文档内容
2024-2025-1 高一年级月考（1）
数 学 试 题
时间：120分钟 满分：120分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 命题“ ， ”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定直接判断即可.
【详解】命题“ ， ”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题“ ， ”的否定为 ， .
故选：C
2. 下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A. {x|x＝1} B. {x＝1}
C. {1} D. {y|(y－1)2＝0}
【答案】B
【解析】
【详解】选项A,C,D表示的集合中都只有一个元素1，故它们是相等的集合，而选项B中的集合是以方程
为元素的集合，集合中的元素是方程，显然不同于其他集合，故选B.
3. 一元二次不等式 的解集为（ ）
A. B.
第1页/共20页
学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出一元二次不等式的解集判断即可.
【详解】不等式 化为 ，即 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
故选：A
4. 已知 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断即得.
【详解】对于A，由 ， ，得 ，A正确；
对于B，由 ，得 ，而 ，则 ，B错误；
对于C，由 ， ，得 ，C正确；
对于D，由 ，得 ，而 ，则 ，D正确.
故选：B
5. “ ”是“ ”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
第2页/共20页
学科网（北京）股份有限公司C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可.
【详解】当 时， ；而当 时， 或 ，
所以“ ”是“ ”成立的充分不必要条件.
故选：A
6. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛，有8人参加
田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比
赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参加
趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类
一项比赛的人数.
【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15，
且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人；
同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人.
又因为没有人同时参加三项比赛，
所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为： 人.
故选：D
7. “对任意实数x，不等式 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立求出 的范围，再利用充分不必要条件的定义判断即
第3页/共20页
学科网（北京）股份有限公司得.
【详解】由不等式 恒成立，得 ，解得 ，
而集合 真包含于集合 ，
所以不等式 恒成立的一个充分不必要条件是 ，C是，ABD不是.
故选：C
8. 若关于x的不等式 的解集中恰好含有2024个整数，则实数a的取值范围是（
）
A.
B.
C. 或
D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】对参数 进行分类讨论，然后根据解集中恰好含有2024个整数确定两端点的取值即可.
【详解】当 时，即 ， ，则 ，解集含有无数个整数，不符合题意；
当 时，即 时， ，
当 时， ，则不等式的解集为 ，
当 时， ，则不等式的解集为 ，
第4页/共20页
学科网（北京）股份有限公司不等式解集中都有无数个整数，不符合题意；
当 时，即 或 ， ，
当 时， ，不等式的解集为 ，
而 ，于是 ， ，解得 ，
当 时， ，不等式的解集为 ，
而 ，于是 ， ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 或 .
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 如图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据Venn图，结合集合运算的概念即可得出答案.
详解】
【
A选项： ，则 ，故A正确；
第5页/共20页
学科网（北京）股份有限公司B选项： ，则 ，故B错误；
C选项： ，则 ，故C错误；
D选项： ， ，故D正确.
故选：AD.
10. 对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为（ ）
A. 若a＞b，则
B. 若a＞b，则ac2≥bc2
C. 若a＞0＞b，则a2＜﹣ab
D. 若c＞a＞b＞0，则
【答案】BD
【解析】
【分析】通过特例法可证 错误；由不等式的性质可证 正确.
【详解】A．根据a＞b，取a＝1，b＝﹣1，则 不成立，故A错误；
B．∵a＞b，∴由不等式的基本性质知ac2≥bc2成立，故B正确；
C．由a＞0＞b，取a＝1，b＝﹣1，则a2＜﹣ab不成立，故C错误；
D．∵c＞a＞b＞0，∴（a﹣b）c＞0，∴ac﹣ab＞bc﹣ab，即a（c﹣b）＞b（c﹣a），
∵c﹣a＞0，c﹣b＞0，∴ ，故D正确．
故选：BD．
【点睛】本题考查由不等式的性质判断不等式是否正确，命题真假的判断，属于基础题
11. 数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需
文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为
优雅.如图所示，点C为圆O的直径AB上一点，D，F是圆上的点，且 ， ，且
第6页/共20页
学科网（北京）股份有限公司于E，设 ， ，则利用 ， ， 中边长间的关系可以完成的无字
证明为（ ）
A. （ ， ） B. （ ， ）
C. （ ， ） D. （ ， ）
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件，借助相似三角形用 表示相关线段，再借助图形即可判断得解.
【详解】依题意，不妨令 ， ， ，
由 ，得 ，
连接 ，则 ，而 ，
则 ， ∽ ，
于是 ， ，又 ， ，
则 ∽ ， ，于是 ，
观察图形知， ， ， ，当且仅当点 重合时取等号，
第7页/共20页
学科网（北京）股份有限公司即 ， ， ，当且仅当点 时取等号，ABC正确；
对于D， 都表示线段长平方，
不能表示 ， ， 中边长，因此D错误.
故选：ABC
12. （多选）若非空实数集 满足任意 ，都有 ， ，则称 为“优集”．已
知 是优集，则下列命题中正确的是（ ）
A. 是优集 B. 是优集
C. 若 是优集，则 或 D. 若 是优集，则 是优集
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解.
【详解】对于A中，任取 ，
因为集合 是优集，则 ，则 ，
，则 ，所以A正确；
对于B中，取 ，
则 或 ，
第8页/共20页
学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，所以B不正确；
对于C中，任取 ，可得 ，
因为 是优集，则 ，
若 ，则 ，此时 ；
若 ，则 ，此时 ，
所以C正确；
对于D中， 是优集，可得 ，则 为优集；
或 ，则 为优集，所以 是优集，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定
义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中
发现可以使用的集合的性质的一些因素.
三、填空题，本题共4小题，每小题4分，共16分．
13. 方程组 的解集用列举法表示为______________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对 的形式表
示元素）.
【详解】因为 ，所以 ，所以列举法表示解集为： .
故答案为 .
【点睛】本题考查二元一次方程组解集的列举法表示，难度较易.二元一次方程组的解用列举法表示时，可
第9页/共20页
学科网（北京）股份有限公司将元素表示成有序数的形式： .
14. 已知 ，则 _____________
【答案】2
【解析】
【分析】讨论 和 两种情况，再验证得到答案.
【详解】
当 时， ，代入验证知： ，不满足互异性，排除；
当 时， 或 （舍去），代入验证知： ，满足.
故答案为
【点睛】本题考查了元素和集合的关系，没有验证互异性是容易发生的错误.
15. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买 黄金，售货员先将 的砝码放
在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄
金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则顾客实际得到的黄金___ （填>、
<或=）杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂
【答案】>
【解析】
【分析】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为 ，右臂长为 （ ），先称得的黄金的实际
质量为 ，后称得的黄金的实际质量为 ，利用杠杆的平衡原理可得 ， ，再结合基本不
等式比较 与10的大小即可．
【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为 ，右臂长为 ，则 ，
第10页/共20页
学科网（北京）股份有限公司再设先称得黄金为 ，后称得黄金为 ，则 ， ， ， ，
，当且仅当 ，即 时等号成立，但 ，
等号不成立，即 ．因此，顾客购得的黄金大于 ．
故答案为：>
16. 已知集合 ，若集合A只有两个元素，则实数a可取的一个值为
__________；若集合 ，集合 ，当集合C有8个子集时，实数a的取值范围为
__________．
【答案】 ①. 2（答案不唯一，另一个值为 ） ②.
【解析】
【分析】由方程 根的情况求出 值即可；由并集的元素个数，分类求解即得.
【详解】由 ，得 或 ，
由集合A只有两个元素，得方程 有两个相等的实根，且该实根不为3，
因此 ，解得 ，此时方程的根为1或 ，符合题意，
所以 ，取 ；
由集合C有8个子集，得集合 中有3个元素，而 ， ，
则 或 或 或 ，
当 时，方程 无实根， ，解得 ，
当 时，方程 有两个相等的实根1，则 ，
第11页/共20页
学科网（北京）股份有限公司当 时，方程 有两个相等的实根4，
而方程 有实根时，两根之积为1，因此无解，
当 时，方程 的两根分别为 ，同上无解，
实数a的取值范围为 .
故答案为：2；
四、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 若集合 或 ．
（1）若 ，求 ．
的
（2）若 ，求实数a 取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据集合的运算法则计算；
（2）由已知得 ，再由包含关系得不等式关系，从而得参数范围．
【小问1详解】
由已知 ， ，
∴ ；
【小问2详解】
∵ ，∴ ，
若 ，即 ，则 满足题意；
第12页/共20页
学科网（北京）股份有限公司若 ，则 或 ，解得 或 ，所以 ，
综上， 的范围是 ．
18. 设命题 ， ，命题 ， ．
（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p为假命题、q为真命题，求实数m的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用一元二次方程无实根求出 的取值范围即得.
（2）由命题 为真命题求出 的范围，再结合（1）求出答案.
【小问1详解】
由 ， ，得关于 的方程 无实根，
因此 ，解得 ，
所以实数m的取值范围是 .
【小问2详解】
由p为假命题，得 ， 为真命题，即 ， ，
而当 时， ，当且仅当 时取等号，因此 ，
由（1）知， ，则 ，
第13页/共20页
学科网（北京）股份有限公司所以实数m的取值范围是 .
19. （1）已知关于x的不等式 的解集为 ，求实数a的值；
（2）若 ，求关于x的不等式 的解集．
.
【答案】（1） ；（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用三个“二次”的关系求出 值.
（2）由 的取值情况，分类讨论求解不等式即得.
【详解】（1）依题意， 是方程 的两个实根，且 ，
而 化为 ，解得 或 ，则 ，解得 ，
所以实数a的值为 .
（2）不等式 化为 ，
当 时， ，解得 ；
当 时，原不等式化为 ，解得 或 ，
当 时，原不等式化为 ，
当 时， ，解得 ；当 时， ，不等式无解；当 时， ，解得
，
所以当 时，原不等式的解集为 ；
第14页/共20页
学科网（北京）股份有限公司当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
20. 已知由自然数组成的 个元素的集合 ，非空集合 ，且对任意的
，都有 .
（1）当 时，求所有满足条件的集合B；
（2）当 时，求所有满足条件的集合B的元素总和．
【答案】（1） ， ， ；
（2）288.
【解析】
【分析】（1）由 知 有偶数个元素，分别讨论两个元素和四个元素的情况即可得到结果.
（2）由 知 有偶数个元素，分别在两个、四个、六个和八个元素的情况下求解元
素之和即可得解.
【
小问1详解】
当 时， ，
由 是 的非空子集，且 时， ，得 中有偶数个元素，
当 中有两个元素时， 或 ；当 中有四个元素时， ，
所以所有满足条件的集合 有： ， ， .
第15页/共20页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
当 时， ，
由 是 的非空子集，且 时， ，得 中有偶数个元素，
当 中有两个元素时，集合 可以为 ，元素总和为： ；
当 中有四个元素时，集合 可以为集合 中任取两个的并集，
集合 共有6种情况，元素总和为： ；
当 中有六个元素时，集合 可以为集合 中任取三个的并集，
集合 共有4种情况，元素总和为： ；
当 中有八个元素时， ，元素之和为： ，
所以所有满足条件的集合 的元素总和为： .
21. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为 ，体育馆高 ，如果甲工程队报价为：
馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价
为每平方米250元，设体育馆前墙长为 米．
（1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为 元
，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 的取值范围．
的
【答案】（1）当前墙 长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
（2）当 时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
【解析】
【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；
第16页/共20页
学科网（北京）股份有限公司（2）根据题意可知 对任意的 恒成立，分离
参数可得 对任意的 恒成立，分类常数结合基本不等式求出 的最小值，即可得
解.
【小问1详解】
因为体育馆前墙长为 米，地面面积为 ，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为 米 ，
设甲工程队报价为 元，
所以 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
【小问2详解】
根据题意可知 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
所以 对任意的 恒成立，
因为 ，
，
第17页/共20页
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，
故当 时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
22. 问题：正数a，b满足 ，求 的最小值．其中一种解法是：
，当且仅当 ，且 时，即
且 时取等号．学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数x，y满足 ，求 的最小值；
（2）若正实数a，b，x，y满足 ，且 ，试比较 和 的大小，并说明理由；
（3）利用（2）的结论，求代数式 的最小值，并求出使得 取得最小值时m的值．
【答案】（1）
（2） ，理由见解析.
（3）
【解析】
【分析】（1）把 转化为 ，利用题设给出的方法求和的最小值.
（2）借助“1”的代换，利用 ，再利用不等式可
判断 和 的大小.
第18页/共20页
学科网（北京）股份有限公司（3）取 ， ，构造 ，利用（2）的结论，可求 的最小值，再分析“ ”
成立的条件，可得 的值.
【小问1详解】
由 （ ， ）可得： （ ， ），
所以 （当且仅当 即
时取“ ”）.
所以 的最小值为： .
【小问2详解】
因为 ，
所以 ，
因为 （当且仅当 时取“ ”）.
所以 （当 时取“ ”）
所以： （当且仅当 即 时取“ ”）.
【小问3详解】
取 ， ，
第19页/共20页
学科网（北京）股份有限公司由 ，此时 ，所以 .
同时： ，取 ， .
由（2）可知： ，所以 ，
当且仅当 ，结合 ，得 即 时取“ ”.
【点睛】方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”
的代换，即利用 ，从而借助基本
不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用.
第20页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
