数学（九省联考●吉林卷）丨2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试卷及答案_2024届九省联考吉林卷2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试

年 月普通高等学校招生全国统一考试适应性 2024 1 测试（九省联考）数学试题 注意事项： ]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本 试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ） A．14 B．16 C．18 D．20 x2 1 2．椭圆  y2 1(a 1)的离心率为 ，则a （ ） a2 2 2 3 A． B． 2 C． 3 D．2 3 3．记等差数列 a 的前n项和为S ,a a 6,a 17，则S （ ） n n 3 7 12 16 A．120 B．140 C．160 D．180 4．设,是两个平面，m,l 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A．若,m∥,l∥，则m  l B．若m,l ,m∥l，则∥ C．若m,l∥,l∥，则m∥l D．若m,l ,m∥l，则 5．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ） A．20种 B．16种 C．12种 D．8种  6．已知Q为直线l:x2y10上的动点，点P满足QP  1,3 ，记P的轨迹为E，则（ ） A．E是一个半径为 5的圆 B．E是一条与l相交的直线 C．E上的点到l的距离均为 5 D．E是两条平行直线 3    1sin2 7．已知  , ,tan24tan  ，则 （ ）  4   4 2cos2sin2 1 3 3 A． B． C．1 D． 4 4 2 学科网（北京）股份有限公司x2 y2 8．设双曲线C:  1(a 0,b0)的左、右焦点分别为F,F ，过坐标原点的直线与C交于A,B两点， a2 b2 1 2   FB 2 FA,F AF B 4a2，则C的离心率为（ ） 1 1 2 2 A． 2 B．2 C． 5 D． 7 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．  3  3 9．已知函数 f  x sin2x  cos2x ，则（ ）  4   4    A．函数 f x 为偶函数 B．曲线 y  f  x 的对称轴为x k,kZ  4   C． f  x 在区间 , 单调递增 D． f  x 的最小值为-2  3 2  10．已知复数z,w均不为0，则（ ） z z2 z z A．z2 |z|2 B．  C．zw  zw D．  z |z|2 w w 1 11．已知函数 f  x 的定义域为R ，且 f   0，若 f  x y  f  x  f  y  4xy，则（ ） 2  1 1 A． f    0 B． f   2  2 2  1  1 C．函数 f x 是偶函数 D．函数 f x 是减函数  2  2 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共15分． 12．已知集合A2,0,2,4  ,B  x x3 m  ，若AB A，则m 的最小值为__________． 13．已知轴截面为正三角形的圆锥MM的高与球O的直径相等，则圆锥MM的体积与球O的体积的比值是 __________，圆锥MM的衣而积与球O的表面积的比值是__________． 14 ． 以 maxM 表 示 数 集 M 中 最 大 的 数 ． 设 0 a  b c 1 ， 已 知 b  2a 或 a b 1 ， 则 max  ba,cb,1c 的最小值为__________． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数 f  x lnx x2 ax2在点  2, f  2  处的切线与直线2x3y 0垂直． （1）求a； 学科网（北京）股份有限公司（2）求 f  x 的单调区间和极值． 16．（15分）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球． （1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； （2）记取出的3个小球上的最小数字为X ，求X 的分布列及数学期望E  X ． 17．（15分）如图，平行六面体ABCD ABC D 中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC 与BD的 1 1 1 1 交点，AA 2,CCB CCD,CCO 45 ． 1 1 1 1 （1）证明：CO 平面ABCD； 1 （2）求二面角B AA D的正弦值． 1 18．（17分）已知抛物线C: y2 4x 的焦点为F ，过F 的直线l交C于A,B两点，过F 与l垂直的直线交C 于D,E两点，其中B,D在x轴上方，M,N 分别为AB,DE的中点． （1）证明：直线MN 过定点； （2）设G 为直线AE与直线BD的交点，求GMN 面积的最小值． 19．（17分）离散对数在密码学中有重要的应用．设 p是素数，集合X  1,2,,p1 ，若u,vX,mN， 记uv 为uv 除以 p 的余数，um,为um 除以 p 的余数；设aX ，1,a,a2,,,ap2, 两两不同，若 an, b  n 0,1,,p2  ，则称n 是以a为底b 的离散对数，记为n log(p) b． a （1）若 p11,a 2，求ap1,； （2）对m ,m  0,1,,p2 ，记m m 为m m 除以 p1的余数（当m m 能被 p1整除时， 1 2 1 2 1 2 1 2 m m  0）．证明：log(p)  bc  log(p) blog(p) c，其中b,cX ； 1 2 a a a （3）已知n log(p) b．对xX,k 1,2,,p2 ，令 y ak,,y  xbk,．证明：x  y  ynp2,． a 1 2 2 1 学科网（北京）股份有限公司