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2023-2024 学年度第一学期教学质量检查
高三数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1. 已知复数 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法可化简复数 .
【详解】 .
故选：A.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据并集和补集的定义即可得出答案.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
3. 已知由小到大排列的 个数据 、 、 、 ，若这 个数据的极差是它们中位数的 倍，则这 个数据
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学科网（北京）股份有限公司的第 百分位数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出这四个数的极差与中位数，根据已知条件求出 的值，然后利用百分位数的定义可求得结果.
【详解】由小到大排列的 个数据 、 、 、 ，则 ，
这四个数为极差为 ，中位数为 ，
的
因为这 个数据 极差是它们中位数的 倍，则 ，解得 ，
所以，这四个数由小到大依次为 、 、 、 ，
因为 ，故这 个数据的第 百分位数是 .
故选：B.
4. 函数 的图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】分 ， 和 三种情况讨论，结合函数的单调性及函数的零点即可得出答案.
【详解】①当 时， ，此时A选项符合；
②当 时， ，
当 时， ，
因为函数 在 上都是减函数，
所以函数 在在 上是减函数，
如图，作出函数 在 上的图象，
由图可知，函数 的图象在 上有一个交点，
即函数 在在 上有一个零点，
当 时， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，由 ，得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，故B选项符合；
③当 时， ，
当 时， ，
因为函数 在 上都是减函数，
所以函数 在 上是减函数，
如图，作出函数 在 上的图象，
由图可知，函数 的图象在 上有一个交点，
即函数 在在 上有一个零点，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，则 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，故C选项符合，D选项不可能.
故选：D.
5. 在等比数列 中， ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出公比后整体求值即可.
【详解】设首项为 ，公比为 ，易知 ， ，可得
，解得 ，
而 ，
故选：C
6. 已知 ，则 的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两角和的正切公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算即可得.
【详解】 ，即 ，
由 ，
故选：A.
7. 以抛物线C的顶点O为圆心的单位圆与C的一个交点记为点A，与C的准线的一个交点记为点B，当点
A，B在抛物线C的对称轴的同侧时，OA⊥OB，则抛物线C的焦点到准线的距离为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出辅助线，得到三角形全等，故 ，从而求出 ，根据勾股定理列出
方程，求出 ，得到答案.
【详解】设抛物线方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司由题意得 ， ，
过点 作 ⊥ 轴于点 ，
因为OA⊥OB，所以 ，
又 ，所以 ，
则 ≌ ，
故 ，
令 得， ，解得 ，
故 ，由勾股定理得 ，
解得 ，
故抛物线C的焦点到准线的距离为 .
故选：D
8. 如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．
已知每个直三棱柱的体积为 ，每个四棱锥的体积为 ，则该正四棱台的体积为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设每个直三棱柱高为 ，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为 ，设正四
棱台的高为 ，可得出 ，求出 的值，即可求得该正四棱台的体积.
【详解】设每个直三棱柱高为 ，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为 ，
设正四棱台的高为 ，因为每个直三棱柱的体积为 ，每个四棱锥的体积为 ，
则 ，可得 ，可得 ，
所以，该正四棱台的体积为 .
故选：C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选
项在答题卡中的相应位置涂黑．
9. 已知函数 ， ， 是 的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 与 对称轴相同 B. 与 周期相同
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学科网（北京）股份有限公司C. 的最大值是 D. 不可能是奇函数
【答案】BC
【解析】
【分析】求导得出 ，利用三角函数性质直接判断AB；结合二倍角公式判断C；结合二倍角公式及正
弦函数性质判断D
【详解】由题意知 ，所以 ，
对A： 的对称轴为 ， ，解得 ， ；
的对称轴为 ， ，解得 ， ，
所以 与 的对称轴不相同，故A错误；
对B： 的周期为 ， 的周期为 ，
所以 与 的周期相同，故B正确；
对C： ，
因为 ，所以 ，故C正确；
对D：当 ， ， ，
所以 ，此时 为奇函数，故D错误；
故选：BC.
10. 已知圆 ： ，圆 ： ，P，Q分别是 ， 上的动点，则下列结论
正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 当 时，四边形 的面积可能为7
B. 当 时，四边形 的面积可能为8
C. 当直线PQ与 和 都相切时， 的长可能为
D. 当直线PQ与 和 都相切时， 的长可能为4
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于AB：设 ，可得梯形 的面积为 ，进而分析判断；对于
CD：根据切线性质结合对称性分析求解.
【详解】圆 ： 的圆心 ，半径 ；
圆 ： 的圆心 ，半径 ；
可知 ，可知两圆外离，
对于选项AB：设 ，
因为 ，可知梯形 的高为 ，
所以四边形 的面积为 ，
可知四边形 的面积可能为7，不可能为8，故A正确，B错误；
对于选项CD：设直线 与x轴的交点为 ，根据对称性可知：
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学科网（北京）股份有限公司如图，因为 ，可知 ，
则 ，可知 ，
所以 ；
如图，因为 ，可知 ，
则 ，可知 ，
所以 ；
故CD正确；
故选：ACD.
11. 已知函数 ， 的定义域均为R，且 ， ．若 是
的对称轴，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数 B. 是 的对称中心
C. 2是 的周期 D.
【答案】BD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据对称性和已知条件得到 ，判断A；结合已知条件变形得到
，判断B；利用赋值法求得 ，判断C；根据条件得到的 周期
为4，对称中心为 ，从而得到函数值即可求解，判断D.
【详解】对于A，因为 是 的对称轴，所以 ，
又因为 ，所以 ，故 ，
即 为偶函数，故A错误；
对于B，因为 ，所以 ，
又因为 ，联立得 ，
所以 的图像关于点 中心对称，故B正确；
对于C，因为 ， ，则 ，即 ；
因为 ，则 ，即 ，则 ；
显然 ，所以2不是 的周期，故C错误；
对于D，因为 是 的对称轴，所以 ，
又因为 ，即 ，
则 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 周期为4，
因为 周期为4，对称中心为 ，所以 ，
当 时，代入 ，即 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，又 是 的对称轴，所以 ，
所以 ，故D正确，
故选：BD.
12. 如图几何体是由正方形 沿直线 旋转 得到的，已知点 是圆弧 的中点，点 是圆弧
上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）
A. 存在点 ，使得 平面
B. 不存在点 ，使得平面 平面
C. 存在点 ，使得直线 与平面 的所成角的余弦值为
D. 不存在点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】将图形补全为一个正方体 ，设 ，以点 为坐标原点， 、 、
所在的直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.
【详解】由题意可将图形补全为一个正方体 ，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司不妨设 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在的直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐
标系，
则 、 、 、 、 、 ， ，
设点 ，其中 ，
对于A选项，假设存在点 ，使得 平面 ， ，
， ，
则 ，可得 ，
因 为，则 ，即当点 与点 重合时， 平面 ，A对；
对于B选项，由A选项可知，平面 的一个法向量为 ，
在
假设存 点 ，使得平面 平面 ，则 ， ，
则 ，可得 ，又因为 ，解得 ，
即当点 为 的中点时，面 平面 ，B错；
对于C选项，若存在点 ，使得直线 与平面 的所成角的余弦值为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则直线 与平面 的所成角的正弦值为 ，
且 ，
所以，
，整理可得 ，
因为函数 在 时的图象是连续的，
且 ， ，
所以，存在 ，使得 ，
所以，存在点 ，使得直线 与平面 的所成角的余弦值为 ，C对；
对于D选项，设平面 的法向量为 ，
， ，
则 ，
取 ，可得 ，
假设存在点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司可得 ，即 ，
可得 或 ，
因为 ，则 ，则 ，
所以， ，
故当 时，方程 和 均无解，
综上所述，不存在点 ，平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，D对.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即
可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度 ，从而不必作出线面角，则线面
角 满足 （ 为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设 为直线 的方向向量， 为平面的法向量，则线面角
的正弦值为 .
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．
13. 双曲线C： （ ， ）的渐近线方程为 ，则其离心率 ______________．
【答案】
【解析】
【分析】结合渐近线的定义与离心率定义即可得.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可得 ，则 .
故答案为： .
14. 已知向量 ， ，则使 成立的一个充分不必要条件是
______________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据向量坐标运算公式将原问题转化为 的一个充分不必要条件进而求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
解得 ，
所以使 成立的一个充分不必要条件是 .
故答案为： （答案不唯一）
15. 用试剂 检验并诊断疾病 ， 表示被检验者患疾病 ， 表示判断被检验者患疾病 ．用试剂 检验
并诊断疾病 的结论有误差，已知 ， ，且人群中患疾病 的概率
．若有一人被此法诊断为患疾病 ，则此人确实患疾病 的概率 ______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用条件概率公式求出 、 的值，可得出 的值，再利用条件概率公式可求得
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学科网（北京）股份有限公司的值.
【详解】由条件概率公式可得 ，
，
由条件概率公式可得 ，
所以， ，
所以， .
故答案为： .
16. 若函数 的图象关于 对称，则 __________， 的最小
值为______________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由函数的对称性可知，方程 的两根分别为 、 ，利用韦达定理可求得
、 的值，可得出 的值，变形可得出 ，令 ，利用
二次函数的基本性质求出 在 时的最小值，即可得出函数 的最小值.
【详解】因为函数 的图象关于 对称，
令 ，可得 ，可得 或 ，
由对称性可知，方程 的两根分别为 、 ，
由韦达定理可得 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以， ，
则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，则 ，
因为 ，
令 ，令 ，
所以， .
故答案为： ； .
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到方程 有两个根，利用 的对称性求得
有对应的两个根，从而求得 ，由此得解.
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区
域内，超出指定区域的答案无效．
17. 数列 的前n项积为 ，且满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前2n项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分 和 两种情况，结合 与 之间的关系分析求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）可得 ，结合分组求和法运算求解.
【小问1详解】
因为 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ；
且 符合 ，
综上所述：数列 的通项公式 .
【小问2详解】
由（1）可知： ，
可得
，
所以 .
18. 如图，在四棱锥 中，四边形ABCD是边长为2的正方形， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， ，点E，F分别为PB，PD的中点，求点E到平面ACF的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由 ， 为 和 的中点， ，得 平面 ，可证得平面
平面 ；
（2）证明 ， ，以 为原点，建立空间直角坐标系，向量法求点到平面的距离.
【小问1详解】
连接 ， 与 相交于点 ，连接 ，
四边形ABCD是边长为2的正方形，则 ， 为 和 的中点，
，则 ，
平面 ， ， 平面 ，
平面 ，所以平面 平面
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司四边形ABCD是边长为2的正方形， ，
， ， ，则有 ， ，
以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ，设平面 的一个法向量为 ，
则有 ，令 ，得 ，即 .
，点E到平面 的距离 .
19. 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，且D为 ABC外接圆劣弧 上一点，求 的取值范围．
△
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由余弦定理化简得 ，得到 ，即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设 ，得到 ，得到 ，得出
，进而求得 的取值范围.
【小问1详解】
解：因为 ，由余弦定理得 ，
整理得 ，可得 ，
又因为 ，可得 .
【小问2详解】
解：由圆内接四边形性质，可得 ，设 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，可得 ，可得 ，
所以 的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司20. 已知椭圆 ： （ ），连接C的四个顶点所得四边形的面积为 ，且离心率
为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）经过椭圆 的右焦点 且斜率不为零的直线 与椭圆 交于 ， 两点，试问 轴上是否存在定点
，使得 的内心也在 轴上？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）根据题意中几何关系及离心率可以求出 的值，从而求解.
（2）设出直线 方程 ，然后与椭圆联立，根据 的内心在 轴上，可得 并结
合根与系数的关系，从而求解.
【小问1详解】
由题意得 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
因为直线 过右焦点 且斜率不为零，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，得 ， 恒成立，
所以 ， ，
设 轴上存在定点 使得 的内心在 轴上，
则直线 和 关于 轴对称，所以直线 和 的倾斜角互补，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，即 ，
即 对所有 恒成立，所以 ，
所以存在定点 符合题意.
【点睛】方法点睛：根据 的内心在 轴上得到直线 和 的倾斜角互补，即 ，再由
直线与椭圆联立后利用根与系数关系得到相应的等式，从而求解.
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学科网（北京）股份有限公司21. 某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B
种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A
种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中 ），记第i次试验中的A种数
目为随机变量 （ ）；③记随机变量 ，利用 的期望 和方差 进行
估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立．
（1）已知 ， ，证明： ，
；
（2）该小组完成所有试验后，得到 的实际取值分别为 （ ），并计算了数据 （
）的平均值 和方差 ，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据 ．
（ⅰ）请用 和 分别代替 和 ，估算 和 ；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求 的分布列中概率值最大的随机事件 对应的随机变量的取值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ） ， ；（ⅱ）15
【解析】
【分析】（1）根据题意结合期望、方差的性质分析证明；
（2）（ⅰ）根据（1）中结论结合二项分布的期望和方差公式运算求解；（ⅱ）根据二项分布的概率公式列
式运算求解即可.
【小问1详解】
由题可知 （ ，2，…，n）均近似服从完全相同的二项分布，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
，
，
所以 ， .
【小问2详解】
（ⅰ）由（1）可知 ，
则 的均值 ， 的方差 ，
所以 ，解得 或 ，
由题意可知： ，则 ，
所以 ， ；
（ⅱ）由（ⅰ）可知： ，则 ，
则 ，
由题意可知： ，
解得 ，且 ，则 ，
所以 的分布列中概率值最大的随机事件 对应的随机变量的取值为15.
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点睛：本题关键是利用二项分布求期望和方差，以及利用期望和方差的性质分析求解.
22. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若方程 有 、 两个根，且 ，求实数 的值．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求得 ，分 、 两种情况讨论，利用函数单调性与导数的关系可得
出函数 的增区间和减区间；
（2）将原方程转化为 ，再将 、 分别代入其中，得到 ，然后讨论 、
时，判断方程 根的个数，再构造函数，求导，进而即可求解.
【小问1详解】
解：函数 的定义域为 ， .
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
此时，函数 的增区间为 ，减区间为 ；
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
此时，函数 的减区间为 ，增区间为 .
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学科网（北京）股份有限公司综上所述，当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 ；
当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 .
【小问2详解】
解：由 ，则方程 的两根分别为 、 ，
等价于方程 的两根分别为 、 ，
所以， ，①， ，②，
因为 ，将 代入②式可得 。
即 ，③，
由①式可得 ，④，
由③ ④可得 ，
易知， 不是方程 根的，故 ，所以， ，
所以， ，下面验证 能否满足方程 有两个根，
（i）当 时，判断方程 ，即方程 是否有两个根，
令 ，则 恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
因为 ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以，函数 在 、 上各有一个零点，
故函数 在 、 上分别有且仅有一个零点，
所以，方程 有两个根，则 合乎题意；
（ii）当 时，判断方程 是否有两个根，
显然，当 时， ，故只需考查 的情形，
记 ，其中 ，则 ，
记 ，则 在 上恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，即 在 上单调递增，
所以， 在 上恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，故 至多一个零点，不合乎题意.
所以， .
综上所述， .
【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面：
（1）求导后看最高次项系数是否为 ，须需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为 ，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两
根相等的情况；
（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较.
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学科网（北京）股份有限公司
