文档内容
内江市二○二四年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷
数学试题
本试卷分为A卷和B卷两部分．A卷1至5页，满分100分；B卷6至8页，满分60分．全
卷满分160分，考试时间120分钟．
A卷（共100分）
注意事项：
1、答题前，考生务必将将自己的姓名、学号、班级等填写好．
2、答A卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号．
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）
1. 下列四个数中，最大数是（ ）
A. B. 0 C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数大小比较的法则，①正数都大于0，②负数都小于0，③正数大于一切负数，④
两个负数，绝对值大的其值反而小．根据有理数的大小比较选出最大的数即可．
【详解】解： ，
∴最大的数是3，
故选：D．
2. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变
化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称
图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的
图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考
1查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
3. 下列单项式中， 的同类项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．依据同类项的定义：所含字
母相同，相同字母的次数相同，据此判断即可．
【详解】解：A．是同类项，此选项符合题意；
B．字母a的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
C．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
D．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意．
故选：A．
4. 2023年我国汽车出口491万辆，首次超越日本，成为全球第一大汽车出口国，其中 491万用科学记数法
表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为 的
形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对
值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：491万 ，
故选：C．
5. 16的平方根是（ ）
2A. B. 4 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】题考查了平方根，熟记定义是解题的关键．根据平方根的定义计算即可．
【详解】解：16的平方根是 ，
故选：D．
6. 下列事件时必然事件的是（ ）
A. 打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B. 从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级
C. 小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D. 从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指
在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机
事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断．
【详解】解：A、是随机事件，不符合题意，选项错误；
B、是必然事件，符合题意，选项正确；
C、是随机事件，不符合题意，选项错误；
D、 是随机事件，不符合题意，选项错误；
故选：B．
7. 已知 与 相似，且相似比为 ，则 与 的周长比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键．
【详解】解：∵ 与 相似，且相似比为 ，
∴ 与 的周长比为 ，
故选B．
38. 不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不
等式的步骤是解题的关键．
【详解】解：移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为 得， ，
故选： ．
9. 如图， ，直线 分别交 、 于点 、 ，若 ，则 的大小是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
10. 某市2021年底森林覆盖率为 ，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发
4展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到 ．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为 ，则符
合题意得方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长
率为x，根据2023年底森林覆盖率 2021年底森林覆盖率 ，据此即可列方程求解．
【详解】解：根据题意，得
即 ，
故选：B．
11. 如图所示的电路中，当随机闭合开关 、 、 中的两个时，灯泡能发光的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有12
种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关 和 ， 和 时，灯泡能发光，
画树状图如下：
5共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种，
∴灯泡能发光的概率为 ，
故选：A．
的
12. 如图，在平面直角坐标系中， 轴，垂足为点 ，将 绕点 逆时针旋转到 位
置，使点 的对应点 落在直线 上，再将 绕点 逆时针旋转到 的位置，使点
的对应点 也落在直线 上，如此下去，……，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为（
）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以
及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键．
通过求出点 的坐标， 、 、 的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然
后结合图形求解即可．
【详解】 轴，点 的坐标为 ，
6，则点 的纵坐标为3，代入 ，
得： ，则点 的坐标为 ．
， ，
，
由旋转可知， ， ，
，
， ，
，
．
设点 的坐标为 ，
则 ，
解得 或 （舍去），则 ，
点 的坐标为 ．
故选C．
第Ⅱ卷（非选择题 共64分）
注意事项：
1、第Ⅱ卷共3页，用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上．
2、答题前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
713. 在函数 中，自变量 的取值范围是________；
【答案】
【解析】
【分析】本题考查函数的概念，根据分式成立的条件求解即可．熟练掌握分式的分母不等于零是解题的关
键．
【详解】解：由题意可得， ，
故答案 ：为．
14. 分解因式： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】原式提取公因式即可得到结果．
【详解】原式= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了提公因式法．
15. 已知二次函数 的图象向左平移两个单位得到抛物线 ，点 ， 在抛物
线 上，则 ________ （填“＞”或“＜”）；
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线 的解析
式为 ，再利用二次函数图象的性质可得出答案．
【详解】解： ，
∵二次函数 的图象向左平移两个单位得到抛物线 ，
∴抛物线 的解析式为 ，
8∴抛物线开口向上，对称轴为 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
16. 如图，在矩形 中， ， ，点 在 上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落
在 边上的点 处，那么 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先根据矩形的性质得 ， ，再根据折叠的性质得 ，
，在 中，利用勾股定理计算出 ，则 ，设 ，则
，然后在 中根据勾股定理得到 ，解方程即可得到x，进一步
得到 的长，再根据正切数的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
∵矩形 沿直线 折叠，顶点 恰好落在 边上的 处，
∴ ， ，
9∴在 中， ，
∴ ，
设 ，则
∵在 中， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，
位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义．
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17. （1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及整式的混合运算．
（1）本题主要考查了实数的运算，熟练掌握绝对值，零次幂和特殊三角函数是解决本题的关键．
（2）本题主要考查了整式的混合运算，熟练地掌握平方差公式及合并同类项是解决本题的关键．
【详解】解 （1）原式
∶
，
10（2）原式
18. 如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ， ，
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关
键.
（1）先证明 ，再结合已知条件可得结论；
（2）证明 ，再结合三角形的内角和定理可得结论.
【小问1详解】
证明：∵
∴ ，即
∵ ，
∴
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
1119. 某校为了解学生对“生命．生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生
进行综合测试．测试结果分为 级、 级、 级、 级四个等级，并将测试结果绘制成了如下两幅不完整
的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是________；
（2）扇形统计图中表示 级的扇形圆心角的度数是________，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为 级的学生大约有多少人？
【答案】（1）40 （2） ；补图见解析
（3）90人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结
合的思想解答．
（1）用B级人数除以所占百分比即可求解；
（2）用 乘以D级所占百分比求解；用总人数乘以C级所占百分比求出C级的人数，然后补图即可；
（3）用600乘以成绩为 级的学生所占百分比即可．
【小问1详解】
解：本次抽样测试的学生人数为： （名）
答：答案为40；
【小问2详解】
解：扇形统计图中表示 级的扇形圆心角的度数是：
级的人数为： （名）
补充完整的条形统计图如图所示：
12；
【小问3详解】
解： （人）
答：该校八年级共有学生600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为 级的学生大约有90人．
20. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 、 两点，其中点 的坐标为
，点 的坐标为
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于 的不等式 的解集
【答案】（1） ，
（2） 或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练
13地掌握待定系数法是解题的关键．
（1）用待定系数法求反比例函数解析式以及一次函数解析式即可．
（2）根据函数图像即可求解．
【小问1详解】
解：把 的坐标 代入 ，
得 ，
解得 ，
反比例函数的解析式为：
∴
把 的坐标 代入 ，
得
的坐标
∴
把 ， 代入 ，
得
解得： ，
一次函数的解析式为： ．
∴
【小问2详解】
关于 的不等式 的解集，即反比例函数 的图像在一次函数 的图像上方．
∵
14根据图象，关于 的不等式 的解集为： 或 ．
∴
21. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用
5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元
时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．
（1）求这两种粽子的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价 元 ， 表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求 关于 的
函数表达式并求出 的最大值．
【答案】（1）猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元
（2） 或 ，当 时， 取得最大值为1000元
【解析】
【分析】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及
二次函数配方求最值问题．
（1）设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为 元．根据“用5000元购进的猪肉粽盒
数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可；
（2）根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答．
【小问1详解】
解：设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为 元
由题意得：
解得：
经检验： 是原方程的解且符合题意
∴
答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元．
【小问2详解】
解：设猪肉粽每盒售价 元 ， 表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则
15∵ ， ，
∴当 时， 取得最大值为1000元．
B卷（共60分）
注意事项：加试卷共3页，请将答案直接填写在试卷上．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22. 已知实数a，b满足 ，那么 的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】先根据异分母的分式相加减的法则把原式化简，再把ab=1代入进行计算即可．
【详解】解：
∵
∴原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入
求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
23. 如图，在 中， ， ， ，则 的度数为________；
16【答案】 ##100度
【解析】
【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差．
根据三角形的内角和可得 ，根据 ， 得到 ，
，从而 ，根据角的和差有 ，
即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴
∴ ．
故答案为：
24. 一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为 9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为
“极数”．若偶数 为“极数”，且 是完全平方数，则 ________；
【答案】1188或4752
【解析】
【分析】此题考查列代数式解决问题，设出m的代数式后根据题意得到代数式的取值范围是解题的关键，
根据取值范围确定可能的值即可解答问题．设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，将m表示出来，
根据 是完全平方数，得到可能的值即可得出结论．
【详解】解：设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数），
17∴ ，
∵m是四位数，
∴ 是四位数，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是完全平方数，
∴ 既是3的倍数也是完全平方数，
∴ 只有36，81，144，225这四种可能，
∴ 是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425，
又m是偶数，
∴ 或4752
故答案为：1188或4752．
25. 如图，在 中， ， ， 是 边上一点，且 ，点 是 的内心，
的延长线交 于点 ， 是 上一动点，连接 、 ，则 的最小值为________．
18【答案】
【解析】
【分析】在 取点F，使 ，连接 ， ，过点F作 于H，利用三角形内心
的定义可得出 ，利用 证明 ，得出 ，则
，当C、P、F三点共线时， 最小，最小值为 ，利用含 的直
角三角形的性质求出 ，利用勾股定理求出 ， 即可．
【详解】解：在 取点F，使 ，连接 ， ，过点F作 于H，
∵I是 的内心，
∴ 平分 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当C、P、F三点共线时， 最小，最小值为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
19∴ ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含 的直角三角形的性质，勾股定理等
知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含 的直角三角形是解题的关键．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26. 已知关于 的一元二次方程 （ 为常数）有两个不相等的实数根 和 ．
（1）填空： ________， ________；
（2）求 ， ；
的
（3）已知 ，求 值．
【答案】（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解
题的关键．
（ ）利用根和系数的关系即可求解；
（ ） 变形为 ，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的
定义可得 ，即得 ，进而可得 ；
20（ ）把方程变形为 ，再把根和系数的关系代入得 ，可得
或 ，再根据根的判别式进行判断即可求解．
【小问1详解】
解：由根与系数的关系得， ， ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∵关于 的一元二次方程 （ 为常数）有两个不相等的实数根 和 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：由根与系数的关系得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
21∴一元二次方程 为 或 ，
当 时， ，不合题意，舍去；
当 时， ，符合题意；
∴ ．
27. 如图， 是 的直径， 是 的中点，过点 作 的垂线，垂足为点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： 是 的切线；
（3）若 ， ，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】+（1）分别证明 ， ，从而可得结论；
（2）连接 ，证明 ，可得 ，再进一步可得结论；
（3）连接 、 ，证明四边形 是矩形，可得 ，再证明 ，可得
，可得 ，利用 可得答案.
【小问1详解】
22证明：∵ 是 的直径
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：连接
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
23∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
【小问3详解】
解：连接 、
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 是半径， 是 的中点，
∴ ， ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，熟练地掌握相似三角形的判定和切
线的判定是解决本题的关键。
28. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线
24经过 、 两点，在第一象限的抛物线上取一点 ，过点 作 轴于点 ，交
于点 ．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点 ，使得 和 相似？若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3） 是第一象限内抛物线上的动点（不与点 重合），过点 作 轴的垂线交 于点 ，连接 ，
当四边形 为菱形时，求点 的横坐标．
【答案】（1）
（2）点 的坐标为 或
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后代入 ，求出b、c的值即可；
（2）由对顶角的性质性质知 ，若存在 和 相似，则有 和
两种情况，然后分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）设点 ， ， ， ，则
， ，根据菱形的性质得出 ，可求出 ，过
25点 作 于 ，可得 ，利用等角的余弦值相等得出 ，求出
，根据菱形的性质得出 ，解方程求出m的值即可．
【小问1详解】
解：令 ，则 ，则 ；令 ，则
∴ ，
把 ， 代入 ，得：
解得：
∴这条抛物线所对应的函数表达式为： ；
【小问2详解】
解：存在点 ，使得 和 相似．
设点 ，则 ， ，
∴ ， ， ， ，
∵ 和 相似，
∴ 或
①如图1，当 时，
26∴
∴ 点纵坐标为6
∴ ，解得： 或
∴
②如图2，当 时，
过B作 于H
∴
∴
∴
∴ ，解得： （舍去）或
27∴
综上所述，点 的坐标为 或 ．
【小问3详解】
如图3，∵四边形 为菱形
∴ ， ，
设点 ， ， ，
∴ ，
∴ ，即
∵
∴ ，即 或
∵ ，
∴ ，
∴
过点 作 于
∴
28∴
∴ ，即
∴
∵
∴
∴
解得： （不合题意，舍去）或
故
答：点 的横坐标为
【点睛】本题是常见的中考数学压轴题型，综合性比较强，涉及到知识点较多；主要考查了待定系数法求
二次函数的解析式，相似三角形的性质，菱形的性质；解题时要能够灵活运用所学的数学知识，要会分类
讨论．
29
