文档内容
秘密★启用前
资阳市高中 2021 级第二次诊断性考试
数学（文科）
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､座位号和准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.复数 ，则 （ ）
A.1 B. C.2 D.4
3.已知向量 ，则 （ ）
A.10 B.18 C. D.
4.已知命题 ，则 为（ ）
A. B.
C. D.
5.甲､乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：
下列说法正确的是（ ）
A.甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小B.甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小
C.甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小
D.甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大
6.执行如图所示的程序框图，若输入的 值为2023，则输出的 值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若 ， ，则 （
）
A.2 B. C. D.
8.已知 为双曲线 的左､右焦点，点 在 上，若 ，
的面积为 ，则 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
9.若直线 与曲线 相切，则 （ ）
A. B. C. D.10.函数 的图象经过点 ，将该函数的图象向右平移 个单位长
度后，所得函数图象关于原点对称，则 的最小值是（ ）
A. B. C.3 D.
11.在正方体 中，下列结论正确的是（ ）
A. 与 所成的角为 B. 与 所成的角为
C. 与 所成的角为 D. 与 所成的角为
12.已知 为坐标原点， 是椭圆 的左､右焦点， 分别为 的左､右顶点.
为 上一点，且 轴，直线 与 轴交于点 ，直线 与 交于点 ，直线 与 轴交
于点 .若 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数 为偶函数，则 ___________.
14.已知实数 满足 则 的最大值为___________.
15.在正四棱台 内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若 ，则该四棱台
的高是___________.
16.《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织24尺，且第七日所织尺数为前两日所
织尺数之积.则第十日所织尺数为？译为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量
的布，前4天织了24尺布，且第7天所织布尺数为第1天和第2天所织布尺数的积.问第10天织布尺数为
___________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生依据要求作答.
（一）必考题：共60分.17.（12分）
某工注重生产工艺创新，设计并试运行了甲､乙两条生产线.现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两
条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列
联表：
良 优 合计
甲生产 40 80 120
线
乙生产 80 100 180
线
合计 120 180 300
（1）通过计算判断，是否有 的把握认为产品质量与生产线有关系？
（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品.
若在这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率.
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
其中 .
18.（12分）
记 的内角 的对边分别为 ，若 为锐角三角形， ，__________，求 面
积的取值范围.
从① ；② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（12分）
已知 为坐标原点，过点 的动直线 与抛物线 相交于 两点.
（1）求 ；
（2）在平面直角坐标系 中，是否存在不同于点 的定点 ，使得 恒成立？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
20.（12分）
如图，在三棱柱 中，直线 平面 ，平面 平面 .（1）求证： ；
（2）若 ，在棱 上是否存在一点 ，使得四棱锥 的体积为 ？若存在，
指出点 的位置；若不存在，请说明理由.
21.（12分）
已知函数 .
（1）若 ，判断 在 上的单调性，并说明理由；
（2）当 ，探究 在 上的极值点个数.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，已知曲线 （其中 ），曲线 （ 为参数，
），曲线 （ 为参数， ）.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系.
（1）求 的极坐标方程；
（2）若曲线 与 分别交于 两点，求 面积的最大值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数 .
（1）解不等式 ；（2）令 的最小值为 ，正数 满足 ，证明： .
文科数学参考解答及评分参考
一､选择题
1.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计集合运算问题，主要考查一元二次不等式的解法，集合
的交集运算等基础知识；考查运算求解能力，数学运算素养.
【答案】B
【解析】由 ，所以
.
2.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计复数运算问题，主要考查复数的除法､加法运算，复数模
的概念等基础知识；考查运算求解能力.
【答案】C
【解析】由 ，
所以 .
3.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计平面向量运算问题，主要考查向量的加减法运算，数量
积运算等基础知识；考查运算求解能力，数学运算素养.【答案】A
【解析】 .
4.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，主要考查全称量词与存在量词的意义､含有一个量词的命题的
否定等基础知识；考查数学抽象等数学核心素养.
【答案】D
【解析】依题意，对有存在量词的命题 的否定为 .
5.【考查意图】本小题设置生活实践情境，主要考查直方图､统计量的含义等基础知识；考查统计与概率等数
学思想；考查直观想象､数学建模等数学核心素养.
【答案】C
【解析】依直方图可知，甲投中个数的平均数､中位数分别比乙投中个数的平均数､中位数大， 错误；甲
投中个数的标准差比乙投中个数的平标准差小，C正确；甲投中个数的极差比乙投中个数的极差小， 错误.
6.【考查意图】本小题设置数学应用情境，设计程序框图问题，主要考查对程序框图以及循环结构的理解和
应用等基础知识；考查读图能力和逻辑思维能力；考查逻辑推理素养.
【答案】D
【解析】运行程序，输入 ，则 ，满足 ，满足
，满足 ，不满足 ，故输出的 .
7.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计等差数列和等比数列问题，主要考查等差数列和等比数
列的性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力.
【答案】C
【解析】由 是等差数列， 得 ，所以 ，由
得 ，所以 ，
所以 .
8.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计求双曲线标准方程的问题，考查双曲线的定义，解三角形及
三角形面积等基础知识，考查化归与转化的数学思想，考查逻辑推理与数学运算等数学素养.
【答案】B
【解析】设 ，由 得 ，又因为
，所以 ，故 的面积为，即 ，故 的方程为 .
9.【考查意图】本小题设置有关切线的数学课程学习，考查导数的几何意义､导数的应用等基础知识，考查运
算求解､推理论证等能力；考查化归与转化等思想方法.
【答案】C
【解析】设 与曲线 相切于点 ，则切线方程为 ，即
，则 ，解得 .
10.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设置三角函数图象问题，主要考查三角函数图象及其性质等
基础知识；考查化归与转化能力､运算求解能力；考查数形结合思想，数学运算核心素养.
【答案】A
【解析】由 ，得 ，因为 ，所以 ，所以 ，将该函
数图象向右平移 个单位长度后所得函数图象对应的解析式为
.由已知得，函数 为
奇函数，所以 ，解得 ，又 ，所以 的最小值为 .
11.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计空间几何问题，主要考查正方体中直线与直线的位置关系､
线线角的计算等基础知识与基本技能；考查空间想象能力，考查化归与转化等思想，考查逻辑推理､直观想象
等数学素养.
【答案】A
【解析】如图，由正方体的性质，可得 为正三角形，
所以 为 与 所成的角，等于 选项正确；
同理 为 与 所成的角，等于 选项错误；
由 平面 ，则 ，B选项错误；由 ，为 与 所成的角，在Rt 中， ，
显然 选项错误.
12.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计与椭圆有关的综合问题，考查利用简单图形的几何性质求解
点的坐标，线段长度等基础知识，考查化归转化､数形结合等思想方法，考查直观想象､数学运算等数学素养.
【答案】B
【解析】设 ，由题知，不妨设
，又因为
，所以 即 ，则 .
二､填空题
13.【考查意图】本小题设置数学学科学习情境，考查函数的奇偶性等基础知识；考查化归与转化等数学思想；
考查逻辑推理等数学核心素养.
【答案】0
【解析】因为 为偶函数，所以 ，即 ，所以
恒成立，所以 .
14.【考查意图】本小题设置数学课程学习情景，主要考查线性规划问题；查数形结合思想；考查直观想象､
数学运算素养.
【答案】11
【解析】不等式组所表示的平面区域是由连接 所构成的三角形及内部区域，当
所表示的直线过点 时， 的值最大，其最大值为11.
15.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计多面体的内切球问题；主要考查正四棱台的底面与高､
斜高等基础知识；考查数形结合､化归与转化等思想方法；考查直观想象､逻辑推理､数学运算等数学素养.【答案】
【解析】如图，取球心 ､球与上下底面的切点 ，球与左､右侧面的切点 确定的截面 .易
得 ，故 ，
从而四棱台的高 .
16.【考查意图】本小题设置数学文化情境，设计数列应用问题，主要考查等差数列公差､数列通项公式等基
础知识；考查运算求解能力，阅读理解能力，推理论证能力；考查数学文化，逻辑推理素养，数学运算素养.
【答案】21
【解析】设每日所织尺数为正项等差数列 ，公差为 ，由已知得 即
解得 或 （不符合题意，舍去），所以 .
三､解答题
17.【考查意图】本小题设置生活实践情境，主要考查独立性检验的基本思想及其初步应用､概率等基础知识；
考查统计与概率等数学思想；考查数学运算､数据处理､数学建模等数学核心素养.
【解析】（1）由题， ，
因此，有 的把握认为产品质量与生产线有关系.
（2）记这6件产品中产自于甲生产线的有2件，记为 ，产自于乙生产线的有4件，记为 .
从这6件产品中随机抽取2件的所有基本事件有： ，
， ，共
15个.
其中，至少有一件产自于甲生产线的基本事件有9个.所以，抽取的2件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率为 即 .
18.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计结构不良问题，主要考查正弦定理，三角形面积公式，
锐角三角形等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，数学运
算素养，逻辑推理素养.
【解析】若选①，由正弦定理得 ，
所以 ，
，
所以
，
因为 为锐角三角形，所以 且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故锐角 面积的取值范围为 .若选②，由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故锐角 面积的取值范围为 .
19.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计直线与抛物线的综合问题，主要考查直线与抛物线的交点坐
标､抛物线的对称性等基础知识，考查特殊与一股､化归与转化等数学思想，考查类比推理及数学运算素养.
【解析】（1）由题知，直线 与 轴不垂直，
故可设直线 的方程为 .
由 得 .
显然， ，
于是 .
所以 .
（2）当直线 轴时， ，
故当 时，点 轴.当直线 与 轴不垂直时，由抛物线的对称性知，满足条件的点 轴，设 ，
由 得 ，
即 ，
整理得 ，即
，
所以 .
故 ，解得 .
综上，存在定点 满足条件.
20.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计柱体相关的综合问题，主要考查直线与平面垂直的判定
及性质，平面与平面垂直的性质，二面角的平面角的计算等基础知识与基本技能；考查数形结合､化归与转化
等思想方法，考查直观想象､逻辑推理､数学运算等数学素养.
【解析】（1）在平面 中作 于 ，
因为平面 平面 ，
且平面 平面 ，
所以 平面 ，从而 .
在三棱柱 中， 平面 平面 ，
所以 .
又因为 ，所以 平面 ，
因此 .（2）假设点 存在，在平面 中，
作 交 于 ，
则 ，因为 平面 ，故 平面 .
在平行四边形 中，因为 ，且 .
所以 .
所以 ，
所以 .
因 ，所以 .
故符合条件的点 存在，为 的中点.
21.【考查意图】本小题以幂函数､三角函数等通过四则运算构成的新函数为数学探究创新情境，主要考查函
数的图象和性质､导数､不等式等基础知识；考查化归与转化､分类与整合､数形结合等数学思想；考查数学抽
象､逻辑推理､数学运算､直观想象等数学核心素养.
【解析】（1）当 时， 在 上是单调递增函数，
理由如下：
思路1：依题意， ，当 时， ；
当 时， ，则 ，
故 时， ，
所以 在 上是单调递增函数.
思路2：依题意， ，
由于 ，则 为奇函数，故可先判断 在 上单调性.
当 时， ，此时 单调递增，
由于 为奇函数，所以 在 上是单调递增函数.
（2）由 ，得 ，
依题意，只需探究 在 上的零点个数即可.
令 ，则 ，
（i）当 ，即 时， ，此时 在 恒成立，
则 即 单调递增，故 ，
此时 在 上无零点，则 在 上的极值点个数为0.
（ii）当 ，即 时， ，使得 ，即 ，
可知 时， 时， ，
所以 即 在 上单调递增，在 上单调递减，由于 ，
①若 ，即 时， 在 上没有零点，
所以， 在 上的极值点个数为0.
②若 ，即 时， 在 上有1个零点，
所以， 在 上的极值点个数为1.
综上所述：当 时， 在 上的极值点个数为 时， 在 上的
极值点个数为1.
选考题
22.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计坐标系与参数方程的综合问题，考查直角坐标与极坐标的转
化，参数方程与普通方程的转化，直线与圆的交点，三角形的面积等基础知识，考查化归与转化，数形结合
的数学思想，考查逻辑推理与数学运算等数学素养.
【解析】（1）因为 ，
由 ，得 .
由 知， ，且 ，
故 .
（2）曲线 （ 为参数， ）的极坐标方程为 ，
又 ，
所以曲线 的极坐标方程为 .
联立曲线 与 的极坐标方程，得 ；
联立曲线 与 的极坐标方程，得 .
故 的面积为，
故当 时， 面积的最大值为1.
23.【考查意图】本小题以含有绝对值的函数为数学课程学习情景，考查函数的图象和性质，不等式的解法，
不等式的证明方法等基础知识；考查函数与方程､化归与转化等数学思想；考查逻辑推理､数学运算等数学核
心素养.
【解析】（1）当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，此时不成立，
综上所述，原不等式的解集为 .
（2）由题意，当 时， ；当 时， ；
当 时， ，则 的最小值为 .所以， ，
即 .
因为 ，
又 为正数，则当且仅当 时取等号，此时 ，
所以 ，即 .
