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树德中学高 2021 级高三上学期期末测试数学（理科）试题 A．906 B．966 C．1506 D．1566
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
9. 若 展开式中最大的二项式系数为 ，则直线 与曲线 围成图形的面积为（
）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
A． B． C． D．
1．已知集合 ，则 （ ）
10. 已知函数 的部分图象
A． B． C． D．
如图所示，则下列说法正确的是（ ）
2. 在复平面内，复数z 1 ，z 2 对应的点分别是 ，则 的模是（ ） A. 在区间 上的最小值为
A． B．2 C． D．5
3. 已知圆锥的母线长为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ）
B. 为偶函数
A． B． C． D．
C. 图象 对称中心是 ，
的
4．下列叙述错误的是（ ）
A.命题“ ， ”的否定是“ ， ” D. 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象
B.若幂函数 在 上单调递增，则实数 的值为
11. 如图，已知正方体 的棱长为 为底面正方形 内
C. ，
（含边界）的一动点，则下列结论中:
π
D.设 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件 ①若点 Q 为 CC 1的中点，则 的最小值为 ；②过点P作与 AD 1和 BA 1都成 6 的直线，
5．平面直角坐标系内，与点 的距离为1且与圆 相切的直线有（ ）
可以作四条；③若点P为 BC 的中点时，过点 C 作与直线 D 1 P 垂直的平面α ，则平面α 截正方体
A．0条 B．4条 C．2条 D．3条
的截面周长为 ；④若点 到直线 与到直线 的距离相等， 的中
6. 小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次射中的概率为 ，记小明射击2次的
点为 ，则点 到直线 的最短距离是 .其中正确的命题有（ ）
得分为X，则 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
A． B． C． D． f (x)=¿ { x 2 ,x≤1¿¿¿¿
f (x)=m|x−1|
12. 已知函数 ，若方程 有5个不同的实数根，且最小的两个实
7. 双曲线 ： （ ， ）的一条渐近线过点 ， ， 是 的左右焦点，且
x ,x
x +x
2√6 数根为 1 2，则 1 2 2 2的取值范围是（ ）
焦点到渐近线的距离为 ，若双曲线上一点 满足 ，则 （ ）
2e−1 2e+1 1 2e+1 2e−1 2
A．3或7 B．7 C．5 D．3 (0, ) (0, ) ( , ) ( ， )
e2 e2 e e2 e2 e
A． B． C． D．
8． 某中学200名教师年龄分布图如图所示，从中随机抽取40名教师作样本，
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
采用系统抽样方法，按年龄从小到大编号为1~200，分为40组，分别为1~5，
6~10，…，196~200.若从第4组抽取的号码为18，则样本中40~50岁教师 13. 已知 ， ，则 在 方向上的投影等于 ．
的编号之和为（ ）
学科网（北京）股份有限公司14. 已知 满足约束条件 ，则 的取值范围为 ．
15 . 已知抛物线 的焦点F到准线的距离为4，点 ， 在抛物线C上，
（1）求二面角 的余弦值；
若 ，则 .
（2）线段 上是否存在点Q，使得 与平面 所成角的正弦值为 ?若存在，求出 的
16. 在 锐 角 三 角 形
ABC
中 ， 角
A、B、C
所 对 的 边 为
a、b、c
， 且
值；若不存在，请说明理由.
S
ΔABC
2bsinC−√2ccosC=2csinCcosA .若点 H为 ΔABC 的垂心，则 S ΔHBC的最小值为 20. （本小题满分12分）已知函数 ， .
．
（1）若函数 只有一个零点，求实数 的取值所构成的集合；
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
λ∈(0,e)
17. （本小题满分12分）某汽车销售店以8万元每辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得 （2）已知 ，若 ，函数 的最小值为 ，求 的值域.
出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，且每辆汽车的售价每提高 1千元
时，年销售量就减少2辆.
（1）若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆?
（2）该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品牌的汽车，若一
次性付款，其利润为2万元;若分2期或3期付款，其利润为2.5万元;若分4期或5期付款,其利润为
3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车情况进行了统计，统计结果如下表：
付款方式 一次性 分2期 分3期 分4期 分5期
频数 1 1 3 2 3
21. (本小题满分12分) 已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，
若X表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X的分布列和数学期望.
到直线 的距离为 ，且 .
（1）求椭圆 的标准方程；
M,N
（2）过 的直线m与椭圆 交于 两点，过 且与m垂直的直线n与圆O： 交于
18. (本题满分12分）已知数列 的前n项和为 ， ，且 ，数列 满足 ，
C，D两点，求 的取值范围.
，其中n∈N*．
（1）分别求数列 和 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 ．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
22. （10分）在直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）．以坐
19. （本小题满分12分）在梯形 中， ， ， ，P为 的
中点，线段 与 交于O点（如图1）.将 沿 折起到 位置，使得平面 平 标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
面 （如图2）.
（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 有2个公共点，求 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司23. （10分）已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司高2021级高三期末考试数学试题（理科）参考答案 平面 ，所以 ， ， 两两互相垂直，
一、1－5CAADD 6－10BBDAB 11－12CB 如图，以点 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
3+2√2
二、 13、 14、 15、4 16、
， ， ， ，
三、17、解：（Ⅰ）设销售价格提高了0.1x万元/辆，年利润为y万元．则由题意得年销售量为100-2x，
∴ y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x2+6x+200=-0.2(x-15)2+245．
设平面 的一个法向量为 ，则
故当x=15时，y取最大值．此时售价为10+0.1×15=11.5万元/辆．
∴ 当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．…………………………………4分
，即 ，令 ，则 ， ，
（Ⅱ）由图表可知，利润为2万元的有1辆，2.5万元的有4辆，3万元的有5辆．
设平面 的一个法向量为 ，则
∴ P(X=0)= ；P(X=0．5)= ；P(X=1)= ．
∴ X的分布列为： ，即 ，令 ，则 ， ， ，
X 0 0．5 1
，
P
所以二面角 的余弦值为 .
∴ X的数学期望E(X)= ×0+ ×0．5+ ×1= ．
（2）线段 上存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 .
∴ X的数学期望为 ．………………………………12分
设 ，因为 ， ，所以
18、（1）设等比数列 的公比为q，由 得： ，
所以 ，即 ，故q＝3， ，
当n＝1时， ，故 为等比数列，
设 与平面 所成角为 ，则 ，
故数列 的通项公式为 ；
由 得： ，故 ， ， ，……， ， ， 即 ， ，解得 ，
以上n-1个式子相乘得， ，故 ； 所以线段 上存在点 ，且 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 .
（2）由 ，结合（1）可得： ，
20、解：（1）当 时，显然不满足题意，
所以 ， ， 当 时，若函数 只有一个零点，即 只有一个根，因为1不是方程的根，所
两式相减得， ，
以可转化为 只有一个根，即直线 与函数 （ 且 ）的图象只有一个交
点.
所以 ，故 ．
，令 ，得 ，在 和 上， ，在
19、（1）因为在梯形 中， ， ， ， 为 的中点，所以，
上， ，所以 在和 上单调递减，在 上单调递增.
， ，所以 是正三角形，四边形 为菱形，可得 ， ，
在 时有极小值 ， 图象如图所示：
而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ， ；
由图可知：若要使直线 与函数 的图象只有一个交点，
③当直线m的斜率存在且不为0时，设 ，则
则 或 ，综上 的取值所构成的集合为 .
，点O到直线n的距离 ，圆的半径 ，
2）由题意知 ，
（
根据垂径定理可得，所以 .将 代入曲线E的方程 ，
[0,+∞)
令 得 所 在 上单调递增.
t(0)=−1<0,t(1)=eλ −1>0. x ∈(0,1), 整理得 ， 恒成立.
又 由零点的存在性定理知存在 0 使得
x∈(0,x ) f '(x)<0 f (x) x∈(x ，+∞) f '(x)>0 f (x)
所以当 0 时， ， 单调递减；当 0 时， ， 单调递
增. 设 ， ，由韦达定理可得， ， ，
lnx lnx
λ=− 0 0<− 0
