数学（九省联考●吉林卷）丨2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试卷及答案_2024届九省联考吉林卷2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试

年 月普通高等学校招生全国统一考试适应性
2024 1
测试（九省联考）数学试题
注意事项：
]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本
试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
x2 1
2．椭圆  y2 1(a 1)的离心率为 ，则a （ ）
a2 2
2 3
A． B． 2 C． 3 D．2
3
3．记等差数列 a 的前n项和为S ,a a 6,a 17，则S （ ）
n n 3 7 12 16
A．120 B．140 C．160 D．180
4．设,是两个平面，m,l 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若,m∥,l∥，则m  l B．若m,l ,m∥l，则∥
C．若m,l∥,l∥，则m∥l D．若m,l ,m∥l，则
5．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种

6．已知Q为直线l:x2y10上的动点，点P满足QP  1,3 ，记P的轨迹为E，则（ ）
A．E是一个半径为 5的圆 B．E是一条与l相交的直线
C．E上的点到l的距离均为 5 D．E是两条平行直线
3    1sin2
7．已知  , ,tan24tan  ，则 （ ）
 4   4 2cos2sin2
1 3 3
A． B． C．1 D．
4 4 2
学科网（北京）股份有限公司x2 y2
8．设双曲线C:  1(a 0,b0)的左、右焦点分别为F,F ，过坐标原点的直线与C交于A,B两点，
a2 b2 1 2
 
FB 2 FA,F AF B 4a2，则C的离心率为（ ）
1 1 2 2
A． 2 B．2 C． 5 D． 7
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
 3  3
9．已知函数 f  x sin2x  cos2x ，则（ ）
 4   4 
 
A．函数 f x 为偶函数 B．曲线 y  f  x 的对称轴为x k,kZ
 4
 
C． f  x 在区间 , 单调递增 D． f  x 的最小值为-2
 3 2 
10．已知复数z,w均不为0，则（ ）
z z2 z z
A．z2 |z|2 B．  C．zw  zw D． 
z |z|2 w w
1
11．已知函数 f  x 的定义域为R ，且 f   0，若 f  x y  f  x  f  y  4xy，则（ ）
2
 1 1
A． f    0 B． f   2
 2 2
 1  1
C．函数 f x 是偶函数 D．函数 f x 是减函数
 2  2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共15分．
12．已知集合A2,0,2,4  ,B  x x3 m  ，若AB A，则m 的最小值为__________．
13．已知轴截面为正三角形的圆锥MM的高与球O的直径相等，则圆锥MM的体积与球O的体积的比值是
__________，圆锥MM的衣而积与球O的表面积的比值是__________．
14 ． 以 maxM 表 示 数 集 M 中 最 大 的 数 ． 设 0 a  b c 1 ， 已 知 b  2a 或 a b 1 ， 则
max  ba,cb,1c 的最小值为__________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数 f  x lnx x2 ax2在点  2, f  2  处的切线与直线2x3y 0垂直．
（1）求a；
学科网（北京）股份有限公司（2）求 f  x 的单调区间和极值．
16．（15分）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
（2）记取出的3个小球上的最小数字为X ，求X 的分布列及数学期望E  X ．
17．（15分）如图，平行六面体ABCD ABC D 中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC 与BD的
1 1 1 1
交点，AA 2,CCB CCD,CCO 45 ．
1 1 1 1
（1）证明：CO 平面ABCD；
1
（2）求二面角B AA D的正弦值．
1
18．（17分）已知抛物线C: y2 4x 的焦点为F ，过F 的直线l交C于A,B两点，过F 与l垂直的直线交C
于D,E两点，其中B,D在x轴上方，M,N 分别为AB,DE的中点．
（1）证明：直线MN 过定点；
（2）设G 为直线AE与直线BD的交点，求GMN 面积的最小值．
19．（17分）离散对数在密码学中有重要的应用．设 p是素数，集合X  1,2,,p1 ，若u,vX,mN，
记uv 为uv 除以 p 的余数，um,为um 除以 p 的余数；设aX ，1,a,a2,,,ap2, 两两不同，若
an, b  n 0,1,,p2  ，则称n 是以a为底b 的离散对数，记为n log(p) b．
a
（1）若 p11,a 2，求ap1,；
（2）对m ,m  0,1,,p2 ，记m m 为m m 除以 p1的余数（当m m 能被 p1整除时，
1 2 1 2 1 2 1 2
m m  0）．证明：log(p)  bc  log(p) blog(p) c，其中b,cX ；
1 2 a a a
（3）已知n log(p) b．对xX,k 1,2,,p2 ，令 y ak,,y  xbk,．证明：x  y  ynp2,．
a 1 2 2 1
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