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2024-2025 学年陕西省安康市汉滨区七校联考高二（下）期末数学试
卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列 中， 则 的值为( )
{a } a =2,a =a +n(n∈N* ) a
n 1 n+1 n 4
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2. 的展开式中， 的系数为( )
(1-2x) 5 x3
A. 40 B. -40 C. 80 D. -80
ex
3.函数f(x)= 的单调递减区间为( )
x-3
A. (-∞,3) B. (-∞,4) C. (-∞,3)和(3,4) D. (-∞,3)和(3,5)
4.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷4次，记X为“朝上的点数不大于3”出现的次数，则随机变量X的方差
D(X)=( )
1 1
A. 2 B. 1 C. D.
2 4
5.已知数列{a }是等差数列，其前n项和为S ，若a +a >0，S <0，则数列{S }中最小的项是( )
n n 3 10 11 n
A. S B. S C. S D. S
4 5 6 7
2 4 15
6.已知P(A)= ，P(B)= ，P(B|A)= ，则P(A|B)=( )
5 11 22
1 5 3 44
A. B. C. D.
2 11 4 75
7.已知函数 在 处取得极小值，则实数 的取值范围为( )
f(x)=(x-a2 )(x-1) 2 x=1 a
A. -11 C. -11) D. P(X≤-2)+P(Y≥2)=1
11.烟花三月，莺飞草长，美丽的樱花开满园.将樱花抽象并按照一定的规律循环出如图：图①将樱花抽象
后，得樱花数a =1，图②以樱花五片花瓣为蕊作五个缩小版樱花，得樱花数a =6，以此类推.假设第n个
1 2
图的樱花数是a ，设数列{a }的前n项和为S ，则下列说法正确的是( )
n n n
A. a =6a
n n-1
5n+1-5 n
B. S = -
n 16 4
S
C. 数列{ n }是递增数列
n
D. 数列 5n 的前 项和为 4
{ } n 1-
a a 5n+1-1
n n+1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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2 312.已知等比数列{a }的公比为q，若a +a =3，a -a =9，则q= ______．
n 3 4 3 5
13.已知函数 ，若曲线 在 处的切线与直线 相互垂直，则
f(x)=x2+lnx-ax y=f(x) x=1 x+4 y-1=0 a=
______．
14.在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡
丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区
域的花不同，则不同的种植方法有 种.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
m
已知(x+ ) n的展开式的二项式系数和为128．
x
(Ⅰ)求n的值；
(Ⅱ)若展开式的第4项的系数为-280，求实数m的值．
16.(本小题15分)
某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自
由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下(单位：个)：
学
企业自由开发者
校
有需求3m 170 2n
无需求m 120 n
已知调查了400个学校和150个自由开发者．
(Ⅰ)求m和n的值；
(Ⅱ)估计目标用户对该设备有需求的概率；
(Ⅲ)是否有99%的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？附：
n(ad-bc) 2 ．
χ2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(χ2≥k0).1 0.01 0.001
k 2.7066.63510.828
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3 317.(本小题15分)
已知等差数列{a }的前n项和为S ，数列{b }为等比数列，且满足b =3a =3，b =S +6，b =S +21．
n n n 1 1 2 2 3 3
(1)求{a }和{b }的通项公式；
n n
1
(2)设c =b + ，求数列{c }的前n项和T ．
n n S n n
n
18.(本小题17分)
已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号
球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．
(1)从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量X为1号球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，
摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次
摸到的是3号球的概率．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R)．
(1)当a=1时，求f(x)的最小值；
(2)求函数g(x)=f(x)-(x-1)lnx的极值；
(3)当a=2时，不等式k(x-1)6.635，
400×440×570×270 627
根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H 不成立，
0
所以有99%的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异．
17.(1)已知等差数列{a }的前n项和为S ，数列{b }为等比数列，且满足b =3a =3，b =S +6，
n n n 1 1 2 2
b =S +21，
3 3
设等差数列{a }的公差为d，数列{b }的等比为q，
n n
则 ， ， ， ，
a =1 b =3 b q=2a +d+6 b q2=3a +3d+21
1 1 1 1 1 1
即3q-d=8且q2-d=8，
解得d=1，q=3，
所以 和 的通项公式分别为 ， ．
{a } {b } a =n b =3n
n n n n
n(1+n)
(2)由(1)得S = ，
n 2
1 2 1 1
则 = =2( - )，
S n(1+n) n n+1
n
1 1
则c =3n+2( - )，
n n n+1
1 1 1 1 1
3(1-3n
) 1
因此T =(3+32+⋯+3n )+2(1- + - +⋯+ - )= +2(1- )，
n 2 2 3 n n+1 1-3 n+1
1 3n+1 2
所以T = + - ．
n 2 2 n+1
18.(1)从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量X为1号球的个数，
由题意可知：随机变量X的可能取值为0，1，2，则有：
P(X=0)=
C
2
0C
2
2
=
1
,P(X=1)=
C1
2
C1
2=
4
=
2
,P(X=2)=
C
2
2C
2
0
=
1，
C2 6 C2 6 3 C2 6
4 4 4
可得随机变量X的分布列为：
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6 3X0 1 2
1 2 1
P
6 3 6
1 2 1
所以随机变量X的期望E(X)=0× +1× +2× =1；
6 3 6
(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，
若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；
第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球，
记第一次从甲袋中随机摸出1个球，摸出的是1、2、3号球分别为事件A ，A ，A ，
1 2 3
第二次摸到的是3号球为事件B，
2 1 1 1 2
则P(A )= ,P(A )=P(A )= ,P(B|A )= ,P(B|A )= ,P(B|A )= ，
1 4 2 3 4 1 4 2 4 3 7
2 1 1 1 1 2 29
所以P(B)=P(A )P(B|A )+P(A )P(B|A )+P(A )P(B|A )= × + × + × = ．
1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 4 7 112
19.(1)当a=1时，f(x)=x+xlnx，定义域为(0,+∞)，
则f '(x)=lnx+2，
令f '(x)=0，得x=e-2，
当 时， ， 单调递减，
x∈(0,e-2 ) f '(x)<0 f(x)
当 时， ， 单调递增，
x∈(e-2,+∞) f '(x)>0 f(x)
当 时，函数 取得最小值，即 ，
∴ x=e-2 f(x) f(e-2 )=e-2+e-2lne-2=e-2-2e-2=-e-2
∴当a=1时，f(x)的最小值为-e-2，此时x=e-2．
(2)由题意得，g(x)=f(x)-(x-1)lnx=ax+xlnx-(x-1)lnx=ax+lnx，其定义域为(0,+∞)，
1
则g'(x)=a+ ，
x
1
①当a≥0时，g'(x)=a+ >0恒成立，∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，
x
∴g(x)不存在极值；
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7 31 1
②当a<0时，令g'(x)=a+ =0，解得x=- ，
x a
1
∴当x∈(0,- )时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
a
1
当x∈(- ,+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
a
1 1 1 1 1
∴当x=- 时，g(x)存在极大值g(- )=a(- )+ln(- )=ln(- )-1，无极小值；
a a a a a
综上所述，当a≥0时，函数g(x)不存在极值；
1 1
当a<0时，函数g(x)存在极大值ln(- )-1，此时x=- ，不存在极小值．
a a
(3)由题意知，当a=2时，不等式k(x-1)0恒成立，则t(x)在(1,+∞)上单调递增，
x
又t(4)=1-ln4<0，t(5)=2-ln5>0，
，使 ，即 ，
∴∃x ∈(4,5) t(x )=0 h'(x )=0
0 0 0
当x∈(1,x )，t(x)<0，即h'(x)<0，
0
当x∈(x ,+∞)，t(x)>0，即h'(x)>0，
0
即h(x)在(1,x )上单调递减，在(x ,+∞)上单调递增，
0 0
当x=x ，h(x)存在最小值，即h(x )，
0 0
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8 3由t(x )=x -lnx -3=0，得lnx =x -3，
0 0 0 0 0
2x +x lnx 2x +x (x -3) x2-x ，
h(x )= 0 0 0= 0 0 0 = 0 0=x
0 x -1 x -1 x -1 0
0 0 0
∴k
