2024届河北省高三大数据应用调研联合测评(Ⅳ)数学(1)_2024年1月_021月合集_2024届河北省高三大数据应用调研联合测评(Ⅳ)

绝密★启用前 河北省 2024 届高三年级大数据应用调研联合测评 数学 班级__________ 姓名__________ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷 上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.设全集 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2.若复数 （ 为虚数单位），则复数 在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4.设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 5.高斯是德国数学家､天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德､牛顿并列，同享 盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作 ，是指不超过实数 的最大整数，例如 ，该函数被广泛应用于数论､函数绘图和计算机领域.若函数，则当 时， 的值域为（ ） A. B. C. D. 6.在正方体 的棱长为 为线段 上的动点，则点 到平面 距离的最小值为（ ） A.1 B. C. D.2 7.设实数 ，若不等式 对任意 恒成立，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 8.已知 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，若椭圆的离心率为 ， 双曲线的离心率为 ，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列结论中正确的有（ ） A.数据 的第75百分位数为30 B.已知随机变量 服从二项分布 ，若 ，则 C.已知回归直线方程为 ，若样本中心为 ，则 D.若变量 和 之间的样本相关系数为 ，则变量 和 之间的正相关性很小 10.已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）A. ，函数 的最小正周期为 B. C.方程 的解为 D. 11.已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，过点 且斜率为 的直线 与抛 物线 交于两个不同的点 ，则下列说法正确的有（ ） A.当 时， B. C.若直线 的倾斜角分别为 ，则 D.若点 关于 轴的对称点为点 ，则直线 必恒过定点 12.已知函数 ，若函数 的图象与 的图象有两个不同的交点，则实 数 的可能取值为（ ） A.-3 B. C. D.3 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知 ，则 __________.14.已知函数 ，且 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为__________. 15.2023年9月23日，杭州第19届亚运会开幕，在之后举行的射击比赛中，6名志愿者被安排到安检､引导运 动员入场､赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则共有种安 排方案__________.（用数字作答） 16.如图所示，已知正方体 的棱长为2，点 在 上，且 ，动点 在正方形 内运动（含边界），若 ，则当 取得最小值时，三棱锥 外接球的半径为 __________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知数列 满足 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和. 18.（本小题满分12分）在 中，角 的平分线与边 交于点 ，且满足 . （1）若 ，求角 ； （2）若 ，求证： . 19.（本小题满分12分）如图1，已知正三角形 边长为4，其中 ，现沿着 翻折，将点 翻折到点 处，使得平面 平面 为 中点，如图2. （1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值. 20.（本小题满分12分）已知函数 为常数，过曲线 上一点 处的切线与 轴垂直. （1）求 的值及 的单调递增区间； （2）若对任意的 ，使得 （e是自然对数的底数）恒成立，求实数 的 取值范围. 21.（本小题满分12分）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，左､右顶点分别为 ，若以 为圆心，1为半径的圆与以 为圆心，3为半径的圆相交于 两点，若椭圆 经过 两点，且直线 的斜率之积为 . （1）求椭圆 的方程； （2）点 是直线 上一动点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 . ①求证直线 恒过定点，并求出此定点； ②求 面积的最小值. 22.（本小题满分12分）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信 息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不 确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布. 这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息 （熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量， 这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用､ ､ 计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如， 投掷一次硬币提供了 的信息，而掷 次就为 位.更一般地，你需要用 位来表示一个可以取 个值 的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信 息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的 麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量 所有取值为 ，定义 的信息熵 . （1）若 ，试探索 的信息熵关于 的解析式，并求其最大值； （2）若 ，求此时的信息熵. 数学参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B C B C A BC BCD ACD CD 1.【答案】D 【解析】由不等式 ，等价于 ，解得 或 ，因为 ，所以 ，所以 .故选D. 2.【答案】C 【解析】因为 ，所以 在复平面上对应的点为 ，该点在第三象限.故 选C.3.【答案】A 【解析】 ，又 在向量 上的投影向量为 . .故选A. 4.【答案】B 【解析】因为 是等差数列 的前 项和，所以 是等差数列. 由 可设 ，则 ，于是 依次为 ，所 以 ，所以 .故选B. 5.【答案】C 【解析】由 ，得 ，解得 ，则 的定义域为 ， 当 时，令 ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，又 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 的值 域为 ，所以 的值域为 .故选C. 6.【答案】B 【解析】由题意得 ，设点 到平面 的距离为 ，则由等 体积转化法为 ，由图形得，当 与 重合时， 最大，最大为 ，此时 最小，为 .故选B.7.【答案】C 【解析】 恒成立，即 ， 令 ，则 ， 当 时， 单调递减，当 时， 单调递增， 因为 ，所以 ， 因此若 时，不等式 恒成立，则 恒成立， 若 时， ， 恒成立，则 也成立， 所以当 时， 恒成立，所以得 ，即 ， 设 当 时， 单调递增，当 时， 单调递减， 所以 ，所以 ，即正实数 的最小值为 ，故选C. 8.【答案】A 【解析】如图，设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ， 则根据椭圆及双曲线的定义得： ， ，设 ，则在 中，由余弦定理得， ， 化简得 ，即 ， 则 ， 当且仅当 即 时，等号成立，故选A. 9.【答案】BC 【解析】对于 项，11个数的顺序为 ，所以第75百分位 数为27，故A项错误； 对于B项，因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，故B项正确； 对于C项，回归直线必过样本中心可得 ，解得 ，故C项正确； 对于D项， 为正值时，值越大，判断“ 与 之间的正相关”越强，故D项不正确.故选BC. 10.【答案】BCD 【解析】由图象知 ，即函数 的最小正周期 ，最小正周期 ， ，则 ，即 ，当 时， ，即 ，故A不正确； ，即 ，则 ， 则 ，故B正确； 因为 ，即 ， 即 又因为 时， ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 当 时， 或 ，解得 或 ， 所以方程 的解为 或 .故C正确； 由 ， ， ，且 在 上单调递增， ， 由 ，故D正确.故选BCD. 11.【答案】ACD【解析】当 时，抛物线方程为 ，直线 ，联立得 ， 则 ，故A正确； 当 时，直线 为 轴，和抛物线只有一个交点，故B不正确； 直线 ，代入 ，得 ，则 ， 则 ，故C正确； 因为点 关于 轴的对称点为点 ，由 知，直线 与 的倾斜角相同， 所以 三点共线，所以直线 必恒过定点 ，故D正确.故选ACD. 12.【答案】CD 【解析】函数 的图象与 的图象有两个不同的交点，则方程 有两个不 同的根，即 有两个不同的根，令 ，则 . ①若 ，当 时， ；当 时， ； 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，取实数 满足 且 ，则有 ，所以 有两个零点. ②若 ，当 时， 在 上单调递增，当 时， ，故，故 不存在两个零点，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，又当 时，故 ，故 不存在两个零点，综上得 ，故选CD. 13.【答案】 【解析】因为 ，所以 . 14.【答案】 【解析】函数 且 的图象恒过定点 ，则 ， ，当且仅当 即 时等号成立. 15.【答案】540 【解析】6名志愿者被安排三项工作，每项工作至少安排1人，则分组方式为 ，则安排方 案有 （种）. 16.【答案 【解析】连接 ，则 ，所以点 在正方形 内运动轨迹为以 为圆心，1为半径的四分之一圆弧，连接 ，则 ，所以 取得最小值时，只需 取得最小值即可，连接 交圆弧于 点，此时 取得最小值，则 取得最小值，连 接 ，则 为等腰直角三角形， ，又 ，所以三棱锥 为四个面均为 直角三角形的三棱锥，则球心为 的中点， 为直径，则 ，所以外接球半 径 . 17.【解】（1） ，① 当 时， ，② 由①-②得 ， 又 时， ，满足上式， 综上， . （2） ， ， 设数列 的前 项和为 ， 所以 . 18.【解】 ，， 即 即 ， ， . （1）由正弦定理得 ， ， . （2） ，则 ， ， 即 所以 ， 即 即 . （其他方法正确也可给分） 19.【解】（1）取 的中点为 的中点为 ，连接 与 ，正三角形 中， ， ， 立体图形由翻折可得且 ， 是 的中点， ， 平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 平面 ， 以点 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 正 的边长为 ， ，连接 ，在 中， ， 在 中，由勾股定理得 ， ， ， ， 异面直线所成角的取值范围为 ， 异面直线 与 所成角的余弦值为 .（2）由（1）得 ， ， ， 易得平面 的一个法向量为 设平面 的法向量为 ， 则 即 则 ， ， 平面 与平面 夹角的余弦值为 . 20.【解】（1） ， ， 又 ， ， 则 ， 令 ，在 上单调递增，又 ， 所以不等式 的解集为 ， 故函数 的单调递增区间为 . （备注：单调递增区间写成 也得分） （2）若对任意的 ，使得 恒成立， 只需 ， 由（1）知， 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以当 时， ， 为 中的最大值， ， 令 ，则 ， 在 上是增函数，而 ， 即 ， ， 对于 ，则 ，所以函数 在 上是增函数， 所以 ， 的取值范围为 . 21.【解】（1）因为圆 与圆 相交，且交点在椭圆 上， 所以 ，又 ， 所以椭圆 的方程为 . （2）①由（1）知椭圆右焦点 ，设 ， 则切线 的方程为 ， 即 ，点 在直线 上， ， ， ， 代入上式得 ， ，同理 ， 所以直线 恒过定点 . ②由（1）知直线 恒过定点 ， 令直线 ， 代入椭圆方程 ， 得 ，则 ， 恒成立， 则 ，①当 时， 点 到直线 的距离为 ， ， ， 令 ， 则 ， 在 上单调递减， 在 上单调递增， ， ②当 时， . 综上， 的最小值为 . 22.【解】（1）当 时， ， 令 ， 则 ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时， 取得最大时，最大值为 . （2） ， 则 ， 而 于是 ， 令 ， 则 ， 两式相减得 ， 因此 ， .