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高二数学试题答案
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B C A D B A
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多
项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.答案:BCD 10.答案:AB 11.答案:AC
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.答案:√35 13.答案:(-3,0)∪(0,+∞) 14.答案:60
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
解 (1)证明:因为四边形ABC D 是菱形,所以AC ⊥BD 。又BB⊥平面ABC D,AC 平
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
面 ABC D,所以 BB⊥AC 。因为 BD∩BB=B,BD,BB 平面 BDD B,所以 AC ⊥平面
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⊂
BDD
1
B
1
。因为A
1
C
1
平面A
1
C
1
B,所以平面A
1
C
1
B⊥平面BDD
⊂1
B
1
。
⊂
(2)连接AC,设菱形对角线交点分别为O,O,连接OO ,依题意可知,OO ⊥平面ABCD,以O为原
1 1 1
点,OC,OD,OO 所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系。因为
1
AA=2√3,AB=AC=2,所以BO=√3=DO,所以B(0,-√3,0),A(-1,0,2√3),C (1,0,2√3),D(0,√3,0),所以
1 1 1
=(1, ,2 ), =(-1, ,2 ), =(-1, ,-2 ),设平面 AC B 的法向量为 n=(x,y,z),
⃗BC √3 √3 ⃗BA √3 √3 ⃗C D √3 √3 1 1
1 1 1
{n·⃗BC =0, { x+√3 y+2√3z=0,
则 1 所以 取n=(0,2,-1),设直线DC 1 与平面A 1 C 1 B的夹角
n·⃗BA =0, −x+√3 y+2√3z=0,
1
为θ,则sin θ=|cos< ⃗C D ,n>|= |⃗C 1 D·n| = 2×√3+1×2√3 = √15,所以直线DC 1 与平面
1 |⃗C D||n| 4×√5 5
1
√15
AC B所成角的正弦值为 。
1 1
516.（本小题满分15分）
解 (1)证明:因为 b 是数列{S}的前 n 项积,所以当 n≥2 时,S= b ,代入 2 1 =2,可得
n n n n +
b S b
n−1 n n
2b
n−1+
1 =2,整理可得2b
n-1
+1=2b
n
,即b
n
-b
n-1
=1(n≥2)。又 2
+
1
=
3 =2,所以b
1
=3,故{b
n
}是
b b 2 S b b 2
n n 1 1 1
3 1
以 为首项, 为公差的等差数列。
2 2
3 1 n+2 2 2 n+2 3
(2)由(1)可知,b= + (n-1)= ,则 + =2,所以S= ,当n=1时,a=S= ,当n≥2时,
n 2 2 2 S n+2 n n+1 1 1 2
n
3
{ ,n=1,
a=S-S =n+2 n+1 1 。又a=3不满足上式,故a= 2
n n n-1 − =− 1 n
n+1 n n(n+1) 2 1
− ,n≥2。
n(n+1)
17.（本小题满分15分）
1 (2x−1)(x+1) 1
解 (1)当a=1时,f(x)=x2+x-ln x,x>0,得f'(x)=2x+1- = ,令f'(x)>0,解得x> ,令
x x 2
f'(x)<0,解得00,g(x)在
0, 0, ,e
a a a a
(1
,e
)上单调递增,所以g(x)
min
=g(1)=1+ln a=3,解得a=e2满足条件。
a a
1 4
③当 ≥e时,x∈(0,e)时,g'(x)<0,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x) =g(e)=ae-1=3,解得a= ,不合题意,
min
a e
舍去。综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时,g(x)有最小值3。18.（本小题满分16分）
解 (1)由题知,员工甲本年度考核合格必须通过B项测试,且A,C两项测试中至少有一项通过,
故其考核合格的概率为3 ( 1 1) 29。
× 1− × =
4 5 6 40
(2)员工甲欲从A,B,C,D四项测试中选择三项参加的方案共分为如下 4类:A,C,D方案;A,B,D方
案;B,C,D方案;A,B,C方案。①若选择A,C,D三项测试,则必须通过D项测试,且A,C两项测试
中至少有一项通过,故员工甲考核合格的概率为1 ( 1 1) 29 3,所以此方案不符合
× 1− × = <
2 5 6 60 4
要求。②若选择A,B,D三项测试,则需任意两项测试通过或三项测试均通过,故员工甲考核合
格的概率为1 ( 1 1) ( 1) 4 3 31 3,所以此方案符合要求。③若选择
× 1− × + 1− × × = >
2 5 4 2 5 4 40 4
B,C,D三项测试,则需任意两项测试通过或三项测试均通过,故员工甲考核合格的概率为
1 ( 1 1) ( 1) 3 5 19 3,所以此方案符合要求。④若选择A,B,C三项测
× 1− × + 1− × × = >
2 4 6 2 4 6 24 4
29 3
试,结合(1)可知 < ,所以此方案不符合要求。综上可得,满足条件的方案为A,B,D方案和
40 4
B,C,D方案。
19.（本小题满分16分）
解 (1)更适宜的回归方程类型为②y=dcx+25。
(2)由y=dcx+25,可得y-25=dcx,对等式两边取自然对数,得ln(y-25)=ln d+xln c,令w=ln(y-25),则
1 7 7
w=ln d+xln c,计算,得x= ∑❑x=3,∑❑(x −x) 2 =28,结合题表中数据,可得 ln c=
7 i i
i=1 i=1
7
∑❑(x −x)(w −w)
i i
−2.24
i=1 = =-0.08,结合参考数据可得c=e-0.08≈0.92,由ln d=w−x·ln c,
7 28
∑❑(x −x) 2
i
i=1
得ln d=4.09,结合参考数据可得d=e4.09≈60,所以该茶水温度y关于时间x的经验回归方程为^y
=60×0.92x+25。
(3)因为在 25 ℃室温下,茶水温度降至 60 ℃口感最佳,所以由 60=60×0.92x+25,得 0.92x=
60−25 7 7
= ,对等式两边取自然对数,得 x·ln 0.92=ln =ln 7-2ln 2-ln 3≈-0.6,则 x≈
60 12 12
−0.6 −0.6
= =7.5,所以在相同条件下,刚泡好的茶水大约需要放置7.5 min才能达到最
ln e−0.08 −0.08
佳饮用口感。
