数).
≠0
其中正确的结论有（ ）
>0; ≠1
A.①②③ B. ②③⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
x
-1 O 1
12.如图，抛物线y= 与x轴交于A、B，抛物线在x轴及其
下方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴交 y 于点B、D.若直线y=
与C1、C2其有三个不同的交点，则m的取值范围是 x
O
（ ）
A. 5x-7， 的解集为 .
15.如图∆ABC的外接圆O的半径为3，∠ 则劣弧 的长是
°
如图，Ｍ、 是正方形 的边 C上=5的5两个动点A，B满足 ，连接. 交 于
点 ，连接 交 于点 ，连接 若正方形的边长为 ，则线段 的最小值是
16. N ABCD CD AM=BN AC BN
E DE AM F CF. 6 CF三、解答题：本大共 小题，其 分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步
.
骤
12 86
.
（ 分）计算：（ ） （ ） + +tan45 .
-1 0
17. 5 + x-3 °
18.(5分)解方程：3x2-2x-2=0.
19.(5分)先化简，再求值：（x- ）+ ,其中x= .
20.(6分)如图，在Rt ABC中.
（1）利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离（PD的长）等于PC的
∆
长；
（2）利用尺规作图，作出（1）中的线段PD.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕
迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
C
21.（7分） 学校开展“书香校园”的活动以来，受到同
A B
学们的广 泛关注.学校为了解全校学生课外阅读的情况，
随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表.
学生借阅图书的次数统计表 学生借阅图书的次数统计图
4次及以上
借阅图数 4次及
0次 1次 2次 3次
的次数 以上
3次26%
0次
人数 7 13 ａ 10 3
1次26%
2次
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a= ,b= ;
(2)该调查统计数据的中位数是 ，众数是 ；
（3）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
（4）若该校共有2 000名学生，根据调查结量，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及
以上”的人数.
22.（7分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们形状，大小完全
相同.李强从布袋里随机取出一个小球.记下数字为x,王芳在剩下的3个小球中随机取出一个
小球，记下数字为y,这样确定了点M的坐标（x,y）.
（1）画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x,y）在函数y=x+1的图象上的概率.
23.（7分）如图，斜坡BE，坡顶B到水平面的距离AB 为3m ，坡区AE为18m.在点B处，
E处分别测得CD顶部点D的仰角为30 ，60 求 的高（结果保留根号）
° °. CD .B
A C
E
（ 分）某商家销售一款商品，进价每件 元，售价每件 元每天销售 件，每销
售一件需 支付商场管理费 元未来一个月（按 天计算），这款商品将开展“每天降价
24 7 80 145 . 40
元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降 元通过市场调查发现，该商
5 . 30
品单价每降 元，每天销售量增加 件设第 天（ 且 为整数）的销量为 件
1 1 .
（ ）直接写出 与 的函数关系式；
1 2 . x 1 ≤x≤30 x y .
（ ）设第 天的利润为 元，试求出 与 之间的函数关系式，并求出哪一
1 y x
天的利润最大？最大利润是多少元？
2 x w w x
（ 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函 y
y
1
25. 8 y1=ax+b
数
A
2
的图 y 象 = 交于点 （ ， ）和 （ ， ） y
2
x
求一次函数和反比例函数的表达式；
O
A 1 2 B -2 m
请直接写出 时， 的取值范围；
(1) B D E
过点 作 1 x轴2 ，AD BE于点D，点C是直线BE
(2) y >y x
上一(点3)
.
B BE ⊥
若AC=2CD，求点C的坐标.
(4)
（ 分）如图，在∆ABC中，过点C作CD AB,E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于
2点6. F，8交CB的延长线于点G.连接AD、CF.
A
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
D
E
F
（2）若GB=3，BC=6，BF= ，求AB的长.
G B C27.（9分）如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠
（ ）求证： 为⊙O的切线；
ACD=∠B.
1 DC
（2）线段DF分别交AC、BC于点E、F且∠ ，⊙O的半径 C 为 5 ，
F
CEF=45°
sinB= ,求CF的长. E
B D
A
28.如图，抛物线y=ax2+bx-4经过A（-3，0），B(5,-4)两点，与y轴交于点C，连接AB、
AC、BC.
（1）求抛物线的表达式； y
（2）求证：AB平分∠ ；
（ ）抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得∆ABM以AB为直角
CAO
边的直角三角形.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明
3 M x
理由.
A O
2018年甘肃省兰州市中考数学试卷（word版含解析）
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1. -2018的绝对值是( )
1
A. B. -2018 C. 2018 D.
2018
1
-
2018
【答案】C
【解析】解：-2018的绝对值是：2018．
故选：C．
直接利用绝对值的性质得出答案．此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
2. 如图是由 5 个完全相同的小正方体组成的几何体，则
该几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：A．
根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
3. 据中国电子商务研究中心(100EC.CN)发布《2017年度中国共享经济发展
报告》显示，截止2017年12月，共有190家共享经济平台获得1159.56亿
元投资，数据1159.56亿元用科学记数法可表示为( )
A. 1159.56×108元 B. 11.5956×1010元 C. 1.15956×1011元 D.
1.15956×108元
【答案】C
【解析】解：1159.56亿元=1.15956×1011元，
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整
数，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10-n，其中
1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. √18 B. √13 C. √27 D. √12
【答案】B
【解析】解：A、√18=3√2不是最简二次根式，错误；
B、√13是最简二次根式，正确；
C、√27=3√3不是最简二次根式，错误；
D、√12=2√3不是最简二次根式，错误；
故选：B．
根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数
不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
5. 如图， AB//CD， AD=CD，∠1=65∘，则∠2的度
数是( )
A. 50∘
B. 60∘
C. 65∘
D. 70∘
【答案】A
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠1=∠ACD=65∘，
∵AD=CD，
∴∠DCA=∠CAD=65∘，
∴∠2的度数是：180∘-65∘-65∘=50∘．
故选：A．
直接利用平行线的性质结合等腰三角形的性质得出∠2的度数．
此题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，正确得出∠CAD的度数是
解题关键．6. 下列计算正确的是( )
A. 2a⋅3b=5ab B. a3 ⋅a4=a12 C. (-3a2b) 2=6a4b2 D.
a4÷a2+a2=2a2
【答案】D
【解析】解：A、2a⋅3b=6ab，故此选项错误；
B、a3 ⋅a4=a7，故此选项错误；
C、(-3a2b) 2=9a4b2，故此选项错误；
D、a4÷a2+a2=2a2，正确．
故选：D．
直接利用单项式乘以单项式以及积的乘方运算法则和合并同类项法则分别计算
得出答案．
此题主要考查了单项式乘以单项式以及积的乘方运算和合并同类项，正确掌握
相关运算法则是解题关键．
7. 如图，边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB，AC的中
点，则△ADE的面积是( )
A. √3
√3
B.
2
3√3
C.
4
D. 2√3
【答案】A
【解析】解：∵等边△ABC的边长为4，
√3
∴S = ×42=4√3，
△ABC 4
∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
1 1 1
∴DE//BC，DE= BC，AD= AB，AE= AC，
2 2 2AD AE DE 1
即 = = = ，
AB AC BC 2
1
∴△ADE∽△ABC，相似比为 ，
2
故S ：S =1：4，
△ADE △ABC
1 1
即S = S = ×4√3=√3，
△ADE 4 △ABC 4
故选：A．
由于D、E是AB、AC的中点，因此DE是△ABC的中位线，由此可得△ADE和
△ABC相似，且相似比为1：2；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，
可求出△ABC的面积．
本题主要考查等边三角形的性质、相似三角形性质及三角形的中位线定理，解
题的关键是掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定
理．
8. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，EF//DF且BE
与DF之间的距离为3，则AE的长是( )
A. √7
3
B.
8
7
C.
8
5
D.
8
【答案】C
【解析】解：如图所示：过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD=3．∵∠A=∠G，∠AEB=∠GED，AB=GD=3，
∴△AEB≌△GED．
∴AE=EG．
设AE=EG=x，则ED=4-x，
7
在Rt△DEG中，ED2=GE2+GD2，x2+32=(4-x) 2，解得：x= ．
8
故选：C．
过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD=3，首先证明△AEB≌△GED，由全等三
角形的性质可得到AE=EG，设AE=EG=x，则ED=4-x，在Rt△DEG中依据勾
股定理列方程求解即可．
本题主要考查的是矩形的性质、勾股定理的应用，依据题意列出关于x的方程
是解题的关键．
9. 如图，将 ABD沿对角线BD折叠，使点A落在点
▱
E 处 ， 交 BC 于 点 F ， 若 ∠ABD=48∘，
∠CFD=40∘，则∠E为(
A. 102∘
B. 112∘
C. 122∘
D. 92∘
【答案】B
【解析】解：∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
由折叠可得∠ADB=∠BDF，
∴∠DBC=∠BDF，
又∵∠DFC=40∘，
∴∠DBC=∠BDF=∠ADB=20∘，
又∵∠ABD=48∘，
∴△ABD中，∠A=180∘-20∘-48∘=112∘，
∴∠E=∠A=112∘，
故选：B．由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB=∠BDF=∠DBC，由三角形
1
的外角性质求出∠BDF=∠DBC= ∠DFC=20∘，再由三角形内角和定理求出
2
∠A，即可得到结果．
本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角
形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ADB的度数是
解决问题的关键．
2x+a
10.关于x的分式方程 =1的解为负数，则a的取值范围是( )
x+1
A. a>1 B. a<1 C. a<1且a≠-2 D. a>1
且a≠2
【答案】D
【解析】解：分式方程去分母得：x+1=2x+a，即x=1-a，
根据分式方程解为负数，得到1-a<0，且1-a≠-1，
解得：a>1且a≠2．
故选：D．
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负
数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．
此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．
11.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
所示，有下列5个结论( )①abc>0；②b-a>c；
③4a+2b+c>0； ④3a>-c；
⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数).其中正确结论的有(
)
A. ①②③
B. ②③⑤
C. ②③④
D. ③④⑤
【答案】B
【解析】解：①∵对称轴在y轴的右侧，
∴ab<0，由图象可知：c>0，
∴abc<0，
故①不正确；
②当x=-1时，y=a-b+c<0，
∴b-a>c，
故②正确；
③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c>0，
故③正确；
b
④∵x=- =1，
2a
∴b=-2a，
∵a-b+c<0，
∴a+2a+c<0，
3a<-c，
故④不正确；
⑤当x=1时，y的值最大.此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c>am2+bm+c(m≠1)，
故a+b>am2+bm，即a+b>m(am+b)，
故⑤正确．
故②③⑤正确．
故选：B．
由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，
然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判
断．
本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数
符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的
个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
1 45
12.如图，抛物线y= x2-7x+ 与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下
2 2
方的部分记作C ，将C 向左平移得到C ，C 与x轴交于点B、D，若直线
1 1 2 21
y= x+m与C 、C 共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
2 1 2
45 5 29 1 29 5
A. - 5x-7
14.不等式组 4 2 的解集为______
x+3>1- x
3 3
【答案】-15x-7①
【解析】解： 4 2
x+3>1- x②
3 3
∵解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x>-1，
∴不等式组的解集为-1OC，
∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，
最小值=OC-OF=3√5-3．
故答案为：3√5-3．
先判断出Rt△ADM≌Rt△BCN(HL)，得出∠DAM=∠CBN，进而判断出△DCE≌△BCE(SAS)，得出∠CDE=∠CBE，即可判断出∠AFD=90∘，根据直角三角
1
形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF= AD=3，利用勾股定理列式求出
2
OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出CF最小时点F的位置是
解题关键．
三、计算题（本大题共4小题，共22.0分）
1
17.计算：(- ) -1+(π-3) 0+|1-√2|+tan45∘
2
1
【答案】解：(- ) -1+(π-3) 0+|1-√2|+tan45∘
2
=-2+1+√2-1+1=√2-1．
【解析】第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三
项去绝对值，最后一项利用特殊角的三角函数值计算，最后合并即可得出结
论．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.解方程：3x2-2x-2=0．
2±√(-2) 2-4×3×(-2) 1±√7
【答案】解：x= =
2×3 3
1+√7 1-√7
即x = ，x =
1 3 2 3
1+√7 1-√7
∴原方程的解为x = ，x =
1 3 2 3
【解析】先找出a，b，c，再求出b2-4ac=28，根据公式即可求出答案．
本题主要考查对解一元二次方程-提公因式法、公式法，因式分解等知识点的理
解和掌握，能熟练地运用公式法解一元二次方程是解此题的关键．
3x-4 x-2 1
19.先化简，再求值：(x- )÷ ，其中x= ．
x-1 x-1 2
3x-4 x-2
【答案】解：(x- )÷
x-1 x-1x(x-1)-(3x-4) x-1 x2-x-3x+4 (x-2) 2
= ⋅ = = =x-2，
x-1 x-2 x-2 x-2
1 1 3
当x= 时，原式= -2=- ．
2 2 2
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化
简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20.如图，在Rt△ABC中．
(1)利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离(PD的长)等于
PC的长；
(2)利用尺规作图，作出(1)中的线段PD．
(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑
)
【答案】解：(1)如图，点P即为所求；
(2)如图，线段PD即为所求．
【解析】(1)由点P到AB的距离(PD的长)等于PC的长知点P在∠BAC平分线
上，再根据角平分线的尺规作图即可得；(2)根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得．
本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握
基本作图，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛
关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了
部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的
统计表．学生借阅图书的次数统计表
借 阅 图
4 次及以
书 的 次0次 1次 2次 3次
上
数
人数 7 13 a 10 3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
(1)a=______，b=______．
(2)该调查统计数据的中位数是______，众数是______．
(3)请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
(4)若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图
书“4次及以上”的人数．
【答案】17；20；2次；2次
【解析】解：(1)∵被调查的总人数为13÷26%=50人，
10
∴a=50-(7+13+10+3)=17，b%= ×100%=20%，即b=20，
50
故答案为：17、20；
(2)由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数，
而第25、26个数据均为2次，
所以中位数为2次，
出现次数最多的是2次，
所以众数为2次，
故答案为：2次、2次；
(3)扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为360∘×20%=72∘；3
(4)估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为2000× =120人．
50
(1)先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求
得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值；
(2)根据中位数和众数的定义求解；
(3)用360∘乘以“3次”对应的百分比即可得；
(4)用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统
计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目
的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.在一个不透明的布袋里装有 4个标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大
小完全相同，李强从布袋中随机取出一个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3
个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标(x,y)
(1)画树状图列表，写出点M所有可能的坐标；
(2)求点M(x,y)在函数y=x+1的图象上的概率．
【答案】解：(1)画树状图得：
共有12种等可能的结果(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,3)、(2,4)、
(3,1)、(3,2)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)；
(2)∵在所有 12 种等可能结果中，在函数y=x+1的图象上的有(1,2)、(2,3)、
(3,4)这3种结果，
3 1
∴点M(x,y)在函数y=x+1的图象上的概率为 = ．
12 4
【解析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；(2)找打点(x,y)在函数y=x+1的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质.注意树状图法与列表
法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；
树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之
比．
23.如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离 AB
为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得
CD顶部点D的仰角为30∘，60∘，求CD的高度.(结果
保留根号)
【答案】解：作BF⊥CD于点F，设DF=x米，
DF
在Rt△DBF中，tan∠DBF= ，
BF
DF x
则BF= = =√3x，
tan∠DBF tan30∘
在直角△DCE中，DC=x+CF=3+x(米)，
DC DC 3+x √3
在直角△ABF中，tan∠DEC= ，则EC= = = (x+3)米．
EC tan∠DEC tan60∘ 3
√3
∵BF-CE=AE，即√3x- (x+3)=18．
3
3
解得：x=9√3+ ，
2
3 9
则CD=9√3+ +3=9√3+ (米)．
2 2
9
答：CD的高度是(9√3+ )米．
2
【解析】作BF⊥CD于点F，设DF=x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表
示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF-CE=AE即可列方
程求得x的值，进而求得CD的长．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．
24.某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，
每销售一件需支付给商场管理费 5元，未来一个月(按30天计算)，这款商品将
开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降
低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降 1元，每天销售量增加 2件，设
第x天(1≤x≤30且x为整数)的销售量为y件．
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的
利润最大？最大利润是多少元？
【答案】解：(1)由题意可知y=2x+40；
(2)根据题意可得：w=(145-x-80-5)(2x+40)，
=-2x2+80x+2400，
=-2(x-20) 2+3200，
∵a=-2<0，
∴函数有最大值，
∴当x=20时，w有最大值为3200元，
∴第20天的利润最大，最大利润是3200元．
【解析】(1)根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；
(2)根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W与x之间的函数关系式，
即可得出结论．
此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到
关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．
25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数
k
y =ax+b的图象与反比例函数 y = 的图象交
1 2 x
于点A(1,2)和B(-2,m)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)请直接写出y >y 时，x的取值范围；
1 2
(3)过点B作BE//x轴，AD⊥BE于点D，点C是直线BE上一点，若AC=2CD
，求点C的坐标．
k
【答案】解：(1)∵点A(1,2)在反比例函数y = 的图象上，
2 x
∴k=1×2=2，
2
∴反比例函数的解析式为y = ，
2 x
2
∵点B(-2,m)在反比例函数y = 的图象上，
2 x
2
∴m= =-1，
-2
则点B的坐标为(-2,-1)，
{ a+b=2
由题意得， -2a+b=- 1 ，
{ a=1
解得， ，
b= 1
则一次函数解析式为：y =x+1；
1
(2)由函数图象可知，当-21时，
y >y ；
1 2
(3)∵AD⊥BE，AC=2CD，
∴∠DAC=30∘，
由题意得，AD=2+1=3，
CD CD √3
在Rt△ADC中，tan∠DAC= ，即 = ，
AD 3 3
解得，CD=√3，
当点C在点D的左侧时，点C的坐标为(1-√3,-1)，
当点C在点D的右侧时，点C的坐标为(√3+1,-1)，
∴当点C的坐标为(1-√3,-1)或(√3+1,-1)时，AC=2CD．【解析】(1)利用待定系数法求出k，求出点B的坐标，再利用待定系数法求出
一次函数解析式；
(2)利用数形结合思想解答；
(3)根据直角三角形的性质得到∠DAC=30∘，根据正切的定义求出CD，分点C
在点D的左侧、点C在点D的右侧两种情况解答．
本题考查的是一次函数和反比例函数的知识，掌握待定系数法求函数解析式的
一般步骤、灵活运用分情况讨论思想、数形结合思想是解题的关键．
26.如图，在△ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接
DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，
CF．
(1)求证：四边形AFCD是平行四边形．
3
(2)若GB=3，BC=6，BF= ，求AB的长．
2
【答案】解：(1)∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
∵AB//CD，
∴∠AFE=∠CDE，
在△AEF和△CED中，
{∠AFE=∠CDE
∵ ∠AEF=∠CED，
AE=CE
∴△AEF≌△CED(AAS)，
∴AF=CD，
又AB//CD，即AF//CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；(2)∵AB//CD，
∴△GBF∽△GCD，
3
GB BF
∴ = ，即 3 2 ，
GC CD =
3+6 CD
9
解得：CD= ，
2
∵四边形AFCD是平行四边形，
9
∴AF=CD= ，
2
9 3
∴AB=AF+BF= + =6．
2 2
【解析】(1)由E是AC的中点知AE=CE，由AB//CD知∠AFE=∠CDE，据此
根据“AAS”即可证△AEF≌△CED，从而得AF=CD，结合AB//CD即可得
证；
GB BF 9
(2)证△GBF∽△GCD得 = ，据此求得CD= ，由AF=CD及AB=AF+BF
GC CD 2
可得答案．
本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形、相似
三角形及平行四边形的判定与性质．
27.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为 BA延长线上一点，
∠ACD=∠B．
(1)求证：DC为⊙O的切线；
3
(2)线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF=45∘，⊙O的半径为5，sinB=
5
，求CF的长．【答案】(1)证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BCO+∠OCA=90∘，
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD=∠BCO，
∴∠ACD+∠OCA=90∘，即∠OCD=90∘，
∴DC为⊙O的切线；
(2)解：Rt△ACB中，AB=10，
3 AC
sinB= = ，
5 AB
∴AC=6，BC=8，
∵∠ACD=∠B，∠ADC=∠CDB，
∴△CAD∽△BCD，
AC AD 6 3
∴ = = = ，
BC CD 8 4
设AD=3x，CD=4x，
Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2，
52+(4x) 2=(5+3x) 2，
30
x=0(舍)或 ，
7
∵∠CEF=45∘，∠ACB=90∘，
∴CE=CF，
设CF=a，
∵∠CEF=∠ACD+∠CDE，
∠CFE=∠B+∠BDF，
∴∠CDE=∠BDF，
∵∠ACD=∠B，
∴△CED∽△BFD，CE BF
∴ = ，
CD BD
a 8-a
∴ = 24
30 30，a= ，
4× 10+3× 7
7 7
24
∴CF= ．
7
【解析】(1)根据圆周角定理得：∠ACB=∠BCO+∠OCA=90∘，根据同圆的半
径相等和已知相等的角代换可得：∠OCD=90∘，可得结论；
(2)先 根 据 三 角 函 数 计 算 AC=6， BC=8， 证 明 △CAD∽ △BCD， 得
AC AD 6 3
= = = ，设AD=3x，CD=4x，利用勾股定理列方程可得x的值，证
BC CD 8 4
明△CED∽△BFD，列比例式可得CF的长．
本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角
函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问
题，属于中考常考题型．
28.如图，抛物线 y=ax2+bx-4经过 A(-3,0)，
B(5,-4)两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，
BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：AB平分∠CAO；
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM
是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点
M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)将A(-3,0)，B(5,-4)代入得： {
25a+5b-4=-
9a-3
4
b-4=0 ，
1 5
解得：a= ，b=- ．
6 61 5
∴抛物线的解析式为y= x2- x-4．
6 6
(2)∵AO=3，OC=4，
∴AC=5．
取D(2,0)，则AD=AC=5．
由两点间的距离公式可知BD=√(5-2) 2+(-4-0) 2=5．
∵C(0,-4)，B(5,-4)，
∴BC=5．
∴BD=BC．
在△ABC和△ABD中，AD=AC，AB=AB，BD=BC，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠CAB=∠BAD，
∴AB平分∠CAO；
(3)如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．5 11
抛物线的对称轴为x= ，则AE= ．
2 5
∵A(-3,0)，B(5,-4)，
1
∴tan∠EAB= ．
2
∵∠M' AB=90∘．
∴tan∠M' AE=2．
∴M'E=2AE=11，
5
∴M'( ,11)．
2
同理：tan∠MMF=2．
5
又∵BF= ，
2
∴FM=5，
5
∴M( ,-9)．
2
5 5
∴点M的坐标为( ,11)或( ,-9)．
2 2
【解析】(1)将A(-3,0)，B(5,-4)代入抛物线的解析式得到关于 a、b的方程
组，从而可求得a、b的值；
(2)先求得 AC的长，然后取D(2,0)，则AD=AC，连接 BD，接下来，证明
BC=BD，然后依据SSS可证明△ABC≌△ABD，接下来，依据全等三角形的性
质可得到∠CAB=∠BAD；
(3)作抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F，作点A作AM'⊥AB，作BM⊥AB，分别交抛物线的对称轴与M'、M，依据点A和点B的坐标可得到
1
tan∠BAE= ，从而可得到tan∠M' AE=2或tan∠MBF=2，从而可得到 FM和
2
M'E的长，故此可得到点M'和点M的坐标．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二
次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM和
M'E的长是解题的关键．
