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高二数学试题答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B C A B A D
二、选择题：
9.答案：ABD 10.答案：AC 11.答案：BD
三、填空题：
3
12.答案： 13.答案：0 14.答案：0.88
5
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
解 (1)当截距均为0,即直线过原点时,设直线l的方程为y=kx,代入P(1,2),解得k=2,故直线l
x y
的方程为2x-y=0;当截距均不为0时,设直线l的方程为 + =1,代入P(1,2),解得a=-1,故直
a −a
线l的方程为x-y+1=0。综上所述,所求直线l的方程为2x-y=0或x-y+1=0。
(2)解法一:设A(x,y),满足x2+y2-6y=0,设s= · =x+2y。由{x2+ y2−6 y=0,
⃗OA ⃗OP
s=x+2y,
得5y2-2(2s+3)y+s2=0,Δ=4(2s+3)2-20s2≥0,即s2-12s-9≤0,解得6-3❑√5≤s≤6+3❑√5。
所以⃗OA·⃗OP的取值范围为[6-3❑√5,6+3❑√5]。
16.（本小题满分15分）
1 p p
解 (1)因为⃗BF=2⃗FA,所以|AF|= |AB|=3,由⃗BF=2⃗FA,x =- ,x = ,可得x =p,由抛物线的定
B F A
3 2 2
p
义可知,|AF|=p+ =3,解得p=2。则C的方程为y2=4x。
2
(2)因为E(x,-2)在抛物线C上,所以x=1,设直线MN的方程为x=ty+n,M(x,y),N(x,y),
0 0 1 1 2 2
y +2 y +2 4
将x=ty+n代入y2=4x,得y2-4ty-4n=0,则y+y=4t,yy=-4n,k = 1 = 1 = ,
1 2 1 2 EM x −1 y2 y −2
1 1−1 1
4
同 理 k = 4 ,k +k = 4 4 4(y + y )−16 16t−16 =1, 整 理
EN EM EN + = 1 2 =
y −2 y −2 y −2 y y −2(y + y )+4 −4n−8t+4
2 1 2 1 2 1 2
得,n=-6t+5,则直线MN的方程为x=ty-6t+5,所以直线MN过定点T(5,6)。当ET⊥MN时,点E
到直线MN的距离最大,且最大距离为|ET|= ,经检验符合题意。
❑√(5−1) 2+(6+2) 2=4❑√5
17.（本小题满分15分）
解 (1)由S =S+4a-3,得S -S=4a-3。所以a =4a-3,则a -1=4(a-1),又a-1=2-1=1,
n+1 n n n+1 n n n+1 n n+1 n 1
所以数列{a-1}是以1为首项,4为公比的等比数列,所以a-1=4n-1=22n-2(n∈N*)。
n n因为b=log (a-1)+3,所以b=log 22n-2+3=2n+1(n∈N*)。
n 2 n n 2
(2)证明:因为c
n
=(-1)n+1· b
n
+1 ,所以c
n
=(-1)n+1· 2n+2 =(-1)n+1·1( 1
+
1 ),
b b (2n+1)(2n+3) 2 2n+1 2n+3
n n+1
所以T n =c 1 +c 2 +c 3 +…+c n =1[(1 + 1) − (1 + 1) + (1 + 1) −…+(−1) n+1· ( 1 + 1 )] ,
2 3 5 5 7 7 9 2n+1 2n+3
当n为奇数时,T n =1(1 + 1 ) > 1 > 2 。当n为偶数时,T n =1(1 − 1 ),因为T n 递增,
2 3 2n+3 6 21 2 3 2n+3
所以T
n
≥T
2
=1
×
(1
−
1)
=
2 。综上,T
n
≥ 2 。
2 3 7 21 21
18.（本小题满分16分）
1 1−ax
解 (1)由已知得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= −a= (x>0),当a≤0时,f'(x)>0恒成立,
x x
f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,x∈( 1)时,f'(x)>0,f(x)
0,
a
在( 1)上单调递增,x∈(1 )时,f'(x)<0,f(x)在(1 )上单调递减。
0, ,+∞ ,+∞
a a a
综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在( 1)上单调递增,在(1 )上单调
0, ,+∞
a a
递减。
(2)由(1)知a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无最大值,
当a>0时,f(x)
max
=f(1)=-ln a-1,即M=-ln a-1,由M≤-a,得-ln a-1≤-a,即a-ln a-1≤0。
a
1 a−1
令g(a)=a-ln a-1(a>0),则g'(a)=1- = ,当a∈(0,1)时,g'(a)<0,g(a)在(0,1)上单调递减;
a a
当a∈(1,+∞)时,g'(a)>0,g(a)在(1,+∞)上单调递增。所以g(a) =g(1)=0,即g(a)=a-ln a-1≥0,
min
所以a-ln a-1=0,故a=1。
19.（本小题满分16分）
解 (1)从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教,包含的样本点个数为 ,
C3
10
设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,
事件A包含的样本点个数为 ,则选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率
C1C2+C0C3
3 7 3 7为P(A)= C1
3
C
7
2+C
3
0C
7
3
=
49。
C3 60
10
(2)随机变量X的所有可能取值
为0,1,2,3,P(X=0)= C0 4 C 6 3 = 1,P(X=1)= C1 4 C 6 2 = 1,P(X=2)= C2 4 C1 6= 3 ,P(X=3)= C3 4 C 6 0 = 1 ,
C3 6 C3 2 C3 10 C3 30
10 10 10 10
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
1 1 3 1
P
6 2 10 30
E(X)=0×1 1 3 1 6 ( 4 6) 。
+1× +2× +3× = 。或E(X)= ×3=
6 2 10 30 5 10 5
