文档内容
2019年江苏省淮安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣3 C． D．3
2．（3分）计算a•a2的结果是（ ）
A．a3 B．a2 C．3a D．2a2
3．（3分）同步卫星在赤道上空大约36000000米处．将36000000用科学记数法表示应为（
）
A．36×106 B．0.36×108 C．3.6×106 D．3.6×107
4．（3分）如图是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm
C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm
6．（3分）2019年淮安市“周恩来读书节”活动主题是“阅读，遇见更美好的自己”．为
了解同学们课外阅读情况，王老师对某学习小组 10名同学5月份的读书量进行了统计，
结果如下（单位：本）：5，5，3，6，3，6，6，5，4，5，则这组数据的众数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
是（ ）
A．k＜﹣1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＞1
8．（3 分）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长 y和宽x之间函数关系的是
（ ）
1 / 24A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共有 8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接
写在答题卡相应位置上）
9．（3分）分解因式：1﹣x2＝ ．
10．（3分）现有一组数据2，7，6，9，8，则这组数据的中位数是 ．
11．（3分）方程 ＝1的解是 ．
12．（3分）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数是 ．
13．（3分）不等式组 的解集是 ．
14．（3分）若圆锥的侧面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是 ．
15．（3分）如图，l∥l∥l，直线a、b与l、l、l分别相交于点A、B、C和点D、E、
1 2 3 1 2 3
F．若AB＝3，DE＝2，BC＝6，则EF＝ ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，
点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝ ．
2 / 24三、解答题（本大题共有 11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算：
（1） ﹣tan45°﹣（1﹣ ）0；
（2）ab（3a﹣2b）+2ab2．
18．（8分）先化简，再求值： ÷（1﹣ ），其中a＝5．
19．（8分）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：
所用火车车皮数量 所用汽车数量 运输物资总量
（节） （辆） （吨）
第一批 2 5 130
第二批 4 3 218
试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？
20．（8分）已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．求证：BE＝DF．
▱
21．（8分）某企业为了解员工安全生产知识掌握情况，随机抽取了部分员工进行安全生产
知识测试，测试试卷满分100分．测试成绩按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计
结果绘制了如下两幅不完整的统计图．（说明：测试成绩取整数，A级：90分～100分；
B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下）
3 / 24请解答下列问题：
（1）该企业员工中参加本次安全生产知识测试共有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）若该企业共有员工800人，试估计该企业员工中对安全生产知识的掌握能达到A级
的人数．
22．（8分）在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为 5、8、8，现将三张
卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任
意摸出一张，记下数字．
（1）用树状图或列表等方法列出所有可能结果；
（2）求两次摸到不同数字的概率．
23．（8分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上
（两条网格线的交点叫格点）．
（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A，点B的对应点为点B，请
1 1
画出平移后的线段AB；
1 1
（2）将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°，点B的对应点为点B，请画出旋转后的
1 1 1 1 2
线段AB；
1 2
（3）连接AB、BB，求△ABB的面积．
2 2 2
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足
为E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．
4 / 2425．（10分）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公
路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x小时，快
车行驶的路程为y千米，慢车行驶的路程为y千米．如图中折线OAEC表示y与x之间的
1 2 1
函数关系，线段OD表示y与x之间的函数关系．
2
请解答下列问题：
（1）求快车和慢车的速度；
（2）求图中线段EC所表示的y与x之间的函数表达式；
1
（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．
26．（12分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标
为（5，0），点D的坐标为（1，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E的坐
标．
（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的 ？若
存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
5 / 2427．（12分）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．
小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时
针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线
段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD
上，还可能在直线AD的右侧．
请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．
①∠BEP＝ °；
②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是 ．
（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线
AB的位置关系，并说明理由．
（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．
6 / 242019年江苏省淮安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣3 C． D．3
【分析】利用绝对值的定义求解即可．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
2．（3分）计算a•a2的结果是（ ）
A．a3 B．a2 C．3a D．2a2
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得答案．
【解答】解：原式＝a1+2＝a3．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，注意底数不变指数相加．
3．（3分）同步卫星在赤道上空大约36000000米处．将36000000用科学记数法表示应为（ ）
A．36×106 B．0.36×108 C．3.6×106 D．3.6×107
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数，
即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．
【解答】解：36 000 000＝3.6×107，
故选：D．
【点评】此题考查了对科学记数法的理解和运用和单位的换算．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）
A． B．
7 / 24C． D．
【分析】从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．根
据图中正方体摆放的位置判定则可．
【解答】解：从正面看，下面一行是横放3个正方体，上面一行是一个正方体．如图所示：
故选：C．
【点评】本题考查了三种视图中的主视图，视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相
连的两个闭合线框常不在一个平面上．
5．（3分）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm
C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【解答】解：A、2+3＞4，能构成三角形，不合题意；
B、1+2＝3，不能构成三角形，符合题意；
C、4+3＞5，能构成三角形，不合题意；
D、4+5＞6，能构成三角形，不合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于
第三个数．
6．（3分）2019年淮安市“周恩来读书节”活动主题是“阅读，遇见更美好的自己”．为了解同学们课
外阅读情况，王老师对某学习小组10名同学5月份的读书量进行了统计，结果如下（单位：本）：
5，5，3，6，3，6，6，5，4，5，则这组数据的众数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．
【解答】解：在这一组数据中，5是出现的次数最多，故这组数据的众数是5．
故选：C．
【点评】本题主要考查众数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＞1
【分析】直接利用根的判别式进而得出k的取值范围．
8 / 24【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣k）
＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
8．（3分）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意得到xy＝矩形面积（定值），故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y
实际意义x、y应＞0，其图象在第一象限；于是得到结论．
【解答】解：∵根据题意xy＝矩形面积（定值），
∴y是x的反比例函数，（x＞0，y＞0）．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问
题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相
应位置上）
9．（3分）分解因式：1﹣x2＝ （ 1 +x ）（ 1 ﹣ x ） ．
【分析】分解因式1﹣x2中，可知是2项式，没有公因式，用平方差公式分解即可．
【解答】解：1﹣x2＝（1+x）（1﹣x）．
故答案为：（1+x）（1﹣x）．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．
10．（3分）现有一组数据2，7，6，9，8，则这组数据的中位数是 7 ．
9 / 24【分析】直接利用中位数的求法得出答案．
【解答】解：数据2，7，6，9，8，从小到大排列为：2，6，7，8，9，
故这组数据的中位数是：7．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了中位数，正确把握中位数的定义是解题关键．
11．（3分）方程 ＝1的解是 x ＝﹣ 1 ．
【分析】方程两边都乘以最简公分母，转化成一元一次方程进行解答便可．
【解答】解：方程两边都乘以（x+2），得1＝x+2，
解得，x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解，
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题主要考查了解分式方程，是基础题，关键是熟记分式方程的解法和一般步骤．
12．（3分）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数是 5 ．
【分析】n边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，由此列方程求n．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关
系，构建方程即可求解．
13．（3分）不等式组 的解集是 x ＞ 2 ．
【分析】根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．”这个规律求出不等式组
的解集便可．
【解答】解：根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．”得
原不等式组的解集为：x＞2．
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
14．（3分）若圆锥的侧面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是 3 ．
【分析】设该圆锥底面圆的半径是为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥
底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到 ×2π×r×5＝15π，然后解关于r
10 / 24的方程即可．
【解答】解：设该圆锥底面圆的半径是为r，
根据题意得 ×2π×r×5＝15π，解得r＝3．
即该圆锥底面圆的半径是3．
故答案为3．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．（3分）如图，l∥l∥l，直线a、b与l、l、l分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，
1 2 3 1 2 3
DE＝2，BC＝6，则EF＝ 4 ．
【分析】根据l∥l∥l，由平行线分线段成比例定理得到成比例线段，代入已知数据计算即可得到答
1 2 3
案．
【解答】解：∵l∥l∥l，
1 2 3
∴ ＝ ，
又AB＝3，DE＝2，BC＝6，
∴EF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形
内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝ ．
【分析】连接PB，交CH于E，依据轴对称的性质以及三角形内角和定理，即可得到CH垂直平分BP，
11 / 24∠APB＝90°，即可得到AP∥HE，进而得出∠BAP＝∠BHE，依据Rt△BCH中，tan∠BHC＝ ＝ ，即
可得出tan∠HAP＝ ．
【解答】解：如图，连接PB，交CH于E，
由折叠可得，CH垂直平分BP，BH＝PH，
又∵H为AB的中点，
∴AH＝BH，
∴AH＝PH＝BH，
∴∠HAP＝∠HPA，∠HBP＝∠HPB，
又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB＝180°，
∴∠APB＝90°，
∴∠APB＝∠HEB＝90°，
∴AP∥HE，
∴∠BAP＝∠BHE，
又∵Rt△BCH中，tan∠BHC＝ ＝ ，
∴tan∠HAP＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折
叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算：
（1） ﹣tan45°﹣（1﹣ ）0；
（2）ab（3a﹣2b）+2ab2．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案；
12 / 24（2）直接利用单项式乘以多项式运算法则进而计算得出答案．
【解答】解：（1） ﹣tan45°﹣（1﹣ ）0
＝2﹣1﹣1
＝0；
（2）ab（3a﹣2b）+2ab2
＝3a2b﹣2ab2+2ab2
＝3a2b．
【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式和实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（8分）先化简，再求值： ÷（1﹣ ），其中a＝5．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解： ÷（1﹣ ）
＝ ÷（ ﹣ ）
＝ •
＝a+2，
当a＝5时，原式＝5+2＝7．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19．（8分）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：
所用火车车皮数量（节） 所用汽车数量（辆） 运输物资总量（吨）
第一批 2 5 130
第二批 4 3 218
试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？
【分析】设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，根据题意，得 ，求解即可；
【解答】解：设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，
根据题意，得 ，
13 / 24∴ ，
∴每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨；
【点评】本题考查二元一次方程组的应用；能够根据题意列出准确的方程组，并用加减消元法解方程
组是关键．
20．（8分）已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．求证：BE＝DF．
▱
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，又由点E、F分别是 ABCD边AD、BC的
▱
中点，可得DE＝BF，继而证得四边形BFDE是平行四边形，即可证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E、F分别是 ABCD边AD、BC的中点，
▱
∴DE＝ AD，BF＝ BC，
∴DE＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21．（8分）某企业为了解员工安全生产知识掌握情况，随机抽取了部分员工进行安全生产知识测试，测
试试卷满分100分．测试成绩按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制了如下两幅不完整
的统计图．（说明：测试成绩取整数，A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；
D级：60分以下）
请解答下列问题：
（1）该企业员工中参加本次安全生产知识测试共有 4 0 人；
14 / 24（2）补全条形统计图；
（3）若该企业共有员工800人，试估计该企业员工中对安全生产知识的掌握能达到A级的人数．
【分析】（1）用B级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）计算出C级人数，然后补全条形统计图；
（3）用800乘以样本中A级人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）20÷50%＝40，
所以该企业员工中参加本次安全生产知识测试共有40人；
故答案为40；
（2）C等级的人数为40﹣8﹣20﹣4＝8（人），
补全条形统计图为：
（3）800× ＝160，
所以估计该企业员工中对安全生产知识的掌握能达到A级的人数为160人．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同
的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也
考查了扇形统计图．
22．（8分）在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为5、8、8，现将三张卡片放入一只
不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字．
（1）用树状图或列表等方法列出所有可能结果；
（2）求两次摸到不同数字的概率．
【分析】（1）画出树状图即可；
（2）共有9种等可能的结果，两次摸到不同数字的结果有4个，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）画树状图如图所示：
所有结果为：（5，5），（5，8），（5，8），（8，5），（8，8），（8，8），（8，5），（8，
8），（8，8）；
（2）共有9种等可能的结果，两次摸到不同数字的结果有4个，
15 / 24∴两次摸到不同数字的概率为 ．
【点评】本题考查了树状图法求概率以及概率公式；由题意画出树状图是解题的关键．
23．（8分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线
的交点叫格点）．
（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A，点B的对应点为点B，请画出平移后
1 1
的线段AB；
1 1
（2）将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°，点B的对应点为点B，请画出旋转后的线段AB；
1 1 1 1 2 1 2
（3）连接AB、BB，求△ABB的面积．
2 2 2
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B的位置，然后顺次连接即可；
1 1
（2）根据网格结构找出点B的位置，然后连接即可；
2
（3）利用正方形的面积减去三个三角形的面积，列式计算即可得解．
【解答】解：（1）线段AB如图所示；
1 1
（2）线段AB如图所示；
1 2
（3）S ＝4×4﹣ ×2×2﹣ ×2×4﹣ ×2×4＝6．
16 / 24【点评】本题考查了平移变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关
键．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．
【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明∠ODE＝90°即可；
（2）过O作OG⊥AF于G，得到AF＝2AG，根据直角三角形的性质得到AG＝ OA＝1，得到AF＝2，推出
四边形AODF是菱形，得到DF∥OA，DF＝OA＝2，于是得到结论．
【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切，
连结OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过O作OG⊥AF于G，
∴AF＝2AG，
∵∠BAC＝60°，OA＝2，
∴AG＝ OA＝1，
∴AF＝2，
∴AF＝OD，
17 / 24∴四边形AODF是菱形，
∴DF∥OA，DF＝OA＝2，
∴∠EFD＝∠BAC＝60°，
∴EF＝ DF＝1．
【点评】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，属于中考常考题型．
25．（10分）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，
途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y千米，慢
1
车行驶的路程为y千米．如图中折线OAEC表示y与x之间的函数关系，线段OD表示y与x之间的函
2 1 2
数关系．
请解答下列问题：
（1）求快车和慢车的速度；
（2）求图中线段EC所表示的y与x之间的函数表达式；
1
（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度；
（2）根据函数图象中的数据可以求得点E和点C的坐标，从而可以求得y与x之间的函数表达式；
1
（3）根据图象可知，点F表示的是快车与慢车行驶的路程相等，从而以求得点F的坐标，并写出点F
的实际意义．
18 / 24【解答】解：（1）快车的速度为：180÷2＝90千米/小时，
慢车的速度为：180÷3＝60千米/小时，
答：快车的速度为90千米/小时，慢车的速度为60千米/小时；
（2）由题意可得，
点E的横坐标为：2+1.5＝3.5，
则点E的坐标为（3.5，180），
快车从点E到点C用的时间为：（360﹣180）÷90＝2（小时），
则点C的坐标为（5.5，360），
设线段EC所表示的y与x之间的函数表达式是y＝kx+b，
1 1
，得 ，
即线段EC所表示的y与x之间的函数表达式是y＝90x﹣135；
1 1
（3）设点F的横坐标为a，
则60a＝90a﹣135，
解得，a＝4.5，
则60a＝270，
即点F的坐标为（4.5，270），点F代表的实际意义是在4.5小时时，甲车与乙车行驶的路程相等．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的
思想解答．
26．（12分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，
0），点D的坐标为（1，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E的坐标．
（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的 ？若存在，求出点
G的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求
（2）可通过点B，点D求出线段BD所在的直线关系式，点E在线段BD上，即可设点E的坐标，利用
19 / 24点与点的关系公式，通过EF＝ED即可求
（3）先求线段AD所在的直线解析式，求利用点到直线的公式d＝ ，即可求△ADG与△BDG的
高，利用三角形面积公式即可求．
【解答】解：
（1）依题意，设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+3
将点B代入得0＝a（5﹣1）2+3，得a＝﹣
∴二次函数的表达式为：y＝﹣ （x﹣1）2+3
（2）依题意，点B（5，0），点D（1，3），设直线BD的解析式为y＝kx+b
代入得 ，解得
∴线段BD所在的直线为y＝ x+ ，
设点E的坐标为：（x， x+ ）
∴ED2＝（x﹣1）2+（﹣ x+ ﹣3）2
EF＝
∵ED＝EF
∴（x﹣1）2+（﹣ x+ ﹣3）2＝
整理得2x2+5x﹣25＝0
解得x＝ ，x＝﹣5（舍去）
1 2
故点E的纵坐标为y＝ ＝
∴点E的坐标为
（3）存在点G，
设点G的坐标为（x，t）
∵点B的坐标为（5，0），对称轴x＝1
20 / 24∴点A的坐标为（﹣3，0）
∴设AD所在的直线解析式为y＝kx+b
代入得 ，解得
∴直线AD的解析式为y＝
∴AD的距离为5
点G到AD的距离为：d＝ ＝
1
由（2）知直线BD的解析式为：y＝ x+ ，
∴BD的距离为5
∴同理得点G至BD的距离为：d＝ ＝
2
∴ ＝ ＝ ＝
整理得5x﹣32t+90＝0
∵点G在二次函数上，
∴t＝
代入得5x﹣32[﹣ （x﹣1）2+3]+90＝0
整理得6x2﹣7x＝0⇒x（6x﹣7）＝0
解得x＝0，x＝
1 2
此时点G的坐标为（0， ）或（ ， ）
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结
合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关
系．
27．（12分）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．
小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转
21 / 2480°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E
的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．
请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．
①∠BEP＝ 5 0 °；
②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是 E C ∥ A B ．
（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，
并说明理由．
（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．
【分析】（1）①利用等腰三角形的性质即可解决问题．②证明∠ABC＝40°，∠ECB＝40°，推出
∠ABC＝∠ECB即可．
（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．利用圆周角定理证明∠BCE＝ ∠BPE＝40°即可解决
问题．
（3）因为点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，所以当点P运动到与点A重合时，AE的值最
小，此时AE的最小值＝AB＝3．
【解答】解：（1）①如图②中，
∵∠BPE＝80°，PB＝PE，
22 / 24∴∠PEB＝∠PBE＝50°，
②结论：AB∥EC．
理由：∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠BDE＝90°，
∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，
∵AE垂直平分线段BC，
∴EB＝EC，
∴∠ECB＝∠EBC＝40°，
∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝∠ECB，
∴AB∥EC．
故答案为50，AB∥EC．
（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．
∵AD垂直平分线段BC，
∴PB＝PC，
∴∠BCE＝ ∠BPE＝40°，
∵∠ABC＝40°，
∴AB∥EC．
（3）如图④中，作AH⊥CE于H，
23 / 24∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，
∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理等知识，
解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考
压轴题．
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