文档内容
2024 届高三年级 TOP 二十名校仿真模拟一
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码站贴在答题卡上
的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知复数 ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 ，求出 .
【详解】 ，则 .
故选：C
2. 抛物线 的焦点到顶点的距离为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把抛物线表示为标准方程，可得 ，焦点到顶点的距离为 ，可求值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】抛物线 的标准方程为 ，则 ，
所以焦点到顶点的距离为 .
故选：C.
3. 定义 ，若集合 ，则A中元素的个数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合的新定义找到符合条件的元素个数即可.
【详解】由题知y的可能取值有 ， ， ，0，1，2，3，则集合A中有7个元素.
故选：B.
4. 中， ， ，则 的面积为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积求解 ，，进而求解三角形的面积.
【详解】因为 ，
所以 ，
则 .
故选：A.
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学科网（北京）股份有限公司5. 数列 中， ， ，则 （ ）
A. 230 B. 210 C. 190 D. 170
【答案】D
【解析】
【分析】借助等差数列的定义及相关公式计算即可.
【详解】由题知数列 是公差为 的等差数列， .
故选:D.
6. 某地突发洪水，当地政府组织抗洪救灾活动，现有7辆相同的车派往3个不同的地方，每个地方至少派
往一辆车，则不同派法的种数为（ ）
A. 20 B. 15 C. 12 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】用排列组合中的插空法解决.
【详解】题目可转化为将7个相同的元素分为3组，在7个位置之间的6个空中插入2个挡板，将7个位置
分为3组，有 种方法.
故选：B.
7. 已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由扇形弧长公式求出圆锥底面半径 ，母线长为2，由等面积法得 ，
得解.
【详解】侧面展开图扇形的弧长为 ，
圆锥底边的半径r满足 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以该圆锥轴截面是一个两腰长为2，
底边长为1的等腰三角形，底边上的高为 ，
设内切球半径为R，则 ，
.
故选：D.
8. 对于函数 ，当 时， .锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
，设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用题设和选项构造函数 ，判断其在 上的单调性；接着利用三角形中的
正余弦定理判断 的大小，最后运用单调性判断结论即得.
【详解】令 ，则 ，当 时， ， 单调递减.
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学科网（北京）股份有限公司又因为在 中，由余弦定理， ，同理可得：
，
故由 可得： ，又由正弦边角关系得 ，则 .
接着比较 与 的大小，即比较 与 的大小，
令 ， ， .令 ， ，
，
则 单调递减， ，则 ， 在 上单调递减，
,
又 故 ，则 ，所以 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：结合题设和结论的提示考虑到构建函数并判断其单调性.同时对于三角形中型如
结构的二阶结论要有印象，遇到结构相同的解析式时需要同构的思想.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 关于 的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 二项式系数之和为32 B. 最高次项系数为32
C. 所有项系数之和为 D. 项的系数为40
【答案】AB
【解析】
【分析】直接利用二项式定理的应用求出结果即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于选项A：二项式系数之和为 ，故A正确；
对于选项B：设展开式第 项为 ，最高次项的系数为 ，故B正确；
对于选项C：令 得各项系数之和为 ，故C错误；
对于选项D： 项的系数为 ，故D错误.
故选:AB.
10. 在棱长为1的正方体 中，E为 的中点，则（ ）
A.
B. 平面
C. 平面 截正方体 所得截面面积为
D. 四棱锥 与四棱锥 的体积相等
【答案】ACD
【解析】
【分析】先证明 平面 ，即可判断选项A; 通过平面 平面 ，可得选项B错误；找
到平面 截正方体 所得截面菱形 ，即可求出面积，判定选项C；分别求出
四棱锥 与四棱锥 的体积，可判定选项D.
【详解】在正方体 中， 平面 ，
平面 ，所以 ，又 ，
, 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，A正确；
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学科网（北京）股份有限公司， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理 平面 ， 平面 ， 平面 ， ，
所以平面 平面 ， 平面 ，
所以 与平面 不平行，B错误；
平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
设平面 平面 ，则 ，
因为 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，所以 ， ，
同理 ，且 ，
所以菱形 为所求截面， ， ，
则面积为 ，C正确；
由题可知 ，
取 的四等分点 ，则 ，
所以 ， ，又 ，
， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数 ，则（ ）
A. 的最小正周期为 B.
C. 在 上单调递增 D. 在 内有3个极值点
【答案】BD
【解析】
【分析】利用三角恒等变换得到 ，从而化简 ，进而利用正弦函数的性质逐一
分析判断各选项即可得解.
【详解】因为
，
所以 ，
设 ，其中 为锐角，则根据辅助角公式得 ，
所以 得最小正周期为 ，A错误；
因为 ，则 的最大值为 ，所以 ，B正确；
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学科网（北京）股份有限公司由 ，其中 为锐角得 ，
因为 时， ，
则函数 在 上先增后减，C错误；
令 ，得 ， ，
则函数 在 上有三个极值点 ， ， ，D正确.
故选：BD.
12. 记 ，其中 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ， ，且 恒成立，则
D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
的
【分析】对于A，由 导数一直是它本身即可判断；对于B，由诱导公式以及三角函数的导数公式即可
判断；对于C，通过归纳即可判断；对于D，由C选项结论即可判断.
【详解】由题知 ，则当 时， ，A正确；
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学科网（北京）股份有限公司由 ， ，
，
，所以 ，B正确；
，则
，
若 ，则 恒成立， ，C错误；
，由C知 ，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：对于递推类函数定义，可以用归纳的方法结合求导公式去验证即可顺利得解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量 ， ，若 ，则 ______.
【答案】 ##2.5
【解析】
【分析】由题可得 ，再利用向量数量积的坐标公式即可求解.
【详解】向量 ， ， ，
又 ，则 ，解得 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
14. 若双曲线的渐近线方程为 ，则其离心率为______.
【答案】2或
【解析】
【分析】分焦点在x轴上和焦点在y轴上，由渐近线方程和离心率定义可解.
【详解】当焦点在x轴上时，设双曲线方程为 ，
由渐近线方程 得 ，
所以离心率 ；
当焦点在y轴上时，设双曲线方程为： ,
由渐近线方程得 ，
所以 ，则离心率 .
故答案为：2或
15. 写出一个符合下列要求的函数：______.
① 为偶函数；② ；③ 有最大值.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据学过的函数和题目要求进行变换构造符合题意得函数.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】函数 为偶函数且 ，其最大值为0.
故答案为： （答案不唯一）
16. 如图，四边形 中， ， ， ， ，则 面积的最大值为
______.
【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐标系，求解出相应圆的标准方程，延长 交圆③于点 F，得到 ，
，进而求解 的最大值.
【详解】以E为坐标原点， 为x轴正方向建立平面直角坐标系，
则 ， ，A在圆①： 上，
D在圆②： 上，
作圆③： ，
延长 交圆③于点F，则 ，
所以 .
设直线 与圆②交于点G，
取 ，连接 ， ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，则 ，
为圆②内接三角形，当且仅当 为正三角形时， 最大，
此时 ，所以 的最大值为 ，
即 的最大值为 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用数形结合的思想进行转化为圆的标准方程,利用圆的性质和三角形面积求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知 的边长分别为5，7，8，边长为8的边上的中线长为d.
（1）求 的最大内角的正弦值；
（2）求d.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合余弦定理，同角三角函数的基本关系计算即可；
（2）利用中线长 ，代入整理计算即可.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
不妨设 ， ， ，则B是最大内角.
由余弦定理可得 ，
则 .
【小问2详解】
.
【点睛】.
18. 近日“脆皮大学生”话题在网上引发热议，更多的人开始关注青少年身体素质.身体健康指数H与体质测
试成绩Y有一定的相关关系，随机收集某大学20名学生的数据得 ， ，
，H与Y的方差满足 .
（1）求H与Y的相关系数r的值；
（2）建立Y关于H的线性回归方程，并预测 时体质测试成绩.
参考公式：相关系数 ，
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， .
【答案】（1）
（2） ，64.7
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）由题意根据方差公式以及相关系数公式和题给数据即可计算.
（2）由（1）中数据以及题给数据和公式可依次算 ， ， ，最终可算 ，由
此可得预测模型并进一步预测.
【小问1详解】
由题意知 ，
所以 ，同理 ，
.
【小问2详解】
由题意 ， ， ，
则 ， ，
当 时， ，即可预测 时体质测试成绩为64.7.
19. 已知数列 ， ， 前n项和分别为 ， ， ，且 .
（1）证明： ；
（2）若对任意的 ， ， ， ，求 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用通项与和之间的关系可证得结果；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据已知条件及基本不等式可得 ，利用错位相减法可求和 .
【小问1详解】
当 时， ，即 ；
当 时，因为 ，所以 ，
故 ，
即 ，
综上， 成立.
【小问2详解】
因为 ， ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，又 ，所以 ，
此时 ，
，①
，②
得
，
所以 .
20. 如图，几何体 中，底面 为边长为2的菱形，平面 平面 ，平面
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学科网（北京）股份有限公司平面 ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，平面 与平面 的夹角为 ，求四棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质定理结合线面垂直的判定定理即可得；
（2）建立空间直角坐标系，设出 点的坐标后结合题意确定 点位置后由体积公式计算即可得.
【小问1详解】
在平面 内分别作直线 ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
同理可证 ，又m， 平面 ，且m，n为相交直线，
所以 平面 ；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
取 中点G，连接 ， ， 且底面 为菱形，
故 为等边三角形，所以 ，
以D为原点， ， 为x，y轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
故 ，由平面 平面 ，
所以可设 ， 为平面 的法向量，
则有 ，即 ，取 ，得 .
由平面 平面 ，故 为平面 的一个法向量，
结合已知有 ，又 ，所以 ，
.
所以
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学科网（北京）股份有限公司21. 已知函数 的图象在 处的切线方程为 .
（1）求 的解析式；
的
（2）若过点 可作 图象 三条切线，证明： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出导函数得到切线斜率值，利用点斜式方程即得切线方程；
（2）设出切点，列出切线方程，将题设条件转化成方程 有三个实根，
即函数 有三个零点，就 值分类讨论即得.
【小问1详解】
因为 ， ， ，
所以切线方程为 ，即 .
【小问2详解】
设切点为 ，则切线方程为： ，
因切线经过点 ，故有 ，即 .
令 ，依题知 有3个零点.
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学科网（北京）股份有限公司，令 得 ，
①当 时， 时， ， 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，此时 至多有两个零点，不合题意；
②当 时， 或 时， ， 时， ，
则 在， 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，
因 ，由 有3个零点可知： ，故得： ，即
.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的切线方程求法和函数的零点问题.
解决函数的零点问题一般可以考虑运用参变分离法或者分类讨论法.此题中将曲线存在经过某点的三条切线
问题，转化成对应方程的三个实根，继而又转化成函数有三个零点问题，最后就参数 分类讨论得出结论.
22. 已知复数z在复平面内对应的点为 ， ，Z的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）若 ， ，过F的直线交C于 ， 两点，且 平分 ，求直线 的方
程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设复数 ，根据题意建立等式求解即可；
（2）设直线 ，根据题意直线与曲线联立方程求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
设 ，则 ，
所以 ，
整理得 ，即C的方程为 .
【小问2详解】
由题意知，直线 的斜率不为0，设 ， ， ，
联立 得 ， ，
所以 ， ；①
由 平分 知 ，即 ，
又 ，则 ，
整理得 ，
代入①式得 ，所以 .
所以直线 的方程为 .
【点睛】第（2）解题关键根据题意 平分 得 ，建立等式求解.
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