文档内容
高三考试数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别计算出集合 、 后，由交集定义运算即可得.
【详解】由 ，即 ，故 ，
由 ，即 ，故 ，
则 .
故选：D.
2. 若复数 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意结合复数的运算法则求解 ，再由共轭复数的定义求 .
第1页/共20页
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 .
故选： .
3. 已知抛物线 的焦点为 ，则点 到抛物线 的准线的距离是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线标准方程的相关知识直接求解.
【详解】由题意可知，抛物线 的标准方程为 ，则 ，
即点 到抛物线 的准线的距离是1.
故选：C
4. 在正项等比数列 中， ，则数列 的公比是（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等比数列通项公式列方程求公比即可.
【详解】设数列 的公比是 ，则 .
因为 ，所以 ，则 ，解得 或 （舍去）.
故选：B
5. 已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设圆锥的底面半径，确定母线长，求出侧面积和表面积即可求得答案.
【详解】由题意可得轴截面 是等腰直角三角形，设该圆锥的底面圆的半径为 ，则其母线长为 ，
第2页/共20页
学科网（北京）股份有限公司从而该圆锥的侧面积 .
表面积 ，
故 .
故选：A.
6. 甲､乙相约从同一地点同时出发，同向围着一个周长是200米的圆形跑道跑步，甲每秒钟跑2.5米，乙每
秒跑3.5米，则“甲､乙相遇”是“甲､乙都跑了400秒”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
.
C 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件及充分必要条件的定义可得结果.
【详解】因为乙每秒比甲每秒多跑1米，所以当甲､乙都跑了200秒时，乙比甲多跑了200米，甲､乙第一
次相遇.
当甲､乙都跑了400秒时，乙比甲多跑了400米，甲､乙再次相遇.
所以“甲､乙相遇”是“甲､乙都跑了400秒”的必要不充分条件.
故选：C.
7. 已知函数 为奇函数，则 （
）
A. 20 B. 10 C. 21 D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】根据 为奇函数，得到 ，进而得到 ，求出答案.
第3页/共20页
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 为奇函数，所以 ，
即 ，
令 ，
则 ，
两式相加得所以 ，即 .
故选：C
8. 已知点 是双曲线 的上焦点， 是 下支上的一点，点 是圆
上一点，则 的最小值是（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解.
【详解】由圆 可化为 ，则 ，半径为1，
因为 是 的下焦点，则 ，
由双曲线定义可得 ，
所以 ，
当且仅当 四点共线时，取得最小值，即 的最小值是 .
故选：B.
第4页/共20页
学科网（北京）股份有限公司二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线 与圆 ，则（ ）
A. 直线 的倾斜角是
B. 圆 的半径是4
C. 直线 与圆 相交
D. 圆 上的点到直线 的距离的最大值是7
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：求出直线 的斜率即可得倾斜角；对于B：求出圆的标准式即可；对于CD：求出圆心到
直线的距离即可判断.
【详解】直线 ，即 ，斜率为 ，则倾斜角是 ， 错误；
圆 ，即 ，圆心为 ，半径为4， 正确；
圆心 到直线 的距离 ，则直线 与圆 相交，故 正确；
圆 上的点到直线 的距离的最大值为 ，则 正确.
故选：BCD.
第5页/共20页
学科网（北京）股份有限公司10. 已知甲运动员的投篮命中率是0.8，乙运动员的投篮命中率是0.9，甲､乙投篮互不影响.若两人各投篮一
次，则（ ）
A. 都没有命中的概率是0.02
B. 都命中的概率是0.72
C. 至少一人命中的概率是0.94
D. 恰有一人命中的概率是0.18
【答案】AB
【解析】
【分析】由对立事件的概率计算甲乙不中的概率，利用独立事件的概率求解判断选项 ， ；利用对立事
件的求解判断选项 ；甲中乙不中和甲不中乙中两种情况求解可判断选项 .
【详解】都没有命中的概率为 ， 正确；
都命中的概率为 ， 正确；
至少一人命中的概率为 ， 错误；
恰有一人命中的概率为 ， 错误.
故选： .
11. 已知函数 恰有5个零点，则 的值可能为（ ）
A. 4 B. 5 C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先利用余弦函数 图像性质求得 的零点个数，再利用
的
的零点个数列出关于 的不等式，解之即可求得 的取值范围 ，进而得到
的值可能值.
第6页/共20页
学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ，得 .
函数 在 上的零点个数为2，
又因为函数 恰有5个零点，
所以函数 在 上的零点个数为3.
由 ，得 ，
则 ，解得 .
故选：BC
12. 如图，在棱长为6的正方体 中，E，F分别是棱 ，BC的中点，则（ ）
A. 平面
B. 异面直线 与EF所成的角是
C. 点 到平面 的距离是
D. 平面 截正方体 所得图形的周长为
【答案】BCD
第7页/共20页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式、点到面距离公式，结合正方体的性质逐一判断即可.
【详解】如图，以A为坐标原点， 的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直
角坐标系．
因为 ，所以 ，
所以 ．
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 ．
因为 ，
所以 与平面 不垂直，则A错误．
设异面直线 与EF所成的角为 ，
则 ，从而 ，故B正确．
连接 ，因为 ，
所以点 到平面 的距离是 ，则C正确．
分别在棱 上取点M，N，使得 ， ，
第8页/共20页
学科网（北京）股份有限公司连接 ．
可知平面 截正方体 所得图形为五边形 ．
由题中数据可得 ，
则平面 截正方体 所得图形的周长为
，故D正确．
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据正方体的性质得到截面的形状.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 向量 ， ，若 ，则 __________.
【答案】6
【解析】
【分析】由已知 ，可得 ，根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】由已知 ，所以 ，
可得 ，解得 .
故答案为：6.
14. 5名学生的期中考试数学成绩分别为 ，若这5名学生成绩的第60百分位数为111，
则 __________.
【答案】112
【解析】
【分析】由百分位数的定义求解即可.
【详解】由 ，将成绩从小到大排列，
得第60百分位数为第三个成绩和第四个成绩的平均数，
第9页/共20页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 .
故答案为：112
15. 已知点 是函数 图象上的任意一点，直线 ，则点 到直线 的距离的
最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】设直线与 平行，且与函数 相切，从而求出切点坐标，则求出切
点到直线 的距离，从而可求解。
【详解】因为 ，所以 .
令 ，得 ，则 ，
故点 到直线 的距离 .
故答案为：
16. 已知函数 在 上为单调函数，则 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用复合函数法可知， 在 上为单调函数，分函数 在 上
为增函数、减函数两种情况讨论，结合 可求得实数 的取值范围.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
第10页/共20页
学科网（北京）股份有限公司所以函数 在 上为单调函数.
当 在 上为单调递增函数时，则 ，解得 ；
当 在 上为单调递减函数时，则 ，解得 .
综上， 的取值范围为 .
故答案为： .
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 在 中，角 的对边分别是 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理解出即可.
（2）由已知求出各边的长度，再用面积公式 求解.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
所以 .
第11页/共20页
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 .
【小问2详解】
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
.
则
故 的面积
18. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， 是棱 的中点.
（1）证明： .
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意证明线面垂直进而证明线线垂直；
（2）建立合适的空间直角坐标系，结合面面角的向量求法进行计算求解即可.
【小问1详解】
连接 .
因为四边形 是菱形，所以 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
第12页/共20页
学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ，且 ，所以 平面
因为 平面 ，所以
【小问2详解】
记 ，连接 ，
因为四边形 是菱形，所以 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
因为 分别是 的中点，所以 ，所以 ，
所以 两两垂直，
故以 为坐标原点， 的方向分别为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ，
故 .
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 ，
第13页/共20页
学科网（北京）股份有限公司设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为
19. 镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从
某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30，40），[40，50），[50，
60），[60，70），[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.
（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；
（2）现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取10颗，再从这 10 颗板栗中随
机抽取 4 颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为 X，求 X 的分布列与数学期望.
【答案】（1）57.5
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）先通过分析确定中位数在 内；再设中位数为 ，列出方程求解即可.
（2）先根据分层抽样确定从质量在 内的板栗中抽取 颗，从质量在 内的板栗中抽取 颗；
再写出 的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得出答案．
【小问1详解】
因为 ，
第14页/共20页
学科网（北京）股份有限公司所以该板栗园的板栗质量的中位数在 内．
设该板栗园的板栗质量的中位数为 ，
则 ，解得 ，
所以该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5．
【小问2详解】
由题意可知采用分层抽样 的方法从质量在 内的板栗中抽取 颗，从质量在
内的板栗中抽取 颗．
的所有可能取值为 ．
，
，
．
从而 的分布列为
0 1 2 3 4
故 ．
20. 已知函数
（1）当 时，求 的最小值；
（2）若关于x的不等式 恒成立，求a的取值范围．
第15页/共20页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意写出函数解析式，利用导数研究其单调性，求得其最值；
（2）根据函数解析式求得导数，结合分类讨论思想，可得答案.
【小问1详解】
当 时， ，则
由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ．
【小问2详解】
由题意可得 ．
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ．
因为不等式 恒成立，所以 ，解得 ．
当 时， ，不符合题意．
第16页/共20页
学科网（北京）股份有限公司综上，a的取值范围是 ．
21. 已知数列 满足 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）求 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据递推关系可得 ，所以奇数项和偶数项分别为等差数列，由通项公
式求解即可；
（2）当 为奇数时，奇数项有 项，偶数项有 ，当 为偶数时，奇数项和偶数项分别为 项，
分组求和即可.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
两式相减可得 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
所以 ， ， ， ， 是首项为1，公差为3的等差数列，
， ， ， ， 是首项为2，公差为3的等差数列，
第17页/共20页
学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
故 ；
【小问2详解】
当 为奇数时，
，
当 为偶数时，
，
综上 .
22. 动点 与定点 的距离和它到直线 的距离的比是常数 ，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程，并说明 是什么曲线；
（2）若过 的直线 与 交于 两点，点 是 上一点， 的最大值为 ，最小值为 ，且
成等比数列，求 的方程.
【答案】（1） ，曲线 是焦点在 轴上的椭圆.
第18页/共20页
学科网（北京）股份有限公司（2） .
【解析】
【分析】（1）由题可知利用距离之比代入化简即可得曲线 的方程为 ；
（2）依题意可知 ，设直线 与椭圆方程联立，利用韦达定理由等比数列性质可求
得 ，解方程可求得 的方程为 .
【小问1详解】
设点 ，根据题意可得 ，
化简得 ，即 .
故曲线 是焦点在 轴上的椭圆.
【
小问2详解】
由题可知 ，所以 ，
当 垂直于 轴时， ，此时 不成等比数列，故 的斜率存在.
如图所示：
第19页/共20页
学科网（北京）股份有限公司设 的方程为 ，则 ，
所以 .
联立 整理得 ，
则 ，
因为 成等比数列，所以 ，
即 ，可得 ，
所以 ，解得 ，
因此 的方程为 .
第20页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
