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厦门市 2024 届高中毕业班第一次质量检测
数学试题
2024．1
准考证号__________姓名__________
（在此卷上答题无效）
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．
2．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．
3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．
4．考试结束后，考生上交答题卡．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C．1 D．
2．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知直线 与曲线 在原点处相切，则 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， 为单位向量，若 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
6．已知 ， ， ，则下列结论错误的为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． ， B． ，
C． ， D． ，
7．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数
分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个
数为（ ）
1 5 12 22
A．51 B．70 C．92 D．117
8．已知函数 的定义域为 ， ， ， ，若 ，
则 （ ）
A． B． C．2 D．4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的图象关于点 成中心对称
C． 在区间 上单调递增
D．若 的图象关于直线 对称，则
10．已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均
数比甲组数据的平均数大3，则（ ）
A．甲组数据的第70百分位数为23 B．甲、乙两组数据的极差相同
C．乙组数据的中位数为24.5 D．甲、乙两组数据的方差相同
学科网（北京）股份有限公司11．设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与 交于A，B两点，若
，且 的周长为8，则（ ）
A． B． 的离心率为
C． 可以为 D． 可以为直角
12．如图所示，在五面体 中，四边形 是矩形， 和 均是等边三角形，且
， ，则（ ）
第12题图
A． 平面
B．二面角 随着 的减小而减小
C．当 时，五面体 的体积 最大值为
D．当 时，存在 使得半径为 的球能内含于五面体
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若 ，则 _________．
14．《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中
选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．
15．已知平面 的一个法向量为 ，且点 在 内，则点 到 的距离为_________．
16．设 是面积为1的等腰直角三角形， 是斜边 的中点，点 在 所在的平面内，记
与 的面积分别为 ， ，且 ．当 ，且 时，
学科网（北京）股份有限公司_________；记 ，则实数 的取值范围为_________．（注：第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，且 的周长为 ，求 的面积．
18．（12分）
如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， 平面 ，
过点 作平面 ．
第18题图
（1）证明：平面 平面 ；
（2）已知点F为棱 的中点，若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
19．（12分）
已知数列 的前 项和为 ， ，当 ，且 时， ．
（1）证明： 为等比数列；
（2）设 ，记数列 的前 项和为 ，若 ，求正整数 的最小值．
20．（12分）
已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者a，b，c，d将依次通过摸出小球的颜色来
决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其
余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个
放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，
直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．
（1）求a，b，c三人均被分至同一队的概率；
学科网（北京）股份有限公司（2）记甲，乙两队的最终人数分别为 ， ，设随机变量 ，求 ．
21．（12分）
已知函数 有两个极值点 ， ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： ．
22．（12分）
在平面直角坐标系 中，点 ，点 为动点，以线段 为直径的圆与 轴相切，记 的轨迹为 ，
直线 交 于另一点 ．
（1）求 的方程；
（2） 的外接圆交 于点 （不与O，A，B重合），依次连接O，A，C，B构成凸四边形 ，
记其面积为 ．
（i）证明： 的重心在定直线上；
（ii）求 的取值范围．
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