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数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间
120分钟.
第I卷（选择题共60分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用集合的交运算法则进行运算即可.
【详解】因为集合 ，
故 ，
故选：
2. 已知直线 ： 和直线 ： 垂直，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线垂直的充要条件列出关于 的方程，解方程即可.
【详解】因为直线 ： 和直线 ： 垂直，
所以 ，解得 .
故选：D.
3. 已知圆锥的底面半径为2，高为 ，则该圆锥的侧面积为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由圆锥的侧面展开图扇形基本量与圆锥基本量间的关系可得.
【详解】已知圆锥的底面半径 ，高 ，
则母线长 ，
圆锥的侧面展开图为扇形，且扇形的弧长为圆锥底面圆周长 ，
扇形的半径为圆锥的母线长 ，
则圆锥侧面积 .
故选：B.
4. 已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义计算得解.
【详解】定义在 上的奇函数 ，当 时， ，
所以 .
故选：B
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学科网（北京）股份有限公司5. 已知 是第一象限角， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由同角三角函数关系式及二倍角公式化简求值.
【详解】因为 是第一象限角， ，
所以 ，
所以 ，
故选：B.
6. 记 为等比数列 的前 项和，且 成等差数列，则 （ ）
A. 126 B. 128 C. 254 D. 256
【答案】A
【解析】
【分析】根据可得 ，整理得 ，进而可得 ，结合等比数列的求和公
式运算求解.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，
由题意可得 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司整理得 ，则 ，解得 ，
所以 .
故选：A.
7. 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的
取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到 再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面
积公式计算即可
详解： 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点
,则
点P在圆 上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线 的距离 的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
8. 设 ， ， ，则（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数的运算法则及对数函数的单调性，直接比较a和b的大小；构造函数
，求导判断其单调性，进而比较b和c的大小.
【详解】 ，
令 ，
令 ，
，
，
所以 ，即 ，故 在 上单调递增，
所以 ，即 ，综上， .
故选：D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 是递增数列 B.
C. 当 时， D. 当 或4时， 取得最大值
【答案】CD
【解析】
【分析】根据 表达式及 时， 的关系，算出数列 通项公式，即可判断A、B、C
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学科网（北京）股份有限公司选项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.
【详解】当 时， ，又 ，所以 ，则
是递减数列，故A错误；
，故B错误；
当 时， ，故C正确；
因为 的对称轴为 ，开口向下，而 是正整数，且 或 距离对称轴一样远，所以
当 或 时， 取得最大值，故D正确.
故选：CD.
10. 已知函数 ，则下列说法错误的是（ ）
A. 的图象在 处的切线斜率大于0
B. 的最大值为
C. 在区间 上单调递增
D. 若 有两个零点，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用函数的导数逐项判断求解即可.
【详解】由题得 ，则 ，故A错误；
当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递减，
所以 的极大值即最大值为 ，故B正确，C错误；
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
由 知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 的极大值为 ，且当 趋向于 时， 趋向于 ，当 趋向于 时，
趋向于 ，
所以若 有两个零点，则 ，即 ，故 错误.
故选：ACD
11. 已知 为偶函数， ，则下列结论正确的
是（ ）
A.
B. 若 的最小正周期为 ，则
C. 若 在区间 上有且仅有 个最值点，则 的取值范围为
D. 若 ，则 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】先求出函数 的解析式，然后逐项判断即可求解.
【详解】对A：若 ， 为偶函数，则 ， ，
所以 ，A选项正确；
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学科网（北京）股份有限公司对B：若 的最小正周期为 ，则 ，所以 ，故B正确；
对C:由 ，得 ，若 在区间 上有且仅有 个最值点，
则 ，得 ，故C正确；
对D：因为 ，若 ，
则 或 ，
得 或 ，
又 ，所以 的最小值为 ，故D错误.
故选：ABC.
12. 如图，在 中， ， ， ，过 中点 的直线 与线段 交于点 ．
将 沿直线 翻折至 ，且点 在平面 内的射影 在线段 上，连接 交 于点
， 是直线 上异于 的任意一点，则（ ）
A.
B.
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学科网（北京）股份有限公司C. 点 的轨迹的长度为
D. 直线 与平面 所成角的余弦值的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A、B选项结合线面角最小，二面角最大可判断;对于C，先由旋转，易判断出 ，故其
轨迹为圆弧，即可求解.对于D求直线与平面所成角的余弦值，即求 ， ，
用 表示 ，再结合三角恒等变换求出函数的最值即可
【详解】
依题意，将 沿直线 翻折至 ，连接 ,由翻折的性质可知，关于所沿轴对称的两点连线
被该轴垂直平分，
故 ，又 在平面 内的射影 在线段 上，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
， 平面 ， 平面
所以 平面 .
平面 ， 平面 ， 平面 ，
，
，且 即为二面角 的平面角
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学科网（北京）股份有限公司对于A选项，由题意可知， 为 与平面 所成的线面角，故由线面角最小可知
，故A错误；
对于B选项， 即为二面角 的平面角，故由二面角最大可知 ，
故B正确；
对于C选项， 恒成立，故 的轨迹为以 为直径的圆弧夹在 内的部分，易知其长
度为 ，故C正确；
对于D选项，如下图所示
设 ，
在 中， ， ，
在 中， ， ，
所以 ，设直线 与平面 所成角为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则
，
当且仅当 时取等号，故D正确．
故选：BCD．
第II卷（非选择题共90分）
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量 ，若 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量平行关系得到方程，求出答案.
【详解】因为 ，所以 ，故 .
故答案为：-5
14. 写出一个圆心在 上，且与直线 和圆 都相切的圆的方程：______.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】由题设，设圆心为 ，则半径 ，讨论所求圆与圆 外切、
内切，分别求出对应m即可得结果.
【详解】设圆心为 ，则半径 ，
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学科网（北京）股份有限公司假设与圆 外切，则 ，
所以 ，故 ，则 ，
若 ，则 ，则圆心为 ，半径为 ，故 ；
若 ，则 ，不满足前提；
假设与圆 内切，又 与 的距离为 ，
此时，圆 内切于所求圆，则 ，
所以 ，故 ，则 ，
若 ，则 ，则圆心为 ，半径为 ，故 ；
若 ，则 ，不满足前提；
综上， 或 .
故答案为： （答案不唯一）
15. 表面积为100π的球面上有四点S､A､B､C， ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为3，若面
△
SAB⊥面ABC，则棱锥 体积的最大值为___________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】求出球半径及球心到平面 的距离，进而求出 外接圆半径，利用面面垂直结合球的截
面小圆性质，求出 的外接圆半径，确定点S到平面 的最大距离即可作答.
【详解】依题意，球 的半径 ，令正 的中心为 ，则 ，且 平面 ，
外接圆半径 ，连接 并延长交 于D，则 D为 的中点，且
，
显然 ，而平面 平面 ，平面 平面 ，有 平面 ，
令 的外接圆圆心为 ，则 平面 ，有 ，
又 平面ABCD， 平面ABCD，所以 ，
由 ,所以 平面 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
即有 ，因此四边形 为平行四边形，则 ， ，
的外接圆半径 ， 的外接圆上点 到直线 距离最大值为
，
而点 在平面 上的射影在直线 上，于是点 到平面 距离的最大值 ，
又正 的面积 ，
所以棱锥 的体积最大值 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性
质求解.
16. 数列 满足 ，则 的整数部分是__________．
【答案】2
【解析】
【详解】因 ，所以 ，
为
数列 单调递增，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
因此 的整数部分是 ．
点睛：本题考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项公式，数列的裂项求和，数列的单
调性的应用等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试
题有一定的难度，属于难题，本题的借助数列递推关系，化简数列为 ，再借助数列
的单调性是解答的关键．
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 .
（1）求角B；
（2）设BD是AC边上的高，且 ， ，求 的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角以及诱导公式化简已知等式，可得 的值，即可求得答案；
（2）根据三角形面积相等可推出 ，再利用余弦定理即可求得 的值，即可得答案.
【小问1详解】
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为 ，
所以 ，即 .
因为 ， ，
所以 ，解得 .
【小问2详解】
因为 ， ，
所以 .
又由 ，可得 ，所以 .
由余弦定理 ，可得 ，即 ，
即 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
18. 如图所示，在四棱锥 中，底面ABCD是菱形， ，AC与BD交于点O，
底面ABCD，F为BE的中点， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面ACF；
（2）求AF与平面EBD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解答
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明 ，得证 平面ACF；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
因为底面 是菱形， 与 交于点 ，可得 点为 的中点，
又 为 的中点，所以 为 的中位线，可得 ，
又 平面 ， 平面 ，
可得 平面 ；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司以 ， 所在直线为 ， 轴，过 作 的垂线所在直线为 轴，建立如图所示的坐标系，
因为ABCD是菱形， ， 为等边三角形，
不妨设 ，则 ， ， ， ， ，
可得 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，可得 ，
不妨取 ，则 ，可得 .
又 ，
可得 与平面 所成角的正弦值为： .
19. 已知数列 是各项都为正整数的等比数列， 且 是 与 的等差中项，数列 满足
.
（1）求数列 的通项公式;
（2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据等比数列的性质求得公比，进而得到数列 的通项公式；由已知得到数列 是
以 为首项， 为公比的等比数列，求得其通项公式，进而得到数列 的通项公式；
（2）等价转化为 对任意 恒成立，然后令 ，利用作差法研究单调性，得
到最大值，进而求解得到 的取值范围.
【详解】 设数列 的公比为 ，则 ，
是 与 的等差中项，
，解得 或 (舍去)，
，
又 ， 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
；
由 ，
整理可得 ，即 ，
对任意 恒成立，
令 ，则
当 时， ，当 时，
当 或 时， 取得最大值，
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学科网（北京）股份有限公司.解得 .
故实数 的取值范围是 .
20. 已知点 到 的距离是点 到 的距离的2倍.
（1）求点 的轨迹方程；
（2）若点 与点 关于点 对称，过 的直线与点 的轨迹 交于 ， 两点，探索 是否为定
值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）是定值，
【解析】
【分析】(1)设点 ，根据两点坐标求距离公式计算化简即可；
(2)设 ，根据中点坐标公式代入圆 方程中可得 的轨迹方程，直线 的方程、 ，
，联立圆 方程，利用韦达定理表示出 , ，结合向量数量积的坐标表示化简计算即可；
【小问1详解】
设点 ，由题意可得 ，即 ，
化简可得 .
【小问2详解】
设点 ，由（1） 点满足方程: ， ，
代入上式消去可得 ，即 的轨迹方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司当直线 的斜率存在时，设其斜率为 ，则直线 的方程为 ，
由 ，消去 ，得 ，显然 ，
设 ， 则 ， ，
又 ， ，
则
.
当直线 的斜率不存在时， ， ， .
故 是定值，即 .
21. 已知函数 ．
（1）当 时，讨论函数 在 上的单调性；
（2）当 时，证明：对 ，有 ．
【答案】（1） 在 单调递减，在 单调递增
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学科网（北京）股份有限公司（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由导函数符号变化，分区间讨论单调性；
（2）不等式等价变形，构造函数 ，求解导函数并利用 放缩，再结合
辅助角公式转化利用有界性判断导函数符号，得到函数单调性证明不等式.
【小问1详解】
当 时， ，
，
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增．
所以 在 单调递减，在 单调递增．
【小问2详解】
要证 ，只要证 ，
即证 ．
令 ， ．
当 时，令 ， ，
所以 在 单调递增，所以 ，即 ，
从而 ．
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
其中， 为辅助角，且满足 即可.
所以 在 单调递减，即 ．
故 成立．
22. 如图①，在 中， 分别为 的中点，以 为折痕，
将 折起，使点 到达点 的位置，且 ，如图②.
（1）设平面 平面 ，证明： 平面 ；
（2） 是棱 的中点，过 三点作该四棱锥的截面，与 交于点 ，求 ；
（3） 是棱 上一点（不含端点），过 三点作该四棱锥的截面与平面 所成的锐二面角的
正切值为 ，求该截面将四棱锥分成上､下两部分的体积之比.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）延长 交于点 ，连接 ，确定 得到 平面 ，
得到证明.
（2）延长 交于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，平面 即为所求截面，
根据相似即中位线的性质得到比例关系.
（3）过 作 ，确定 ，得到 平面 ，得到 ，勾股定理计
算 得 到 ， ， 为 的 中 点 ， 得 到 是 的 重 心 ， 计 算
， ，得到答案.
【小问1详解】
在
图②中延长 交于点 ，连接 ，
的
因为 分别为 中点，所以 ，
所以 分别是以 为斜边的直角三角形，
即 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 ，
又平面 平面 ，所以 平面 .
【小问2详解】
在
图②中延长 交于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以平面 即为所求截面，
取 为 的中点，连接 ，则 ，
，故 ，故 .
【小问3详解】
过 作 ，因为 ，所以 为 的中点，所以 ，
连接 ，因为 ，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 ，
连接 ，则 是截面 与平面 所成二面角的平面角，
即 ，
在直角 中， ，所以 ，
在 中，由余弦定理可得：
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学科网（北京）股份有限公司，
所以在直角 中， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，因为 ，即 为 的中点，
又 是 的中点，所以 是 的重心，所以 ，
，故 ，
又 ，
故 ，
所以 .
第26页/共26页
学科网（北京）股份有限公司
