文档内容
2026年中考数学常考考点专题之代数式
一．选择题（共12小题）
1 1 1 1
1．（2025•曲靖模拟）观察下列按一定规律排列的代数式：2，3+ ，3- ，3+ ，3- ，…，第n个代
2 3 4 5
数式为（ ）
(-1) n (-1) n (-1) n (-1) n
A．2+ B．2- C．3+ D．3-
n n n n
2．（2025•涿州市校级三模）一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，
比如99＝102﹣12，故99是一个智慧数．在下列各数中，不属于“智慧数”的是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
3．（2025•任泽区一模）《九章算术》中记载一问题：今有共买物，人出七，盈四：人出六，不足三．问
人数、物价各几何？意思是：今有人合伙购物，每人出 7钱，会多4钱；每人出6钱，又差3钱，问
人数、物价各多少？设有x人，则表示物价的代数式可以是（ ）
A．6（x+3） B．7x+4 C．6x﹣3 D．7x﹣4
4．（2025•金乡县一模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的
分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第 1种如图①有4个氢原子，第2种如图
②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…，按照这一规律，第20种化合物的分子结构模型
中氢原子的个数是（ ）
A．40 B．42 C．44 D．46
5．（2025•西藏）观察下列一组数：
1.9，3.99，5.999，7.9999，9.99999，…
按此规律，第n个数是（ ）
A．2n﹣0.1n B．2n+1﹣0.1n C．2n﹣1+0.9n D．2n﹣1﹣0.1n
6．（2025•凤庆县模拟）按一定规律排列的单项式y2，3y4，5y6，7y8，⋯，则第n个单项式是（ ）
A．（n+1）y2n B．nyn+2 C．（2n+1）y2n D．（2n﹣1）y2n
7．（2025•江北区校级二模）用黑白两种三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑
第1页（共29页）色三角形，第②个图案中有7个黑色三角形，第③个图案中有10个黑色三角形，第④个图案中有13
个黑色三角形，…，依此规律排下去，则第⑧个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．22 B．25 C．28 D．31
8．（2025•桑植县一模）以下是一组按规律排列的多项式：1+√2，a+√3，a2+2，a3+√5，a4+√6
，……，第n个多项式是（ ）
A．n+√n B．an-1+√n
C．an+√n+1 D．an-1+√n+1
9．（2025•丽江模拟）按一定规律排列的单项式：﹣x2，4x4，﹣9x6，16x8，﹣25x10，36x12，…，则第n
个单项式是（ ）
A．（﹣1）n（n+1）2x2n B．（﹣1）n﹣1（n+1）2x2n
C．（﹣1）nn2x2n D．（﹣1）n﹣1n2x2n
10．（2025•江北区校级模拟）已知整式M：a xn+a xn﹣1+…+a x+a ，其中n，a ，…，a ，a 为自然
n n﹣1 1 0 n﹣1 1 0
数，a 为正整数，且满足n+max（a ，a ，…，a ）＝4，其中max（a ，a ，…，a ）表示a ，a
n n n﹣1 0 n n﹣1 0 n n
，…，a 中最大的数．下列说法：
﹣1 0
①满足条件的整式M中只有4个单项式；
②在所有满足条件的整式M中，整式M的系数和的最大值为6；
③当n≤2时，满足条件的整式M共有19个．
其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
11．（2025•江北区校级模拟）五一期间，重庆无人机为游客呈现了一幕幕精彩的表演，在其中一幕表演
中，小明发现无人机的数量具有规律，第①个图案中有4架无人机，第②个图案中有9架无人机，第
③个图案中有14架无人机，观察图形，按此规律，第⑥个图案中的无人机数量是（ ）
第2页（共29页）A．28 B．29 C．30 D．31
12．（2025•江岸区校级模拟）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三
角”，如下，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）：
11（a+b）1＝a+b
121（a+b）2＝a2+2ab+b2
1331（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
14641（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过1510天后是（ ）
A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天
二．填空题（共8小题）
13．（2025•费县一模）有依次排列的3个数：5，12，10，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边
的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：5，7，12，﹣2，10，这称为第1次操作；做
第2次同样的操作后也可产生一个新数串：5，2，7，5，12，﹣14，﹣2，12，10，继续依次操作下去，
问：从数串5，12，10，开始操作第2025次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ．
14．（2025•遵义模拟）若单项式x2yn+1与单项式﹣2xmy4的和仍是单项式，则m﹣n＝ ．
15．（2025•临川区二模）按一定规律排列的单项式：4m，9m3，16m5，25m7，36m9，…据此规律，第12
个单项式为 ．
16．（2025•海陵区校级三模）素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命
题“对于任意的自然数n，n2﹣n+41都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要
举一个反例就行了，例如当n（n＜50）的值为 时，n2﹣n+41不是一个素数．
17．（2025•玉树市模拟）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色
正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律
排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为 ．
18．（2025•徐州校级模拟）若实数x满足x3﹣3x+2＝0，则代数式2025+6x﹣2x3的值为 ．
19．（2025•乾县校级二模）将形状、大小完全相同的黑色棋子按如图所示的规律拼成图案，其中第①个
图案中有2颗棋子，第②个图案中有5颗棋子，第③个图案中有8颗棋子，第④个图案中有11颗棋
子，…，按此规律，则第⑦个图案中棋子的数量为 颗．
第3页（共29页）20．（2025•西城区校级三模）如图所示，在一个半径为1m的圆形轨道所在平面内，垂直立一根柱子，
设轨道到柱子的最近距离为d（d＞0），在圆形轨道上有精密测距仪，可以在轨道的不同的 n个位置
测量离柱子的距离h，用h 、h …h 表示n个不同位置测量的距离．
1 2 n
当h
1
+h
2
+⋯+h
n﹣1
＝h
n
时，此时为轨道与柱子的最佳位置，此时的d为最佳距离，
（1）当最佳距离d＝1m时，h 的最大值为 ；
n
（2）当n的最大值为6时，最佳距离d的范围是 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•池州一模）观察下列各式：
1 1 1
第1个等式：-1× =-1+ =- ；
2 2 2
1 1 1 1 1
第2个等式：- × =- + =- ；
2 3 2 3 6
1 1 1 1 1
第3个等式：- × =- + =- ；…
3 4 3 4 12
（1）根据上述规律写出第5个等式： ；
（2）第n个等式： ；（用含n的式子表示）
1 1 1 1 1 1 1
（3）计算：(-1× )+(- × )+(- × )+⋯+(- × )．
2 2 3 3 4 2024 2025
22．（2025•来安县二模）观察以下等式：
第1个等式：22﹣12＝1×3；第2个等式：42﹣22＝2×6；
第3个等式：62﹣32＝3×9；第4个等式：82﹣42＝4×12；…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第7个等式： ；
第4页（共29页）（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
23．（2025•安徽三模）为提高学生的自主探究能力，我校开展了以兴趣小组为单位的探究活动，兴趣小
组在探究过程中发现：（n2+n+1）2＝a2+b2+c2（n，a，b，c均为正整数），探究过程如下：
当n＝1时，（12+1+1）2＝（1×2+1）2＝32；
当n＝2时，（22+2+1）2＝（2×3+1）2＝72；
当n＝3时，（32+3+1）2＝（3×4+1）2＝132；
当n＝4时，（42+4+1）2＝（4×5+1）2＝212；
…
（1）按照以上规律，填空：
①当n＝5时，（52+5+1）2＝（ ）2＝（ ）2；
②猜想：（n2+n+1）2＝（ ）2．
（2）兴趣小组经过探究还发现：
12+22+（1×2）2＝9＝32
22+32+（2×3）2＝49＝72
32+42+（3×4）2＝169＝132
42+52+（4×5）2＝441＝212
……
综合以上探究，猜想：（n2+n+1）2＝（ ）2+（ ）2+（ ）2，并给
出推理证明．
24．（2025•宿松县模拟）将10枚硬币背面朝上放在桌子上，依次编号为①，②，③…⑩，记正面朝
上为“+”，背面朝上为“﹣”，某兴趣小组同学依次按照如下规则进行翻硬币游戏：第1次把所有编
号能被1整除的硬币翻一次，第2次把所有编号能被2整除的硬币翻一次，第3次把所有编号能被3整
除的硬币翻一次…第n次把所有编号能被n整除的硬币翻一次，游戏结束．
（1）将下列表格补充完整：
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
翻次 1 2 2 3 2 4 4 4
结果 + ﹣ ﹣ + ﹣ ﹣ ﹣ ﹣
（2）若有20枚硬币，在游戏结束时，所有正面朝上的硬币的编号为 ；
（3）按照上述规则，若共有n枚硬币在游戏结束时朝上，则硬币数量最多为 枚（用
含有n的式子表示）．
25．（2025•蚌埠模拟）阅读材料：如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数
第5页（共29页）的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用
字母q表示（q≠0）．
1 1 1
（1）观察一个等比数列1， ， ， ，…，它的公比q＝ ；若a （n为正整
3 9 27 n
数）表示这个等比数列的第n项，则a ＝ ；
n
（2）欲求1+2+22+23+24+⋯+230的值，可以按照如下步骤进行：
令S＝1+2+22+23+24+⋯+230①，
等式两边都乘2，得2S＝2+22+23+24+25+⋯+231②，
由②﹣①，得2S﹣S＝231﹣1，
∴S＝231﹣1，即1+2+22+23+24+⋯+230的值为231﹣1．
请根据以上解答过程，计算：1+3+32+33+⋯+32025．
第6页（共29页）2026年中考数学常考考点专题之代数式
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D D B A D B D C C B
题号 12
答案 A
一．选择题（共12小题）
1 1 1 1
1．（2025•曲靖模拟）观察下列按一定规律排列的代数式：2，3+ ，3- ，3+ ，3- ，…，第n个代
2 3 4 5
数式为（ ）
(-1) n (-1) n (-1) n (-1) n
A．2+ B．2- C．3+ D．3-
n n n n
【考点】规律型：数字的变化类．
菁优网版权所有
【专题】规律型；推理能力．
【答案】C
【分析】根据前几个式子的规律可得第n个式子，注意符号的变化．
(-1) n
【解答】解：根据前面几个式子的规律可得第n个式子为3+ ．
n
故选：C．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些
部分发生了变化，是按照什么规律变化的，解题的关键是总结归纳出变化的规律．
2．（2025•涿州市校级三模）一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，
比如99＝102﹣12，故99是一个智慧数．在下列各数中，不属于“智慧数”的是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【考点】规律型：数字的变化类．
菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个非零自然数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞
n，即智慧数＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），因为mn是非0的自然数，因而m+n和m﹣n就是两个自
然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看着两个数能否
第7页（共29页）写成两个非0自然数的和与差．
【解答】解：A、15＝42﹣12；
B、16＝52﹣32；
C、17＝92﹣82；
D、18不能表示为两个非零自然数的平方差．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式，解决的方法就是对分解的每种情况进行验证．
3．（2025•任泽区一模）《九章算术》中记载一问题：今有共买物，人出七，盈四：人出六，不足三．问
人数、物价各几何？意思是：今有人合伙购物，每人出 7钱，会多4钱；每人出6钱，又差3钱，问
人数、物价各多少？设有x人，则表示物价的代数式可以是（ ）
A．6（x+3） B．7x+4 C．6x﹣3 D．7x﹣4
【考点】列代数式；数学常识．
菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据物价＝每人出的钱数乘以人数减去多的钱数或物价＝每人出的钱数乘以人数加上差的钱
数，列出代数式即可求解．
【解答】解：根据题意得，
表示物价的代数式为：7x﹣4或6x+3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了列代数式，掌握列代数式的方法是关键．
4．（2025•金乡县一模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的
分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第 1种如图①有4个氢原子，第2种如图
②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…，按照这一规律，第20种化合物的分子结构模型
中氢原子的个数是（ ）
A．40 B．42 C．44 D．46
【考点】规律型：图形的变化类．
菁优网版权所有
第8页（共29页）【专题】规律型；运算能力．
【答案】B
【分析】根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4＝1×2+2；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6＝2×2+2；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8＝3×2+2；
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：10＝4×2+2；
第5种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：12＝5×2+2；
…，
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n+2）个，
当n＝20时，2n+2＝42（个），
即第20种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为42个．
故选：B．
【点评】本题考查图形变化的规律，发现规律是关键．
5．（2025•西藏）观察下列一组数：
1.9，3.99，5.999，7.9999，9.99999，…
按此规律，第n个数是（ ）
A．2n﹣0.1n B．2n+1﹣0.1n C．2n﹣1+0.9n D．2n﹣1﹣0.1n
【考点】规律型：数字的变化类．
菁优网版权所有
【专题】规律型；运算能力．
【答案】A
【分析】先确定整数部分规律为2n﹣1，再确定小数部分规律为1﹣0.1n，最后确定这一组数的规律即
可．
【解答】解：观察这组数据可知：整数部分为1，3，5，7，9，……，则第n个数的整数部分为2n﹣
1，
小数部分0.9，0.99，0.999.0，9999，0.99999，……，则第n个数的小数部分为1﹣0.1n，
∴按此规律，第n个数是2n﹣0.1n．
故选：A．
【点评】本题考查了数字的变化规律，发现规律是关键．
6．（2025•凤庆县模拟）按一定规律排列的单项式y2，3y4，5y6，7y8，⋯，则第n个单项式是（ ）
A．（n+1）y2n B．nyn+2 C．（2n+1）y2n D．（2n﹣1）y2n
第9页（共29页）【考点】规律型：数字的变化类；单项式．
菁优网版权所有
【专题】规律型；运算能力．
【答案】D
【分析】直接利用已知单项式的次数与系数特点得出答案．
【解答】解：第1个单项式的系数是1，次数是2，
第2个单项式的系数是3，次数是4，
第3个单项式的系数是5，次数是6，
第4个单项式的系数是7，次数是8，
…，
∴第n个单项式的系数是2（n﹣1）+1＝2n﹣1，次数是2n，
∴第n个单项式是（2n﹣1）y2n．
故选：D．
【点评】此题考查了单项式，正确得出单项式次数与系数的变化规律是解题关键．
7．（2025•江北区校级二模）用黑白两种三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑
色三角形，第②个图案中有7个黑色三角形，第③个图案中有10个黑色三角形，第④个图案中有13
个黑色三角形，…，依此规律排下去，则第⑧个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．22 B．25 C．28 D．31
【考点】规律型：图形的变化类．
菁优网版权所有
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】B
【分析】根据所给图形，依次求出图形中黑色三角形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图案中黑色三角形的个数为：4＝1×3+1；
第②个图案中黑色三角形的个数为：7＝2×3+1；
第③个图案中黑色三角形的个数为：10＝3×3+1；
…，
所以第n个图案中黑色三角形的个数为（3n+1）个．
第10页（共29页）当n＝8时，
3n+1＝3×8+1＝25（个），
即第⑧个图案中黑色三角形的个数为25个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现黑色三角形个数变化的规律是解题的
关键．
8．（2025•桑植县一模）以下是一组按规律排列的多项式：1+√2，a+√3，a2+2，a3+√5，a4+√6
，……，第n个多项式是（ ）
A．n+√n B．an-1+√n
C．an+√n+1 D．an-1+√n+1
【考点】规律型：数字的变化类；多项式．
菁优网版权所有
【专题】规律型；推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意可知，1可以表示为a0，2=√4，即可得出规律，即第n个多项式可以表示为：an﹣1
+√n+1．
【解答】解：根据题意可知，按规律排列的多项式：1+√2，a+√3，a2+2，a3+√5，a4+√6
，……，
其中1可以表示为a0，2=√4，
∴第n个多项式可以表示为：an﹣1+√n+1，
故选：D．
【点评】本题考查的是数字的变化规律，多项式，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键．
9．（2025•丽江模拟）按一定规律排列的单项式：﹣x2，4x4，﹣9x6，16x8，﹣25x10，36x12，…，则第n
个单项式是（ ）
A．（﹣1）n（n+1）2x2n B．（﹣1）n﹣1（n+1）2x2n
C．（﹣1）nn2x2n D．（﹣1）n﹣1n2x2n
【考点】规律型：数字的变化类；单项式．
菁优网版权所有
【专题】推理填空题；推理能力．
【答案】C
【分析】观察﹣x2，4x4，﹣9x6，16x8，﹣25x10，36x12，的变化规，归纳出第n个单项式即可．
【解答】解：由﹣x2，4x4，﹣9x6，16x8，﹣25x10，36x12，…，
则可观察归纳得第n个单项式是（﹣1）nn2x2n．
第11页（共29页）故选：C．
【点评】本题考查单项式变化规律，解题关键是正确发现规律．
10．（2025•江北区校级模拟）已知整式M：a xn+a xn﹣1+…+a x+a ，其中n，a ，…，a ，a 为自然
n n﹣1 1 0 n﹣1 1 0
数，a 为正整数，且满足n+max（a ，a ，…，a ）＝4，其中max（a ，a ，…，a ）表示a ，a
n n n﹣1 0 n n﹣1 0 n n
，…，a 中最大的数．下列说法：
﹣1 0
①满足条件的整式M中只有4个单项式；
②在所有满足条件的整式M中，整式M的系数和的最大值为6；
③当n≤2时，满足条件的整式M共有19个．
其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】规律型：数字的变化类；单项式；多项式．
菁优网版权所有
【专题】计算题；几何直观．
【答案】C
【分析】本题需要根据已知条件n+max{ a ，a ，...，a }＝4，对整式M的不同情况进行分类讨论，
n n﹣1 0
从而判断各个说法的正确性．
【解答】解：判断说法①，
当n＝1时，若max{ a ，a }＝3，
1 0
设a＝3，a＝0，则M＝3x是单项式；
若a＝0，a＝3，则M＝3是单项式．
当n＝2时，若max{ a ，a ，a }＝2，设a ＝2，a ＝0，a ＝0，则M＝2x2是单项式；
2 1 0 2 1 0
设a ＝0，a ＝0，a ＝2，则M＝2是单项式．设a ＝1，a ＝1，a ＝0，则M＝x2+x是多项式．
2 1 0 2 1 0
当n＝3时，若max{ a ，a ，a ，a }＝1，设a ＝1，a ＝0，a ＝0，a ＝0，则M＝x3是单项式．
3 2 1 0 3 2 1 0
满足条件的单项式有x3，2x2，3x，2，3等不止4个，所以说法①错误．
判断说法②，
当n＝0时，max{ a }＝4，则M＝4，系数和为4．
0
当n＝1时，若a ＝3，a ＝0，M＝3x，系数和为3；
1 0
若a ＝0，a ＝3，M＝3，系数和为3．
1 0
当n＝2时，若a ＝2，a ＝0，a ＝0，M＝2x2，系数和为2；
2 1 0
若a ＝1，a ＝1，a ＝0，M＝x2+x，系数和为2．
2 1 0
当n＝3时，若a ＝1，a ＝0，a ＝0，a ＝0，M＝x3，系数和为1．
3 2 1 0
当n＝1，a ＝2，a ＝2时，M＝2x+2，系数和为4．
1 0
第12页（共29页）当n＝0，a ＝6不满足n+max{ a ，a ，...，a }＝4．系数和最大为4，不是6，所以说法②错误．
0 n n﹣1 0
判断说法③，
当n＝0时，max{ a }＝4，a ＝4，有1个整式M＝4．
0 0
当n＝1时，若max{ a ，a }＝3，（a ，a ）可以为（3，0），（0，3）；
1 0 1 0
若max{ a ，a }＝2，（a ，a ）可以为（2，0），（0，2），（2，1），（1，2）；
1 0 1 0
若max{ a ，a }＝1，（a ，a ）可以为（1，0），（0，1），（1，1），共8个整式．
1 0 1 0
当n＝2时，若max{a ，a ，a }＝2，（a ，a ，a ）有多种组合情况．
2 1 0 2 1 0
当a ＝2时，（a ，a ）有（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（0，2），（2，0）等情况；
2 1 0
当a ＝1时也有多种情况，共9个整式．
2
当n＝3时，max{a ，a ，a ，a }＝1，a ＝1，（a ，a ，a ）为（0，0，0），有1个整式．
3 2 1 0 3 2 1 0
满足条件的整式M共有1+8+9+1＝19个，所以说法③正确．
故选：C．
【点评】本题考查逻辑推理能力，分类讨论是解题关键．
11．（2025•江北区校级模拟）五一期间，重庆无人机为游客呈现了一幕幕精彩的表演，在其中一幕表演
中，小明发现无人机的数量具有规律，第①个图案中有4架无人机，第②个图案中有9架无人机，第
③个图案中有14架无人机，观察图形，按此规律，第⑥个图案中的无人机数量是（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【考点】规律型：图形的变化类．
菁优网版权所有
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】B
【分析】根据所给图形，依次求出图形中无人机的架数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图案中无人机的架数为：4＝1×5﹣1；
第②个图案中无人机的架数为：9＝2×5﹣1；
第③个图案中无人机的架数为：14＝3×5﹣1；
…，
所以第n个图案中无人机的架数为（5n﹣1）架．
第13页（共29页）当n＝6时，
5n﹣1＝5×6﹣1＝29（架），
即第⑥个图案中无人机的架数为29架．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现无人机架数的变化规律是解题的关键．
12．（2025•江岸区校级模拟）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三
角”，如下，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）：
11（a+b）1＝a+b
121（a+b）2＝a2+2ab+b2
1331（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
14641（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过1510天后是（ ）
A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天
【考点】规律型：数字的变化类；完全平方公式；数学常识．
菁优网版权所有
【专题】规律型；创新意识．
【答案】A
【分析】结合一个星期7天，即相应的尾数是7个数一循环，利用所给的规律求得1510天的尾数即可
判断．
【解答】解：∵1510＝（14+1）10
∴（14+1）10＝1410+10×149×1+…+10×14×19+110，
∴（14+1）10÷7的余数为：1，
即1510÷7的余数为：1，
∴若今天是星期三，则经过1510天后是星期四．
故选：A．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的规律，求得1510÷7的余数．
二．填空题（共8小题）
13．（2025•费县一模）有依次排列的3个数：5，12，10，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边
的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：5，7，12，﹣2，10，这称为第1次操作；做
第2次同样的操作后也可产生一个新数串：5，2，7，5，12，﹣14，﹣2，12，10，继续依次操作下去，
问：从数串5，12，10，开始操作第2025次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 1015 2 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
菁优网版权所有
第14页（共29页）【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】10152．
【分析】根据题意依次求出每次操作后所产生数串的所有数之和，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为5+12+10＝27，5+7+12+（﹣2）+10＝32，5+2+7+5+12+（﹣14）+（﹣2）+12+10＝37，…，
所以每次操作加5．
则27+2025×5＝10152，
即第2025次操作后所有数之和为10152．
故答案为：10152．
【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现每次操作加5是解题的关键．
14．（2025•遵义模拟）若单项式x2yn+1与单项式﹣2xmy4的和仍是单项式，则m﹣n＝ ﹣ 1 ．
【考点】合并同类项．
菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】根据合并同类项的法则可得：m＝2，n+1＝4，从而可得：m＝2，n＝3，然后把m，n的值代
入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵单项式x2yn+1与单项式﹣2xmy4的和仍是单项式，
∴m＝2，n+1＝4，
解得：m＝2，n＝3，
∴m﹣n＝2﹣3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
15．（2025•临川区二模）按一定规律排列的单项式：4m，9m3，16m5，25m7，36m9，…据此规律，第12
个单项式为 16 9 m 2 3 ．
【考点】规律型：数字的变化类；单项式．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】169m23．
【分析】根据所给的单项式的特点，找到规律即可判断．
【解答】解：由题意可得：
系数的排列规律为：4，9，16，25，⋯，（n+1）2，
指数的排列规律为：1，3，5，7，⋯，2n﹣1，
∴第n个单项式为：（n+1）2m2n﹣1，
第15页（共29页）∴第12个单项式为：（12+1）2m2×12﹣1＝169m23．
故答案为：169m23．
【点评】本题考查单项式的规律探索，能根据题中给出的单项式正确找到规律是解题关键．
16．（2025•海陵区校级三模）素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命
题“对于任意的自然数n，n2﹣n+41都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要
举一个反例就行了，例如当n（n＜50）的值为 4 1 时，n2﹣n+41不是一个素数．
【考点】规律型：数字的变化类；命题与定理．
菁优网版权所有
【专题】规律型．
【答案】41．
【分析】通过代入不同的自然数n（n＜50）到n2﹣n+41中，计算结果并判断是否为素数，找到反例．
【解答】解：当n＝40时，n2﹣n+41＝402﹣40+41＝1600﹣40+41＝1601，1601是素数；
当n＝41时，n2﹣n+41＝412﹣41+41＝1681﹣41+41＝1681，1681＝41×41，不是素数．
故答案为：41．
【点评】本题主要考查素数的定义，熟练掌握素数的定义（只能被1和它自身整除的自然数）是解题
的关键．
17．（2025•玉树市模拟）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色
正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律
排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为 1 3 ．
【考点】规律型：图形的变化类．
菁优网版权所有
【专题】推理填空题；整式．
【答案】见试题解答内容
【分析】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有5＝3+2×1个，第三个图形有7＝
3+2×2个，由此得到规律求得第⑥个图形中正方形的个数即可．
【解答】解：观察图形知：
第一个图形有3个正方形，
第二个有5＝3+2×1个，
第三个图形有7＝3+2×2个，
…
第16页（共29页）故第⑥个图形有3+2×5＝13（个），
故答案为：13．
【点评】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，
得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．
18．（2025•徐州校级模拟）若实数x满足x3﹣3x+2＝0，则代数式2025+6x﹣2x3的值为 202 9 ．
【考点】代数式求值．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】2029．
【分析】先根据已知条件求出x3﹣3x＝﹣2，把所求式子写成含有x3﹣3x的形式，再整体代入进行计算
即可．
【解答】解：∵x3﹣3x+2＝0，
∴x3﹣3x＝﹣2，
∴2025+6x﹣2x3的
＝2025﹣2（x3﹣3x）
＝2025﹣2×（﹣2）
＝2025+4
＝2029，
故答案为：2029．
【点评】本题主要考查了代数式求值，解题关键是熟练掌握利用整体代入法求值的方法．
19．（2025•乾县校级二模）将形状、大小完全相同的黑色棋子按如图所示的规律拼成图案，其中第①个
图案中有2颗棋子，第②个图案中有5颗棋子，第③个图案中有8颗棋子，第④个图案中有11颗棋
子，…，按此规律，则第⑦个图案中棋子的数量为 2 0 颗．
【考点】规律型：图形的变化类．
菁优网版权所有
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】20．
【分析】根据所给图形，依次求出图形中棋子的颗数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图案中棋子的数量为：2＝1×3﹣1；
第17页（共29页）第②个图案中棋子的数量为：5＝2×3﹣1；
第③个图案中棋子的数量为：8＝3×3﹣1；
…，
所以第n个图案中棋子的数量为（3n﹣1）颗．
当n＝7时，
3n﹣1＝3×7﹣1＝20（颗），
即第⑦个图案中棋子的数量为20颗．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现棋子的颗数依次增加3是解题的关键．
20．（2025•西城区校级三模）如图所示，在一个半径为1m的圆形轨道所在平面内，垂直立一根柱子，
设轨道到柱子的最近距离为d（d＞0），在圆形轨道上有精密测距仪，可以在轨道的不同的 n个位置
测量离柱子的距离h，用h 、h …h 表示n个不同位置测量的距离．
1 2 n
当h
1
+h
2
+⋯+h
n﹣1
＝h
n
时，此时为轨道与柱子的最佳位置，此时的d为最佳距离，
（1）当最佳距离d＝1m时，h 的最大值为 3 m ；
n
（2）当n的最大值为6时，最佳距离d的范围是 0. 4 m ≤ d ＜ 0. 5 m ．
【考点】规律型：图形的变化类；平面展开﹣最短路径问题．
菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）3m；
（2）0.4m≤d＜0.5m．
【分析】（1）根据圆的性质，当最佳距离d＝1m时，利用圆上一点到圆外一点距离的最值关系求解
h 最大值；
n
（2）根据h
1
+h
2
+⋯+h
n﹣1
＝h
n
以及圆上点到圆外一条直线的距离的取值范围，结合 n的最大值为6，建
立不等式求解，即可得最佳距离d的范围．
【解答】解：（1）如图，轨道圆心记为点O，立柱所在直线记为MN，作OH⊥MN，与 O交于点
B，点A，与MN交于点H， ⊙
第18页（共29页）根据题意可知，OA＝OB＝1m，d＝AH，
∴AB＝OA+OB＝1+1＝2（m），
当最佳距离d＝1m时，AH＝1m，
∴BH＝2+1＝3（m），
∴1m≤h≤3m，h 的最大值为3m，
n
故答案为：3m；
（2）当n＝6时，h +h +h +h +h ＝h ，
1 2 3 4 5 6
根据题意可得，d≤h≤d+2m，
∵h +h +h +h +h ＞5d，h ≤d+2m，
1 2 3 4 5 6
∴5d＜d+2m，
∴d＜0.5m，
当n的最大值为6时，h +h +h +h +h +h ＞6d，h ＞d+2m，
1 2 3 4 5 6 7
∴6d≥d+2m，
∴d≥0.4m，
∴0.4m≤d＜0.5m，
故答案为：0.4m≤d＜0.5m．
【点评】本题考查圆上一点到圆外直线的距离，解题的关键是正确理解题意．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•池州一模）观察下列各式：
1 1 1
第1个等式：-1× =-1+ =- ；
2 2 2
1 1 1 1 1
第2个等式：- × =- + =- ；
2 3 2 3 6
1 1 1 1 1
第3个等式：- × =- + =- ；…
3 4 3 4 12
第19页（共29页）1 1 1 1 1
（1）根据上述规律写出第5个等式： - × =- + =- ；
5 6 5 6 30
1 1 1 1 1
（2）第n个等式： - × =- + =- ；（用含n的式子表示）
n n+1 n n+1 n(n+1)
1 1 1 1 1 1 1
（3）计算：(-1× )+(- × )+(- × )+⋯+(- × )．
2 2 3 3 4 2024 2025
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．
菁优网版权所有
【专题】规律型；运算能力．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2024
【答案】（1）- × =- + =- ；（2）- × =- + =- ；（3）- ．
5 6 5 6 30 n n+1 n n+1 n(n+1) 2025
【分析】（1）观察可知两个连续的正整数的负倒数的乘积等于较小数的负倒数加上较大数的倒数，又
等于两个正整数乘积的负倒数，据此规律求解即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案；
（3）根据所得规律把所求式子裂项求解即可．
1 1 1 1 1
【解答】解：（1）由前三个等式以此类推可知，第n个等式：- × =- + =-
n n+1 n n+1 n(n+1)
（n为正整数），
1 1 1 1 1
∴第5个等式：- × =- + =- ；
5 6 5 6 30
1 1 1 1 1
（2）由（1）可得第n个等式：- × =- + =- ；
n n+1 n n+1 n(n+1)
1 1 1 1 1 1 1
（3）原式=(-1+ )+(- + )+(- + )+⋯+(- + )
2 2 3 3 4 2024 2025
1 1 1 1 1 1 1
=-1+ - + - + -⋯- +
2 2 3 3 4 2024 2025
1
=-1+
2025
2024
=- ．
2025
【点评】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是关键．
22．（2025•来安县二模）观察以下等式：
第1个等式：22﹣12＝1×3；第2个等式：42﹣22＝2×6；
第3个等式：62﹣32＝3×9；第4个等式：82﹣42＝4×12；…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第7个等式： 1 4 2 ﹣ 7 2 ＝ 7×2 1 ；
第20页（共29页）（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；列代数式．
菁优网版权所有
【专题】规律型；运算能力．
【答案】（1）142﹣72＝7×21；
（2）（2n）2﹣n2＝n•3n，证明如下：
左边＝4n2﹣n2＝3n2，
右边＝3n2，
∴左边＝右边，
∴（2n）2﹣n2＝n•3n成立．
【分析】（1）根据题目中等式的特点，写出第7个等式即可；
（2）根据题目中等式的特点，写出猜想（2n）2﹣n2＝n•3n，再分别计算等式左边和右边，看是否相等，
即可证明猜想．
【解答】解：（1）根据题目中等式的特点可知：第7个等式：142﹣72＝7×21．
故答案为：142﹣72＝7×21；
（2）猜想：（2n）2﹣n2＝n•3n；
证明如下：左边＝4n2﹣n2＝3n2，
右边＝3n2，
∴左边＝右边，
∴（2n）2﹣n2＝n•3n成立．
【点评】本题考查数字的变化类、列代数式，积的乘方运算，了解等式的特点，熟练掌握以上知识点
是关键．
23．（2025•安徽三模）为提高学生的自主探究能力，我校开展了以兴趣小组为单位的探究活动，兴趣小
组在探究过程中发现：（n2+n+1）2＝a2+b2+c2（n，a，b，c均为正整数），探究过程如下：
当n＝1时，（12+1+1）2＝（1×2+1）2＝32；
当n＝2时，（22+2+1）2＝（2×3+1）2＝72；
当n＝3时，（32+3+1）2＝（3×4+1）2＝132；
当n＝4时，（42+4+1）2＝（4×5+1）2＝212；
…
（1）按照以上规律，填空：
①当n＝5时，（52+5+1）2＝（ 5×6+ 1 ）2＝（ 3 1 ）2；
②猜想：（n2+n+1）2＝（ n （ n + 1 ） + 1 ）2．
第21页（共29页）（2）兴趣小组经过探究还发现：
12+22+（1×2）2＝9＝32
22+32+（2×3）2＝49＝72
32+42+（3×4）2＝169＝132
42+52+（4×5）2＝441＝212
……
综合以上探究，猜想：（n2+n+1）2＝（ n ）2+（ n + 1 ）2+（ n （ n + 1 ） ）2，并给出推理
证明．
【考点】规律型：数字的变化类；非负数的性质：偶次方．
菁优网版权所有
【专题】规律型；创新意识．
【答案】（1）①5×6+1；②n（n+1）+1；
（2）n，n+1，n（n+1），
（n2+n+1）2，
＝[n（n+1）+1]2，
＝[n（n+1）]2+2n（n+1）+1，
＝[n（n+1）]2+2n2+2n+1，
＝[n（n+1）]2+n2+（n2+2n+1），
＝[n（n+1）]2+n2+（n+1）2，
所以左边＝右边，猜想成立．
【分析】（1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决①②．
（2）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律，并进行证明即可．
【解答】解：（1）①当n＝5时，（52+5+1）2＝（5×6+1）2＝312；
②猜想：（n2+n+1）2＝[n（n+1）+1]2．
故答案为：①5×6+1，31；②n（n+1）+1；
（2）猜想：（n2+n+1）2＝n2+（n+1）2+[n（n+1）]2，
证明：（n2+n+1）2，
＝[n（n+1）+1]2，
＝[n（n+1）]2+2n（n+1）+1，
＝[n（n+1）]2+2n2+2n+1，
＝[n（n+1）]2+n2+（n2+2n+1），
＝[n（n+1）]2+n2+（n+1）2，
第22页（共29页）所以左边＝右边，猜想成立．
【点评】本题主要考查了数字变化的规律及整式的混合运算，能根据所给等式发现各部分的变化规律
是解题的关键．
24．（2025•宿松县模拟）将10枚硬币背面朝上放在桌子上，依次编号为①，②，③…⑩，记正面朝
上为“+”，背面朝上为“﹣”，某兴趣小组同学依次按照如下规则进行翻硬币游戏：第1次把所有编
号能被1整除的硬币翻一次，第2次把所有编号能被2整除的硬币翻一次，第3次把所有编号能被3整
除的硬币翻一次…第n次把所有编号能被n整除的硬币翻一次，游戏结束．
（1）将下列表格补充完整：
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
翻次 1 2 2 3 2 4 4 4
结果 + ﹣ ﹣ + ﹣ ﹣ ﹣ ﹣
（2）若有20枚硬币，在游戏结束时，所有正面朝上的硬币的编号为 ①④⑨⑯ ；
（3）按照上述规则，若共有n枚硬币在游戏结束时朝上，则硬币数量最多为 （ n 2 + 2 n
） 枚（用含有n的式子表示）．
【考点】规律型：数字的变化类；列代数式．
菁优网版权所有
【专题】规律型；整式；运算能力；推理能力．
【答案】（1）
编 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
号
翻 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4
次
结 + ﹣ ﹣ + ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ + ﹣
果
（2）①④⑨⑯；
（3）（n2+2n）．
【分析】（1）编号⑦能被1和7整数，所以翻次为2，结果为“﹣”，编号⑨能被1，3和9整除，
所以翻次为3，结果为“+”，填表即可；
（2）列出所有游戏结果，可得答案；
（3）根据前20枚硬币的结果，得出前4次硬币数量最多的枚数，即可得出答案．
【解答】解：（1）编号⑦能被1和7整数，所以翻次为2，结果为“﹣”，编号⑨能被1，3和9整
除，所以翻次为3，结果为“+”，填表如下；
编 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
号
第23页（共29页）翻 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4
次
结 + ﹣ ﹣ + ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ + ﹣
果
（2）结合（1），可知有20枚硬币，在游戏结束时，所有正面朝上的硬币的编号为①④⑨⑯．
编 ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮ ⑯ ⑰ ⑱ ⑲ ⑳
号
翻 2 6 2 4 4 5 2 6 2 6
次
结 ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ + ﹣ ﹣ ﹣ ﹣
果
故答案为：①④⑨⑯；
（3）当有1枚硬币正面朝上，最多可以有1+2枚硬币；
当有2枚硬币正面朝上，最多可以有22+4枚硬币；
当有3枚硬币正面朝上，最多可以有32+2×3枚硬币；
…，
当有n枚硬币正面朝上，最多可以有n2+2×n＝n2+2n枚硬币．
故答案为：（n2+2n）．
【点评】本题主要考查了数字变化规律，用代数式表示，熟练掌握以上知识点是关键．
25．（2025•蚌埠模拟）阅读材料：如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数
的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用
字母q表示（q≠0）．
1 1 1 1
（1）观察一个等比数列1， ， ， ，…，它的公比q＝ ；若a （n为正整数）表示这个等
3 9 27 3 n
1
比数列的第n项，则a ＝ ；
n 3n-1
（2）欲求1+2+22+23+24+⋯+230的值，可以按照如下步骤进行：
令S＝1+2+22+23+24+⋯+230①，
等式两边都乘2，得2S＝2+22+23+24+25+⋯+231②，
由②﹣①，得2S﹣S＝231﹣1，
∴S＝231﹣1，即1+2+22+23+24+⋯+230的值为231﹣1．
请根据以上解答过程，计算：1+3+32+33+⋯+32025．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；列代数式．
菁优网版权所有
【专题】规律型；运算能力．
第24页（共29页）1 1
【答案】（1） ， ；
3 3n-1
32026-1
（2）1+3+32+33+⋯+32025= ．
2
1
【分析】（1）通过观察可知后一个数除以前一个数等于 ，根据已知数的特点求出a 即可；
3 n
（2）令S＝1+3+32+33+⋯+32025，则3S＝3+32+33+⋯+32026，两式相减即可得出答案．
1 1
【解答】解：（1）q= ÷1= ，
3 3
1 1 2 1 1 3 1
∵a ＝1，a = ，a =( ) = ，a =( ) = ，……，
1 2 3 3 3 32 4 3 33
1 n-1 1
a =( ) = ，
n 3 3n-1
1 1
故答案为： ， ；
3 3n-1
（2）令S＝1+3+32+33+⋯+32025，则3S＝3+32+33+⋯+32026，
两式相减，得2S＝32026﹣1，
32026-1 32026-1
∴S= ，即1+3+32+33+⋯+32025= ．
2 2
【点评】本题考查了有理数的混合运算的应用，探索与表达规律，发现规律是关键．
第25页（共29页）考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计
算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化
为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积
为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
3．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它
合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
4．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词
义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．
要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量
关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这
部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略
乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，
书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代
第26页（共29页）数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或
者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
5．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
6．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；
字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到
化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指
数不变．
7．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知
识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数
量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为 x，再利用它们之间的关系，
第27页（共29页）设出其他未知数，然后列方程．
8．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接
利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
9．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同
的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不
能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
10．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式
中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，
如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
11．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两
项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和
（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完
全平方公式．
12．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．
一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合
问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
第28页（共29页）13．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是
由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分
是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般
需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
第29页（共29页）
