2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试参考答案与评分标准（A卷）_1多考区联考试卷

2024 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨 2024 年全国高中数学联合竞赛 一试（A 卷）参考答案及评分标准 说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8分和 0分两档；其他各 题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷 时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次， 第 10、11小题 5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1. 若实数m1满足log (log m)2024，则log (log m)的值为 ． 9 8 3 2 答案：4049． 解：log (log m)log (3log m)12log (log m)1220244049． 3 2 3 8 9 8 2. 设无穷等比数列{a }的公比q满足0 q 1．若{a }的各项和等于{a }各 n n n 项的平方和，则a 的取值范围是 ． 2  1  答案： ,0  (0,2)．   4   a 解：因为数列{a }的各项和为 1 ，注意到{a }各项的平方依次构成首项 n 1q n a2 为a2、公比为q2的等比数列，于是{a2}的各项和为 1 ． 1 n 1q2 a a2 由条件知 1  1 ，化简得a 1q． 1q 1q2 1  12 1  1  当q(1,0)(0,1)时，a 2 (1q)q   q 2     4     4 ,0     (0,2)． 3. 设实数a,b满足：集合A{xR x210xa0}与B{xR bxb3} 的交集为[4,9]，则ab的值为 ． 答案：7． 解：由于x210xa(x5)2 25a，故A是一个包含[4,9]且以x5 为中点的闭区间，而B是至多有一个端点的区间，所以必有A[1,9]，故a9． 进一步可知B只能为[4,)，故b0且4bb3，得b2． 于是ab7． 4. 在三棱锥PABC中，若PA底面 ABC，且棱AB, BP, BC, CP的长分 别为1, 2, 3, 4，则该三棱锥的体积为 ． 3 答案： ． 4 解：由条件知PA AB，PA AC． 因此PA BP2AB2  3，进而AC CP2PA2  13． 1AB2BC2AC2 1913 1 3 在ABC中，cosB   ，故sinB ． 2ABBC 213 2 2 1 3 3 所以S  ABBCsinB ． ABC 2 4 1 3 又该三棱锥的高为PA，故其体积为V  S PA ． 3 ABC 4 5. 一个不均匀的骰子，掷出1, 2, 3, 4, 5, 6点的概率依次成等差数列．独立地 先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a,b．若事件“ab7”发生的概率 1 为 ，则事件“ab”发生的概率为 ． 7 4 答案： ． 21 解：设掷出1, 2,,6点的概率分别为 p , p ,, p ．由于 p , p ,, p 成等差 1 2 6 1 2 6 1 数列，且 p  p  p 1，故 p  p  p  p  p  p  ． 1 2 6 1 6 2 5 3 4 3 事件“ab7”发生的概率为P  p p  p p  p p ． 1 1 6 2 5 6 1 事件“ab”发生的概率为P  p2 p2 p2． 2 1 2 6 12 1 于是P 1 P 2 (p 1  p 6 )2(p 2  p 5 )2(p 3  p 4 )2 3  3      3 ． 1 1 1 4 由于P  ，所以P    ． 1 7 2 3 7 21 6. 设 f(x)是定义域为R、最小正周期为5的函数．若函数g(x) f(2x)在区 间[0,5)上的零点个数为25，则g(x)在区间[1,4)上的零点个数为 ． 答案：11． 解：记2x t，则当x[0,5)时，t[1,32)，且t随x增大而严格增大．因此， g(x)在[0,5)上的零点个数等于 f(t)在[1,32)上的零点个数． 注意到 f(t)有最小正周期5，设 f(t)在一个最小正周期上有m个零点，则 f(t)在[2,32)上有6m个零点，又设 f(t)在[1,2)上有n个零点，则6mn25， 且0nm，因此m4,n1． 从而g(x)在[1,4)上的零点个数等于 f(t)在[2,16)[1,16)\[1,2)上的零点个 数，即3mn11． 7. 设F,F 为椭圆的焦点，在上取一点P （异于长轴端点），记O为 1 2     PFF 的外心，若POFF 2PF PF ，则的离心率的最小值为 ． 1 2 1 2 1 2 6 答案： ． 4     解：取FF 的中点M ，有MOFF ，故MOFF 0． 1 2 1 2 1 2 记 PF u, PF v, FF d ，则 1 2 1 2       1     v2u2 POFF PMFF MOFF  (PF PF )(PF PF) ， 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2   2PF PF 2uvcosFPF u2v2d2， 1 2 1 2 2v2u2 3u2v2 故由条件知 u2v2d2，即d2  ． 2 2 8 1  由柯西不等式知 3 d2 (3u2v2)  3 1     (uv)2（当v3u时等号成立）． d 3 6 所以的离心率e   ． uv 8 4 6 当u:v:d 1:3: 6时，的离心率e取到最小值 ． 4 8. 若三个正整数a, b, c的位数之和为8，且组成a, b, c的8个数码能排列为 2, 0, 2, 4, 0, 9, 0,8，则称(a, b, c)为“幸运数组”，例如(9,8, 202400)是一个幸运 数组．满足10abc的幸运数组(a, b, c)的个数为 ． 答案：591． 解：对于幸运数组(a, b, c)，当10abc时，分两类情形讨论． 情形1：a是两位数，b, c是三位数． 暂不考虑b, c的大小关系，先在a, b, c的非最高位（五个位置）中选三个位 置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8, 9， 这样的填法数为C3C23!600．再考虑其中b, c的大小关系，由于不可能有 5 5 bc，因此bc与bc的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组． 情形2：a, b是两位数，c是四位数． 暂不考虑a, b的大小关系，类似于情形 1，先在a, b, c的非最高位（五个位 置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2, 2, 4,8, 9，这样的填法数为600．再 考虑其中a, b的大小关系．若ab，则必有ab20，c的四个数字是0,4,8, 9 的排列，且0不在首位，有33!18种填法，除这些填法外，ab与ab的填 60018 法各占一半，故有 291个满足要求的幸运数组． 2 综上，所求幸运数组的个数为300291591． 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． sinAcosA sinBcosB 9. （本题满分16分） 在ABC中，已知cosC  ， 2 2 求cosC 的值． 2   2   解：由条件知cosC 2 sin   A 4      2 sin     B 4     ． …………4分        假如   A 4        B 4     ，则C 2 ，cosC0，但sin   A 4     0，矛盾．     所以只可能A 4 B 4 ．此时AB     0, 2   ，C2A． …………8分 2      注意到cosC 2 sin   A 4     0，故C 2 ，所以AB  4 , 2    ，结合条 3件得       cosCcos2Asin   2A 2     2sin   A 4     cos    A 4       2 2cosC  1( 2cosC)2 ， 7 又cosC0，化简得8(12cos2C)1，解得cosC ． …………16分 4 10.（本题满分 20分）在平面直角坐标系中，双曲线:x2y2 1的右顶点 为A．将圆心在 y轴上，且与的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若 d 两个好圆外切于点P，圆心距为d ，求 的所有可能的值． PA 解：考虑以(0, y )为圆心的好圆 : x2(yy )2 r2 (r 0)． 0 0 0 0 0 由 与的方程消去x，得关于 y的二次方程 0 2y22y yy21r2 0． 0 0 0 根据条件，该方程的判别式4y28(y21r2)0，因此y2 2r22． 0 0 0 0 0 …………5分 对于外切于点P的两个好圆 , ，显然P在 y轴上．设P(0,h)， , 的 1 2 1 2 半径分别为r, r ，不妨设 , 的圆心分别为(0,hr), (0,hr )，则有 1 2 1 2 1 2 (hr)2 2r22， 1 1 (hr )2 2r22． 2 2 r r 两式相减得2h(r r )r2r2，而r r 0，故化简得h 1 2 ． 1 2 1 2 1 2 2 …………10分 r r 2 进而   1 2 2 r 1    2r 1 22，整理得 r26rr r280． ① 1 1 2 2 (r r )2 由于d r r ， A(1,0)， PA 2 h21 1 2 1，而①可等价地写为 1 2 4 d 2(r r )28(r r )2，即8 PA 2 d2，所以 2 2． …………20分 1 2 1 2 PA 11.（本题满分 20分）设复数z,w满足zw2，求S  z22w  w22z 的最小可能值． 解法 1：设zabi (a,bR)，则w2abi，故 S  a22a4b22b(a1)i  a26a4b22b(a3)i ，  a22a4b2  a26a4b2  (a1)25b2  (a3)25b2 ． ① …………5分 记ta1．对固定的b，记B5b2 5，求 f(t) t2B  (t4)2B 的最小值． 4由 f(t) f(4t)，不妨设t2．我们证明 f(t) f(t )，其中t  B ． 0 0 当t[2,t ]时，t4[2,t 4]， 0 0 f(t) f(t )(Bt2)(B(t4)2)(B(t 4)2) 0 0 t2(t 4)2(t2(t4)2)(2t28t )(2t28t) 0 0 0 0 0（用到2tt 及 y2x28x在[2,)上单调增）． 0 …………10分 当t[t ,)时， 0 f(t) f(t )t2B (t4)2B  (t 4)2B 0 0 t2t2 (t4)2(t 4)2 (tt )tt tt 8 0 0 0 0 0 0（用到tt 4）． …………15分 0 所以S f(t )B(t 4)2 8 B168 516． 0 0 当b0（①取到等号），at 1 51时，S取到最小值8 516． 0 …………20分 解法 2：设z1xyi, w1xyi (x, yR)，不妨设其中x0． 计算得 z22w(x24x1y2)(2x4)yi， w22z(x24x1y2)(2x4)yi． 所以 S Re(z22w)  Re(w22z)  x24x1y2  x24x1y2 ． …………5分 利用 a  b  ab ，可得 S8x， ① 亦有 S 2 x21y2 2(1x2y2)2(1x2)． ② …………10分 注意到方程8x2(1x2)的正根为 52． 当x 52时，由①得S 8x8 516． 当0x 52时，由②得S2(1x2)2(1( 52)2)8 516． 因此当x 52, y0时，S取到最小值8 516． …………20分 解法 3：因为w=2−z，所以我们有 z22(2z)  z22z4  z1 5  z1 5 ； (2z)22z  z26z4  z1 5  z1 5 . 从而上两式最右边各项分别是z到复平面中实轴上的点−1− 5，−1+ 5 ， 3− 5，3+ 5的距离，所以把z = x+iy换成其实部x时，都不会增大.因此只需 考虑函数 f(x)= x2 +2x−4 + x2 −6x+4 在R上的最小值. …………10分 因为−1− 5 <3− 5 <−1+ 5 <3+ 5 ，因此我们有以下几种情况： 51. 若 x≤−1− 5 , 则 f(x)=2x2 −4x , 在 这 一 区 间 上 的 最 小 值 为 f(−1− 5)=16+8 5 ； ( 2.若 x∈ −1− 5,3− 5 ，则 f(x)=−8x+8，在这一区间上的最小值为  f(3− 5)=−16+8 5； …………15分 3.若x∈3− 5,−1+ 5 ，则 f(x)=−2x2 +4x，在这一区间上的最小值为   ( ) ( ) f 3− 5 = f −1+ 5 =−16+8 5； 4.若 x∈−1+ 5,3+ 5 ，则 f(x)=8x−8 ，在这一区间上的最小值为   ( ) f −1+ 5 =−16+8 5； 5. 若 x≥3+ 5 ， 则 f(x)=2x2 −4x ， 在 这 一 区 间 上 的 最 小 值 为 ( ) f 3+ 5 =16+8 5. ( ) ( ) 综上所述，所求最小值为 f 3− 5 = f −1+ 5 =8 5−16. …………20分 6