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【例1】氢原子的能级如图所示，当氢原子从𝑛 = 4的能级跃迁到𝑛 = 2的能级时，辐射出光子𝑎，
当氢原子从𝑛 = 3的能级跃迁到𝑛 = 1的能级时，辐射出光子𝑏，则下列判断正确的是（ ）。
A．光子𝑎的能量大于光子𝑏的能量
B．光子𝑎的波长小于光子𝑏的波长
C．𝑏光比𝑎光更容易发生衍射现象
D．若𝑎为可见光，则𝑏有可能为紫外线
（讲义页码 P ）
189（讲义页码 P ）
189【例 3】（真题 2021 年下 · 初中）图为氢原子能级示意图，现有大量氢原子处于 n = 4的能
量状态，下列说法中正确的是（ ）
A. 这些原子跃迁过程中，最多辐射出 3 种频率的光子
B. 这些原子跃迁过程中，最多辐射出 5 种频率的光子
C. 一个氢原子，从n = 4能级跃迁到n = 3能级，需要放出0.66eV的能量
D. 一个n = 4能级的氢原子，电离至少需要吸收12.75eV的能量
（讲义页码 P ）
190• 第三节 原子核
2025FENBI第三节 原子核
一、天然放射现象
（一）天然放射现象：放射性元素自发地放出射线的现象叫天然放射现象，由法国物
理学家贝可勒尔于1896年首先发现。
（二）核放射性与放射性元素：物质发射射线的性质称为放射性，具有放射性的元素
叫放射性元素。
（讲义页码 P ）
191二、原子核的构成
（一）质子的发现——卢瑟福
卢瑟福用𝛼粒子轰击氮原子核产生一种新粒子，根据这种粒子在电场和磁场中的偏转测出了其质量和电
1
荷，确定为质子，用𝑝表示(有时也用氢原子核的符号 H表示质子)，证明了质子是原子核的组成部分。
1
核反应方程如下： 14 N + 4 He → 17 O + 1 H，𝑚 = 1.672 623 1 × 10−27 kg。
7 2 8 1 𝑝
（二）中子的发现——查德威克
卢瑟福发现质子的同时预言了原子核中还存在一种不带电的粒子，其质量与质子相同，叫做中子，卢
瑟福的学生查德威克用实验证实了这个预言。
其核反应方程如下： 9 Be + 4 He → 12 C + 1 n，𝑚 = 1.674 928 6 × 10−27 kg。
4 2 6 0 𝑛
（讲义页码 P ）
191（三）原子核的组成
A
原子核是由质子、中子构成的，不同的原子核内质子和中子的个数并不相同。原子核用符号 X表示，
Z
X为元素符号，A表示质量数，Z表示核的电荷数(即原子序数)。
（四）原子核中的两个等式
1.电荷数 Z =质子数=元素的原子序数=核外电子数。
2.质量数 A =核子数=质子数+中子数。
（五）同位素
1
具有相同质子数不同中子数的原子核，在元素周期表中处于同一位置，因而互称同位素。如 H、
1
2 3
H、 H互为同位素。
1 1
（讲义页码 P ）
19227
【例 1】1934年，约里奥-居里夫妇用𝛼粒子轰击铝核 Al，产生了第一个人工放射性核
13
27
素X：𝛼 + Al → 𝑛 + 𝑋。𝑋的原子序数和质量数分别为（ ）。
13
A.15和28 B.15和30
C.16和30 D.17和31
（讲义页码 P ）
192三 、原子核的衰变
1.定义：原子核放出𝛼粒子或𝛽粒子，由于核电荷数变了，它在元素周期表中的位置就变了，变
成另一种原子核，我们把这种变化称为原子核的衰变。
2.两种衰变
238 234 4 234 234 0
（1）𝛼衰变典例： U → Th + He （2）𝛽衰变典例： Th → Pa + e
92 90 2 90 91 −1
（讲义页码 P ）
193232 208 208
【例 2】（真题 2017 年上 · 初中） 𝑇ℎ经过一系列 α 衰变和 β 衰变为 𝑃𝑏 ，则 𝑃𝑏 比
90 82 82
232
𝑇ℎ 少（ ）。
90
A. 16 个中子，8 个质子
B. 8 个中子，16 个质子
C. 24 个中子，8 个质子
D. 8 个中子，24 个质子
（讲义页码 P ）
193【例 3】一静止的铀核放出一个𝛼粒子衰变成钍核，衰变方程为 238 U → 234 Th + 4 He 。
92 90 2
下列 说法正确的是（ ）。
A. 衰变后钍核的动能等于𝛼粒子的动能
B. 衰变后钍核的动量大小等于𝛼粒子的动量大小
C. 铀核的半衰期等于其放出一个𝛼粒子所经历的时间
D. 衰变后𝛼粒子与钍核的质量之和等于衰变前铀核的质量
（讲义页码 P ）
1933.三种射线的本质及特征
𝛼射线 𝛽射线 𝛾射线
4 0
实质 氦核流 𝐻𝑒 高速电子流 𝑒 光子(高频电磁波）
2 −1
速率 0.1𝑐 0.99𝑐 𝑐
在电、磁场中 偏转 与𝛼射线反向偏转 不偏转
穿透能力 最弱，用纸能挡住 较强，穿透几毫米厚的铝板 最强，穿透几厘米厚的铅板
电离作用 很强 较弱 很弱
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194（三）半衰期
1.定义
放射性元素的原子核有半数发生衰变需要的时间，叫做这种元素的半衰期。
2.衰变公式
ln2 𝑡
− 𝑡 1
𝑁 = 𝑁 𝑒 𝑇 或 𝑁 = 𝑁 ( ) 𝑇
0 0
2
其中，𝑁为经过𝑡时间后剩余的原子核数，𝑁 为初始时刻的原子核数，𝑇为半衰期。
0
3.特点
（1）半衰期是由原子核本身的因素决定的，跟原子所处的物理状态或化学状态无关。
（2）半衰期只对大量原子核衰变才有意义，因为放射性元素的衰变规律是统计规律，
对少数或单个原子核衰变无意义。
（讲义页码 P ）
1943
【例4】（真题2018年上）某放射性元素经过11.4天有 的原子核发生了衰变，该元素的半衰期为
4
（ ）。
A.3.8天 B.5.7天 C.8.6天 D.11.4天
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194四、核力与结合能
（一）核力
1.定义
在原子核内，核子间存在着一种很强的作用力，将核子紧紧束缚在核
内，这种力称为核力。
2.特点
（1）核力是短程力。
（2）核力是一种强相互作用力。
（3）每个核子只跟它相邻的核子间才有核力作用。
（讲义页码 P ）
196（二）结合能与比结合能
核子结合成原子核时放出的能量或原子核分解成核子时
吸收的能量，都叫做原子核的结合能。
结合能与核子数之比叫比结合能，也叫平均结合能，比
结合能越大，表示原子核中核子结合得越牢固，原子核越稳
定。
（三）质量亏损与质能方程
1．质量亏损：组成原子核的核子的总质量与新原子核
的质量之差，叫做质量亏损。
2．质能方程：原子核释放能量时，要产生质量亏损。
物体的能量和质量之间存在着密切的联系，它们之间的关系
是𝐸 = 𝑚𝑐2 或𝛥𝐸 = 𝛥𝑚𝑐2 。这就是著名的爱因斯坦质能方程。
（讲义页码 P ）
196【例 7】大科学工程“人造太阳”主要是将氘核聚变反应释放的能量用来发电。氘核聚变反
应方程是 2 H + 2 H → 3 He + 1 n。已知 2 H的质量为2.0136u， 3 He的质量为3.0150u， 1 n的质量为
1 1 2 0 1 2 0
1.0087u，1u = 931MeV/𝑐2 。氘核聚变反应中释放的核能约为（ ）。
A．3.7MeV B．3.3MeV
C．2.7MeV D．0.93MeV
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196（四）核裂变
1．定义：重核分裂成两个中等质量的核，释放出核能的反应叫做核裂变。
235 1 144 89 1
2．铀核裂变方程： U + 𝑛 → Ba + Kr + 3 𝑛。
92 0 56 36 0
3．链式反应
（1）定义：铀核裂变时，同时放出若干个中子，如果这些中子再引起其他铀核的裂变，就可
以使裂变反应不断地进行下去，这种反应叫链式反应。
（2）链式反应发生条件
铀块的体积大于临界体积(裂变物质能够发生链式反应的最小体积），或裂变时的质量大于临
界质量。另外有足够数量的慢中子。
（讲义页码 P ）
196【例 6】（真题 2023 年上 ·初中）核反应方程为 235 U + 1 𝑛 → 𝑋 𝐵𝑎 + 89 𝐾𝑟 + 3 1 𝑛，下列说法
92 0 56 𝑌 0
错误的是（ ）。
A. 方程中X =144，Y = 36
B. 该反应属于原子重核的裂变反应
C. 该反应方程也可以写为 235 U → 𝑋 𝐵𝑎 + 89 𝐾𝑟 + 2 1 𝑛
92 56 𝑌 0
D. 该反应可以用能吸收中子的控制棒减慢反应速度
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195（五）核聚变
2 3 4 1
1.定义：两个轻核结合成质量较大的原子核的反应叫核聚变。例如： H + H → He + 𝑛
1 1 2 0
2.典型的核聚变方程
2 3 4 1
H + H → He + 𝑛 + 17.6MeV。
1 1 2 0
3.核聚变发生条件
在超高温条件下，剧烈的热运动使得一部分原子核具有足够的动能，可以克服库仑斥力，
发生核聚变。
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197【例 8】（真题 2016 年上 ·高中）在极短的距离上，核力将一个质子和一个中子吸引在一起
形成一个氘核，下述说法中正确的是（ ）
A.氘核的能量大于一个质子和一个中子能量之和
B.氘核的能量等于一个质子和一个中子能量之和
C.氘核的能量小于一个质子和一个中子能量之和
D.氘核若分裂为一个质子和一个中子，一定要放出能量
（讲义页码 P ）
197类型 可控性 核反应方程典例
α 衰变
自发 238 U → 234 Th + 4 He
92 90 2
衰变
β 衰变 234 234 0
自发 𝑇ℎ → 𝑃𝑎 + 𝑒
90 91 −1
14 4 17 1
N + He → O + H（卢瑟福发现质子）
7 2 8 1
人工控制
9 4 12 1
Be + He → C + n（查德威克发现中子）
4 2 6 0
重核裂变 比较容易进行人工控制 235 U + 1 𝑛 → 144 Ba + 89 Kr + 3 1 𝑛
92 0 56 36 0
2 3 4 1
H + H → He + 𝑛
轻核聚变 无法控制（如氢弹） 1 1 2 0
（补 充）总 结
1.光电效应：
𝑊
①爱因斯坦光电效应方程：𝐸 = ℎ𝜗 − 𝑊 截止频率𝑣 = 0
k 0 0
ℎ
光电效应能否产生与入射光频率有关，与入射光强度无关。
ℎ𝜗−𝑊
②光电流为0时，𝐸 = 𝑒𝑈 = ℎ𝜗 − 𝑊 ⟶ 遏止电压𝑈 = 0
𝑘 𝑐 0 𝐶
𝑒
饱和光电流与入射光强度成有关。
14 4 17 1
2. 原子核的人工转变： N + He → O + H（质子的发现）
7 2 8 1
9 4 12 1
Be + He → C + n（中子的发现）
4 2 6 0
238 234 4
原子核的衰变： U → Th + He（𝛼衰变）
92 90 2
234 234 0
𝑇ℎ → 𝑃𝑎 + 𝑒（ β 衰变）
90 91 −1
核裂变核聚变方程：
235
U +
1
𝑛 →
144
Ba +
89
Kr + 3
1
𝑛（重核裂变）
92 0 56 36 0
2 3 4 1
H + H → He + 𝑛（轻核聚变）
1 1 2 02 0 2 5 年 教 师 资 格 证
理论精讲 -大学力学 1
主讲老师 楠风
粉笔教师教育 粉笔教师第 一 节 ： 质 点 运 动 学
一、位置矢量
（一）概念
在选定的参考系上建立直角坐标系，某时刻质点位于𝑃点，其位置可用从坐标原点𝑂指向𝑃点的有向
线段𝒓 = 𝑂𝑃表示，𝒓称为该时刻质点的位置矢量，简称位矢。
𝑧
（二）特征
位置矢量是描述某一时刻质点所在空间方位的物理量。
𝑃
（三）公式
在直角坐标系中，位矢的分量表达式为
𝑂
𝑦
𝒓 = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌
式中，𝑥、𝑦、𝑧分别表示𝒓在𝑥、𝑦、𝑧轴上的投影；
𝑥
𝒊、𝒋、𝒌分别表示沿𝑥、𝑦、𝑧轴上的单位矢量。二、质点运 动方程
当质点运动时，其位矢𝒓随时间而变，位矢𝒓是时间𝑡的函数，即
𝒓 = 𝒓(t)
这称为质点的运动方程。在直角坐标系中，其分量形式为
𝑥 = 𝑥(𝑡)
൞𝑦 = 𝑦(𝑡)
𝑧 = 𝑧(𝑡)三、位移
（一）特征
位移是描述质点位置变化的物理量。
（二）公式
在直角坐标系中，位移的分量表达式为
Δ𝒓 = 𝒓 − 𝒓 = 𝑥 − 𝑥 𝒊 + 𝑦 − 𝑦 𝒋 + 𝑧 − 𝑧 𝒌
2 1 2 1 2 1 2 1四、速度
在直角坐标系中，速度的分量表达式为
d𝒓 d𝑥 d𝑦 d𝑧
𝒗 = = 𝒊 + 𝒋 + 𝒌
d𝑡 d𝑡 d𝑡 d𝑡
五、加速度
在直角坐标系中，加速度的分量表达式为
d𝒗 d2𝒓 d2𝑥 d2𝑦 d2𝑧
𝒂 = = = 𝒊 + 𝒋 + 𝒌
d𝑡 d𝑡2 d𝑡2 d𝑡2 d𝑡2【例1】质点运动学方程为𝑟 = 4𝑡2𝑖Ԧ + 2𝑡 + 3 𝑗Ԧ（单位：m）。
（1）求质点轨迹；（2）求自𝑡 = 0𝑠至𝑡 = 1𝑠质点的位移。【例2】一质点的运动方程为𝒓 = 𝒊 + 6𝑡2𝒋 + 3𝑡𝒌，式中分别以𝑚、𝑠为单位。试求：
(1)它的速度和加速度；
(2)它的轨迹方程。（真题 2016 年上 · 高中）一质点沿𝑥轴正方向运动，其速度按𝑣 = 𝑘 𝑥的规律变化，式中𝑘
是正常数。当𝑡 = 0时，质点位于原点𝑂处。求该质点的速度及加速度随时间𝑡的变化规律。（真题2022上·高中）一质量𝑚 = 1𝑘𝑔的物体在外力𝐹的作用下由静止开始在水平面上做直线运动，
已知物体与水平面间的动摩擦因数𝜇 = 0.2，外力𝐹随时间𝑡的变化关系如图，设最大静摩擦力等于滑
动摩擦力，空气阻力不计，𝑔 = 10𝑚/𝑠2 ，求：
1. 第3秒末物体的瞬时速度
2．力𝐹在前3𝑠内所做的功
2024FENBI六、曲线 运动
（一）曲线运动的描述
轨道上任一点𝑃点的切线和法线构成的坐标系称为自然坐标系，𝝉、𝒏分别代表切线和法线方向的单位矢
量。
设𝑡 = 0时质点位于𝑂点，𝑡时刻质点位于𝑃点，则弧长𝑂𝑃就是质点在𝑡时刻的自然坐标值，以𝑠表示，即
𝑠 = 𝑠(𝑡)
该公式是以自然坐标表示的质点运动学方程。d𝑣 d2𝑠
切向加速度为𝒂 = 𝝉 = 𝝉
𝜏
d𝑡 d𝑡2
𝑣2
法向加速度为𝒂 = 𝒏
𝑛
𝑅
在自然坐标系中，质点加速度的表达式为𝒂 = 𝒂 + 𝒂
𝜏 𝑛
加速度大小为𝑎 = 𝑎2 + 𝑎2
𝜏 𝑛
切向加速度表示速度大小的变化率
法向加速度表示速度方向的变化率（二）圆周运动
1.角坐标
角坐标是描述质点在圆周上的位置的物理量。以𝑥轴作为参考轴，设𝑡时刻质点位于𝐴点，则半径𝑂𝐴与𝑥
轴的夹角𝜃称为该时刻质点的角坐标。𝜃随时间变化的表达式为
𝜃 = 𝜃 𝑡
上式称为圆周运动的运动学方程。角坐标的单位为rad。2.角位移
质点由𝐴点到达𝐵点，转过的角度∆𝜽称为角位移。
角位移是矢量，方向由右手螺旋定则确定：以弯曲的四指代表质点运动的方向，则与四指垂直的大拇指
所指的方向即为角位移的方向。单位为𝑟𝑎𝑑。3.角速度
d𝜽
角速度为矢量，用𝝎表示，公式为：𝝎 =
d𝑡
角速度的方向与角位移的方向一致。当质点作圆周运动时，由于d𝜽只有两个可能的取向，因此𝝎常用
d𝜃
标量表示，即：𝜔 =
d𝑡
在国际单位制中，角速度的单位为弧度每秒，符号为rad ⋅ s−1 。
4.角加速度
d𝝎
角加速度是表示角速度变化快慢的物理量。角加速度为矢量，用𝜷表示，公式为：𝜷 =
d𝑡
方向与角速度方向一致，在国际单位制中，角加速度的单位为弧度每二次方秒，符号为rad ⋅ s−2 。5.角量和线量之间的关系
描述圆周运动的物理量𝜃、𝜔、𝛽称为角量。质点的速度、切向加速度和法向加速度等统称为线量。在
d𝑡时间内，质点发生d𝜽角位移时，它所通过的路程d𝑠 = 𝑅d𝜃，则角量与线量之间的关系为
d𝑠 𝑅d𝜃
𝑣 = = = 𝑅𝜔
d𝑡 d𝑡
d𝑠
d𝑣 𝑅d𝜔
𝑎 = = = 𝑅𝛽 𝑅
𝜏 d𝜃
d𝑡 d𝑡
𝑣2
𝑂
𝑥
𝑎 = = 𝑅𝜔2
𝑛
𝑅（真题2017 年上· 高中）如图所示，半径为𝑅的刚性圆环轨道，水平固定在光滑的桌面上，一
物体贴着轨道内侧运动，物体与轨道间的滑动摩擦力系数为𝜇，设物体在某时刻经过𝐴点时的速率为
𝑣 ，求：
0
（1）此后𝑡时刻物体的速率。
（2）从A点开始在𝑡时间内的路程。【例】掷铁饼运动员手持铁饼转1.5圈后松手，此时铁饼的速度𝑣 = 25 𝑚/𝑠。该铁饼转动时
沿半径𝑅 = 1.0 𝑚的圆周运动并且均匀加速，则铁饼在此过程中的角加速度为（ ）𝑟𝑎𝑑/𝑠2 。
A.33.2
B.34.8
C.35.7
D.36.1八、牛顿第 二定律
牛顿第二定律：
运动的变化与所加的动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方向上。（《自然哲学的数
学原理》）
d𝒗 d2𝒓
表达式为：𝑭 = 𝑚𝒂 = 𝑚 = 𝑚
d𝑡 d𝑡2【例】（真题2017年下· 高中）一质量为𝑚的小球，从高出水面ℎ处的A点自由落下，如图
所示。已知小球在水中受到的黏滞阻力与小球的运动速率𝑣成正比(比例系数为𝑘)。设小球在水
中的浮力忽略不计,以小球恰好垂直落入水中时为计时起点(𝑡=0)。求小球在水中的运动速率𝑣与
时间𝑡的关系。第二节 力学基本定理与守恒律
一、动量定理
𝐹
（一）冲量
变力𝑭在𝑡 至𝑡这段时间内的冲量为
0
𝑡
𝑰 = න 𝑭d𝑡
𝑡
0
（二）动量
质量是𝑚、速度是𝒗的质点的动量𝒑为
𝑂 𝑡 d𝑡 𝑡 𝑡
0
𝒑 = 𝑚𝒗（三）质点的动量定理
1.微分形式
d𝒑 d 𝑚𝒗
𝐹 = =
d𝑡 d𝑡
2.积分形式
𝑡
𝑰 = න 𝑭d𝑡 = 𝑚𝒗 − 𝑚𝒗
0
𝑡
0二、功和功率
1．恒力的功
公式：𝐴 = 𝐹 ∙ ∆𝑟 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃∆𝑟
𝑟
式中，𝜃为恒力𝑭与位移∆𝒓的夹角。
2．变力的功
𝑏 𝑏 𝑏
公式：𝐴 = d𝐴 = 𝑭 ∙ d𝒓 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃d𝑠
𝑎 𝑎 𝑎
该公式表明质点从𝑎点移至𝑏点时，变力对质点所做的功等于𝑎𝑏段上所有元功的
和。其中，d𝐴是力𝑭在位移元d𝒓上做的元功；𝜃是𝑭与d𝒓之间的夹角；d𝑠为d𝒓相应
的路程元。
（二）功率
d𝐴 𝑭∙d𝒓
公式：𝑃 = = = 𝑭 ∙ 𝒗 = 𝐹𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃
d𝑡 d𝑡(真题2015年下·高中）一物体在几个力同时作用下运动，其位移为∆𝑟 = 8𝑖Ԧ − 2𝑗Ԧ + 4𝑘(SI),
其中一个分力为𝐹 = 6𝑖Ԧ + 4𝑗Ԧ − 𝑘(SI)，则该分力在此过程的功为（ ）。
A.36J B.48J C.56J D.60J
2024FENBI【例】传送机通过滑道将长为𝐿、质量为𝑚的柔软匀质物体以初速𝑣 向右送上水平台面，
0
物体前端在台面上滑动𝑠距离后停下来，已知滑道上的摩擦可忽略不计，物与台面间的摩
擦因数为𝜇，而且𝑠 > 𝐿，试计算物体的初速度𝑣
0三、动能定理
质量为𝑚的质点在合外力𝑭作用下，由𝑎点运动到𝑏点时，速率由𝑣 变化到𝑣，有
0
𝑏 𝑏 d𝑣 𝑏 d𝑠 𝑣 1 1
𝐴 = න d𝐴 = න 𝑚 ⋅ d𝑠 = න 𝑚 ⋅ d𝑣 = න 𝑚𝑣d𝑣 = 𝑚𝑣2 − 𝑚𝑣 2
0
d𝑡 d𝑡 2 2
𝑎 𝑎 𝑎 𝑣
0
合外力对物体作的功总等于物体动能的增量【例2】一链条，总长为𝑙，放在光滑的桌面上，其中一端下垂，长度为𝑎，如图所示，假定开
始时链条静止。求链条刚刚离开桌边时的速度。四、保守力与势能
（一）保守力与非保守力
1．保守力
（1）概念
力对物体做的功只与运动物体的始、末位置有关，与路径无关，这样的力称为保守力。
（2）保守力做功的特点
∮ 𝑭 ⋅ d𝒓 = 0
𝐿
∮ 表示沿闭合曲线积分，上式表明：质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所作的功为零。
𝐿2．非保守力
力对物体所做的功与物体的始、末位置和运动路径都有关，这样的力称为非保守力，如摩擦力。
（二）势能
保守力场中，物体空间位置的单值函数称为势能，用𝐸 表示。保守力的功等于势能增量的负值，
p
为
𝐴 = − 𝐸 − 𝐸 = −Δ𝐸
p𝑏 pa p
式中，𝐸 是末位置的势能，𝐸 是初位置的势能。
p𝑏 pa【例】有一保守力𝑭 = −𝐴𝑥 + 𝐵𝑥2 𝒊，沿𝑥轴作用于质点上，式中𝐴、𝐵为常量，取𝑥 = 0时
𝐸 = 0，则与此力相应的势能为（ ）。
p
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
A． 𝑥2 − 𝑥3 B． 𝑥2 − 𝑥3
2 3 3 2
𝐵 𝐴 𝐵 𝐴
C． 𝑥3 − 𝑥2 D． 𝑥3 − 𝑥2
3 2 2 3在 粉 笔 ，
遇 见 不 一 样 的 自 己 !
粉笔教师教育 粉笔教师
