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2024-2025 学年山东省日照市校际联考高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x||x|<2}，则A∩B=( )
A. {0,1,2} B. {0,1} C. {−1,0,1,2} D. {−1,0,1}
2.设等差数列{a }的前n项和为S ，若a =2，a =4，则S 的值为( )
n n 2 3 4
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
3.函数 2的大致图象为( )
y=x3
A. B.
C. D.
4.已知命题p：a>b>0，命题q：2a>2b，则命题p是命题q的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
1
5.函数y= x2−lnx的单调递减区间为( )
2
A. (−1,1) B. (1,+∞) C. (0,1) D. (0,+∞)
6.若log m=2，b3=m，则log (ab)=( )
a m
1 1 5 6
A. B. C. D.
6 5 6 5
7.已知实数x，y满足x>3，且xy+2x−3 y=10，则x+ y的最小值为( )
A. 4 B. 5 C. 3√2 D. 1+2√6
8.定义在(0,+∞)的增函数f(x)满足：f(x)+f(y)=f(xy)−1，且f(2)=0，
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1 1已知数列 的前 项和为 ，则使得 成立的 的最大值是( )
f(a )=n(n∈N∗). {a } n S S <2025 n
n n n n
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>b>0，c∈R，则下列说法正确的是( )
c c 1 1
A. < B. ac2>bc2 C. < D. a+c>b+c
a b a2 b2
10.已知 ，则( )
f(x)=2x3−3x+1
√2
A. x= 是f(x)的极大值点 B. f(x)在(1,+∞)上单调递增
2
C. f(x)的所有零点之和为0 D. 直线y=−3x+1是f(x)的切线
a +a +⋯+a
11.已知数列{a }，设m = 1 2 n (n∈N∗)，若数列{a }满足：存在常数c，使得对于任意两两
n n n n
不相等的正整数i，j，k，都有(i− j)m +( j−k)m +(k−i)m =c，则称数列{a }具有性质Ω，下列结论
k i j n
正确的是( )
A. 若a =2n−1，则数列{a }具有性质Ω
n n
B. 若数列 的前 项和 ，则数列 具有性质
{a } n S =2n−1 {a } Ω
n n n
C. 若数列{a }具有性质Ω，则常数c=0
n
D. 若数列{a }具有性质Ω，则{a }为等差数列
n n
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数
f(x)=
{log
2
x,x>0
，则
f(1)=
______．
3x,x≤0
13.已知等比数列{a }为递增数列，且5a ，a 的等差中项为3a ，则公比q为______．
n 1 3 2
14.定义域为R的偶函数f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(1)=0，若关于x的不等式
(mx−1)f(x−2)≥(nx+2)f(2−x)的解集为[1,+∞)，则em+e−n的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
x−4
设全集U=R，集合A={x| <0}，集合B={x|x2−2ax+a2−1<0}，其中a∈R．
x+1
(1)当a=4时，求A∩B；
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2 1(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知等差数列{a }前n项和为S (n∈N )，数列{b }是等比数列，a =3，b =1，b +a =8，
n n + n 1 1 2 2
3a −4b =3a ．
7 2 5
(1)求数列{a }和{b }的通项公式；
n n
{b ,n为奇数
n
(2) 若 c = 2 ，设数列 {c } 的前 n 项和为 T ，求 T ．
n ,n为偶数 n n 2n
S
n
17.(本小题15分)
已知函数 ．
f(x)=(1+x) a (a>0)
(1)当a为奇数时，证明：f(x)的图像关于点(−1,0)对称；
(2)设g(x)=f(x)−1−ax．
1
(i)当a= 时，求g(x)的极值；
2
(ii)当x>−1时，g(x)≤0，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数 ，记 ，且 ， ．
f(x)=xe3x f (x)=f ′(x) f (x)=f ′(x) n∈N∗
1 n+1 n
(1)求f (x)，f (x)；
1 2
设 ， ．
(2) f (x)=(a +b x)e3x n∈N∗
n n n
1 1 1 3
(i)证明： + +⋯+ < ；
b −1 b −1 b −1 4
1 2 n
n
求 ．
(ii) ∑a
i
i=1
19.(本小题17分)
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3 11
已知函数f(x)=x− −alnx(a∈R)．
x
(1)当a=1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有3个零点x ，x ，x ，且x −1 {a−1≥−1
∴ 或 ，解得0≤a≤3，
a+1≤4 a+1<4
即实数a的取值范围为[0,3]．
16.(1)设等差数列{a }的公差为d，等比数列{b }的公比为q(q≠0)，
n n
{q+3+d=8
由a =3，b =1，b +a =8，3a −4b =3a 可得 ，
1 1 2 2 7 2 5 6d=4q
解得d=2，q=3，
则 ， ；
a =2n+1 b =3n−1
n n
n(3+2n+1)
(2)由(1)得，S = =n(n+2)，
n 2
2 1 1
当n为偶数时，c = = − ，
n n(n+2) n n+2
当 为奇数时， ，
n c =3n−1
n
1 1 1 1 1 1
则T =30+32+34+…+32n−2+( − + − +…+ − )
2n 2 4 4 6 2n 2n+2
1−9n 1 1 9n−1 1 1 9n+3 1
= + − = + − = − ．
1−9 2 2n+2 8 2 2n+2 8 2n+2
17. 证明：由题意， ，
(1) f(x)+f(−2−x)=(1+x) a+(1−2−x) a=(1+x) a+(−1−x) a
当 为奇数时， ，
a (1+x) a+(−1−x) a=(1+x) a−(1+x) a=0
故f(x)+f(−2−x)=0，
所以f(x)的图像关于点(−1,0)对称．
1 1
(2)解：(i)当a= 时，g(x)=f(x)−1−ax=√1+x−1− x，定义域为[−1,+∞)，
2 2
1 1
g′(x)= − ，
2√1+x 2
令g′(x)=0，得x=0，
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6 1当x∈(−1,0)时，g′(x)>0，当x∈(0,+∞)时，g′(x)<0，
所以g(x)在(−1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，
所以g(x)在x=0处取得极大值，极大值为0，无极小值．
， ，
(ii)g(x)=f(x)−1−ax=(1+x) a−ax−1 x∈(−1,+∞)
则 ，
g′(x)=a(1+x) a−1−a=a[(1+x) a−1−1]
令 ，得 ，即 ，
g′(x)=0 (1+x) a−1=1 x=0
当 时，显然有 ，符合题意；
① a=1 (1+x) a−ax−1=0
②当a>1时，当−10时，g′(x)>0，
所以g(x)在(−1,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增，
所以x=0为最小值点，不合题意；
③当00，所以g(x)在(−1,0)单调递增，
当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减，
所以x=0为最大值点，g(0)=0，符合题意．
综上，实数a的取值范围为(0,1]．
18. ，
(1)f (x)=f ′(x)=e3x+3xe3x=e3x (3x+1)
1
．
f (x)=[e3x (3x+1)]′=3e3x (3x+1)+3e3x=e3x (9x+6)
2
证明：因为 ，因此 ，
(2)(ⅰ) f (x)=e3x (b x+a ) f (x)=3e3x (b x+a )+b e3x=e3x (3b x+3a +b )
n n n n+1 n n n n n n
又 ，因此 ， ；
f (x)=e3x (b x+a ) b =3b a =3a +b
n+1 n+1 n+1 n+1 n n+1 n n
由 可知 ， ，因此b ，
(1) b =3≠0 b =3b n+1=3
1 n+1 n b
n
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7 1因此 为首项 ，公比为 的等比数列，因此 ，
{b } b =3 3 b =3n
n 1 n
又因为 ，因此 ，因此 ，
a =1 b =3n a =3a +b =3a +3n−1
1 n n n−1 n−1 n−1
1 1 1 1
因为b =3n， = < = ，
n b −1 3n−1 3n−3n−1 2×3n−1
n
1 1 1 1 1 1
因此 + +...+ < + +⋯+
b −1 b −1 b −1 2×30 2×31 2×3n−1
1 2 n
1
1−
1 3n 3 1
= ( )= (1− )，
2 1 4 3n
1−
3
1 1 1 1 3
因为 >0，因此 + +...+ < ；
3n b −1 b −1 b −1 4
1 2 n
(ⅱ)因为 ，
a =3a +b =3a +3n−1
n n−1 n−1 n−1
因此a a 3a +3n−1 a 1，
n− n−1= n−1 − n−1=
3n 3n−1 3n 3n−1 3
因此 a 是以1为首项和公差的等差数列，
n
{ }
3n 3
a 1 1 n，因此 ．
n= +(n−1)× = a =n⋅3n−1
3n 3 3 3 n
n
令 ，则 ，
∑a =S S =1×30+2×31+3×32+⋯+n⋅3n−1
n n n
i=1
，
3S =1×31+2×32+3×33+⋯+n⋅3n
n
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8 1两式相减可得
−2S =1+31+32+33+⋯+3n−1−n⋅3n
n
1−3n 1 1 1
= −n⋅3n= (3n−1)−n⋅3n=( −n)3n− ，
1−3 2 2 2
n 1 1
S =( − )3n+ ．
n 2 4 4
1
19.(1)由题意函数f(x)=x− −alnx(a∈R)，
x
1
可得当a=1时，f(x)=x− −lnx，(x>0)，
x
1 1 1 1
则f ′(x)=1+ − ，即f ′(1)=1+ − =1，
x2 x 1 1
∴切线的斜率为1，
又f(1)=1−1−ln1=0，∴切点为(1,0)，
故f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−0=1(x−1)，即x−y−1=0；
函数 1 ，则 1 a x2−ax+1，
(2)(i) f(x)=x− −alnx f ′(x)=1+ − =
x x2 x x2
a a2
当 时， (x− ) 2+1− ，
① 02 f ′(x)=0 x2−ax+1=0 x = x =
1 2 2 2
令f ′(x)<0，得x 0，得0x ，
1 2 1 2
∴f(x)在(0,x )和(x ,+∞)单调递增，在(x ,x )单调递减，
1 2 1 2
∵x x =1，x +x =a>0，∴0f(1)=0 x→0 f(x)→−∞ f(x) (0,x )
1 1
，当 时， ， 在 上恰有一个零点，
∵f(x )0
x2
∴f(x)在(0,+∞)单调递增，此时f(x)有1个零点，不满足题意，舍掉．
综上所述，实数a的取值范围为(2,+∞)．
1 1 1 1
(ii)∵f( )= −x−aln = −x+alnx=−f(x)，且f(1)=0，
x x x x
由(i)结合x 1)，
x+1
则 1 4 (x−1) 2 ，
ℎ′(x)= − = >0
x (x+1) 2 x(x+1) 2
故ℎ(x)在(1,+∞)上为增函数，
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10 1x−1
∴ℎ(x)=lnx−2( )> ℎ(1)=0，
x+1
， x −1 ，(x +1) 2 ，
∵x >1 ∴lnx −2( 3 )>0 3 >0
3 3 x +1 x lnx
3 3 3
故x +2x +x >2a．
1 2 3
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11 1
