文档内容
新高二开学摸底考试卷 02
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：人教B版2019
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．设 为虚数单位，已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】利用复数的商的运算法则求得 ，进而可求 .
【详解】 ，
则 .
故选：B.
2．已知角 的终边过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件结合任意角的三角函数的定义求出 ，然后代入计算即可.
【详解】因为角 的终边过点 ，
所以 ，
所以 ，故选：B
3．已知向量 满足 ，且 ，则 的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【分析】根据已知条件直接化简 求解即可.
【详解】因为向量 满足 ，且 ，
所以 .
故选：C.
4．斜三棱柱 中，设 ， ， ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.
【详解】因为
.
故选：A.
5．如图，从一个半径为 的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成
一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出最大正三角形的边长，进而得到正四面体的棱长及高，再由空间几何关系利用勾股定
理求解外接球半径即可.
【详解】圆内最大正三角形即圆内接正三角形.
设该圆内接正三角形的半径为 ，边长为 ，
则 ，
解得 ，
如图，设折叠后正四面体 的棱长为 ，高为 ，
则 ，
过 点作 平面 ， 为底面正三角形 的中心，连接 ，
则在 中，由正弦定理得 ，则 ，
所以高 ，
设正四面体外接球球心为 ，则
于是外接球的半径 ，
在 中， ，则 ，所以 ，解得 ，
则其外接球的表面积为 ．
故选：B.
6．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定
义 为角 的正矢，记作 ；定义 为角 的余矢，记作 ，则下列命题正确的
是（ ）
A．函数 的对称中心为
B．若 ，则 的最大值为
C．若 ， 且 ，则圆心角为 ，半径为3的扇形的面积
为
D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据新定义，把新函数转化为熟悉的三角函数，再分析它们的有关性质即可.
【详解】对A： .
由 ， ， ，所以函数 的对称中心为 ，故A错误；
对B： .
设 ，则 ，且 ，
所以 ，
当 时， .故B错误；
对C： .
因为 且 ，所以 .
所以 .所以圆心角为 ，半径为3的扇形的面积为： ，故C错误；
对D：由 .
所以 ，故D正确.
故选：D
7．将函数 的图象先向左平移 个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为
原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数 在 上单调递增，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据三角函数变换规律求出 ，然后求出 的单调递增区间，再由函数 在
上单调递增，得 ，从而可求出 的取值范围.
【详解】将函数 的图象先向左平移 个单位长度，得 ，
再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的 倍，纵坐标不变，得
，
所以 ，
由 ，
得 ，
所以 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 （ ），
即 （ ），
解得 ，
因为 ，所以 ，所以 .
故选：B
8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 ，且 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得 ，再由 ，结合正切函数的和
差角公式以及基本不等式代入计算可得 ，即可得到结果.
【详解】因为 ，且 ，则 ，
由余弦定理可得 ，所以 ，
即 ，由正弦定理可得 ，
其中 ，则 ，所以 ，
又 ，
化简可得 ，
且 为锐角三角形，则 ，
所以 ，
即 ，
解得 或 （舍），所以 ，当且仅当 时，等号成立，
则 的最大值为 .
故选：B
【点睛】关键点睛：本题主要考查了余弦定理，正切函数的和差角公式以及基本不等式求最值问题，
难度较大，解答本题的关键在于由余弦定理得到 ，然后结合基本不等式代入计算，即可求解.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 ， ， ，则（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D． 在 上的投影向量的坐标为
【答案】BD
【分析】根据向量模的坐标表示即可判断A；根据向量平行和垂直的坐标表示即可判断BC；根据投影
向量的公式即可判断D.
【详解】对A， ，故A错误；
对B，若 ，则 ，解得 ，故B正确；
对C，若 ，则 ，则 ，故C错误；
对D， 在 上的投影向量的坐标为 ，故D正确.
故选：BD.
10．已知函数 的部分图象如图所示，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用图象的特征求出各参数即可求解.
【详解】由图象可知： ，周期 ，故 ．
由 ，解得 ，
故函数 ，选项A正确；
选项B， ，B错误；
选项C， ，C正确；
选项D， ，D错误．
故选：AC．
11．在正四棱柱 中， ， ，则（ ）
A．正四棱柱 的侧面积为24
B． 与平面 所成角的正切值为
C．异面直线 与 所成角的余弦值为
D．三棱锥 内切球的半径为
【答案】ABD
【分析】由侧面积公式即可求解A，根据线面垂直可得 与平面 所成的角为 ，即可由
三角形的边角关系求解B，根据线线平行可得异面直线 与 所成的角为 或其补角，由三角
形的边角关系求解C，利用等体积法即可求解D.
【详解】正四棱柱 的侧面积为 ， 正确．
设 ，由于四边形A B C D 为正方形，故 ，
1 1 1 1又 平面A B C D ， 平面A B C D ，故 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
由 平面 ，故 平面 ，
则 与平面 所成的角为 ，
且 ， ，则 ，
B正确．
在正方体中， ，则异面直线 与 所成的角为 或其补角，
，
则 ，C错误．
三棱锥 的表面积 ，
三棱锥 的体积 ，
所以三棱锥 内切球的半径为 ，D正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量 ， ，则向量 与 的夹角为
【答案】
【分析】利用空间向量夹角的余弦公式求出答案.
【详解】设向量 与 的夹角为 ，
则 ，
故 .故答案为：
13．若关于x的方程 无解，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】分析可知 与 没有交点，利用辅助角公式结合正弦函数值域分析求解.
【详解】由题意可知： 与 没有交点，
因为 ，
且 ，可得 ，
可知 ，所以实数k的取值范围是 .
故答案为： .
14．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°、30°，此时气球的高是46m，
河流的宽度 约等于 m. （参考数据： ， ， ，
， ）
【答案】60
【分析】先作辅助线，过点 作 垂直于 的延长线于点 ，先解 求出 ，再在 中
利用正弦定理即可求 .
【详解】
如图，过点 作 垂直于 的延长线于点 ，
在 中， ， ，
所以 ，在 中， ， ， ，
由正弦定理可得：
可得： ，
所以河流的宽度 约等于 ，
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）已知复数 ，其中i为虚数单位， ．
(1)若z为纯虚数，求 ；
(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由已知求出 ，再由模的意义求出结果.
（2）由给定条件列出不等式组，求解即可得范围.
【详解】（1）由z为纯虚数，得 ，解得 ，则 ，
所以 .
（2）由复数z在复平面内对应的点在第四象限，得 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
16．（本题满分15分）已知函数
从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在且唯一.
条件①： ；
条件②： 在区间 单调，且 ；
条件③：函数 相邻两个零点间的距离为 .
选__________作为条件
(1)求 值；
(2)求 在区间 上的最大值与最小值及对应的 的值.【答案】(1)
(2)当 时， ；当 时，
【分析】先化简 ，（1）若选条件，分别求解 ，舍掉不满足 存在且唯一，逐一检验即可得
解，（2）由（1）得到 解析式，求出相位范围即可求解.
【详解】（1） ，
若选条件①， , ，即 ，无解，不合题意；
若选条件②，因为 ，
所以 且
所以 过 图象的最高点， 过 图象的最低点，
又因为 在区间 单调，所以
解得 ，
当 时， ，
当 时， ，所以 在区间 不单调，不符合题意，所以 ；
若选条件③， 因为 相邻两个零点间的距离为 ，
所以 ，即 ，又 ，解得 ，不合题意；
综上， ；
（2）由（1）知 ，
当 时， ，
所以，当 时， ；
当 时， .
17．（本题满分15分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形，， ， 为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，即可得到 ，根据面面垂直的性质得到 平
面 ，从而证明 平面 ，即可得到 ，再由 ，即可得证；
（2）由（1）可得 平面 ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 为等边三角形，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面
，
因为 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 是 的中点，所以 ，
因为 平面 ，且 ，
所以 平面 .
（2）因为 ，由（1）知四边形 为矩形，则 ，
又 平面 ，所以 平面 ，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
取平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
所以 .
，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18．（本题满分17分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形 的形状，它
的下底 是半圆的直径，上底 的端点在圆周上．记 ．（提示：直径所对的圆周角是直角，
即图中 ）
(1)用 表示 的长；
(2)若 ，求如图中阴影部分的面积 ；
(3)记梯形 的周长为 ，将 表示成 的函数，并求出 的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3) ；
【分析】（1）连接 ，过 作 ，由几何关系可得 ，由三角函数可表示出 的
长；
（2）图中阴影部分的面积 等于 和扇形 的面积，分别求出即可得出答案.
（3）根据给定条件，利用圆的性质，结合直角三角形的边角关系表示出 ，利用二倍角的余弦公式变
形函数，再利用换元法，结合二次函数求出最大值.
【详解】（1）连接 ，过 作 ，则 ，所以 .
（2） ．
，
，
所以 ，
（3） ，
则
，
令 ，则 ，
则 ，当 时， .
19．（本题满分17分）点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），
我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记
；若点M在线段PQ外，记 .
(1)若M在正方体 的棱AB的延长线上，且 ，由 对AB施以视角运算，
求 的值；
(2)若M在正方体 的棱AB上，且 ，由 对AB施以视角运算，得到
，求 的值；
(3)若 是 边BC的 等分点，由A对BC施以视角运算，求
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)1【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，结合和差角公式可得 ，即可代入公式
求解，
（2）根据 的计算公式，代入即可求解，
（3）由正弦定理可得 ，即可结合 对 施以视角运算，即可求证.
【详解】（1）如图1，
因为 ，所以 .
由正方体的定义可知 ，则 ，
故 ，
.
因为 ，
所以 ，
则 .
（2）如图2，设 ，则 .
因为 ，
所以 ，
则 ，解得 ，
故 .
（3）如图3，
因为 是 的 等分点，
所以 .
在 中，由正弦定理可得 ，
则 .
在 中，同理可得 .
因为 ，所以 ，
则 .
同理可得 .
故
【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过
程中；2、用好定义的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的定义的性质的一些因素.
