文档内容
机密★启用前
海口市 2024 届高三摸底考试
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.若集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2.已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
3.已知向量 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.40
4.一个近似圆台形状的水缸，若它的上､下底面圆的半径分别为 和 ，深度为 ，则该水缸灌
满水时的蓄水量为（ ）
A. B. C. D.
5.在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政
部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数 的定义域为 为偶函数， ，则 （
）
A. B. C.0 D.
7.三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式，其瞬时电流 （单位：安培）与时间 （单位：秒）满
足函数关系式： （其中 为供电的最大电流，单位：安培； 为角速度，单位：弧度/秒；
为初始相位），该三相交流电的频率 （单位：赫兹）与周期 （单位：秒）满足关系式 .某实验
室使用10赫兹的三相交流电，经仪器测得在 秒与 秒的瞬时电流之比为 ，且在 秒
时的瞬时电流恰好为1.5安培.若 ，则该实验室所使用的三相交流电的最大电流为（ ）
A.1安培 B. 安培 C.2安培 D.3安培
8.已知椭圆 的左､右焦点分别为 为 上一点，满足 ，以 的短
轴为直径作圆 ，截直线 的弦长为 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.数据 的第45百分位数是4
B.若数据 的标准差为 ，则数据 的标准差为C.随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
D.随机变量 服从二项分布 ，若方差 ，则
10.已知首项为正数的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则（ ）
A.
B.
C.当 时， 取最大值
D.当 时， 的最小值为27
11.已知 是 上的两个动点，且 .设 ， ，线段
的中点为 ，则（ ）
A.
B.点 的轨迹方程为
C. 的最小值为6
D. 的最大值为
12.设函数 ，则（ ）
A.
B.函数 有最大值
C.若 ，则
D.若 ，且 ，则
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，第16题第一问2分，第二问3分，共20分.
13.在 的展开式中 的系数为__________.14.已知直线 是曲线 的一条切线，则 __________.
15.已知 ，写出符合条件的一个角 的值为__________.
16.已知直线 过抛物线 的焦点，且与 交于 两点.过 两点分别作
的切线，设两条切线交于 点，线段 的中点为 .若 ，则 __________； 面积的
最小值为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知函数 称为高斯函数， 表示不超过 的最大整数，如 .若数列 满足
，且 ，记 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前2024项和.
18.（12分）
一次跳高比赛中，甲同学挑战某个高度，挑战规则是：最多可以跳三次.若三次都未跳过该高度，则挑战失败；
若有一次跳过该高度，则无需继续跳，挑战成功.已知甲成功跳过该高度的概率为 ，且每次跳高相互独立.
（1）记甲在这次比赛中跳的次数为 ，求 的概率分布和数学期望；
（2）已知甲挑战成功，求甲第二次跳过该高度的概率.
19.（12分）
已知四棱锥 的底面为矩形， ，过 作平面 ，分别交侧棱 于 两
点，且
（1）求证： ；（2）若 是等边三角形，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
20.（12分）
记 的内角 的对边分别为 ，已知 是边 上的一点，且
.
（1）求证： ；
（2）若 ，求 .
21.（12分）
在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左顶点为 ，离心率为 ，焦点到
渐近线的距离为2.直线 过点 ，且垂直于 轴，过 的直线 交 的两支于 两点，
直线 分别交 于 两点.
（1）求 的方程；
（2）设直线 的斜率分别为 ，若 ，求点 的坐标.
22.（12分）
已知函数 .
（1）若 的最小值为1，求 ；
（2）设 为两个不相等的正数，且 ，证明： .机密★启用前
海口市 2024 届高三摸底考试数学试题
参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B C B A D A
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
题号 9 10 11 12
答案 BCD ABD BC ACD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.24 14.2 15. （答案不唯一） 16.4，4
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
【解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以数列 的奇数项，偶数项分别构成公差为2的等差数列.
当 为奇数时，设 ，则 ，
当 为偶数时，设 ，则 ，
所以 .
（2）设 的前 项和为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 .
18.（12分）
【解】记“第 跳过该高度”分别为事件 .
（1） 的可能取值为 ，且
；；
.
所以 的概率分布为
1 2 3
所以， .
（2）“甲同学挑战成功”为事件B，则
所以 .
答：甲挑战成功，且第二次跳过该高度的概率 .
19.（12分）
【解】（1）证明：因为四边形 是矩形，所以 .
又 平面 平面 ，
所以 平面 .
因为 ，平面 ，
所以 .
因为 ，所以 .
因为四边形 为矩形，所以 ，
又 平面 且 ，所以 平面 .
因为 平面 ，
所以 .
（2）设 中点分别为 ，
因为 是等边三角形，所以 .
因为四边形 是矩形，点 分别为 的中点，
所以 ，且 .
由（1）可知， 平面 ，
又 平面 ，所以 ，所以 .
以 为原点， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立
空间直角坐标系，
则 ，
.
设 ，
则 ，
所以 .
设平面 的一个法向量为 ，
又 ，由 得
解得
不妨取 ，可得平面 的一个法向量为 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 .
设 ，
则 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 .
20.（12分）
【解】（1）在 中，由正弦定理，得 ，
所以 ，
同理 .
代入 ，得 ，在 中，由正弦定理，得 ，
所以 ，即 .
因为 是边 上的一点，
所以 ，即 .
（2）因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
同理， .
因为 ，所以 ，
化简，得 .
在 中，由余弦定理，得 ，
所以 ，
所以 .
21.（12分）
【解】（1）不妨设双曲线 的焦点坐标为 ，渐近线方程为 .由题意可得：
解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）由题意直线 的斜率不为0.
设直线 方程为 ，
由 ，消去 得： ，
由 ，得： .
设 ，则 .
由题意可知 ，则直线 .
令 ，得 ，所以 坐标为 ，
同理， 坐标为 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
整理得： .又
，
所以 .
因为 ，所以 ，即 ，
所以点 的坐标为 .
22.（12分）
【解】（1）函数 的定义域为 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调增.
又 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 .
（2）由 ，得 ，
即 即 .由（1）知 在 上单调递减，在 上单调递增，
不妨设 .
令 ，
则 .
当 时， ，
所以当 函数 单调递减，
所以 ，即 ，
又 ，所以 .
因为 ，当 时函数 单调递增，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
