青岛版7年级数学下册高清教材_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

(cid:736) (cid:736)(cid:3)(cid:1206)(cid:3)(cid:3075)(cid:3)(cid:5484)(cid:3)(cid:3075)(cid:3)(cid:4917)(cid:3)(cid:755) (cid:1206) (cid:3075) (cid:3733)(cid:33)(cid:4305) (cid:5484) (cid:3075) (cid:4917) (cid:755) (cid:3733) (cid:33)(cid:33) (cid:4305) (cid:3327) (cid:3150) (cid:2346) (cid:33)(cid:33) (cid:3733) (cid:4305) (cid:3327)(cid:3150)(cid:2346)(cid:33)(cid:33)(cid:4144)(cid:1449) (cid:4144) (cid:1449) (cid:2383)(cid:2029)(cid:3260)(cid:4890)(cid:4052)(cid:2173)(cid:470)(cid:2907)(cid:1856)(cid:1984)(cid:2383)(cid:2029)(cid:2179)(cid:503)(cid:51)(cid:49)(cid:51)(cid:51)(cid:505)(cid:49)(cid:51)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:51) (cid:4974)(cid:5347)(cid:1278)(cid:1156)(cid:790)(cid:1461) (cid:2569)(cid:1298)(cid:1737)(cid:2246)(cid:470)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54) (cid:1768)(cid:2383)(cid:470)(cid:50)(cid:49)(cid:47)(cid:57)(cid:58)(cid:33)(cid:4590) QINGDAOCHUBANSHE义 务 教 育 教 科 书 数 学 七年级 下册 QINGDAOCHUBANSHE书 名 义务教育教科书 数学（七年级下册） 主任编编 展 涛 出版发行 青岛出版社 社 址 青岛市海尔路 182 号（266061） 本社网址 http://www.qdpub.com 责任编辑 刘海波 戴振宇 美术编辑 路渊源 制 版 济南汇海科技有限公司 印 刷 日照昆城印业有限公司 出版日期 2012 年 6 月第 2 版 2021 年 12 月第 17 次印刷 开 本 16 开（787mm×1092mm） 印 张 11.75 字 数 200 千 书 号 ISBN 978-7-5436-3323-0 定 价 10.89 元 编校质量、盗版监督服务电话 4006532017 （0532）68068638同学们，伴随着春天的脚步，新的学期开始了！ “一年之计在于春”，你打算在新的一年中怎样学好数学？ 你在第一、二学段对角、垂直、平行等已经有了认识. 怎样比 较两个角的大小？怎样画一条直线的垂线？平行线有哪些性质？ 怎样判定两条直线平行？怎样画一条直线的平行线？你将在第8、 第9两章中研究和探索这些问题. 上学期你已经会解一元一次方程了，本学期你还要学习二元一 次方程组和三元一次方程组. 有许多有趣的问题正等着你去思考呢！ 提到正整数指数幂，你已经学习了它的意义，那么正整数指数 幂有哪些运算性质？幂的指数还可以是零或负整数吗？像水分子的 质量这么小的数能用科学记数法表示吗？这些问题你不久就会学到. 你已学过整式的加、减运算，这学期你还要学习整式的乘法运 算. 在此之后，你会遇到多项式乘法的逆问题——如何将一个多项 式分解成几个因式的乘积. 你将学习因式分解的几种常用方法. 你已经接触过三角形、多边形和圆，这些都是最常见的平面图 形. 你知道它们各有哪些性质吗？本书将带你进入平面图形的缤纷 世界. 去体育馆看比赛，你会按入场券找到自己的座位. 然而怎样确 定平面内一个点的位置呢？本学期将学习一种重要的工具——直角 坐标系，将来我们还要学习在坐标系中描绘函数的图象，直观地研 究函数和方程，直角坐标系的作用可大啦！ 数学来源于生活，生活中充满数学. 学习数学的道路并非坦 途，可能会遇到困难和曲折. 然而只要有决心和毅力，就会有丰厚 的回报. 让我们在快乐中学习数学，在学习数学中体验快乐！目 录 目 录 第8章 角 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 8.1 角的表示 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 8.2 角的比较 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 8.3 角的度量 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 8.4 对顶角 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 8.5 垂直 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 19 回顾与总结 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 23 第9章 平行线 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 26 9.1 同位角、内错角、同旁内角 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 28 9.2 平行线和它的画法 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 31 9.3 平行线的性质 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 35 9.4 平行线的判定 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 38 回顾与总结 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 43 第10章 一次方程组 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 46 10.1 认识二元一次方程组 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 48 10.2 二元一次方程组的解法 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 51 *10.3 三元一次方程组 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 56 10.4 列方程组解应用题 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 61 回顾与总结 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 70 第11章 整式的乘除 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 74 11.1 同底数幂的乘法 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 76 11.2 积的乘方与幂的乘方 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 78 11.3 单项式的乘法 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 82 11.4 多项式乘多项式 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 86 11.5 同底数幂的除法 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 91 1目 录 11.6 零指数幂与负整数指数幂 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 95 回顾与总结 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 105 第12章 乘法公式与因式分解 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 108 12.1 平方差公式 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 110 12.2 完全平方公式 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 112 12.3 用提公因式法进行因式分解 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 118 12.4 用公式法进行因式分解 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 121 回顾与总结 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 125 第13章 平面图形的认识 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 128 13.1 三角形 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 130 13.2 多边形 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 141 13.3 圆 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 148 回顾与总结 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 153 综合与实践 多边形的密铺 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 157 第14章 位置与坐标 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 162 14.1 用有序数对表示位置 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 164 14.2 平面直角坐标系 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 168 14.3 直角坐标系中的图形 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 172 14.4 用方向和距离描述两个物体的相对位置 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 178 回顾与总结 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 181 2第8章 角 23第8章 角 8.1 角的表示 交流与发现 你还记得以前学过的角吗？从铁桥、梯子、标志牌的图片中（图8-1），你 看到角的形象了吗？你还能在生活中找到类似的例子吗？这些角的形象有什么 共同特点？与同学交流. 铁 桥 梯 子 标志牌 图 8-1 如图8-2，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角（angle）. 这个公共 端点叫做角的顶点（vertex），这两条射线叫做角的边（side）. 在图8-2中， 点O是角的顶点，射线OA与OB是角的边. 角用符号“∠”和三个大写英文字母表示. 图8-2中的角可以记作∠AOB或 ∠BOA. 表示顶点的字母O必须写在中间，读作“角AOB”或 “角BOA”. 如果 在顶点处只有一个角，也可以只用表示这个顶点的字母来表示这个角. 如图8-2 中的∠AOB也可记作∠O. B 2 α 1 β O A ① ② 图 8-2 图 8-3 为了方便， 有时还可以在靠近顶点处画上弧线，并用一个数字或一个小写 希腊字母表示一个角. 例如，图8-3中的∠1，∠2或∠α，∠β 等. 48.1 角的表示 观察与思考 （1）从台秤指针的转动、圆规的张开、汽车雨刷的摆动中（图8-4），你能 发现角的形象吗？与同学交流. 台 秤 圆 规 汽车雨刷 图 8-4 （2）观察图8-5 ①，当射线OA绕着端点O旋转时，它的起始位置OA和终 止位置OB组成了一个什么图形？ 角也可以看做是由一条射线绕着端点从起始位置旋转到终止位置所成的 图形. 射线旋转时经过的平面部分是角的内部. （3）观察图8-5 ②，射线OA绕端点O旋转，当终止位置OB与起始位置 OA成一条直线时，所成的角是平角. 观察图8-5 ③，射线OA继续按逆时针方向 旋转，当终止位置OB与起始位置OA重合时，所成的角是周角. B O A（B） O B A A O ① ② ③ 图 8-5 今后，在本书中所说的角，如果没有特别注明，都是指射线绕端点从起始 位置旋转时，还没有旋转到成为平角时的角. 例1 在图8-6中，点D在线段AB上. A D （1）以点C为顶点的角有哪几个？把它们分别写出来. （2）图中哪些角可以只用一个字母表示？ B C 图 8-6 5第8章 角 （3）数一数，图中共有多少个角？ 解 （1）以点C为顶点的角有∠ACB，∠ACD，∠BCD； （2）可以只用一个字母表示的角有∠A，∠B； （3）图中共有7个角：∠A，∠B，∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADC， ∠BDC . 练 习 1. 如图，分别指出以射线OA，OB，OC为一边的角，并把它们表示出来. D C A B 1 3 2 O B 4 5 O D C A （第 1 题） （第 2 题） 2. 如图，分别用三个大写字母表示∠1，∠2，∠3，∠4，∠5. 3. 请你举出几个由旋转产生的角的实例. 习题8.1 复习与巩固 A D 1 2 E 1. 如图，分别用三个大写字母表示图中的∠1，∠2，∠3. 2. 下面各图中哪些角可以只用一个大写字母表示？哪些角必须 3 B C 用三个大写字母表示？把它们分别写出来. （第 1 题） A C A A D B O O A C B B O C B D C ① ② ③ ④ （第 2 题） 68.2 角的比较 拓展与延伸 A D 3. 数一数，图中共有多少个角？把它们分别表示出来. O 探索与创新 B C 4. 一个正常走动的时钟，时针从某一时刻所在的位置开 （第 3 题） 始，旋转一个平角和一个周角，各需要多少时间？对于分针，回答同样的问题. 8.2 角的比较 实验与探究 你已经会用叠合的方法，比较两条线段的大小. 能用 B 类似的方法，比较两个角的大小吗？ （1）如图8-7，已知∠AOB，请你用硬纸片任意剪出 O A 一个角，记为∠A′O′B′. 图 8-7 （2）将∠A′O′B′的顶点O′与∠AOB的顶点O重合，边O′A′与边OA重合， 另一边O′B′与边OB在重合边OA（O′A′）的同旁. 如果边O′B′与边OB重合（图8-8①），那么就说∠A′O′B′等于∠AOB，记 作∠A′O′B′ =∠AOB；如果边O′B′落在∠AOB的外部（图8-8②），那么就说 ∠A′O′B′大于∠AOB，记作∠A′O′B′＞∠AOB；如果边O′B′落在∠AOB的内部 （图8-8③），那么就说∠A′O′B′小于∠AOB，记作∠A′O′B′＜∠AOB. B′ B(B′) B B B′ O(O′) A(A′) O(O′) A(A′) O(O′) A(A′) ① ② ③ 图 8-8 7第8章 角 （3）如图8-9，将∠A′O′B′的顶点O′和∠AOB的 B′ B(A′) 顶点O重合，边O′A′与边OB重合，并使两个角的另一 边OA和O′B′分别在重合边OB（O′A′）的两旁，这时它 们不重合的两边组成∠AOB′. 那么∠AOB′，∠AOB与 ∠A′O′B′之间有什么数量关系？ O(O′) A 图 8-9 这时就说∠AOB′是∠AOB与∠A′O′B′的和，记作 ∠AOB′ =∠AOB +∠A′O′B′. B （4）如果∠AOB＞∠A′O′B′，如图8-10，将∠A′O′B′ B′ 的顶点O′和∠AOB的顶点O重合，边O′A′与边OA重 合，那么∠BOB′ ，∠AOB 与∠A′O′B′ 有什么数量关系？ O(O′) A(A′) 图 8-10 这时就说∠BOB′是∠AOB与∠A′O′B′的差，记作 ∠BOB′ =∠AOB－∠A′O′B′. B′ （5）在（3）中，如果∠AOB =∠A′O′B′（图 8-11）， B(A′) 那么∠AOB与∠A′O′B′的和∠AOB′是∠AOB的2倍， 或∠AOB是∠AOB′的一半，记作∠AOB′ = 2∠AOB 或 O(O′) A 1 ∠AOB = ∠AOB′. 图 8-11 2 （6）如图8-11，一条射线（OB）把一个角（∠AOB′）分成了两个相等的 角，这条射线叫做这个角的平分线（angular bisector）. 这时， 1 ∠AOB =∠BOB′ = ∠AOB′. 2 （7）类似地，你会拼出∠AOB的3 加油站 倍和4倍的角吗？ 当∠γ = 3∠α时，∠α就是∠γ的三 这里用到了“等式两边都乘 分之一，即∠α = 1 ∠γ . 同样地，当∠γ （或除以）同一个数，所得的结果 3 仍是等式”的基本性质. 一般地， 1 = 4∠α 时，∠α = ∠γ 等等. 对含线段或角的等式，等式的两个 4 基本性质仍成立. 例1 如图8-12，在∠AOC的内 部画射线OB，在∠AOC的外部画射线OD. ∠AOC是哪两个角的和？是哪两个 角的差？∠BOD是哪两个角的和？是哪两个角的差？当∠AOB =∠COD时，你 能找出其他相等的角吗？ 88.2 角的比较 解 由图8-12可以看出，∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，又是∠AOD 与∠COD的差. 即 D C ∠AOC =∠AOB +∠BOC，∠AOC =∠AOD -∠COD. 同样地，∠BOD = ∠BOC + ∠COD，∠BOD = ∠AOD -∠AOB. B 当∠AOB = ∠COD 时，∠AOC = ∠BOD. O A 图 8-12 练 习 D C 1. 看图填空： B （1）∠AOD = ∠AOC + _______ ； （2）∠AOD -∠BOD = _______ ； O A （3）∠BOC = _______ -∠COD. （第 1 题） 2. 利用叠合的方法，比较一个三角尺中的三个角与同一副中另一个三角尺的三个角的 大小. 习题8.2 复习与巩固 1. 如图，∠AOB是平角，过点O作射线OE，OC，OD. （1）∠BOE能表示成哪两个角的和？你有几种不同的表示方法？ （2）∠AOE能表示成哪两个角的差？你有几种不同的表示方法？ DD C CC D E BB O AA B O A （第 1 题） （第 2 题） 1 1 2. 填空题：如图，已知∠AOB =∠BOC =∠COD，那么∠BOC = ∠_____ = ∠_____ 3 2 1 = ∠______ . 2 9第8章 角 3. 如图，如果∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE，那么射线 D E OB，OC和OD分别是哪些角的平分线？ C 拓展与延伸 B 4. 如图，已知∠AOC = ∠BOD，OE是∠BOC的平分线，图中 O A 还有哪些相等的角？说明理由. （第 3 题） O C E A D B C B A O （第 4 题） （第 5 题） 5. 选择题：如图，在下面的四个等式中，不能表示“OC是∠AOB的平分线”的是（ ）. 1 （A）∠AOC = ∠BOC （B）∠AOC = ∠AOB 2 （C）∠AOB = 2∠BOC （D）∠AOC + ∠BOC = ∠AOB 8.3 角的度量 你会使用量角器度量一个角吗？你还记得角的度量单位吗？ 把一个周角360等分，每一份叫做1度（degree）的角，1度记作1°，因 此，1周角=360°. 为了更精密地计算和度量角，我们把1°的角60等分，每一份叫做1分的 角，1分记作1′. 把1′的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作1" . 1°= 60′，1′= 60" . 例如∠α的度数是48度22分13秒，可以记作∠α = 48°22′13" . 度量角的单位度、分、秒，与计量时间的时、分、秒一样，都是六十进制. 在计算角的大小时，应注意避免进位的错误. 比较两个角的大小，也可以先对它们进行度量，再比较度量的结果，度数 108.3 角的度量 大的角是较大的角. 观察量角器上的刻度，想一想，1直角等于多少度？1平角呢？你能说出锐 角、钝角的度数的范围分别是多少吗？ 例1 48°22′13"与48.37°哪个大 ？ 解 0.37°是用十进制表示的，因此可先将0.37°用分、秒表示： 0.37° = 60′× 0.37 = 22.2′， 0.2′ = 60" × 0.2 = 12" . 这两个角的度数部分都是 所以 0.37° = 22′ + 0.2′ 48°，因此，只需要比较22′13" = 22′+ 12" = 22′12" . 与0.37°的大小，但它们的单 因为22′12" ＜ 22′13"， 位不统一，应先统一单位. 所以48.37°＜ 48°22′13" . 想一想，本题你还有别的解法吗？ 加油站 例2 已知∠α = 37°49′40"，∠β = 52°10′20"，求： 两个角的度 （1）∠α +∠β ； （2）∠β -∠α . 数相加、减时， 应按秒、分、度 解 因为∠α = 37°49′40"，∠β = 52°10′20"，所以 的 次 序 相 加 、 （1）∠α +∠β = 37°49′40" + 52°10′20" = 90°； 减. 相加时，秒和 分逢60进1位. 相 （2）∠β -∠α = 52°10′20" - 37°49′40" = 14°20′40". 减时，如果需借 位，借1°（1'）化 挑战自我 为60'（60''）. 小莹在中午11时到12时之间回家时，看见墙上挂钟的时针与分针刚好成一 平角. 你能算出这时是11时几分吗？ 广角镜 蜂房中的角 蜜蜂的蜂巢是由一个个蜂房紧密排列而成的（图8-13 ①），蜂房的入口处是由一 个个两两相邻的正六边形（六条边相等，六个角也相等）排成的，这些正六边形的每 11第8章 角 个角都是120°， 每一个蜜蜂蜂房的底部都被3个相邻的边长相等的平行四边形密封住. 科学家经过精心计算惊奇地发现，每个平行四边形的钝角都是109°28′16′′，锐角都是 70°31′44′′（图8-13 ②）. 因此，绝不能小瞧一只小小的蜜蜂，它们是自然界中天才的 “建筑师”. 109°28′16" 70°31′44" ① ② 图 8-13 蜂 房 练 习 1. 把下列角的单位由度、分、秒换算成度： （1）22°30′； （2）3′36" . 2. 比较32.15°与32°15′的大小. 3. 计算： （1）56°18′ + 72°48′； （2）131°28′- 51°32′15" ； （3）12°30′20" × 2. 观察与思考 观察图8-14和图8-15，你能说出图8-14中∠α与∠β的和以及图8-15中 ∠1与∠2的和各是多少度吗？ α β 图 8-14 油 画 图 8-15 花样滑冰 128.3 角的度量 两个角的和为90°，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫 做另一个角的余角（complementary angle）. 两个角的和为180°，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫 做另一个角的补角（supplementary angle）. 在图8-14中，∠α与∠β互余；在图8-15中，∠1与∠2互补；在本节例2 中，∠α与∠β互余. 你还能举出余角和补角的例子吗？ 例3 一个角的补角是它的余角的3倍，求这个角的度数. 解 设这个角是x°，那么它的补角是（180－x）°，余角是（90－x）°， 根据题意，得 180－x = 3（90－x）. 解这个方程，得 x = 45. 所以，这个角是45°. 交流与发现 如图8-16，∠AOC = ∠BOD = 90°，找出∠3的两个余角，它们相等吗？为 什么？与同学交流. C D 因为∠1＝90°－∠3， B ∠2＝90°－∠3， 2 3 1 所以∠1＝∠2. O A 图 8-16 由此可以得到余角的一个性质： 同角或等角的余角相等. 类似地，当∠A = ∠B，∠C，∠D分别是∠A ，∠B的补角时，∠C与∠D 相等吗？为什么？ 13第8章 角 由此可以得到补角的一个性质： 同角或等角的补角相等. 广角镜 从角的单位制说起 度、分、秒是角度制的计量单位，1° = 60′，1′ = 60"，与它类似的六十进制还有 时间计量单位，1时 = 60分，1 分＝60 秒. 六十进制起源于古代的巴比伦. 为什么当时人们要选取60作为进位制的基数呢？ 据说是由于60这个数是2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60等许多自然数的倍 数，而60可分解为12乘5，12是一年中的月数，5是人的一只手的手指数. 还有人认 为，古巴比伦人最初以360天为一年，将圆周分为360度，太阳每天“运行”1度. 在数学上，角的单位制还有弧度制. 1弧度 = ≈57°17′44.8" . 此外，军事上 度量角度常采用密位制，1密位可以近似地看做1 000米外正对观察者的1米长的物体 的视角. 英美等国家采用的密位单位为1密位 = 0.056°. 我国采用的密位单位为1密位 = 0.06°. 练 习 1. 分别求12°，48°30′和89°10′50" 的余角和补角. 2. 两个锐角能互补吗？两个钝角能互补吗？有人说：如果两个角互补，其中一定有一个 角是钝角，另一个角是锐角. 你认为这种说法正确吗？为 C 什么？ D 3. 如图，O是直线AB上的一点，∠AOC = ∠DOE = 90°， E 指出图中与∠BOE相等的角、互余的角和互补的角. B O A （第 3 题） 148.3 角的度量 习题8.3 复习与巩固 D 1.（1）用度、分、秒表示55. 31° ； （2）用度表示46°24′. E C 2. 计算： B （1）23°46′ + 58°28′； （2）51°37′－32°5′31" . O A 3. 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线. 如果 （第 3 题） ∠AOC = 70°，∠COE = 45°，那么∠BOD是多少度？ A O 1 4. 一个角的余角是它的 ，求这个角的度数. 2 C 5. 如图，已知∠AOB = ∠COD = 90°，∠AOC = 20°45′. 求∠AOD的度数. D B 拓展与延伸 （第 5 题） 6. 下列说法中，哪些是正确的？说明理由. （1）互余且相等的两个角各是45°； （2）一个角的余角一定小于这个角的补角； （3）如果∠1 + ∠2 =∠3，那么∠1 的余角与∠2 的余角的和等于∠3 的余角； （4）如果∠1 + ∠2 =∠3，那么∠1 的余角与∠2 的余角的和等于∠3 的补角. 7.（1）一副三角尺中，哪几对角互为余角？哪几对角互为补角？ （2）用一副三角尺，你能画出15°，105°和150°的角吗？ （3）用一副三角尺，你能画出哪些小于平角的角？ A E 8. 如图，∠AOD是直角，OE平分∠AOD，OC平分∠BOD，∠COE ＝70°. 求∠BOD的度数. O 探索与创新 D C 9. 时钟上，在3时到4时之间，什么时刻时针与分针成90°的角？ 请 B 你画图表示出来. （第 8 题） 15第8章 角 8.4 对顶角 观察与思考 AB，CD是两条交叉的公路. 把它们看做两条相交直线，交点记作O（图 8-17）. （1）如果不计图中的平角和周角，它们共形成了几个角？ （2）这些角的顶点具有什么特征？ （3）观察∠AOD与∠BOC，你发现它们的两边具有什么特征？∠AOC与 ∠BOD 呢？ 一般地，两条直线相交形成两对对顶角（opposite angles）. 成对顶角的两个 角有公共的顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线. 在 图 8-17 中，∠AOD与∠BOC，∠AOC与∠BOD 分别是对顶角. C A B O D 风 车 图 8-17 图 8-18 图8-18是一张风车的照片，你能从中发现对顶角的形象吗？你还能举出生 活中对顶角的例子吗？ 168.4 对顶角 实验与探究 在纸上任意画出两条相交直线，用剪子剪下它们所成的四个角，比较成对 顶角的两个角的大小，你有什么发现？你能说明为什么对顶角具有这种数量关 系吗？与同学交流. 在图8-17中，∠AOD与∠BOD互为补角，∠BOC与∠BOD也互为补角， 因为同角的补角相等，所以∠AOD = ∠BOC . 由此得到对顶角的性质： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 例1 如图8-19，直线AB与CD相交于点O，射线OE是∠BOD的平分线. 已知∠AOD = 110°， 分别求∠COB，∠AOC，∠BOE，∠EOD的度数. 解 因为∠COB与∠AOD是对顶角，所以 A D ∠COB = ∠AOD = 110°. O E ∠AOC = ∠COD－∠AOD = 180°－110° = 70°. C B 图 8-19 因为∠BOD与∠AOC是对顶角，所以∠BOD = ∠AOC = 70°. 1 1 由OE平分∠BOD，得∠BOE = ∠EOD = ∠BOD = × 70° = 35°. 2 2 练 习 1. 如图，AB是一条直线，下面各图中的∠1和∠2是对顶角吗？为什么？ C C D D A 1 O 2 B A 1 2 B A 1 O P 2 B 2 1 D 3 C ① ② ③ （第 1 题） （第 2 题） 2. 如图，三条直线相交于一点，求∠1 + ∠2 + ∠3的度数. 17第8章 角 习题8.4 F D 复习与巩固 R 1. 如图，三条直线AB，CD，EF两两相交，分别写出图中所有的 P Q A B 对顶角. C E （第 1 题） 2. 如图，AB，CD，EF是经过点O的三条直线. 如果∠EOD = 89°， ∠AOC = 70°，那么 ∠BOF等于多少度？为什么？ D E B E A O B C O D F A F C （第 2 题） （第 3 题） 3. 已知直线AB与CD相交于点O，∠COE = 90°，∠AOF = 90°，∠BOE = 65°，求∠DOF 和∠AOC的度数. 拓展与延伸 4. 如图，直线AB，CD，EF相交于点O. 如果OE是∠AOC的平分线，那么OF是∠BOD 的平分线吗？为什么？ b c 2 a C B 1 3 E O F A D 4 （第 4 题） （第 5 题） 5. 如图，直线a，b，c两两相交，∠1 = 2∠3，∠2 = 65°. 求∠4的度数. 探索与创新 6. 如图是练习书法时使用的“米字格”. 你能数出图中有多少对对顶 角吗？ （第 6 题） 188.5 垂 直 8.5 垂 直 观察与思考 在图8-20和图8-21中，你能找出直角的形象吗？你还能举出直角的实例吗？ A O C D B 砖 墙 篮球架 图 8-20 图 8-21 图 8-22 如图8-22，直线AB与CD相交于点O. 如果∠AOD是直角，图中的其他三 个角是什么角？为什么？与同学交流. 因为∠AOD＝90°，∠COB与∠AOD 是对顶角，所以∠COB是直角. 因为∠AOD＝90°，∠AOC是∠AOD 的补角，所以∠AOC＝90°. 同理，∠BOD 也是直角. 在两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两 条直线互相垂直（perpendicular），其中一条直线叫做另一条直线的垂线 （perpendicular line），它们的交点叫做垂足（foot of perpendicular）. 如图8-22，直线AB与CD互相垂直，记作“AB⊥CD”或“CD⊥AB”，读 作“AB垂直于CD”或“CD垂直于AB”. 19第8章 角 实验与探究 如图8-23，经过直线l上一点A，你能用三角尺画直线l的垂线吗？你画出 的垂线有几条？经过直线l外一点B呢？ l′ l′ B B l A l A l l ① ② ③ ④ 图 8-23 经过一点画一条直线的垂线，不论这点在直线上还是直线外，都能够画出 一条，并且只能画出一条. 也就是说， 经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 这是垂线的一个基本性质. 如图8-24，你会用量角器经过直线l上的一点A或直线l外的一点B画直线l 的垂线吗？与同学交流. B l l A 图 8-24 交流与发现 如图8-25，点A是直线 l 外的一点，画AD⊥l， A 垂足为点D，线段AD叫做点A到直线 l 的垂线段. 在l上任取几个点，例如点B，C，E，利用圆规 l 比较线段AB，AC，AD，AE的长短，这些线段中哪 B C D E 一条最短？与同学交流. 图 8-25 208.5 垂 直 于是，可以得到垂线的另一个性质： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到 A 这条直线的距离. 如图8-26， 要把水渠的水引到水池C，从渠堤AB的什 C 么地方开沟，水沟的长度最短？你能在图上表示出来吗？谈 B 图 8-26 谈你的理由. 挑战自我 如图8-27，取一张长方形纸片，按下列方法折纸，然后回答问题： A A A A D D D D C B F B F 保留折痕 2 1 3 B E C E C E B E C 图 8-27 （1）AE⊥EF吗？为什么？ （2）∠1与∠3有什么关系？为什么？ 练 习 1. 如图，用三角尺或量角器经过点P分别画出直线AB与CD的垂线. B A P A P C B C D （第 1 题） （第 2 题） 2. 如图，用刻度尺分别量出点P到直线AB，BC和AC的距离. 21第8章 角 习题8.5 复习与巩固 AA 1. 如图，用三角尺或量角器画图： （1）经过点A画出直线BC的垂线； （2）经过点B画出直线AC的垂线； BB CC （3）经过点C画出直线AB的垂线. （第 1 题） 2. 如图，用量角器画出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，经过点P分别画出 OA，OB的垂线. B l O A （第 2 题） （第 3 题） 3. 如图是小亮跳远时沙坑的示意图，其中l是起跳线，应当怎样测量小亮的跳远成绩？ 为什么？ 4. 为了架设变电站P到输电线路a与b的电力线，需在比 P a 例尺为1∶100 000的右图中分别测量出点P到a，b的 b 距离，你能量出这些距离吗（精确到0.1千米）？ （第 4 题） 拓展与延伸 5. 小亮在纸上画了一个图，并注明∠1 = ∠2 = 90°，他画的图对吗？为什么？ P E B D 1 2 A B C O A （第 5 题） （第 6 题） 6. 点O在直线AC上，以O为顶点画射线OB，然后画出∠AOB的平分线OD和OD的 垂线OE. OE平分∠BOC吗？为什么？ 22回顾与总结 探索与创新 7. 如图，已知A为直线l外的一定点，B为直线l上的一个动点. A （1）当点B自左向右移动时，A，B两点间的距离是否发生变化？ B l （2）如果发生变化，当B点到达哪个位置时，A，B两点间的距 （第 7 题） 离最短？ （3）你能进一步说明A，B两点间距离的变化趋势吗？ 回顾与总结 1. 本章学习了哪些内容？总结一下，并与同学交流. 2. 角是简单的几何图形，说一说你是怎样理解角的概念的. 3. 表示一个角有哪些方法？两个角的和与差是怎么规定的？什么是角的平分线？ 4. 比较两个角的大小有哪些方法？ 5. 什么是1度的角？1分的角？1秒的角？角度制的单位和进位制是怎样的？ 6. 怎样的两个角互为余角？怎样的两个角互为补角？怎样的两个角互为对顶角？你学习了 哪些有关它们的性质？ 7. 垂直是两条直线相交的一种特殊情况. 怎样的两条直线互相垂直？ 8. 你学习了垂线的哪些性质？什么是点到直线的距离？ 综合练习 复习与巩固 1. 如图，已知∠AOB = ∠COD = 8°，∠AOD = 43°，OE是 A ∠AOD的平分线. 求∠BOE，∠COE，∠AOE的度数. B 2. 折一张长方形的纸片，只允许折一次. E （1）你能得到一对互余的角吗？ C （2）你能得到两对互余的角吗？ O D （3）你能得到两对互补的角吗？ （第 1 题） 23第8章 角 3. 如图，已知∠α，用量角器画一个角，使它等于∠α的补角的一半. B A α O C （第 3 题） （第 4 题） 4. 如图，∠AOB = ∠AOC，∠BOC = 80°. 求∠AOB的度数. 5. 填空：已知∠A = 47°55′40″，∠B与∠A互余，∠C与∠A互补，那么∠B = _____， ∠C = _______ . D 6. 如图，点B在直线AC上，∠1 = 23°，∠2 = 68°，BE与 BD垂直吗？为什么？ E 1 2 7. 如图，∠AOB是直角，OE平分∠AOC，OD平分∠BOC. A B C （第 6 题） 求∠EOD的度数. B D C D C B E O A O A （第 7 题） （第 8 题） 8. 如图，OA⊥OC，OB⊥OD，垂足都是点O，如果∠DOC = 27°，那么∠AOB的度数是多 少？ 9. 如图，∠AOB = 90°，P是OB上的一点，用刻度尺分别度量点P到直线OA和到直线 OC 的距离. C B P A C O A B （第 9 题） （第 10 题） 10. 如图，A，B，C是三个村庄，村庄之间有直通的道路AB，AC和BC相连. 如果 AB⊥BC，那么这三个村庄中，哪两个村庄的距离最远？为什么？ 拓展与延伸 11. ∠α与∠β互补，且∠α ＞∠β，求∠β的余角（用∠α和∠β表示）. 12. 一个锐角的补角会不会等于这个锐角的余角的2倍？为什么？ 24回顾与总结 13. 如图，O是直线AB上的一点，射线OC，OE分别平分 D ∠AOD和∠BOD. C E （1）说出图中互余的角； （2）已知∠AOC = 58°，求∠BOE的度数. A O B 14. 如图，在纸片上画出一条过点A的直线l，你能用折纸 （第 13 题） 的方法，使折痕过点A与直线l垂直吗？ l A B A O （第 14 题） （第 15 题） 15. 如图，已知某院落的墙角，要测量墙在地面上所形成 F E 的∠AOB的度数，请问应如何测量？ 16. 如图，O是直线AB上的一点，∠AOE =∠FOD = 90°， D OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的角有哪些？与 ∠DOE互补的角有哪些？ A O B C 探索与创新 （第 16 题） 17. 如图，O为直线AC上一点，OD是∠AOB的平分线， B E 1 OE在∠BOC的内部，∠BOE = ∠BOC，∠DOE 3 D = 72°，求∠EOC的度数. 18. 某电视台周六上午“少儿节目”9：05开始，这时时 A O C 钟上分针与时针所成的角是多少度？ （第 17 题） 19. 过一个角的顶点，在这个角的内部引1条射线，共形成多少个角（包括原来的角）？ 如果引2条、3条这样的射线呢？由此，请猜想，过一个角的顶点，如果在这个角的 内部引n条射线，共形成多少个角？ 25第9章 平行线 2627第9章 平行线 9.1 同位角、内错角、同旁内角 观察与思考 图9-1是小亮所在学校周边的道路示意图，如果把图中的道路都看做直线， 就得到图9-2. E A 2 1 B 文 北 京 路 3 4 化 学校 6 5 D 和 平 路 C 7 8 路 F 图 9-1 图 9-2 （1）在图9-2中，直线AB，CD被直线EF所截，一共形成哪几个角？ （2）观察∠1与∠5，它们有怎样的位置关系？ ∠1与∠5分别在直线AB与CD的同侧，并且都在直线EF的同旁，具有 这种位置关系的一对角叫做同位角（corresponding angles）. 同样地，∠2与∠6也是同位角. 除此之外，图9-2中还有其他的同位角 吗？如果有，请你指出来. （3）观察∠3与∠5，它们有怎样的位置关系？ ∠3与∠5都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF的两旁，具有这 种位置关系的一对角叫做内错角（alternate interior angles）. 除∠3与∠5 之外，图9-2中还有其他的内错角吗？ （4）观察∠4与∠5，它们有怎样的位置关系？ 289.1 同位角、内错角、同旁内角 ∠4与∠5都在直线AB，CD之间，并且都在直线EF的同旁，具有这种 位置关系的一对角叫做同旁内角（interior angles on the same side）. 除∠4与∠5之外，图9-2中还有其他的同旁内角吗？ 例1 在图9-3中，直线EF，GH被直线AB所截，哪几对角是同位角？ 哪几对角是内错角？哪几对角是同旁内角？ F H 解 ∠ACF与∠ADH，∠FCB与∠HDB， A C D B ∠ACE与∠ADG，∠ECB与∠GDB分别是同位角； ∠FCB与∠ADG，∠ECB与∠ADH分别是内错角； E G ∠FCB与∠ADH，∠ECB与∠ADG分别是同旁内角. 图 9-3 例2 在图9-4中，直线a，b被直线 l 所截. a b （1）∠3与哪个角是同位角？ 1 5 4 8 l （2）如果∠1 =∠5，那么∠7和∠8分别与∠1有 2 6 3 7 什么数量关系？说明理由. 解 （1）∠3与∠7是同位角. 图 9-4 （2）∠7与∠1相等. 理由是：因为∠1 =∠5，而∠7与∠5是对顶角，∠7 =∠5，所以∠7 =∠1. ∠8与∠1互补. 理由是：因为∠1 =∠5，∠8与∠5互补， 所以∠8与∠1互补. 练 习 1. 如图，直线DE与∠ABC的边BC相交于点P. 视直线AB，DE被直线BC所截，∠1与 ∠2，∠1与∠3，∠1与∠4分别是什么角？ E G C 3 C D D 4 P E 5 4 2 3 A 1 6 B 2 1 A B 7 F H （第 1 题） （第 2 题） 29第9章 平行线 2. 如图，直线AB，CD被直线EF所截，在所标出的角中，哪几对角是同位角？哪几 对角是内错角？哪几对角是同旁内角？ 类似地，你能讨论直线EF，GH被直线AB 所截形成的角的位置关系吗？ 习题9.1 复习与巩固 1. 如图①②，直线a，b被直线l所截，在图中已标出的角中，分别找出所有的同位角、 内错角和同旁内角. a b b A B 4 a 3 l 1 2 5 1 2 3 4 l 3 4 1 5 2 D E C ① ② （第 1 题） （第 2 题） 2. 填空：如图，在已标出的五个角中， （1）直线AC，BD被直线ED所截，∠1与______是同位角； （2）∠1与∠4是直线______，______被直线______所截得的内错角； （3）∠2与______是直线AB，______被直线______所截得的同旁内角. 拓展与延伸 D A E 3. 如图，直线DE过点A，∠B与哪个角是内错角，与哪个角是 同旁内角？∠C与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？ 它们分别是哪两条直线被哪一条直线截得的？ B C 探索与创新 （第 3 题） 4. 如图，直线a，b被直线c所截，如果有一对同位角相等（如∠1＝∠5）. （1）你能说明其他几对同位角也分别相等吗？ c （2）各对内错角是否分别相等？为什么？ 2 1 a （3）此时，两对同旁内角之间具有怎样的数量关系？ 3 4 6 为什么？ 5 b （4）如果将上面的“有一对同位角相等”的条件换成 7 8 “有一对同旁内角互补”，你能得到哪些结论？ （第 4 题） 309.2 平行线和它的画法 9.2 平行线和它的画法 观察与思考 （1）观察一支六棱铅笔（图9-5），你发现同一个面上的两条相对的棱所在 的直线是相交直线吗？ （2）观察黑板的上、下边缘所在的两条直 线，它们具有怎样的位置关系？左、右边缘所在的 直线呢？ 这些日常生活中的例子，都给我们以不相交 图 9-5 六棱铅笔 的两条直线的形象. 在同一平面内，两条直线的位置关系除了相交的情况外，还有不相交的情 况. 平面内两条不相交的直线叫做平行线（parallel lines）. 你能回答本章情境导航中提出的问题吗？你还能在下面两幅图中找出平行 线的形象吗？ C A D B 五线谱 跑 道 图 9-6 图 9-7 在图9-7中，直线AB与直线CD平行，记作“AB∥CD”或“CD∥AB”，读 作“AB平行于CD”或“CD平行于AB”. 实验与探究 P 如图9-8，已知直线a和直线外一点P，能利用 三角尺和直尺，经过点P，画出与直线a平行的直线 吗？试一试，并与同学交流. a 图 9-8 31第9章 平行线 （1）如图9-9①，P是直线a外的一点，用三角尺和直尺，按照图9-9中所 示的步骤，便可画出经过点P的直线a的平行线b. 请你动手画一画. P P P a a a ① ② ③ P b P b a a ④ ⑤ 图 9-9 （2）你能把上面画图的步骤叙述出来吗？ （3）在上面的画图过程中，你发现经过点P画直线a的平行线，能画出几条？ 通过画图可以发现，过直线a外一点P，画这条直线的平行线，能够画出一 条，并且只能画出一条. 这就是说， 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 这是平行线的一条基本性质. c （4）在9-9⑤中，如果再在直线a，b之外取 b 一点 ，画直线c∥a（图9-10），你发现直线b与 a c平行吗？ 图 9-10 通过画图可以发现，如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 这就是说， 平行于同一条直线的两条直线平行. 小亮试图用平行线的基本性质，说明图9-10中直线b不会与直线c相交的 道理. 329.2 平行线和它的画法 c 直线 b与直线 c不会相 b M 交，因为如果它们相交于M 点（图9-11），那么⋯⋯ a 图 9-11 挑战自我 你能将小亮的话补充完整吗？ 广角镜 传递性 如果直线a∥b，b∥c ，那么直线a∥c. 这个性质叫做平行关系的传递性. 数学中，有很多关系具有传递性. 例如，有理数的大小关系：如果a > b，b > c， 那么a > c. 但也有一些关系不具有传递性. 例如，直线的垂直关系：由直线a⊥b， b⊥c，不 能推出a⊥c. 今后，我们还会遇到类似的例子. 你能从过去学过的知识中，举出一些具有传递性的例子吗？ 练 习 1. 举出生活中平行线的实例. 2. 在如图所示的网格图上选取一点，经过这个点分别画出线段 a，b，c 的平行线 . 3. 如图，过点P画PC∥OA，交OB于点C；过点P画PD∥OB，交OA于点D. O c b A P B a （第 2 题） （第 3 题） 两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行. 33第9章 平行线 习题9.2 复习与巩固 A 1. 如图，用三角尺和直尺分别按下列要求画图： （1）过点A画BC的平行线 ； （2）过点B画AC的平行线 ； B C （第 1 题） （3）过点C画AB的平行线. D C 2. 如图，用三角尺和直尺画图： （1）过点D画DE∥CB，交AB于点E ； （2）过点A画AF∥BC，交CD的延长线于点F. A B （第 2 题） 拓展与延伸 3. 按下列步骤画图： （1）任取一点O，画OX = 2.5厘米，OY = 2.5厘米，且使OX⊥OY； （2）过点X，Y 分别画OY，OX的平行线，记它们的交点为A； （3）用刻度尺把OX，OY 各分成5等份； （4）过OY上每个分点画平行于OX的直线，过OX上每个分点画平行于OY的直线. 4. 如图，图①是一段花边的基本结构，请在图②中，画出与图①相同的图案. ① ② （第 4 题） 探索与创新 5. 如图，取线段AB的中点P，过点P画BC的平行线交CA于点 ， A 再过点 画AB的平行线交BC于点S. P （1）利用圆规分别比较线段A 与 C，CS与BS的大小； B C （2）利用圆规分别比较线段PP 与BC， S与AB的大小. （第 5 题） 你发现了什么？ 349.3 平行线的性质 9.3 平行线的性质 观察与思考 如图9-12，直线a，b被直线c所截，且a∥b. c a 4 1 （1）观察其中的任意一对同位角，例如∠1与∠5. 剪 3 2 下∠1，利用叠合的方法，你发现∠1与∠5的大小有什么关 b 8 5 7 6 系？另外的几对同位角的大小是否也具有这种关系？ 图 9-12 ∠1 = ∠5，另外的几 对同位角也都分别相等. 于是，我们得到平行线的一个性质： 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. （2）在图9-12中，直线a与b被直 线c所截得的各对内错角的大小分别有 因为∠1 = ∠5， ∠1 = ∠3， 什么关系？各对同旁内角的和是多少？ 所以∠3 = ∠5. （3）你能利用“两条平行直线被 第三条直线所截，同位角相等”这一事实，说明你的结论吗？与同学交流. 于是，平行线还具有下面的两个性质： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 例1 如图9-13，直线a∥b，c∥d，∠1 = 106°. 求∠2，∠3的度数. 解 因为a∥b，∠1与∠2是直线a与b被直线c所截得的内错角，所以 35第9章 平行线 c d ∠1 = ∠2. 又因为∠1 = 106°，所以∠2 = 106°. a 1 因为c∥d，∠2与∠3是直线c与d被直线b所截得的同 b 2 3 位角，所以∠2 = ∠3. 又因为∠2 = 106°，所以∠3 = 106°. 图 9-13 交流与发现 如图9-14， （1）画两条平行直线 l 和 l . 1 2 （2）在直线 l 上任取一点 A，经过点 A 画 AC⊥l ，垂足是 A B l 1 1 2 C. 那么 AC 与直线 l 有什么位置关系？为什么？ 1 l 2 （3）在直线 l 上再任取一点 B，经过点 B 画 BD⊥l ，垂足 C D 1 2 图 9-14 是 D. AC 与 BD 有什么位置关系？为什么？ （4）用圆规比较垂线段 AC 与垂线段 BD 的大小，你发现了什么？与同学 交流. 如果两条直线平行，那么其中一条直线上每个点到另一条直线的距离 都相等. 这个距离，叫做这两条平行线之间的距离. （5）怎样度量两条平行线之间的距离？与同学交流. 练 习 1. 如图，AB∥DE，∠B = 50°. 求∠1，∠2，∠3的度数. 2. 如图，AB∥DC，AD∥BC，在图中标出的4个角中，哪些角是相等的？你能从图中 找出互补的角吗？你是怎样想出来的？ A D D C 1 3 3 1 B 4 2 E C 2 A B （第 1 题） （第 2 题） 369.3 平行线的性质 习题9.3 复习与巩固 1. 如图，已知直线l ∥ l ，∠1和∠2互余，∠3 = 121°，求∠4的度数. 1 2 l 3 l 4 l 1 1 2 2 4 l 2 1 3 （第 1 题） （第 2 题） 2. 如图，把一个三角尺的直角顶点放在直尺的一边上. 如果∠1 = 23°，求∠2 的度数. 3. 如图，DH∥EG，EG∥BC，DC∥EF，图中与∠1相等的角有哪些？ D H 40° A A 3 2 B E G E 1 1 C F 110° D B C F G （第 3 题） （第 4 题） 4. 如图，已知直线 AB∥CD，根据图中标出的角度，求∠2 和∠3 的度数. 拓展与延伸 5. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿BD折叠后，点C落在点C′ 处，∠1与∠2相等吗？ 为什么？请你动手折一折，并予以验证. C′ A D 1 2 B C （第 5 题） 37第9章 平行线 9.4 平行线的判定 实验与探究 怎么才能判定两条直线平行呢？ 回想一下用三角尺和 直尺画平行线的方法. 在9.2节，我们曾用三角尺和直尺，按照图9-15所示的方法，经过直线a 外一点P画出a的平行线b. P b P b 1 a a 2 l 图 9-15 由画图过程可以看出，经过直线a外的一点P画a的平行线，是通过画∠1 = ∠2完成的. 而∠1和∠2是直线a，b被直线l截得的同位角. 这就说明，如果 同位角∠1与∠2相等，那么直线b∥a. 于是，我们得到了一个判定两条直线平行的方法： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 观察与思考 （1）在图9-16中，∠1 = ∠3，直线a与直线b平行吗？如果∠1 = ∠2呢？ 为什么？ 389.4 平行线的判定 c c a 3 a 1 2 2 b 1 b 3 图 9-16 图 9-17 如果∠1 =∠2，因为∠2 =∠3， 所以∠1 =∠3，因此a∥b. （2）在图9-17中，∠1与∠2互补，直线a与直线b平行吗？为什么？与同 学交流. 如果∠1 +∠2 = 180°，因为∠2 +∠3 = 180°，所以∠1 =∠3，因此a∥b. 于是，我们又得到两个判定直线平行的方法： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 例1 在图9-18中， （1）如果∠1 =∠EFC，可以判定哪两条直线平行？ （2）如果∠A + ∠1 = 180°，可以判定哪两条直线平行？ （3）如果∠2 = ∠C，可以判定哪两条直线平行？ 解 （1）∠1与∠EFC是直线AD，BC被直 D C 线 EF 截得的内错角，如果∠1 =∠EFC，那么可以判 E F 2 1 定直线AD与BC平行； （2）∠A与∠1是直线AB，EF被直线AE截得 A B 的同旁内角，如果∠A + ∠1 = 180°，即∠A与∠1 图 9-18 39第9章 平行线 互补，那么可以判定直线AB与EF平行； （3）∠2与∠C是直线EF，DC被直线BC截得的同位角，如果∠2 =∠C， 那么可以判定直线EF与DC平行. 练 习 1. 如图，已知∠1 = 60°，当∠2 = _______ 时，a∥b. 为什么？ 2. 如图，已知∠1 = 116°，∠2 = 116°，直线a与直线b平行吗？为什么？ cc D C a b 11 aa 1 1 c 2 bb 3 2 4 A 2 B （第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） 3. 如图，由下列条件可以判定哪两条直线平行？说明理由. （1）∠1 = ∠2 ； （2）∠4 = ∠A ； （3）∠A + ∠2 + ∠3 = 180°. 例2 如图9-19，点 P， 为直线 AB 上的两 C D 点，分别过点P， 画直线AB的垂线PC和 D. 直线 PC与直线 D平行吗？为什么？ A B 解 PC∥ D. P 理由是：在图9-19中，∠BPC与∠B D是直线 图 9-19 CP，D 被直线AB所截得的同位角. 因为CP⊥AB，D ⊥AB，所以∠BPC = 90°，∠B D = 90°. 于是∠BPC = ∠B D，所以PC∥ D. 例3 如图9-20①，在纸上任意画出一条直线BC，在BC外任取一点P. 过点P将纸片进行折叠，使直线BC被折痕DE分成的两部分重合（图9-20②）， 记折痕DE所在直线与BC的交点为A，将纸片展开铺平. 然后，再过点P将纸片 进行折叠，使折痕DE所在直线的两部分PE和PD重合（图9-20③），再将纸片 展开铺平（图9-20④）. 409.4 平行线的判定 E E P P P E C C P C F A C F A A D D D B B B B ① ② ③ ④ 图 9-20 （1）折痕DE与直线BC有怎样的位置关系？为什么？ （2）折痕PF与直线CB有怎样的位置关系？为什么？ 解 （1）DE⊥BC. 理由是：因为在第一次折叠时射线AB与AC重合， 所以∠PAC = ∠PAB. 又因为∠PAC + ∠PAB = 180°，所以2∠PAB = 180°，即 ∠PAB = 90°，所以DE⊥BC. （2）PF∥CB. 理由是：与（1）中所说的道理相同，∠EPF也等于90°. 所 以∠EPF = ∠PAB. 又因为∠EPF与∠PAB是直线PF，CB被直线DE所截得的同 位角，所以PF∥CB. 挑战自我 在图9-21中， AB∥CD，∠PAB，∠APC与∠PCD三个角的和是多少度？ 你是怎样求出来的？ A B P 经过点P画AB的平行 C D 线，就能解决这个的问题. 图 9-21 智趣园 直觉可靠吗 图9-22是一幅有趣的图案. 该图是由一些黑白相间小正 方形组成的，先凭你的直觉判断一下，图中的这些横线是直 的还是曲的？如果是直的，它们平行吗？然后借助三角尺检 验你的判断可靠不可靠. 图 9-22 41第9章 平行线 练 习 1. 如图，P NM是一块四边形木板，怎样用如左图所示的角尺检验这块木板的两组对 边是否分别平行？说明你的理由. M N P （第 1 题） （第 2 题） 2. 如图，丁字尺是工程技术人员常用的一种绘图工具. 用丁字尺可以画平行线，说明这 种画法的道理. 习题9.4 复习与巩固 1. 如图，由∠A与∠B互补可以判定_____∥_____，理由是____________；由∠D与___ ______________，可以判定DC∥AB. C D A D 4 1 3 2 B C A F B （第 1 题） （第 2 题） 2. 如图，D为线段AC上的一点，F是线段AB上的一点. 在图中标出的角中，满足哪个条 件能够判定DF∥CB？还有别的答案吗？说明理由. 3. 如图，∠1 = ∠A，∠2 = ∠B，图中有哪些直线平行？为什么？ A B a c 1 d 3 E F b 4 2 1 2 D C （第 3 题） （第 4 题） 4. 如图，已知∠1 = ∠2，∠3 = 110°，求∠4的度数. 42回顾与总结 5. 如图，已知a∥b，∠1 =∠2 = 90°，直线c与d平行吗？为什么？ c d 拓展与延伸 a 1 b 2 6. 如图是一个“鱼”形图案，点B，C分别在∠A的两边上. 已知 ∠1 = 50°，∠2 = 50°，∠3 = 130°，找出图中的平行线，求出 （第 5 题） ∠A的度数，并说明理由. A B D 1 1 A 2 3 D 3 2 C B E C F （第 6 题） （第 7 题） 7. 如图，分别根据下列条件，可以判定哪两条直线平行？说明理由. （1）∠2 =∠B； （2）∠1 =∠D； （3）∠3 +∠F = 180°，∠A =∠D . 探索与创新 8. 如图，点E，F，G分别在线段BC，AB，AC上，且CD⊥AB，EF⊥AB，∠CDG = ∠BEF. 试判断DG与BC的位置关系，并说明理由. A D G A B F E B C D E C （第 8 题） （第 9 题） 9. 如图，已知∠BED =∠B +∠D，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由. 回顾与总结 1. 本章学习了哪些内容？总结一下，并与同学交流. 2. 平面内的两条直线有几种位置关系？ 3. 两条直线被第三条直线所截，在形成的八个角中，有几对同位角？有几对内错角？有 几对同旁内角？ 43第9章 平行线 4. 平行线有哪些性质？ 5. 判定两条直线是否平行，除了用定义外，还有哪些判定方法？当两条直线被第三条直 线所截时，平行线的判定方法与平行线的性质有什么区别和联系？ 6. 从平行线的性质和判定可以看出，由直线与直线的位置关系，可以确定与它们有关的 角的数量关系；反过来，由角与角之间的数量关系，可以确定直线和直线的位置关系. 这说明组成几何图形的不同元素之间的相互依存、相互联系、相互制约的关系. 你体会 到了吗？ 综合练习 复习与巩固 1. 如图，先用刻度尺将线段AB四等分，分点分别为D，E，F，再经过各分点分别画AC 的平行线交线段BC于D′，E′，F′，比较BC被分成的四条线段长度的大小. 2. 如图，DE∥CA，DF∥BA，∠B = 38°，∠CFD = 53°，求∠1，∠2，∠3的度数. 3. 如图，已知∠1 ＝ ∠2 ＝ ∠C，找出图中的平行线，并说明理由. A B A D E 1 F 3 2 2 B C A C B D 1 C E （第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） 4. 如图，已知AB∥A′B′，BC∥B′C′，BC交A′B′于点D，∠B = 50°，求∠B′ 的度数. A A D 1 8 A′ 2 7 O D C B 3 6 C′ 4 5 B′ B C （第 4 题） （第 5 题） 5. 如图， （1）已知AD∥BC，可以得出哪些角相等？为什么？ （2）已知AB∥DC，可以得出哪些角互补？为什么？ （3）已知∠3 = ∠7，可以判定哪两条直线平行？为什么？ （4）已知∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 180°，可以判定哪两条直线平行？为什么？ 44回顾与总结 （5）由哪两条直线平行，可以得出∠4 =∠8？为什么？ （6）由哪两条直线平行，可以得出∠3 +∠4 +∠5 +∠6 = 180°？为什么？ 6. 利用有一个角是30°的三角尺和直尺，根据三角尺中的三个不同角度，用三种方法过直 线l外的一点P，画直线l的平行线. 拓展与延伸 7. 按下列步骤画出图案： （1）用刻度尺画线段 BC = 2.7厘米，以BC为一边，用三角尺画∠B = 60°，画∠C = 60°， 这两个角的另两边相交于点A（图①）； （2）用刻度尺将BC三等分，分点分别为D，E，经过点D画BA的平行线DF，交AC于 点F；经过点E画CA的平行线EG，交AB于点G；DF与EG交于点O（图②）； （3）经过点O画BC的平行线KH，交AB于点K，交AC于点H（图③）； （4）在图③的相应区域中涂上阴影，擦去其余部分，便得到图案④. A A A G F G F O O K H B C B CB C D E D E ① ② ③ ④ （第 7 题） A 8. 如图，已知AB∥CF，CF∥DE，∠BCD = 90°，求∠D B -∠B的度数. F C 探索与创新 E D 9. 如图，直线AB∥DE，∠ABC = 80°，∠CDE = 140°， （第 8 题） 求∠BCD的度数. A A B B C D E D C F E （第 9 题） （第 10 题） 10. 如图，已知AB∥EF，∠ABC =∠DEF. 试判定BC和DE的位置关系，并说明理由. 45第10章 一次方程组 4647第10章 一次方程组 10.1 认识二元一次方程组 交流与发现 在本章“情境导航”给出的问题中， （1）哪些量是已知量？哪些量是未知量？ （2）有哪些等量关系？ （3）你能列一元一次方程来解这个问题吗？ （4）在这个问题中有两个未知量. 如果分别设长城东段的长为 x 千米， 西段的长为y千米，那么长城的全长可以用含有未知数x，y的代数式表示为 __________ ；西段比东段长________. 根据等量关系：东段的长 + 西段的长 = 7 300千米，可以列出方程 x + y = 7 300 ； ① 根据等量关系：西段的长 - 东段的长 = 6 100千米，可以列出方程 y - x = 6 100. ② 上面列出的两个方程还是一元一次方程吗？它们与一元一次方程有哪些相 同点和不同点？与同学交流. 像这样，两边都是整式，含有两个未知数，并且含未知数的项都是一 次的方程，叫做二元一次方程（linear equation with two unknowns）. 例如，x + y = 3，x = 3y + 1，3x - 5y = -1等都是二元一次方程. 你还能举出 一些二元一次方程的例子吗？ x = 1， 当 时，方程 x + y = 3 的左、右两边的值相等. 这就是说，未知数的 y = 2 这一对值适合这个方程. 像这样，适合二元一次方程的一对未知数的值，叫做这 2 x = - ， x = 2， x = 5， 3 个二元一次方程的解. 也都是这个方程的解. 你还能 y = 1； y = -2； 11 y = 3 4810.1 认识二元一次方程组 找出这个方程其他的解来吗？想一想，它有多少 一般地，二元一次 个解？二元一次方程 x = 3y + 1呢？ 方程有无数个解. 对于方程①，像 x = 300， x = 500， x = 600， y = 7 000； y = 6 800； y = 6 700 等都是它的解. 对于方程②，像 x = 300， x = 500， x = 600， y = 6 400； y = 6 600； y = 6 700 等都是它的解. 其中，只有 x = 600， y = 6 700 既是方程①的解也是方程②的解，即它是这两个方程的公共解. 在解决某些问题时，有时需要将几个方程联立在一起，求出它们的公共 解，才能使问题得到解决. 例如，在本章“情境导航”给出的问题中，未知数 x，y必须同时满足方程①和②，把它们联立在一起，写成 x + y = 7 300， ① y - x = 6 100 ② 的形式，于是问题就转化成求这一组方程的公共解的问题了. 一般地，由几个一次方程组成的一组方程，叫做一次方程组. 含有两 个未知数的一次方程组叫做二元一次方程组（system of linear equations with two unknowns）. 二元一次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解. 求方程 组解的过程，叫做解方程组. x = 600， x + y = 7 300， 例如， 是二元一次方程组 的解. y = 6 700 y - x = 6 100 x = 0， x = -1， x + y = -1， 你能判断 与 是不是二元一次方程组 的 y = -1 y = 0 3x - 4y = -3 解吗？试一试. 49第10章 一次方程组 挑战自我 x + y = 7 300， 方程组 是二元一次方程组吗？为什么？ x = 600 练 习 1. 举出两个二元一次方程组的例子. 1 2. 在二元一次方程3x + 2y = 7中，当x = ______时，y = ；当x = -1时，y = ______. 2 3. 已知x与y的三对值： x = 0， x = 15， x = 2， y = -1； y = 4； y = 1 . 10 （1）其中，哪几对值是方程x - 3y = 3的解？哪几对值是方程3x - 10y = 5的解？ x - 3y = 3， （2）哪对值是方程组 的解？ 3x - 10y = 5 习题10.1 复习与巩固 1. 已知二元一次方程x - 5y = 30. （1）用关于x的代数式表示y ； （2）用关于y的代数式表示x ． 1 2. 已知二元一次方程2x + 2y - 5 = 0，当y分别取2，-1，0， 时，求对应的x的值. 3 3.（1）根据下列关系，分别求方框内y的值： ① y = 4x + 2； ② 2x - 3y = 4. x y x y 1 1 2 2 0 0 -1 -1 （第 3 题） 5010.2 二元一次方程组的解法 2x - 3y = 4， （2）从上面的框图中，找出方程组 的解. y = 4x + 2 拓展与延伸 x = 1， 4. 已知二元一次方程5x +（k -1）y - 7 = 0的一个解是 求k的值. y = -3， 3x + 2y = 4， 1 5. 已知适合二元一次方程组 的y值是 ，求方程组的解及m的值. mx - 4y = 5 2 探索与创新 x = 2， 6. 写出一个二元一次方程组，使 是所写方程组的解. y = -1 10.2 二元一次方程组的解法 观察与思考 （1）怎样求由本章“情境导航”得到的二元一次方程组 x + y = 7 300， ① 能把它转化成一元 y - x = 6 100 ② 一次方程就好办了！ 的解呢？ （2）由方程②，用关于 x 的代数式表示另一个未知数 y，得 y = 6 100 + x. ③ 如果用方程③中的代数式 6 100 + x 代替方程①中的 y，那么就 可以得到一个关于 x 的一元一次方程 x +（6 100 + x）= 7 300 ． 解这个一元一次方程，得 x = 600 ． 再将 x = 600代入方程③，得 y = 6 700 ． x = 600， x + y = 7 300， （3）检验一下， 是二元一次方程组 的解吗？ y = 6 700 y - x = 6 100 51第10章 一次方程组 （4）在解得 x = 600 后，为了求出 y，能将它代入方程①或方程②吗？对于 方程①，②，③而言，代入哪一个方程求解更简便一些？ （5）你能概括一下上面解法的主要思路吗？ 将方程组中的一个方程的某一个未知数，用关于另一个未知数的代数 式表示出来，然后将它代入到另一个方程中，从而转化为解一元一次方程. 方程组的这种解法叫做代入消元法，简称代入法（substitution method）. 例1 解方程组 3x = 1 - 2y， ① 5x - 4y = 31. ② 解 由①，得 1-2y x = . ③ 3 将③代入②，得 1-2y 5 · - 4y = 31 ． 3 解这个一元一次方程，得 y = - 4 ． 将 y = - 4代入③，得 x = 3 . x = 3， 所以 y = -4 . 想一想，对于例1中的方程组，还有另外的代入消元的方法吗？哪种解法更 简便些？说说你的体会. 练 习 1. 用代入法解下列二元一次方程组，并加以检验： 18x = y + 9， x = -2y， （1） （2） y = 17x； x + y = 15. 5210.2 二元一次方程组的解法 2. 用代入法解下列二元一次方程组： x + 2y = 9， 3m + 2n = 16， （1） （2） 3x - y = -1； 2m + 3n = -1. 交流与发现 除了代入法外，二元一次方程组 x + y = 7 300， ① y - x = 6 100 ② 还有其他解法吗？ （1）观察方程①和②中含未知数 x 的项的系数，你发现有什么特点？这个 特点对解方程组有什么启发？ 将方程①与②的两边分别相加，得 方程①②中x的系数互为相反 （x + y）+（y - x）= 7 300 + 6 100， 数，如果利用等式的基本性质，把 这两个方程相加，就能消去 x，转 即 2y = 13 400， 化成解关于 y 的一元一次方程. 解这个一元一次方程，得 y = 6 700. 将y = 6 700代入方程①，得 x + 6 700 = 7 300， 解得 x = 600. x = 600， 所以 y = 6 700. （2）在上面的方程组中，含未知数 y 方程①②中 y 的系数相等， 的项的系数有什么特点？由此你能想出消 如果利用等式的基本性质，把 去方程组中的 y 转化成一元一次方程的方 两个方程相减，就能消去 y，转 法吗？ 化成解关于 x 的一元一次方程. 将方程①与②的两边分别相减，得 （x + y）-（y - x）= 7 300 - 6 100， 即 2x = 1 200. 解这个一元一次方程，得 x = 600. 将x = 600代入方程①，得600 + y = 7 300. 53第10章 一次方程组 解得 y = 6 700. x = 600， 所以 y = 6 700. （3）想一想，上面方程组的解法与代入法有什么相同点和不同点？与同学 交流. 通过把两个方程相加或相减消去一个未知数，从而转化为解一元一次 方程. 方程组的这种解法叫做加减消元法，简称加减法（addition-subtraction method）． 例2 解方程组 把方程①的两边同乘 5u + 2 = -9， ① 2，两个方程中含有v的项 3u - 4 = -8. ② 的系数就互为相反数了. 解 ① × 2，得 10u + 4 = -18. ③ ② + ③， 得 13u = -26. 解这个一元一次方程，得 u = -2． 把u = -2代入方程①，得-10 + 2 = -9， 1 解得 = . 2 u = -2， 所以 1 = . 2 你还有其他解法吗？试一试. 挑战自我 3m - an = 16， m = 7， 如果关于 m，n 的二元一次方程组 的解是 那么关 2m - bn = 15 n = 1， 于x，y的二元一次方程组 3（x + y）- a（x - y）= 16， 2（x + y）- b（x - y）= 15 的解是什么？ 5410.2 二元一次方程组的解法 练 习 1. 用加减法解下列方程组： 2x + y = 3， 2x - 3y = 4， （1） （2） x - y = 1； 5x - 3y =1； x y x + 2y = 9， + = 5， （3） （4） 2 3 3x + y = -1； 3x - 2y = -6. 习题10.2 复习与巩固 1. 用代入法解下列方程组： m = 2n + 3， 2x + y = -7， （1） （2） 4m + 5n = -1； 2x - 3y = 5； 3x + 4y = 18， 2x + 3y = -1， （3） 1 x + y = 4 ； （4） 4x - 9y = 8. 2 2. 用加减法解下列方程组： 2x - y = -4， 3u + 2 = 9， （1） （2） 3x + y = 19； 3u - 5 = 2； 9m + 2n = 15， 4x + 3y = -4， （3） （4） 3m + 4n = 10； 3x - 4y = -3. 3. 解下列方程组： x y 4 y -1 = 3（x -2）， + = ， 4 3 3 （1） （2） y + 4 = 2（x + 1）； 5（x - 9）= 6（y-2）. 4. 当x = 2时，代数式x2 + ax + b的值是3；当x = -3时，这个代数式的值是-2. 求a与b 的值. 5. 如果甲、乙两数之和为a，差为b，那么这两个数的积是什么？ 6. 如图，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2的3倍还多 C 20°，利用二元一次方程组，求∠1，∠2的度数. 1 2 A O B （第 6 题） 55第10章 一次方程组 拓展与延伸 ax + by = 7， x = 1， 7. 已知 的解是 求a + b 的值 ． bx - ay = 5 y = -2， 8. 如图，有一台“数值转换机”，输入一对数（x，y）后，输出一个新数3（x + 2y）-2. 如果输入（2a，3b）后，输出的新数是28；输入（a，2b）后，输出的新数是16，求a 与b的值. （第 8 题） 探索与创新 ax + by = -2， x = 3， x = -2， 9. 解方程组 时，甲正确解得 乙因把c写错解得 求 cx - 7y = 8 y = -2， y = 3. a，b，c的值. *10.3 三元一次方程组 交流与发现 小亮与爸爸、爷爷三人年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄 之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差. 他们三人的 年龄分别是多少？ 这个问题中有三个未知量：小亮、爸爸、爷爷的年龄. 设他们分别是x岁， y岁，z岁. 根据题意，可列出以下三个方程： x + y + z = 120， z = x + y + 12， y - x = z - y. 本教科书中，标有星号的内容是选学内容，不作考试要求. 56*10.3 三元一次方程组 这个问题的解必须同时满足上面的三个方程. 将这三个方程联立，得到方 程组 x + y + z = 120， ① z = x + y + 12， ② y - x = z - y. ③ 像这样，含有三个未知数的一次方程组，叫做三元一次方程组（system of linear equations of three unknowns）. 怎样解这个三元一次方程组呢？你能从二元一次方程组的解法中得到哪些 启示？与同学交流. 解三元一次方程组的基本思路也 是消元. 通过消元，转化成解二元一 次方程组或一元一次方程. 消元的方 法有代入法和加减法. 把方程②，分别代入①和③，消去未知数z，化简得二元一次方程组 x + y = 54， ④ - 2x + y = 12. ⑤ 解由④ ⑤组成的二元一次方程组，得 x = 14 ， y = 40. 代入方程②，得 z = 66. x = 14， 这样，就得到原三元一次方程组的解 y = 40， z = 66. 经检验，方程组的解符合题意. 所以，小亮14岁，爸爸40岁，爷爷66岁. 例1 解方程组 y + 2z = 5， ① 3x - 2y + 3z = 1， ② 2x + 3y - 2z = -3. ③ 57第10章 一次方程组 解 由①，得y = 5 - 2z， ④ 将④代入②，得 3x -2（5 - 2z）+ 3z =1. 化简，得 3x + 7z = 11. ⑤ 将④代入③，得 2x + 3（ 5 - 2z ）- 2z = -3. 化简，得 x - 4z = -9. ⑥ 将⑤⑥联立，得二元一次方程组 3x + 7z = 11， x - 4z = -9. x = -1， 解这个二元一次方程组，得 z = 2. 将z = 2代入方程④，得 y = 1. x = -1， 所以 y = 1， z = 2. 练 习 1. 解下列方程组： y = 5 - x - 3z， x + y - z = 3， （1） x + y + z = 1， （2） x + y + z = 1， -x + 2y + z = 2； -x + 2y + z = 2. 例2 解方程组 2x - 3y + 2z = 2， ① 3x + 4y - 2z = 5， ② 4x + 5y - 4z =2. ③ 解 ① + ②，得 5x + y = 7， ④ 58*10.3 三元一次方程组 ① ×2 + ③，得 方程①和方程②中，z的 8x - y = 6. ⑤ 系数分别是2和-2，方程③ 将④⑤联立，得二元一次方程组 中z的系数为-4，能利用加减 5x + y = 7， 法消去方程②③中的z吗？ 8x - y = 6. x = 1， 解得 y = 2. x = 1， 把 代入①，得 2 - 6 + 2z = 2. y = 2 解得 z = 3. x = 1， 所以 y = 2， z = 3. 例3 解方程组 5 x + y = ， ① 根据方程组系数 2 y + z = 3， ② 的特点，可以灵活地 3 进行消元. x + z = . ③ 2 解 ① + ② + ③，得 2x + 2y + 2z = 7， 7 x + y + z = . ④ 2 由④ - ①，④ - ②，④ - ③，得 1 z = 1，x = ，y = 2. 2 1 x = ， 2 所以 y = 2， z = 1. 想一想，你还有其他解法吗？ 59第10章 一次方程组 练 习 1. 解下列方程组： 3x - 2y + 2z = 3， 2x + 3y - 2z = 10， （1） -2x + 4y + 3z = -3， （2） -3x + 2y + 2z = -1， 5x + 2y - 3z = -12； -2x + 2y + 2z = 0. 习题10.3 复习与巩固 1. 用代入法解下列方程组： x + 2y = 5， 2x + y + z = -1， （1） y - 3z = -7， （2） 3y - z = -1， 4z + x = 13； 3x + 2y + 3z = -5. 2. 用加减法解下列方程组： 2x + 3y = -1， 3x - 5y + 6z = 4， （1） 3x + 4y - 3z = -7， （2） 3x - 2y + 2z = 3， -2x + 3y + 3z = 1； -3x - 3y + 5z = -1. 3. 解下列方程组： x + y + z = 2， x - y = -1， （1） 2y - 3z = 1， （2） y - z = 1， 2x - y + 3z = -1； x + z =2. 拓展与延伸 x y z 1 4. 已知 = = ，且 x + y - z = ，求x，y，z. 2 3 4 12 x = 5， 2ax + 3by + cz = 1， 5. 已知 y = 2，是方程组 3ax + 5by - 2cz = 11， 的解，求 a，b，c 的值. z = -3 -2ax - 6by + 3cz = -7 探索与创新 1 1 1 6. 已知 （x - y + 2z）= （ y - z + 2x ） = （ z - x + 2y ）= 2，求x + y + z的值. 3 7 2 6010.4 列方程组解应用题 10.4 列方程组解应用题 交流与发现 长江上一艘游船从沙市港出发，船速为17千米/时，经过若干小时到达宜昌 港. 如果船速增加1千米/时， 那么用同样多的时间，游船可到达宜昌上游9千米 处的葛洲坝（图10-1）. 提速前游船由沙市港航行到宜昌港所用的时间是多少？ 沙市港到宜昌港的航程是多少？ 图 10 - 1 在这个问题中， （1）已知量是什么？未知量是什么？ （2）等量关系是什么？ （3）如果设游船航行所用的时间为x时，沙市港到宜昌港的航程为y千米， 你能根据问题中的两个等量关系列出方程组吗？ （4）你会解所列的方程组吗？ 例1 小亮和小莹练习赛跑. 如果小亮让小莹先跑 10 米，那么小亮跑 5 秒就 追上小莹；如果小亮让小莹先跑 2 秒，那么小亮跑 4 秒就追上小莹. 两人每秒各 跑多少米？ 61第10章 一次方程组 等量关系是： （1）小亮跑 5 秒的路程 = 小莹跑 5 秒的路程 + 10 米； （2）小亮跑 4 秒的路程 = 小莹跑（4 + 2）秒的路程. 解 设小亮每秒跑x米，小莹每秒跑 y米. 根据题意，得 5x = 5y + 10， 4x =（4 + 2）y . 解这个方程组，得 x = 6， y = 4. 经检验，方程组的解符合题意. 所以小亮每秒跑6米，小莹每秒跑4米. 例2 （中国古代数学问题）有若干只鸡和兔放在同一个笼子里. 从上面 看，有35个头；从下面看，有94只脚. 问笼子里有几只鸡？几只兔？ 解 设笼子里有x只鸡、y只兔. 已知共有35个头、94只脚. 根据题意，得 x + y = 35. ① 2x + 4y = 94. ② 解这个方程组，得 x = 23， y = 12. 经检验，方程组的解符合题意. 所以，笼子里有23只鸡、12只兔. 对于这个问题，你能用四则运算的方法和列一元一次方程的方法求解吗？ 比较这两种方法与列二元一次方程组的方法，你认为它们各有什么特点？与同 学交流. 本题出自《孙子算经》. 原题是：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足. 问雉兔各几何.” 62甲、乙二人正在谈论他们的年龄. 甲：在我是你今年的岁数时，你那年10岁. 乙：在我是你今年的岁数时，你那年25岁. 想一想，甲、乙二人谁的年龄大？今年甲、乙二人各多少岁？ 1. 为绿化校园，时代中学买了杨树苗和柳树苗共100棵. 杨 树苗每棵3元，柳树苗每棵7元，买树苗共用460元. 两 种树苗各买了多少棵？ 2. 如图，用8块相同的长方形瓷砖拼成一个宽为60厘米的 长方形灶台面. 求每块瓷砖的长和宽（瓷砖间的缝隙忽 略不计）. 63 米厘06 10.4 列方程组解应用题 挑战自我 练 习 （第 2 题） 例3 2010年4月份中国民航国内和国际航线运送旅客总人数共2 160 万人，其中，国内和国际航线运送旅客人数比2009年4月份分别增长13.2%和 28.8%，2009年4月份国内航线和国际航线运送旅客总人数为1 894万人. 那么 2009年4月份国内和国际航线运送旅客分别有多少万人（结果精确到万人）？ （参考网站： http : // www. stats. gov. cn） 设2009年4月份中国民航国内航线运送旅客x万人，国际航线运送旅客y万 人，得到下表： 2009年4月份 2010年4月份 国内航线运送人数/万人 x （1 + 13.2％）x 国际航线运送人数/万人 y （1 + 28.8％）y 合计/万人 1 894 2 160第10章 一次方程组 解 设2009年4月份中国民航国内航线运送旅客 加油站 x万人，国际航线运送旅客y万人. 在解决一类实 根据题意，得 际问题时，可以通过 x + y =1 894， 列出方程组表示问 （1+ 13.2%）x +（ 1+ 28.8%） y = 2 160. 题中的全部数量关 系，所以方程组也 解这个方程组，得 是刻画现实世界数 x≈1 791， 量关系的有效模型. y≈103. 经检验，方程组的解符合题意. 所以2009年4月份中国民航国内航线运送旅客1 791万人，国际航线运送旅 客103万人. 例4 果园要将一批水果运往某地，打算租用某汽车运输公司的甲、乙两 种货车. 过去两次租用这两种货车的信息如下表所示： 第一次 第二次 甲种货车车辆数 / 辆 2 5 乙种货车车辆数 / 辆 3 6 累计运货量 / 吨 15.5 35 现打算租用该公司 3 辆甲种货车和 5 辆乙种货车，可一次刚好运完这批水 果. 如果每吨运费为 30 元，果园应付运费多少元？ 等量关系是： （1）2 辆甲种货车运量 + 3 辆乙种货车运量 = 15.5 吨； （2）5 辆甲种货车运量 + 6 辆乙种货车运量 = 35 吨. 解 设甲、乙两种货车每辆每次分别可运水果x吨、y吨. 根据题意，得 2x + 3y = 15.5， 5x + 6y = 35. x = 4， 解这个方程组，得 y = 2.5. 6410.4 列方程组解应用题 经检验，方程组的解符合题意. 这次运水果所需运费为 30×（4×3 + 2.5×5）= 735（元）. 所以，果园应付运费 735 元. 智趣园 两鼠穿墙 《九章算术》提出了一个有趣的问题：“今有垣厚五 尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺. 大鼠日自 倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？” 意思是说：今有一道墙，厚5尺，两只老鼠从墙的 两边分别打洞穿墙. 大老鼠第一天进一尺，以后每天的 进度是前一天的2倍；小老鼠第一天也进1尺，以后每 天的进度是前一天的一半. 问几天后两鼠相遇；此时， 两鼠各穿墙几尺？ 该题当初是用“盈不足术”求解的. 学过一次方程组后，我们也可以用二元一次方 程组求解. 由题意可知，穿墙第一天，大鼠、小鼠各穿墙1尺，共2尺；穿墙第二天， 大鼠穿墙2尺，小鼠穿墙 1 尺. 两天大鼠和小鼠共穿墙 9 尺，离穿透墙尚差 1 尺. 到第 2 2 2 三天时，不用1天二鼠即可相遇. 在穿墙的第三天，设大鼠前进了 x 尺，小鼠前进了 y 尺，大鼠该天穿墙速度为4尺/ 1 1 天，小鼠为 尺/天. 等量关系是：①大鼠、小鼠一共穿墙 尺；②该天在相遇前大、 4 2 小鼠用的时间相等. 你能根据以上分析列出二元一次方程组来求解吗？ 练 习 1. 时代中学师生100人到甲、乙两公司参加社会实践活动，到甲公司的人数比到乙公司 的人数的2倍少8人，到两公司参加社会实践的人数各多少？ 1 2. 山青林场有一块面积为58公顷的土地，现计划将其中的 开辟为果园，其余的土地 4 1 种粮食和蔬菜，并且种蔬菜的土地面积是种粮食的土地面积的 . 该林场计划种蔬菜 4 和粮食各多少公顷？ 65第10章 一次方程组 ＊ 例 5 一个三位数，三位数字之和为12，个位数字是百位数字与十位数字 之和的2倍，百位数字是十位数字的3倍，求这个三位数. 解 设这个三位数的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z. 根据题意，得 x + y + z = 12， x = 2（y + z）， z = 3y . x = 8， 解得 y = 1， z = 3. 经检验，方程组的解符合题意. 所以这个三位数是318. ＊ 例 6 （中国古代数学问题） 今有上等黍3捆，中等黍2捆，下等黍1 捆，共打出黍米39斗；又有上等黍2捆，中等黍3捆，下等黍1捆，共打出黍 米34斗；再有上等黍1捆，中等黍2捆，下等黍3捆，共打出黍米26斗. 问每捆 上、中、下黍各能打出黍米多少斗？ 解 设每捆上、中、下黍分别能打出黍米x斗、y斗、z斗. 根据题意，得 3x + 2y + z = 39， 2x + 3y + z = 34， x + 2y + 3z = 26. 37 x = ， 4 17 解得 y = ， 4 11 z = . 4 经检验，方程组的解符合题意. 37 17 11 所以，每捆上、中、下黍分别能打出黍米 斗、 斗、 斗. 4 4 4 本题出自《九章算术》“方程”章. 原题是：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九 斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗. 问 上、中、下禾实一秉各几何.” 6610.4 列方程组解应用题 挑战自我 小亮、小莹和大刚每人面前各放有一堆栗子. 小亮将自己面前的栗子分出一 些给另外二人后，这二人的栗子数各增加1倍. 接着小莹又将自己面前的栗子分 一些给小亮和大刚，小亮和大刚的栗子数都增加了 1 倍. 然后，大刚又分给另外 二人一些栗子，使小亮和小莹面前的栗子数也都增加 1 倍. 这时，他们三人面前 的栗子竟然都是24颗. 你知道他们三人面前原来各有多少颗栗子吗？ 史海漫游 古老的百鸡问题 公元5世纪左右，北魏时期的数学家张丘建在他 所著的《 张丘建算经 》中提出了一个著名的“百鸡 问题”（图10-2）： “今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏 三，直钱一. 凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几 何 ？” 题目大意是：一只公鸡价值5钱（我国古代的一 种货币单位），一只母鸡价值3钱，三只雏鸡价值1 钱. 用100钱买了100只鸡，问买公鸡、母鸡和雏鸡 各多少只. 《张丘建算经》（宋刻本） 这一问题可利用列方程组的方法解决. 设x，y， 关于百鸡问题的记载 （选自《中国大百科全书·数学》） z 分别表示所买公鸡、母鸡、雏鸡的只数，根据题 图 10 - 2 意，得 x + y + z = 100， ① 1 5x + 3y + z = 100. ② 3 67第10章 一次方程组 这个方程组中有两个方程，却有三个未知数. 这类方程组在数学上称为不定方程组. 本题是求一个三元一次不定方程组的正整数解问题. 这一问题的提出标志着我国在公元 5 世纪时已对不定方程组有了系统深入的研究，并为后人学习不定方程组的求解提供了 一个入门的范例. 利用我们学过的知识，可以采用下面的方法解这个不定方程组： 由② ×3 - ①，化简得 7x + 4y = 100， 7 y = 25 - x. 4 7 因为y是正整数，所以x应是4的整数倍，且（25 - x）也是正整数，所以x只能 4 取4，8，12. 由此得 x = 4， x = 8， x = 12， y = 18， y = 11， y = 4， z = 78； z = 81； z = 84. 所以，公鸡、母鸡、雏鸡各买了4只、18只、78只；或8只、11只、81只；或12 只、4只、84只. 练 习 1 1 *1. 甲、乙、丙三个数的和是25，甲数的 等于乙数的 ，甲数比乙数与丙数的和少1. 3 2 求这三个数. *2. 某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为： 胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 时 代中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和 等于胜的场数，共积21分. 这个队在这届联赛中 胜、平、负各几场？ （第 2 题） 6810.4 列方程组解应用题 习题10.4 复习与巩固 1.（中国古代数学问题） 几个合作经营的商人正分配所得银两，某人在隔壁听见他们 说，如果每人分得7两，就剩下4两；如果每人分得9两，还少半斤（旧时1斤＝16 两）. 你知道共有多少商人和多少银两吗？ 2.“十一”黄金周期间，某景区共接待省内、外游客122万人，总收入达4.8亿元，其中 省内、外游客人均消费分别为160元和1 200元. 该景区接待省内、外游客各多少万人 （精确到1万人）？ 3. 每千克大豆饼和棉籽饼中，磷和钾的含量（单位：克）分别如下表所示： 磷 钾 大豆饼 13.2 21.3 棉籽饼 16.3 9.7 现在要用这两种肥料配制成含磷45.8千克、钾40.7千克的混合肥料. 大豆饼和棉籽饼 各需多少千克？ 4. 暑假时一批中学生参加夏令营，途经某旅店住宿. 如果每间客房安排住 7 人，就会有 7 人没有地方住；如果每间客房安排住 9 人，就会空出一间房. 求旅店的客房数和中学 生的人数. 5. 某开发区去年的出口创汇额为25亿美元，今年达到30.55亿美元. 已知今年上半年的 出口创汇额比去年同期增长18%，下半年比去年同期增长25%，求今年上半年和下半 年的出口创汇额． 6. 张大婶和王姐去菜市场买菜. 张大婶买了土豆 3 千克、菠菜 2 千克，共花费 10.2 元；王 姐买了芹菜 1 千克、土豆 2 千克、菠菜 1 千克，共花费 9.2 元. 已知芹菜每千克 3 元，问 土豆和菠菜每千克各多少元. 拓展与延伸 7. 一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成. 如果1立方米木料可制作桌面50个，或制作桌 腿300条. 现有5立方米木料，请你设计一下，用多少木料做桌面，用多少木料做桌 腿，恰好配成方桌多少张？ 本题出自明代程大位（1533-1606）著《 算法统宗 》卷十一. 原题是：“隔墙听得客分银，不知人 数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤. ” 69第10章 一次方程组 *8.（中国古代问题） 买2匹马、3头牛或4只羊，价钱分别都不满10 000文（古时货币 单位）. 如果买2匹马加上1头牛，或者买3头牛加上1只羊，或者买4只羊加上1匹 马，那么各自的价钱正好都是10 000文. 求马、牛、羊的单价. *9. 某公路收费站对过往车辆的收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元. 5 4 某天通过该收费站的大客车是小客车数量的 ，小客车是小轿车数量的 ，收取 6 11 小轿车的通行费比大客车和小客车通行费之和少1 050元. 求当天这三种车辆通过的 数量. 10.《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部 分在地上觅食. 树上的一只鸽子对地上的鸽子说：“如果从你们中飞上来一只，那么 1 树下的鸽子是整个鸽群的 ；如果从树上飞下去一只，树上、树下的鸽子就一样多.” 3 你知道原来树上、树下的鸽子各多少只？ 探索与创新 11. 甲、乙二人骑自行车同时从相距5千米的两地相向而行，经过10分钟相遇. （1）求甲、乙两人的速度； （2）上面的问题（1）有没有解？如果有解，有多少个解？请写出它的两个解； （3）请你适当增加上面的问题（1）中的条件，使问题有唯一解，并解答你改编后的 问题. *12. 一个三位数，百位数字比十位数字的2倍多1，个位数字比十位数字的3倍少1. 如 果把这个三位数的百位数字和个位数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数多 99. 求原来的三位数. 回顾与总结 1. 总结本章的主要内容，并与同学交流. 2. 二元一次方程与一元一次方程有什么不同？二元一次方程的解有什么特点？ 3. 什么是二元一次方程组？什么是三元一次方程组？各举一例说明. 4. 解二元一次方程组的基本思路是将方程组向 _____________转化，而代入法和加减法 是实现这种转化的有效工具. 这两种方法的主要步骤各是什么？ 本题出自元代朱世杰（1249-1314）著 《 算学启蒙 》. 原题是：“今有二马三牛四羊，价格各不满 一万. 若马添牛一，牛添羊一，羊添马一，则各满一万. 问三色各一，价钱几何？” 70回顾与总结 *5. 解三元一次方程组的基本思路是将三元一次方程组向_______________转化，实现这 种转化的工具是_______________ . 6. 你对解一次方程组的方法有哪些体会？解一次方程组时，你认为在什么情况下用代入 消元法，什么情况下用加减消元法更方便？举例说明. 7. 同一元一次方程一样，一次方程组也是一种重要的数学模型. 回忆建立和求解一元一 次方程模型的过程，你能说出建立和求解一次方程组模型的过程吗？与同学交流. 8. 列一次方程组解应用题的关键是什么？ 9. 用列二元一次方程组方法解的应用题，有时也可用列一元一次方程的方法来解决. 你 能体会两种方法的不同点吗？ 综合练习 复习与巩固 2x - ay = 5， x = 1， 1. 已知二元一次方程组 的解是 求a与b． bx + 6y = -1 y = -1. 2. 用代入法和加减法分别解下列方程组： 5x = y + 5， x + y = -5， （1） （2） x = y - 3； 3x - 5y = 9； x + y = 1， x - y - z = 0， *（3） y + z = 6， *（4） x + y - 3z = 4， z + x = 3； 2x + 3y - 5z = 14. 3. 解下列方程组： x y 2 x - 2y = 5， 3 - 2 = 3 ， （1） （2） 2x + 7y = -1； x y 9 + = - ； 4 4 4 x + 2y + 3z = 14， 3x + y + 2z = 10， *（3） 3x + y + 2z = 11， *（4） 2x + 3y - z = 9， 2x + 3y + z = 11； x + y + z = 6. 4. 某双层游轮的票价是：上层票每张32元，下层票每张18元. 已知游轮上共有游客350 人，而且下层票的总票款比上层票的总票款多3 700元. 这艘游轮上、下两层的游客人 数分别是多少？ 71第10章 一次方程组 5. 一筒牙膏与一把牙刷原售价共7元. 商场以这种牙膏价格的8折与牙刷价格的6折“捆 绑”出售（即将一筒牙膏与一把牙刷配套出售），售价为每套5.2元 .“捆绑”出售前， 一筒牙膏与一把牙刷的售价分别为多少元？ 6. 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配置营养品，每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质. 如果病人每餐需要 35 单位蛋 白质和 40 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好能满足病人的需要？ 7. 邮购一种期刊，不满100册，需另加期刊总价的10%作邮费；超过100册（含100 册），免收邮费. 已知这种期刊每册定价5元，某公司两次共邮购152册（其中第二次 邮购超过100册），期刊费和邮费总计金额780元. 两次各邮购了多少册？ 8.（中国古代数学问题） 5头牛和2只羊，共值银10两 ；而2头牛和5只羊，共值银8 两. 问一头牛和一只羊各值银几两？ 1 1 *9. 甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的 等于丙数的 . 求 3 2 这三个数. *10. 现有1元、5元、10元三种币值的人民币共14张，总钱数为57元，其中1元币比 5元币多3张. 求三种币值的人民币各有几张. 拓展与延伸 11. 如果方程组 2x + y = k， x + 2y = 2k -3 的解中x与y的和等于5，求k的值. 12. 已知关于x，y的方程组 x + 2y = 5m， 6x - y = 4m 的解满足方程x - 2y + 1 = 0，求m的值. 13. 某电脑公司销售A，B，C三种型号的电脑，每台售价分别为6 000元、4 000元、 2 500元. 时代中学计划投入100 500元经费用于购买其中两种型号的电脑，共计36台. 你能设计出几种不同的购买方案？各是什么方案？ 14. 某班进行个人投篮比赛，有1人未进球，有2人各进1球，有7人各进2球，有2人 各进5球，没有人进5球以上. 小莹和一些同学各进3球，小亮和一些同学各进4球. 已知进球3球或3球以上的同学平均每人进3.5球，进球4球或4球以下的同学平均 每人进2.5球. 问进3球和进4球的人数各是多少. 本题出自《九章算术》“方程”章. 原题是：“今有牛五、羊二，直金十两. 牛二羊五，直金八两. 问牛、羊各直金几何. ” 72回顾与总结 探索与创新 15. 在《九章算术》“方程”章中，一次方程组是通过“算筹”摆放的. 该书中的算筹图 是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排（图①、图②）. 图中各行从左到右摆出 的三组算筹分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项. 其中，图 ① 所示的 算筹图翻译成现代的符号语言，就是 3x + 2y = 19， x + 4y = 24. 你能把图②所示的算筹图翻译出来吗？ ① ② （第 15 题） （m + 1）x -（n - 3）y = 11， x = 1， 16. 已知方程组 的一个解为 求m，n的值. mx +（n + 2）y = 7 y = -2， *17. 甲、乙两个数的平均数为-1，乙、丙两个数的平均数是5，甲、丙两个数的平均数 是2. 甲、乙、丙三个数分别是多少？ 18. 某景点的门票价格规定见下表： 购票人数/人 1〜50 51〜100 100以上 每人票价/元 50 45 40 甲、乙两旅游团共103人（甲团人数多于乙团）打算购门票. 如果两团分别各自购票， 共需4 860元. （1）如果两团联合作为一个团体购票可节省多少元？ （2）两个旅游团各有多少人？ 73第11章 整式的乘除 7475第11章 整式的乘除 11.1 同底数幂的乘法 交流与发现 （1）少年宫的小游泳池中存有约100立方米的 水. 为了保证池水的清洁卫生，必须按规定的比例向 池水中加施一定量的消毒剂. 为此，需要将水的体积 单位转换成升. 100立方米的水折合成多少升呢？ 游泳池 图 11-1 100立方米 = 102立方米， 100立方米 1立方米 = 103升. = 102×103升. 由乘方的意义，可以得到 102×103 =（10×10）×（10×10×10）= 10×10×10×10×10 = 105. 这就是说，游泳池里大约有水105升. 1 1 （2）仿照上面的方法，你会计算（-2）3 ×（-2）2，（ ）5×（ ）4 吗？ 2 2 （3）在上面的三个乘法算式中，两个因数的底数 小资料 分别有什么特点？分别比较因数的底数与积的底数、因 数的指数与积的指数，你发现了什么规律？由此，你猜 底数相同的幂 叫做同底数幂，它们 测同底数幂的乘法有什么运算性质？你能说明你的猜测 的乘法叫做同底数幂 是正确的吗？与同学交流. 的乘法. 一般地，设m，n都是正整数， m个a n个a am·an =（a·a·⋯·a）·（a·a·⋯·a） （乘方的意义） （m + n）个a = a·a·⋯·a （乘法结合律） = am+n . （乘方的意义） 7611.1 同底数幂的乘法 于是，就得到同底数幂乘法的运算性质： 同底数幂的乘 am·an = am+n（m，n都为正整数）. 法运算可以转化为 指数的加法运算. 这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加. （4）如果m，n，p都是正整数，你会计算am·an·ap吗？由 此你能得到什么结论？ 例1 计算：（1）32×35； （2）（-5）3×（-5）5. 解 （1）32×35 = 32+5 = 37； （2）（-5）3×（-5）5 =（-5）3+5 =（-5）8 = 58. 例2 计算：（1）a8·a3·a； （2）（a + b）2·（a + b）3. 解 （1）a8·a3·a = a8+3+1 = a12； （2）（a + b）2·（a + b）3 =（a + b）2+3 =（a + b）5. 例3 某台电脑每秒可作1015次运算，它工作5小时，可作多少次运算？ 解 5×3 600 = 5×3.6×103 = 1.8×10×103 = 1.8×104. 就是说，5小时等于1.8×104秒. 1015×（1.8×104）= 1.8×（1015×104） = 1.8×1019 . 所以，该电脑工作5小时可作1.8×1019次运算. 练 习 1. 计算： 1 1 1 （1）（-3）5×（-3）8 ； （2）（ x）（ x）2（ x）3. 2 2 2 2. 下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？ （1）a2·a5 = a10 ； （2）a3·a3 = 2a6 ； （3）a3 + a3 = a6 ； （4）a·a = a. 3. 填空（在方框内填上适当的数）： □ □ （1）103×103×10 = 108 ； （2）a·a ·a2 = a5. 77第11章 整式的乘除 习题11.1 复习与巩固 1. 计算： 1 1 （1）（ ）2×（ ）3； （2）a8·a7； 2 2 （3）b3·b6·b5； （4）（x + y）3·（x + y）·（x + y）2. 2. 将 23 + 23 + 23 + 23 写成底数是2的幂的形式. 3. 光年是天文学上的长度单位，1光年是光在真空中一年内走过的路 程（光传播的速度约为3×108米 / 秒）. 我们肉眼看到的星星，几 乎都是银河系里的成员，银河系的直径大约是10万光年. 银河系的 银河系 直径约为多少千米（精确到1015千米）？ （第 3 题） 拓展与延伸 4. 计算： （1）a3·（-a）5·a12； （2）y2n+1·yn-1·y3n+2（n为大于1的整数）； （3）（-2）n×（-2）n+1×2n+2（n为正整数）； （4）（x - y）5·（y - x）3·（x - y）. 5. 假如你是一艘宇航船的船长，受命以5年的时间前往半人马星座. 半人马星座与地球的 距离约为 4×1013 千米，而你的宇航船以光速航行，每年按 365 天计算，你能如期到达 半人马星座吗？ 探索与创新 6. 已知x，y为正整数，且ax = 92n+1，ay = 729，求ax+y的值. 7. 已知n为正整数，计算x·（-x）2n +（-x）2n+1. 11.2 积的乘方与幂的乘方 交流与发现 （1）如图11-2，时代中学准备将边长为a米的正方形花坛，扩大成边长为 2a米的正方形花坛. 扩大后新花坛的面积是多少平方米 ？ 7811.2 积的乘方与幂的乘方 2a 79 a2 新花坛边长为2a米，所以新花坛的面积为 （2a）2 = 2a·2a =（2×2）·（a·a） = 4a2（平方米）. （2）你会计算（ab）2，（ab）3 和（ab）4 吗？ （ab）2 =（ab）·（ab） 图 11-2 =（a·a）·（b·b）= a2b2； （ab）3 =（ab）·（ab）·（ab） =（a·a·a）·（b·b·b）= a3b3； （ab）4 =（ab）·（ab）·（ab）·（ab） =（a·a·a·a）·（b·b·b·b）= a4b4 . （3）观察算式（ab）2，（ab）3 和（ab）4 的计算结果，你发现了什么规律？ 你猜测积的乘方运算有什么性质？能说明你的猜测是正确的吗？与同学交流. 一般地，设m是正整数， （ab）m =（ab）·（ab）· ⋯ ·（ab） （乘方的意义） m个（ab） =（a·a· ⋯ ·a）·（b·b· ⋯ ·b） （乘法运算律） m个a m个b = ambm . （乘方的意义） 于是，就得到积的乘方的运算性质： （ab）m = ambm（m为正整数）. 这就是说，积的乘方等于各因数乘方的积. 想一想，当m为正整数时，（abc）m怎样计算？与同学交流. 例1 计算：（ax）5. 解 （ax）5 = a5x5. 这时运算顺序发 生了什么变化？ 例2 计算：（-2xy）3. 解 （-2xy）3 =（-2）3·x3·y3 = -8x3y3.第11章 整式的乘除 练 习 1. 计算： 1 （1）（ab）4； （2）（-3b）3； （3）（ m）4； 3 （4）-（xy）5； （5）（7ab）2； （6）（-4ab）3. 2. 计算： （1）（-ab）5； （2）82×（0.125）2； （3）（-2xy）6. 交流与发现 （1）地球可以近似地看作球体，它的半径约为6.37×103千米，它的体积约 为多少（精确到1010立方千米）？ 小资料 4 4 地球的体积V = πr3 ≈ π×（6.37×103）3 3 3 球的体积公式是 4 = π×6.373×（103）3 . 3 4 V = πr3，其中r是 3 因为（103）3 = 103×103×103 = 103+3+3 = 103×3 = 109， 球的半径. 4 所以，地球的体积V ≈ ×3.14×6.373×109 3 ≈1.08×1012（立方千米）. （2）你会计算（53）4和［（-3）2］3吗？试一试. 根据乘方的意义和同底数指数幂的意义，得 （53）4 = 53×53×53×53 = 53+3+3+3 = 53×4 = 512； ［（-3）2］3 =（-3）2×（-3）2×（-3）2 =（-3）2+2+2 =（-3）2×3 =（-3）6 . （3）观察算式（103）3，（53）4和［（-3）2］3 的特点和计算结果，你发现了 什么规律？由此，你猜测幂的乘方运算有什么性质？能说明你的猜测是正确的 吗？与同学交流. 一般地，设m，n都是正整数， 8011.2 积的乘方与幂的乘方 n个am （am）n = am·am·⋯·am （乘方的意义） n个m = am+m+⋯+m （同底数幂乘法的运算性质） = amn. （乘法的意义） 于是，就得到幂的乘方的运算性质： （am）n = amn（m，n都为正整数）. 这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘. 幂的乘方运算可以转 例3 计算：（-5ab2）3 . 化为指数的乘法运算. 解 （-5ab2）3 =（-5）3·a3·（b2）3 = -125a3b6 . 例4 计算：（23）2×（52）3 . 解 （23）2×（52）3 = 23×2×52×3 = 26×56 =（2×5）6 = 106 . 挑战自我 你能比较277，344，533的大小吗？ 练 习 1. 下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？ （1）（x3）2 = x9； （2）m3·m5 = m15； （3）a4·a4 = 2a4； （4）（t6）4 = t10. 2. 计算： （1）（102）4； （2）（x4）3； （3）（xy2）5； （4）（-3x2）2； （5）（bn-1）2； （6）［（a + b）2］3. 81第11章 整式的乘除 1. 计算： （1）（ab）4； （2）（-4x）5； （3）210×0.510； （4）（-3abc）2. 2. 计算： （1）（pq3）5； （2）（7a5b2）2； （3）（x2y3）4； （4）（-2×103）2. 3. 下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？ （1）（ax）3 = ax3； （2）（6xy）2 = 12x2y2； （3）（-m3）2 = -m5； （4）（-2ab2）2 = 4a2b2. 4. 一个正方体的棱长为2×103厘米，它的体积是多少立方厘米？ 5. 计算： （1）（-a3）4 -（-a4）3； （2）（-x3）·（-x2）2； （3）（0.25）2 012×42 013； （4）（-a2）2n+1·（-a3）2n-1（n是大于1的整数）. 6. 如果n是正整数，计算［（- 1 ）n］2 +（- 1 ）2n-1 × 1 . 2 2 2 7. 海王星的半径约为地球半径的4倍，地球的体积为V立方千米，海王星的体积约为多 少立方千米？ 探索与创新 8. 已知m，n都是正整数，且xm = a，xn = b（x≠0），试用含a，b的代数式表示x3m+2n . 11.3 单项式的乘法 交流与发现 如图11-3，王大伯有一块由6个宽都是a米、长 都是ka米的长方形菜畦相连而成的菜地. 怎样求出这 ka ka ka 块菜地的面积？ 图 11-3 82 a 拓展与延伸 a 习题11.2 复习与巩固11.3 单项式的乘法 可以列出乘法算 式2a·3ka进行计算. 每个菜畦的面积都是 ka2平方米，6个菜畦的总 面积为6ka2平方米. 他们的说法都是合理的. 由此可见，应当有2a·3ka = 6ka2 . 观察上面得到的等式，你发现它的左边与右边有什么特点？ 上面等式的左边是两个单项式相乘，等式右边的单项式就是左边两个单项 式的积. 如果按照乘法的交换律、结合律和同底数幂的乘法性质，也可以得到 2a·3ka =（2×3）ka·a = 6ka2 . 这里得到的单项式2a与3ka的乘积6ka2，与上面由实际问题得到的等式是 一致的. 这就是说，两个单项式相乘，可以按照乘法的运算律，转化为有理数的 乘法和同底数幂的乘法进行运算. 一般地，单项式与单项式相乘有以下法则： 单项式相乘，把它们的系数相乘，字母部分的同底数幂分别相乘. 对于 只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 例1 计算： （1）4a3·7a4； （2）7ax·（-2a2bx2）. 解 （1）4a3·7a4 =（4×7）·（a3·a4）= 28a7； （2）7ax·（-2a2bx2）=［7×（-2）］·（a·a2）·b·（x·x2） = -14a3bx3. 1 2 3 例2 求单项式 x3y2，- xy3z， x2yz2的积. 2 3 5 1 2 3 解 x3y2 ·（- xy3z）· x2yz2 2 3 5 1 2 3 =［ ×（- ）× ］·（x3·x·x2）·（y2·y3·y）·（z·z2） 2 3 5 1 = - x6y6z3. 5 83第11章 整式的乘除 交流与发现 如图11-4，如果王大伯家的菜地两侧各有一 条宽0.5米的小路. 怎样求出包括小路在内的菜地 ka 的面积？ 图 11-4 84 a ka ka 0.5 0.5 a 练 习 1. 计算： 5 （1）3x2·4x； （2）3xy2·（- x3yz）； 9 1 2 （3）（- ax2）·（- bx3）·（-15ay）； （4）（2a）2·（a2）3. 4 5 2. 下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？ （1）2x3·3x2 = 6x6； （2）2x3 + 3x2 = 5x5； 4 （3）（-2ab）·3bc = -6abc； （4）（- xy）·（-3xy）2 = -12x3y3. 3 可以列出乘法 这块地面积为6个 算式2a·（3ka + 1） 菜畦的面积和两段小路 进行计算. 面积的和，即6ka2 + 2a. 他们的说法都是合理的. 由此可见，应当有 2a·（3ka + 1）= 6ka2 + 2a. 观察上面得到的等式，你发现它的左边与右边有什么特点？ 上面等式的左边是一个单项式与一个多项式相乘，右边是这个单项式与这 个多项式的积. 按照乘法对加法的分配律和单项式的乘法法则，得到 2a·（3ka + 1）= 2a·3ka + 2a·1 = 6ka2 + 2a. 这里得到的单项式2a与多项式3ka + 1的积，与上面由实际问题得到的等式 是一致的. 这就是说，单项式与多项式相乘可以按照乘法对于加法的分配律，转 化成单项式的乘法进行. 一般地，单项式与多项式相乘有以下法则：11.3 单项式的乘法 单项式与多项式相乘，先将单项式分别乘多项式的各项，再把所得的 积相加. 例3 计算：2ax·（3a2x - 2a2x2）. 解 2ax·（3a2x - 2a2x2） = 2ax·3a2x - 2ax·2a2x2 = 6a3x2 - 4a3x3. 例4 化简：x·（x - y + z）+（x - y - z）·y - z·（x - y + z）. 解 x·（x - y + z）+（x - y - z）·y - z·（x - y + z） =（x2 - xy + xz）+（xy - y2 - yz）-（xz - yz + z2） = x2 - xy + xz + xy - y2 - yz - xz + yz - z2 = x2 - y2 - z2. 练 习 1. 计算： （1）3x·（x2 + x + 2）； （2）-a2·（a + b）+ b·（a2 - b2）. 2. 下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？ （1）（5x2y - 2xy2）·3x = 15x2y - 6xy2； （2）（-2t）·（3t + t2 - 1）= -6t2 - 2t3 + 2； 1 1 （3）（- xy2）·（-3xy + 9yz - 1）= x2y3 - 3xy3z - xy2； 3 3 （4）an（2an - 3an-1 + a）= 2a2n - 3a2n-1 + an+1. 习题11.3 复习与巩固 1. 计算： （1）4a3·8a2； （2）2x2y2z·3xyz3·y5z； （3）2ab2·3a2bc2； （4）（-4x2y）·（-5xy3）. 85第11章 整式的乘除 2. 计算： 1 （1）（-1.2×103）×（5×102）×（3×107）； （2）（ ×102）8×（3×103）5； 3 1 （3）（- ab2c）·（-5a2b）3； （4）（4x4y）2·（-xy3）5. 5 3. 计算： 1 （1）（2x - ）·（-4x）； （2）3xy·（x2y - xy）. 2 4. 化简： （1）3a2 - 2a·（5 + 1.5a）； （2）t·（t + 4）- 3·（-t2 - 1）； 1 2 4 （3）-2x·（-x2 + 2x - 1）； （4）（ b2 - ab - ）·（-3a2）. 3 9 3 5. 先化简，再求值： 1 （1）x2·（x2 - x + 1）- x·（x3 - x2 + x - 1），其中x = ； 2 1 （2）x·（x2 + 1）- x2·（x - 3）- 3（x2 + x - 1），其中x = . 5 拓展与延伸 6. 计算： （1）（3xy2）2 +（-4xy3）·（-xy）； （2）t3 - 2t·［t2 - 2（t - 3）］. 7. 解下列方程： （1）6x2 - 2x·（3x + 2）+ 9x = -10； A B （2）24x - 6x·（13x - 9）= -13 - 13x·（6x - 1）. 探索与创新 8. 如图，梯形ABCD的下底长为a，上底长为b，四边形 ABEF D F E C 是正方形. 用多项式表示图中黄色图形的面积. （第 8 题） 11.4 多项式乘多项式 交流与发现 汽车从北京出发，以a千米 / 时的速度行驶，经过 t 小时到达天津. 然后， 汽车速度比原来增加b千米 / 时，行驶时间比北京到天津多用 w 小时到达泰山 8611.4 多项式乘多项式 （图11- 5）. 怎样求出从天津到泰山的路程？ 我列出的算式是 北京 （a + b）（t + w）. 天津 我列出的算式是 （a + b）t +（a + b）w . 泰山 图 11-5 他们的说法都是合理的. 由此可见，应当有 （a + b）·（t + w）=（a + b）·t +（a + b）·w . 观察上面得到的等式，你发现它的左边与右边有什么特点？ 上面等式的左边是多项式 a + b 与多项式 t + w 相乘，右边是这两个多项式的 积. 将（a + b）看做一个整体，运用单项式乘多项式的法则，得到 （a + b）·（t + w）=（a + b）·t +（a + b）·w . 这与上面由实际问题得到的等式是一致的. 这就是说，多项式的乘法可以转 化成单项式乘多项式进行. 再运用单项式与多项式相乘的法则，便得到 （a + b）·t +（a + b）·w = at + bt + aw + bw . 由上面这个等式，你发现多项式与多项式应当怎样相乘？ 一般地，多项式与多项式相乘有以下法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加. 例1 计算： （1）（x + 2）·（x - 5）； （2）（3x - y）·（x + 2y）. 解 （1）（x + 2）·（x - 5） = x·x + x·（-5）+ 2·x + 2·（-5） 87第11章 整式的乘除 = x2 - 5x + 2x - 10 = x2 - 3x - 10； （2）（3x - y）·（x + 2y） = 3x·x + 3x·2y - y·x - y·2y = 3x2 + 6xy - xy - 2y2 = 3x2 + 5xy - 2y2 . 例2 计算：（a + b）·（a - 2b）+ 2b2. 解 （a + b）·（a - 2b）+ 2b2 = a2 - 2ab + ab - 2b2 + 2b2 = a2 - ab. 练 习 1. 计算： 1 （1）（m + 3）·（m + ）； （2）（y - 4）·（y - 5）； 3 （3）（3x - 1）·（x + 2）； （4）（3n - 2m）·（5n - 4m）. 2.（1）计算（2x + y）·（2y + x）； （2）你能画一个图形，用图形的面积解释（1）的结果吗？ 例3 计算： （1）（a + b）·（a2 - ab + b2）； （2）（2x - 1）·（-x2 + 3x - 1）. 解 （1）（a + b）·（a2 - ab + b2）； = a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3 = a3 + b3； （2）（2x - 1）·（-x2 + 3x - 1） = -2x3 + 6x2 - 2x + x2 - 3x + 1 = -2x3 + 7x2 - 5x + 1. 例4 计算：（y + 2）·（y2 - 2y + 1）- y·（y2 + 1）. 8811.4 多项式乘多项式 解 （y + 2）·（y2 - 2y + 1）- y·（y2 + 1） =（y3 - 2y2 + y + 2y2 - 4y + 2）-（y3 + y） = y3 - 2y2 + y + 2y2 - 4y + 2 - y3 - y = -4y + 2. 挑战自我 小莹说：“我发现不论n取怎样的正整数，代数式（n + 1）·（n2 - n + 2） + n·（2n2 - 1）+ 1的值都是3的倍数”. 她说得对吗？为什么？ 广角镜 趣谈转化思想 匈牙利女数学家罗莎·彼得（Rosen Peter）曾提出一个有趣的问题：“你的面前有 煤气灶、水龙头、一只空的水壶和火柴，如果你想烧开水，应当按怎样的顺序去做？” 你会说：“先将壶中装满水，再把壶放在煤气灶上，点燃煤气. ”这个答复会使提问者满 意，认为你已经解决了这个问题. 提问者继续提问：“如果壶中已经装满水，其他条件没 变，你应当怎样去做？”这时你可能很有信心地回答：“把装满水的壶直接放在煤气灶 上，点燃煤气.”然而，这一回答却未能使提问者满意，因为提问者认为：“只有物理学 家才会这样做，而数学家则会倒掉壶中的水，并宣称他已经把后一问题转化为先前已经 解决的问题了.” 这个例子形象地比喻了数学中的转化思想. 它体现了一个将未知的问题转化为已知 的问题的过程. 转化是一种具有普遍意义的思想，我们在学习数学的新知识时，总是设 法把新知识与已有的知识联系起来，运用已有知识去认识和分析新知识、处理和解决新 知识中的问题，从而使新知识也成为已有知识. 在解决数学问题时，也总是通过由未知 到已知、由难到易、由复杂到简单等转化达到解决问题的目的. 转化思想在本册教科书中的应用十分广泛. 例如，通过代入法或加减法，二元一次 方程组转化为一元一次方程、三元一次方程组转化为二元一次方程组加以解决. 再如， 同底数幂的乘法运算转化为指数的加法运算，幂的乘方运算转化为指数的乘法运算，单 项式与多项式相乘转化为单项式与单项式相乘，多项式与多项式相乘转化为单项式与多 89第11章 整式的乘除 项式相乘等，都是转化的例子. 从学过的数学内容中，你还能举出体现转化思想的例子来吗？ 练 习 1. 计算： 1 （1）（x - 2）·（x2 + 2x + ）； （2）（a - b）·（a2 - ab + b2）； 2 （3）（3x - 2）·（2x - 5）·（x + 1）； （4）（x + y）·（x - y）2 . 习题11.4 复习与巩固 1. 计算： 1 （1）（x - 2a）·（2x + a）； （2）（7x - 8）·（x - ）. 2 2. 一个长方形花坛，相邻两边的长分别为a米和b米. 如果边长各增加2米，它的面积 是多少平方米？比原来增加了多少平方米？ a b b 3. 用右边的图形解释下面等式的意义： a （2a + b）·（a + 2b）- 2b2 = 2a2 + 5ab. a 4. 计算： （1）（2m + n + 1）·（2m - n）； b （2）（x + 5）·（x2 - x + 1 ）； （第 3 题） 5 （3）（3x + 2a）·（x - 2a - 1）+ 2a·（2a + 1）； （4）6t2 -（2t - 1）·（-3t2 + t - 5）. 5. 先化简，再求值： （1）（3a + 1）·（2a - 3）-（6a - 5）·（a - 4），其中a＝2； （2）（2x - 3）·（x2 + x - 1）+（-x + 2）·（2x2 + 1）， 1.5a 其中x＝1. 4.5a 拓展与延伸 a a 2a 2.5a 2a a 6. 如图，计算图形中阴影部分的面积（单位：厘米）. （第 6 题） 907. 计算： （1）（x + 2y）·（2x - 2y）+（2x - 2y）·（3x + 2y）- 8（x2 - y2）； （2）（a + 2b）·（a + b）-［（a - b）·（a - 2b）-（2a - b）·（3a + b）］； （3）（x2 + 2x + 2）·（x + 2）+（-x2 + 1）·（x - 5）. 8. 一个三角形底边的长为a，高为h. 如果将底边长增加1，高减少1，而面积不变，那么 a和h应满足什么关系？ 探索与创新 9. 某新建小区一居室住房的结构如图所示（长度单位：米）. 如果 x x+y 卧室与客厅地面铺木地板，卫生间与厨房地面铺瓷砖，那么木 卫 生 地板与瓷砖的面积各多少平方米？ 间 客厅 10. 计算下列各式： 厨房 （x - 1）·（x + 1）＝___________________________； 卧室 （x - 1）·（x2 + x + 1）＝_______________________； （x - 1）·（x3 + x2 + x + 1）＝___________________； ⋯⋯ 你发现有什么规律？请你写出： （x - 1）·（xn + xn-1 + ⋯ + x + 1）＝__________ . 交流与发现 91 x y2 x2 11.5 同底数幂的除法 4x （第 9 题） 11.5 同底数幂的除法 火星有两颗卫星，即火卫1和火卫2，火卫1的质量约为1016千克. 截止到 2005年4月，已发现木星有58颗卫星，其 中木卫4的质量约为1023千克. 木卫4的质量 约为火卫1质量的多少倍？ 这里1023与1016是同底数幂. 上面的问 题是要计算1023÷1016的商，由同底数幂乘 火卫1 木卫4 法的运算性质，107×1016 = 1023，可以得到 图 11-6第11章 整式的乘除 1023÷1016 = 107 . 所以，木卫4的质量约为火卫1质量的107倍. 1 1 类似地，你会计算（-3）5÷（-3）2 和（ ）6 ÷（ ）2 吗？ 2 2 从上面的同底数幂的除法运算中，你发现幂的底数和指数分别有什么规 律？与同学交流. 一般地，设a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n，因为除法是乘法的逆运 算，由 am-n·an = am， 可以得到同底数幂的除法的运算性质： am÷an = am-n（a≠0，m，n都是正整数，m ＞ n）. 这就是说，底数不等于零的同底数的幂相除，底数不变，指数相减. 例1 计算：（-1.5）8÷（-1.5）7 . 同底数幂的除法运算可 解 （-1.5）8÷（-1.5）7 以转化为指数的减法运算. =（-1.5）8-7 = （-1.5）1 = -1.5. 例2 计算：（a + b）6·（a + b）2÷（a + b）3. 解 （a + b）6·（a + b）2÷（a + b）3 =（a + b）6+2÷（a + b）3 =（a + b）8 ÷（a + b）3 =（a + b）8-3 =（a + b）5. 智趣园 计算机的存储容量 计算机存储容量的基本单位是字节，用B表示. 人们常用KB（简称K），MB（简 称M）或GB（简称G）作为信息储量的计量单位. 它们之间的关系是：1 KB = 210 B， 1MB = 210 KB，1GB = 210 MB. 每个汉字是由两个字节来表示的，1KB可以记录512个 9211.5 同底数幂的除法 汉字，1MB可以记录51万个汉字，1GB就可以记录多达5亿个汉字. 小亮家的计算机硬盘容量为512 GB. （1）一部长篇小说的字数按20万字计算， 这台电脑可以存入多少部这样的长篇小说？ （2）一张普通软盘的容量是1.44MB，这台 计算机硬盘的容量是1张软盘容量的多少倍？ （3）据英国媒体2003年9月14日报道，研 究人员发现人脑的记忆容量是108 432B. 按照这篇 报道，人脑的记忆容量是小亮家的计算机硬盘 图 11-7 计算机 容量的多少倍？ 练 习 1. 计算： 1 1 （1）78÷76； （2）（ ）6÷（ ）3； 2 2 （3）（-m）5÷（-m）2； （4）（2×108）÷（5×103）. 2. 下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？ （1）a6÷a2 = a3； （2）（-a）3÷（-a）= - a2； （3）a2m÷am = a2； （4）am+1÷am-1 = a2. 3. 填空（在方框内填上合适的数）： （1）x5÷x□ = x2； （2）y□ ÷y = y . 1 4. 10100的 是多少？ 10 习题11.5 1. 计算： 1 1 （1）0.18÷0.16； （2）（- ）7÷（- ）4； 3 3 本书中除式中含有字母时，约定除式中的字母都不为0. 93第11章 整式的乘除 （3）（a - b）3÷（a - b）； （4）（xy）5÷（xy）3. 2. 下列计算对不对？如果不对，应该怎样改正？ （1）a6÷a = a6； （2）83÷23 = 4； （3）54÷54 = 0； （4）（-b）4÷（-b）2 = -b2. 3. 在下列括号内填上适当的代数式，使等式相等. （1）x5·（ ）= x9； （2）a6·（ ）= a11； （3）b3·b3·（ ）= b27； （4）x2·x5·（ ）= x19. 4. 计算： 1 1 （1）（m2）3÷（m3）2； （2）x12÷x3÷x4； （3）（- ）6÷（ ）2. 2 4 拓展与延伸 5. 计算： （1）（t8÷t2）（t15÷t9）·t2； （2）（xn+1·xn+2）÷（xn-1·xn）（n为大于1的整数）. 6. 据新华社报道，我国2009年研制成功超级计算机“天河一号”，2010年升级为“天 河一号A”，其运算速度可达每秒2 507万亿次，成为当时世界上运算速度最快的超级 计算机 . 而世界上最早的电子计算机“ENIAC”的运算速度仅为每秒5 000次.“天河 一号A”的运算速度是“ENIAC”运算速度的多少倍（精确到1010 倍）？ 国产超级计算机“天河一号” （第 6 题） 探索与创新 7. 有一个到火星旅行的计划，往返的行程共需要3个地球年（包括在火星上停留449个 地球天）. 已知火星和地球之间的距离为3.4×107千米，那么往返地球和火星时的平均 9411.6 零指数幂与负整数指数幂 速度为多少千米/时（精确到1千米/时）？ （地球年、地球天分别指地球上的一年、 一天，即1年 = 365天，1天 = 24时） 火星与地球 （第 7 题） 11.6 零指数幂与负整数指数幂 观察与思考 （1）你听说过这样一个故事吗？古印 度舍罕国王打算重赏国际象棋发明者宰相 西萨. 西萨要求在棋盘（图 11-8）的第1 个格内只赏1粒麦子，在第2个格内只赏 2粒，第 3 个格内只赏 4 粒，以后的每格 内都比上一格的麦粒多放1倍，直至第64 格——棋盘的最后 1 格. 结果国王找人一 国际象棋棋盘 图 11-8 算，发现即使把国库中的全部麦子都给这 位宰相，还远远不够！ 在这个故事中，从第2个格开始，各方格的麦粒数都可以写成底数是2的正 整数指数幂的形式，如下表所示： 方格序号 1 2 3 4 5 ⋯ 64 麦粒个数 1 21 22 23 24 ⋯ 263 能把第1个格内的麦粒数也写成底数为2的幂的形式吗？ 95第11章 整式的乘除 按照表中的规律，第1个格中的麦 粒数用底数是2的幂表示，应写成20， 不过，这样就出现零指数了. “20=1”，这在数 学上合理吗？ （2）观察除式 23÷23，你发现被除式和除式有哪些特点？如何计算它们的 商？ 由于被除数和除数相等，因此它们的商等于1，即23÷23 = 1. 如果仿照同底数幂除法的运算性质进行计算，就得 23÷23 = 23-3 = 20 . 为了使被除式的指数等于除式的指数时，同底数幂除法的运算性质也能使 用，应当规定20 = 1. （3）一般地，为了使同底数幂的除法性质 am÷an = am-n（m，n 是正整数，m ＞n，a≠0）当 m = n 时也成立，你认为应对零指数幂的意义作怎样的规定？ 我们规定， a0 = 1（其中a≠0）. 这就是说，任何不等于零的数的零次幂等于1，零的零次幂没有意义. 这样一来，幂指数的范 围从正整数扩充到全体自然 数了. 1 例如，100 = 1，（- ）0 = 1. 你能再举出几个数的零次幂的例子吗？ 3 （4）在上面的规定中，为什么有a≠0的限制？与同学交流. 例1 计算：2x0（x ≠ 0）. 解 2x0 = 2×1 = 2. 9611.6 零指数幂与负整数指数幂 例2 计算：a2÷a0·a2 （a ≠ 0）． 解 a2÷a0·a2 = a2÷1·a2 = a2·a2 = a4 ． 想一想，a2÷（a0·a2）等于什么？ 练 习 1. 计算： （1）60； （2）（-8）0 ； 1 1 （3）（x - y）0（x ≠ y）； （4） ×（- ）0； 2 2 （5）（100×20）÷（10×20）； （6）103÷100×105 . 2. 填空（在方框内填上合适的数）： （1）a2÷a □ = a2（a ≠ 0）； （2）x·x2·x □ = x5·x0（x ≠ 0）. 3. 当a为怎样的有理数时，（a - 1）0 = 1？ 观察与思考 （1）如图11-9，数轴上点A表示的数是8，一动点P从点A出发，向左按 以下规律跳动：第1次跳动到OA的中点A 处，第2次从A 点跳动到OA 的中点 1 1 1 A 处，第3次从A 点跳动到OA 的中点A 处. 如果把点A表示的数写成23，那么 2 2 2 3 点A ，A ，A 应怎样分别用底数是2的幂的形式表示？ 1 2 3 P A A A A 3 2 1 图 11-9 点A，A ，A ，A 依次可以写成23，22，21，20，这里23 = 8，22 = 4，21 = 2， 1 2 3 20 = 1. （2）如果动点P按（1）中的规律继续向左跳动到点 A ，A ，A ，⋯处， 4 5 6 你能把点A ，A ，A 所表示的数写成2的整数指数幂的形式吗？它们应当分别 4 5 6 等于多少？ 97第11章 整式的乘除 按照上面的规律，点 A ，A ，A 所表示的 4 5 6 数写成底数是 2 的幂的形式，应分别是 2-1， 2-2，2-3. 不过，这样就出现负整数指数幂了. 按照上面的规律，点 A ，A ，A 所表示 4 5 6 的数分别是 1 ， 1 ， 1 . 应当有2-1 = 1 ， 2 4 8 2 2-2 = 1 ，2-3 = 1 . 这在数学上合理吗？ 4 8 （3）观察除式22÷23和22÷24. 你发现被除式和除式有哪些特点？如何计算 它们的商？ 由分数的意义和约分法则，得 22 22 1 22 22 1 22÷23 = = = ，22÷24 = = = . 23 22×2 2 24 22×22 22 如果仿照同底数幂除法的运算性质进行计算，就得 22÷23 = 22-3 = 2-1；22÷24 = 22-4 = 2-2. 为了使被除式的指数小于除式的指数时，同底数幂除法的运算性质也能使 1 1 1 1 用，应当规定2-1 = ，2-2 = ，2-3 = ，2-4 = ，⋯ 2 22 23 24 （4）一般地，为了使同底数幂的除法 am÷an = am-n（m，n是正整数，m≥n， a≠0）当m＜n时也成立，你认为应对负整数指数幂的意义做怎样的规定？ 我们规定， 1 a-p = （a≠0，p是正整数）． ap 这就是说，任何不等于零的数的-p（p为正整数）次幂，等于这个数的 p 次 幂的倒数. 零的负整数指数幂没有意义. 这样一来，幂指数的范围又 从全体自然数扩充到全体整数了. 9811.6 零指数幂与负整数指数幂 （5）想一想，在上面的规定中，为什么有a≠0的限制？ 例3 计算：4-3，（-1）-3，（0.2）-2. 1 1 1 1 解 4-3 = = ； （-1）-3 = = = -1； 43 64 （-1）3 -1 1 1 （0.2）-2 = = = 25. （0.2）2 0.04 1 例4 计算：（ ）-3，2-2×10-2. 2 1 1 1 解 （ ）-3 = 1÷（ ）3 = 1÷ = 8； 2 2 8 1 1 1 1 1 2-2×10-2 = × = × = . 22 102 4 100 400 练 习 1. 以下是法定长度计量单位对照和换算表： 名称 千米 米 分米 厘米 毫米 微米 纳米 飞米 符号 km m dm cm mm μm nm fm 1千米 1分米 1厘米 1毫米 1微米 1纳米 1飞米 换算关系 =103米 =10-1米 =10-2米 =10-3米 =10-6米 =10-9米 =10-15米 （1）用小数表示，1毫米、1微米、1纳米各是多少米？ （2）用正整数指数幂表示 ，1厘米等于多少纳米？多少飞米？ （3）用负整数指数幂表示，1飞米等于多少纳米？多少微米？多少厘米？ 1 2. 计算：5-2，10-4，（-3）-3，（ ）-4. 3 交流与发现 引入了零指数和负整数指数之后，正整数指数幂的运算性质能继续使用吗？ （1）观察下面两组含有零指数幂和负整数指数幂的算式： 25×20； 25÷20； 25×2-2； 25÷2-2； 2-5×2-2； 2-5÷2-2； 20×2-2 . 20÷2-2 . 99第11章 整式的乘除 分别按照整数指数幂的意义和仿照同底数幂的乘法与除法的运算性质进行 计算，所得到的结果是否相同？ 1 25 25×2-2 = 25× = = 23， 22 22 25×2-2 = 25-2 = 23 . 1 20÷2-2＝1÷ ＝4， 22 20÷2-2＝20-（-2）＝22＝4. 对于同一个算式，这两种算法的结果是相同的. 由此可见，同底数幂乘法和 除法的运算性质在整数范围内仍能使用. （2）你能通过举例，验证积的乘方和幂的乘方的运算性质对于零指数和负 整数指数仍能使用吗？与同学交流. （3）由上面的验证过程，你能得到什么结论？ 引入零指数和负整数指数后，原有的正整数指数幂的运算性质可以扩展 到全体整数指数. 1 1 例5 计算：（1）52÷5-1； （2）（ ）3×（ ）-2； 2 2 （3）（3×10-3）2. 解 （1）52÷5-1 = 52-（-1）= 53 = 125； 1 1 1 1 （2）（ ）3×（ ）-2 =（ ）3 +（-2）= ； 2 2 2 2 （3）（3×10-3）2 = 32×（10-3）2 = 0.000 009. 例6 计算：（1）x5·x-3； （2）（-a2b）÷（-a2b）-2. 解 （1）x5·x-3 = x5 +（-3） = x2； （2）（-a2b）÷（-a2b）-2 =（-a2b）1 -（-2）=（-a2b）3 = -a6b3. 今后本书中出现零指数幂或负整数指数幂时，底数均是不等于零的数. 10011.6 零指数幂与负整数指数幂 练 习 1. 计算： （1）2-2×2-3； （2）33×3-2÷38； （3）x2·x3÷x8； （4）a5·a2÷a-6； （5）（a-2）-3； （6）（m2n-3）5 . 2. 计算：（a + 1）3·（a + 1）-1÷（a + 1）-2 . 交流与发现 江河湖海都是由一滴滴水汇集而成，每一滴水中含有许许多多的水分子. 一个水分子的质量大约为0.000 000 000 000 000 000 000 03克，这样小的数 写起来太麻烦了，有没有其他的记法呢？ 小资料 一滴水的体积大约为 0.05 毫 如果能像记一 升，质量大约为 0.05 克，含有大约 个大数那样用科学 1 670 000 000 000 000 000 000 记数法表示就好了. = 1.67×1021个水分子. 一滴水 根据乘方的意义，填写下表： 1前面的0的个数（包括小数点 10的幂 表示的意义 化成小数 前面的那个零） 1 10-1 0.1 1 10 1 10-2 0.01 2 100 10-3 10-4 你发现10的负整数指数幂用小数表示时有什么规律吗？ 101第11章 整式的乘除 10-n = 0.00⋯01. n个0 利用10的负整数指数幂，一个水分子的质量可写成 0.000 000 000 000 000 000 000 03 = 3×0.00⋯01 = 3×10-23（克）. 23个0 同样地，一个水分子的半径为0.000 000 001 925米，可写成1.925×10-9米. 一个绝对值小于1的非零小数可以记作±a×10-n的形式，其中 1≤a ＜10，n 是正整数. 这种记数方法，是绝对值小于1的非零小数的科学记数法. 在上面的科学记数法中，n等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数 （包括小数点前面的那个零）. 例如，0.000 012 3 = 1.23×10-5，-0.35 = -3.5×10-1. 写成科学记数法形式±a×10-n的数，可以在计算器上表示. 例如，在计算器上输入0.00⋯03，再按 键，可将原数直接化为科学记数 23个0 法的形式3×10-23. 另外，3×10-23可以按下列按键顺序输入： 计算器屏幕上显示的结果如图11-10①所示. 也可以这样操作： 这时计算器屏幕显示的结果如图11-10②所示. ① ② 图 11-10 10211.6 零指数幂与负整数指数幂 例7 安哥拉长毛兔（图11-11）最细的兔毛直 径约为5×10-6米，将这个数写成小数的形式. 解 5×10-6 = 0. 000 005. 所以，安哥拉长毛兔最细的兔毛直径约为 0. 000 005米. 安哥拉长毛兔 图 11-11 例8 已知某花粉直径为360 000纳米，用科学 记数法表示，该花粉的直径是多少米？ 解 1纳米 = 10-9米， 360 000×10-9 = 3.6×10-4. 该花粉的直径为3.6×10-4米. 练 习 1. 用科学记数法表示下列各数，并用计算器进行验证： （1）0.000 08； （2）0.000 000 100 2； （3）0.300 1； （4）-0.000 408. 2. 先将2.385×10-8 输入计算器，再写成小数的形式. 3. 解答本章“情境导航”中的问题（精确到 1019 个）. 习题11.6 复习与巩固 1. 计算：50，（-1）0，（a - b）0 . 2. 计算：20-2，5-3，8-4，（a - b）-2 . 3. 计算： （1）b2÷b3·b8； （2）108×100×10-2； （3）（m3·m5）÷（m·m9）； （4）q6÷q3÷q5； （5）3-2×33； （6）a3÷a-5； （7）（x-5）2； （8）（t3y）-2 . 103第11章 整式的乘除 4. 用负整数指数幂表示： （1）1平方厘米等于多少平方米？多少平方千米？ （2）1立方厘米等于多少立方米？多少立方千米？ 5. 光在真空中的传播速度约为300 000千米 / 秒，那么 光每前进1米用多少时间（精确到10-10秒）？ 6. 蓝鲸是地球上最重的动物，成年蓝鲸的质量可达150 吨，而一条沙丁鱼的质量约为30克. 一条蓝鲸的质量 是一条沙丁鱼质量的多少倍？反之，一条沙丁鱼的 蓝 鲸 质量是一条蓝鲸质量的多少倍？ （第 6 题） 7. 用科学记数法表示下列各数： （1）0.085； （2）- 0. 000 085. 8. 将下列各数写成小数的形式： （1）3.67×10-5； （2）-2.8×10-6 . 9. 在计算器上分别输入下列各数： （1）2.818 2×10-5； （2）1.6×10-8 . 10. 计算（结果用科学记数法表示）： （1）（8.616 2×10-3）×10-8； （2）（6.12×10-8）÷（-1.2×10-5）. 11. 填空（在方框内填上合适的数）： □ □ （1）1.618×10 ＝ 0.000 161 8 ； （2） ×10 ＝ 0.000 818 2. 拓展与延伸 12. 计算： （1）（y - x）3÷（y - x）-2； （2）（-2）100÷（-2）-101； （3）（ 1 ）-2×（ 3 ）-3； （4）（a-2b-3）-3 . 3 2 13. 填空 （在方框内填上合适的数）： （1）x □ ÷x5 = x-2； （2）m5÷m2·m □ = m-2. 14. 1毫秒等于10-3秒，那么1毫秒等于多少小时（用科学记数 法表示，精确到10-8时）？ 15. 太阳释放的辐射能功率为3.8×1023千瓦，到达地球的仅占 20亿分之一. 到达地球的辐射能功率是多少千瓦（用科学 记数法表示，精确到1013千瓦）？ 用天文望远镜观测到的太阳 （第 15 题） 104回顾与总结 探索与创新 16. 人们用“捡了芝麻，丢了西瓜”比喻因小失大. 有人做过实验，2万粒芝麻的质量约80克，如 果一个西瓜的质量为4千克，一粒芝麻的质量 是这个西瓜的质量的多少倍？ 17. 请查阅资料，举出几个用科学记数法表示绝 对值小于1的非零小数的实际数据，并编制一 （第 16 题） 道数学应用题. 回顾与总结 1. 本章学习了哪些内容？总结一下，并与同学交流. 2. 在本章中学习了幂的哪些运算性质？分别举例说明. 3. 单项式与单项式相乘应注意些什么？单项式与多项式以及多项式与多项式相乘应注意 些什么？举例说明. 4. 零指数幂和负整数指数幂的意义是什么？为什么这里规定底数不等于零？ 5. 引入零指数幂和负整数指数幂后，原有的幂的运算性质可以扩展到全体整数指数. 请以 am·an = am+n为例，说明当m，n为任意整数时，这个性质也成立. 6. 怎样用科学记数法表示一个绝对值小于1的非零小数？怎样表示一个绝对值大于10的 数？举例说明. 你认为二者有什么相同点和不同点？ 7. 在本章的学习中，转化的数学思想是怎样体现的？ 综合练习 复习与巩固 1. 计算： （1）a·2a2·3a3； （2）（- 1 ）-2÷（ 1 ）2； 2 2 （3）（2xy2）3； （4）b3÷b5·3b-2； （5）（2a2）2·（3a3）3； （6）（2ab-2）2 . 105第11章 整式的乘除 2. 计算： （1）（a2）2·a10； （2）（x2y2）2·（x3y3）3； 1 （3）（a2b）2·（2ab + a2b3）； （4）（a2b2）·［（ab2）2 +（2ab）3 + 3a2］； 2 （5）（2x + y）·（3x - 2y）； （6）（6a - 5）·（a2 + 2a + 3）+ 15. 3. 用科学记数法表示下列各数： （1）0.000 000 035 7； （2）0.000 302. 4. 把下列各数写成小数形式： （1）2.318×10-7； （2）1.6×10-6 . 5. 选择题： （1）a5÷a2÷a7等于（ ）. （A）a-3 （B）a0 （C）a-4 （D）a14 （2）（3a-bc）·（-bc-3a）等于（ ）. （A）bc2 - 9a2 （B）b2c2 - 3a2 （C）9a2 - b2c2 （D）b2c2 - 9a2 6. 先化简，再求值： 1 （1）（x - 2y）·（x + 2y - 1）+ 4y2 ，其中x = ，y = -1； 2 （2）（a + b）·（2a - b）+（2a + b）·（a - 2b），其中a = -2，b = 3. 7. 如图，一个相邻两边的长分别为2a + b和a + b的长方形，中间挖去一个边长为b的正 方形，剩余部分的面积与一个相邻两边的长分别为2a ＋ 3b和a的长方形的面积相等 吗？为什么？ 2a+b （第 7 题） 106 b+a b b a 2a+3b 8. 家电商场销售某种品牌的电视机，已知每台电视机的售价为m元，平均每天销售n台. 国庆节期间，每台优惠300元，销售量平均每天增加了10台. 国庆节期间这种电视机 平均每天的营业额是多少？ 9. 国家质量监督局规定：针织内衣等产品的甲醛含量应在百万分之七十五以下. 试将 百万分之七十五用科学记数法表示出来.回顾与总结 拓展与延伸 10. 地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为 1.4×1018立方千米. 地球的体积约 是太阳体积的多少倍（用科学记数法表示，精确到10-8）？ 11. 如图，四边形ABCD是长方形，尺寸如图所示，求绿色三角形的面积. A （第 11 题） 探索与创新 107 c d a 地球 D b C 太阳 地球与太阳 B （第 10 题） 12. 研究下列算式，你发现有什么规律？ 1×2×3 - 23 = -2， 2×3×4 - 33 = -3， 3×4×5 - 43 = -4， ⋯⋯ （1）请将你找出的规律用公式表示出来，并用你学过的知识推导出这个公式； （2）用得到的公式计算：999×1 000×1 001. 13. 小亮在做“化简（2x + k）·（3x + 2）- 6x·（x + 3）+ 5x + 16，并求 x = 2 时的值”一题 时，错将x = 2看成了x = -2，但结果却和正确答案一样. 由此你能推算出k的值吗？ 14.（1）将an填入下面的表中： n a 3 2 1 0 -1 -2 -3 10 2 1 1 2 1 10 1 1 （2）仿照上表，请你设计一个表格，列出当 a 分别取 － ，－ ，－1，－2， 10 2 －10，且 n 分别取 3，2，1，0，－1，－2，－3 时，幂 an 的值； （3）观察两个表格，你能发现其中有哪些规律？与同学交流.第12章 乘法公式与因式分解 108109第12章 乘法公式与因式分解 12.1 平方差公式 （1）时代中学计划将一个边长为a米的正方形花坛，改造成长为（a + 2） 米、宽为（a - 2）米的长方形花坛. 你会计算改造后的花坛面积吗？如果改造成 长为（a + 1）米、宽为（a - 1）米的长方形花坛呢？ （a + 2）·（a - 2）= a2 - 2a + 2a - 4 = a2 - 4； （a + 1）·（a - 1）= a2 - a + a - 1 = a2 - 1. （2）观察上面两个乘式中的因式以及它们的乘积，你发现了什么？ （3）如图12-1，在长为a + b，宽为a - b的长方形中，剪去一个长为a - b， 宽为b（a＞b＞0）的小长方形，然后把长方形① ②拼接成图12-2 所示的图形. 分别计算它们的面积. 由此，你得出一个怎样的等式？ 110 b-a a b b-a b 观察与思考 a ① ① ② ② a-b 图 12-1 图 12-2 （4）设a，b都是有理数，利用多项式的乘法法则，计算这两个数的和与这 两个数的差的积，你能推导出一般性的结论吗？ （a + b）·（a - b）= a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2. 由此得到平方差公式 （a + b）·（a - b）= a2 - b2. 这就是说，两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差. 例如，（5 + x）·（5 - x）= 52 - x2 = 25 - x2.12.1 平方差公式 例1 利用平方差公式计算： （1）（3x + 2y）·（3x - 2y）； （2）（-7 + 2m2）·（-7 - 2m2）； （3）（x - 1）·（x + 1）·（x2 + 1）. 解 （1）（3x + 2y）·（3x - 2y） =（3x）2 -（2y）2 平方差公式中的a和b 可以表示任意的代数式. = 9x2 - 4y2； （2）（-7 + 2m2）·（-7 - 2m2） =（-7）2 -（2m2）2 = 49 - 4m4； （3）（x - 1）·（x + 1）·（x2 + 1） =（x2 - 1）·（x2 + 1） = x4-1. 想一想，利用平方差公式可以使哪一类多项式的乘法变得简单一些？ 例2 利用平方差公式计算本章“情境导航”中提出的问题. 解 803×797 =（800 + 3）×（800 - 3） = 8002 - 32 = 640 000 - 9 = 639 991. 所以，这个城市广场的面积为639 991平方米. 挑战自我 1 1 1 1 利用平方差公式计算 （1 + ）×（1 + ）×（1 + ）×（1 + ）. 2 4 16 256 练 习 1. 利用平方差公式计算： （1）（a + 6）·（a - 6）； （2）（1 + x）·（1 - x）； （3）（x - 20y）·（x + 20y）； （4）（a - 3）·（a + 3）·（a2 + 9）. 111第12章 乘法公式与因式分解 复习与巩固 1. 计算： （1）（2x + 8）·（2x - 8）； （2）（2 + 5a）·（5a - 2）； 1 1 （3）（1.2m - n）·（1.2 m + n）； （4）（3a2 + b）·（3a2 - b）. 4 4 2. 利用平方差公式计算： （1）73×67； （2）99.8×100.2 . 3. 计算： （1）（2a - 1）·（2a + 1）·（4a2 + 1）； （2）（2x - 5）·（2x + 5）-（7 + 2x）·（2x - 7）. 拓展与延伸 4. 你能利用右图中的面积关系解释平方差公式吗？ 5. 计算： （1）a4 -（a -b）·（a + b）·（a2 + b2 ）； 2 015 a （2） . 2 0152 - 2 016 × 2 014 6. 化简： （3 + 2）×（32 + 22）×（34 + 24）×（38 + 28）×⋯ ×（364 + 264）. 112 a b b 习题12.1 （第 4 题） 探索与创新 12.2 完全平方公式 观察与思考 一个正方形花坛的边长是a米，如果把它的每条边长都增加b米，所得到的 新正方形花坛的面积便是（a + b）2平方米（图12-3）. （1）你能用多项式的乘法法则计算（a + b）2 吗？12.2 完全平方公式 （a + b）2 =（a + b）（a + b）= a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 . 由此得到公式 （a + b）2 = a2 + 2ab + b2 . 你能利用图12-3中的面积关系说明这个公式吗？与同 学交流. （2）用（- b）代替上式中的b，得 （a - b）2 =［a +（- b）］2 = a2 + 2a·（- b）+（- b）2 = a2 - 2ab + b2 . 由此得出公式 （a - b）2 = a2 - 2ab + b2. 你能用一个几何图形的面积关系说明这个公式吗？ 这就是说，两数和（差）的平方等于这两个数的平方和加上（减去）它们 乘积的2倍. 这两个公式统称完全平方公式 . 完全平方公式与平方差公式都叫做乘法公式（multiplication formula）. 例1 利用完全平方公式计算： 1 2 （1）（ x + y）2； 2 3 （2）（2m - 5n）2； （3）（-0.5a + 0.1b）2 . 1 2 解 （1）（ x + y）2 2 3 1 1 2 2 =（ x）2 + 2 × x· y +（ y）2 2 2 3 3 1 2 4 = x2 + xy + y2； 4 3 9 （2）（2m - 5n）2 =（2m）2 - 2 ×2m·5n +（5n）2 = 4m2 - 20mn + 25n2； 113 a b ab a2 b2 ab b a 图 12-3 公式中的a和b，可 以表示任意的代数式.第12章 乘法公式与因式分解 （3）（-0.5a + 0.1b）2 =（-0.5a）2 + 2·（-0.5a）·0.1b +（0.1b）2 = 0.25a2 - 0.1ab + 0.01b2. 例2 利用完全平方公式计算： 1 2 （1）（ x - y2）2； （2）1012 . 2 3 1 2 解 （1）（ x - y2）2 2 3 1 1 2 2 =（ x）2 - 2× x· y2 +（ y2）2 2 2 3 3 1 2 4 = x2 - xy2 + y4； 4 3 9 （2）1012 =（100 + 1）2 = 1002 + 2×100×1 + 12 = 10 000 + 200 + 1 = 10 201. 练 习 1. 利用完全平方公式计算： （1）（2a + 5b）2； （2）（1.2m + 3n）2； （3）（3x - y）2； （4）（4p - 2q）2 . 2. 利用完全平方公式计算： （1）（- 1 a + 5b）2； （2）（- 3 x - 2 y）2 . 2 4 3 3. 利用完全平方公式计算： （1）542； （2）9972 . 例3 计算： （1）（x - 2y）·（x + 2y）-（x + 2y）2 + 8y2； （2）（a + 2b + 3c）·（a + 2b - 3c）. 11412.2 完全平方公式 解 （1）（x - 2y）·（x + 2y）-（x + 2y）2 + 8y2 =（x2 - 4y2）-（x2 + 4xy + 4y2）+ 8y2 = x2 - 4y2 - x2 - 4xy - 4y2 + 8y2 = -4xy； （2）（a + 2b + 3c）·（a + 2b - 3c） =［（a + 2b）+ 3c］·［（a + 2b）- 3c］ 可以把（a ＋ 2b） =（a + 2b）2 -（3c）2 看做平方差公式中的a. = a2 + 4ab + 4b2 - 9c2. 例4 计算：（a + b）3. 解 （a + b）3 =（a + b）·（a + b）2 =（a + b）·（a2 + 2ab + b2） = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. 挑战自我 计算：152 = ________，252 = ________，352 = ________，452 = ________. 你发现个位数字是5的两位数的平方的末尾两位数有什么规律？个位数字是 5的三位数的平方的末尾两位数呢？你能利用完全平方公式，解释这个规律吗？ 广角镜 奇妙的“贾宪三角形” 我国北宋数学家贾宪（11世纪人，生卒年代不详）在1050年左右首先发现了一个 奇妙的“三角形”（图12-4），这个“三角形”被称为贾宪三角形. 115第12章 乘法公式与因式分解 这个“三角形”有什么奇妙之处呢？ 1 （1）“三角形”第1行有1个数，第2行有 1 1 1 2 1 2个数⋯⋯第n行有n个数. 1 3 3 1 （2）从第一行开始，每行中的各个数字之 1 4 6 4 1 和依次为： 1 5 10 10 5 1 20，21，22，23，24，⋯ 1 6 15 20 15 6 1 第n行中的数字之和是2n-1 . 1 7 21 35 35 21 7 1 （3）每行中的数字呈左右对称，由1开始 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 由小变大，然后由大变小，最后回到1. 图 12-4 （4）“三角形”两腰上的数字都是“1”. 除1之外，其余每个数字都是它“双肩” 上的两个数字之和，如 2 = 1 + 1，10 = 4 + 6，35 = 15 + 20. 不仅如此，这个“三角形”第 n + 1 行中的数竟与（a + b）n（n是正整数）展开式 各项的系数完全吻合. 例如，当n为2，3时， （a + b）2 = a2 + 2ab + b2， （a + b）3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. 展开式中各项的系数 1，2，1；1，3，3，1 恰为“三角形”中第3行和第4行的数. 类似地， （a + b）4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4， （a + b）5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5. 由以上四式，还可以猜测，（a + b）n的展开式有以下特点：展开式的项数为 n+1， 每一项的次数都是n，各项中a的指数由n逐项减少到0，b的指数由0逐项增加到n. （a + b）n展开式中项数、系数和各项次数的规律，将在高中学习二项式定理时， 予以证实. 按照上面所说的规律，你能写出（a + b）7的展开式吗？ 练 习 1. 计算下列各题： （1）（3x - 2y）2 + （3x + 2y）2； （2）4（x - 1）·（x + 1）-（2x + 3）2 . 2. 先化简，再求值：（x + y）2 - 4xy，其中x = 12，y = 9. 11612.2 完全平方公式 习题12.2 复习与巩固 1. 计算： （1）（2m + 3）2； （2）（-1.3a + 2b）2； 1 （3）（-2p - 7q）2； （4）（a - b）2 . 3 2. 利用乘法公式计算： （1）912； （2）-1982 . 3. 计算： （1）3（2 - y）2 - 4（y + 5）2； （2）（m - n - 1）·（m - n + 1）. 4. 回答下列问题： （1）a2 + b2加上什么式子可以得到（a + b）2？ （2）a2 + ab + b2加上什么式子可以得到（a - b）2？ 5. 已知a + b = 5， ab = -6，求下列各式的值： （1）a2 + b2 ； （2）（a - b）2. 拓展与延伸 6. 如图，某公园要在一块直径为（a + b）米的圆形空地上，建两 a b 个直径分别为a米与b米的圆形花坛，其余部分设计为草坪. 求草坪的面积. 7. 已知（x + y）2 = 4，（x - y）2 = 10，求x2 + y2和xy的值. 8. 用完全平方公式计算： （1）（x + y + z）2； （2）（a - b）3. 9. 计算：（1）1 0012×9992 ； （2）20.22 + 19.82. （第 6 题） 探索与创新 10. 观察下面的4个等式： 32 = 2 + 22 + 3， 42 = 3 + 32 + 4， 52 = 4 + 42 + 5， 62 = 5 + 52 + 6. （1）请你写出第5个等式； （2）如果用n表示正整数，你能用含有字母n的等式表示出你发现的规律吗？你能 说明所发现的规律是正确的吗？ n个9 n个9 n个9 11. 计算：99⋯9×99⋯9 + 199⋯9 . 117第12章 乘法公式与因式分解 12.3 用提公因式法进行因式分解 观察与思考 由单项式与多项式的乘法法则，可以得到 m（a + b + c）= ___________ . 反过来，你能把多项式ma + mb + mc写成两个整式乘积的形式吗？ 多项式ma + mb + mc的各项都含有相同的因式m，我们把因式m叫做这个 多项式各项的公因式（common factor）. 把公因式m提出来，作为积 这里逆向运用了 的一个因式，其余部分作为另一 乘法对加法的分配律. 个因式，就得到 ma + mb + mc = m（a + b + c）. 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解（factorization）. 上面所用的因式分解的方法，叫做提公因式法. 例1 把下列各式进行因式分解： （1）3a2 + 12a； （2）-4x2y - 16xy + 8x2. 解 （1）3a2 + 12a 用提公因式法进行因式分解， = 3a·a + 3a·4 关键在于找出多项式各项的公因 = 3a（a + 4）； 式，并把各项的公因式一次提出. （2）-4x2y - 16xy + 8x2 = -4x·xy - 4x·4y + 4x·2x = -4x（xy + 4y - 2x）. 例2 把下列各式进行因式分解： （1）a（m - 6）+ b（m - 6）； （2）3（a - b）+ a（b - a）. 11812.3 用提公因式法进行因式分解 解 （1）a（m - 6）+ b（m - 6） =（m - 6）（a + b）； （2）3（a - b）+ a（b - a） 公因式也可以 = 3（a - b）- a（a - b） 是多项式. =（a - b）（3 - a）. 想一想，提出多项式各项的公因式与多项式的乘法之间有什么关系？多项 式的乘法与因式分解有什么关系？与同学交流. 挑战自我 3200 - 4×3199 + 10×3198是 7 的倍数吗？为什么？ 练 习 1. 下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）（x + y）·（x - y）= x2 - y2； （2）a2 - 4a + 4 = a（a - 4）+ 4； （3）m2n - 8n = n（m - 8）； （4）x2 + 4x + 2 = x2 + 2（2x + 1）. 2. 把下列各式进行因式分解： （1）x2 + xy； （2）-4b2 + 2ab； （3）3ax - 12bx + 3x； （4）6ab3 - 2a2b2 + 4a3b. 3. 把下列各式进行因式分解： （1）2（x - y）-（x - y）2； （2）6（m - n）2 + 3（m - n）. 习题12.3 复习与巩固 1. 把下面多项式中各项的公因式填在括号内： （1）4a2b2 + 6ab3； （ ） （2）-49a2 + 7ab3 - 21a； （ ） （3）7（a - 2）2 + 14（a - 2）； （ ） 119第12章 乘法公式与因式分解 （4）a2b（x- y）- ab（y - x）2 . （ ） 2. 把下列各式进行因式分解： （1）a2b - 3ab； （2）xy3 + x3y； （3）8abc + 4bc2； （4）6ab + 8b - bd； （5）14mnx + 7mx + 21nx； （6）2m3n + 16m2n2 + 4mn3. 3. 把下列各式进行因式分解： （1）a（m + n）- b（m + n）； （2）（a + b）（a - b）-（b + a）； （3）m（a - 3）- n（3 - a）； （4）x（x - y）+ y（y - x）. 拓展与延伸 4. 把下列各式进行因式分解： （1）5（a - 1）2 - 10（1 - a）； （2）ab（x - y）2 - ab2（y - x）2. 5. 计算： 22 013 （1） ； （2）（-3）n + 3（-3）n-1 . 22 012-22 013 6. 如图，公园计划修建喷水池，图①和图②是两种设计方案. 方案①是两个面积相等 的大圆形水池，方案②是一个大的圆形水池内又有三个圆形小水池. 如果两种方案 中大圆的直径相等，这两种方案需用的喷水池外围的砌墙用料一样多吗？为什么？ ① ② （第 6 题） 探索与创新 102n+1 + 102n-1 7. 计算： （其中n为正整数）. 102n+1 - 102n-1 8. 任意写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它们的十位数字与个位数字 对调，得到另一个两位数. 用较大的两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9 整除吗？为什么？ 12012.4 用公式法进行因式分解 12.4 用公式法进行因式分解 观察与思考 你能把下列多项式进行因式分解吗？ （1）a2 - b2； （2）a2 + 2ab + b2 . 它们都是乘法公式中等号右边的 形式，能利用乘法公式试一试吗？ 把乘法公式 （a + b）（a - b）= a2 - b2， （a + b）2 = a2 + 2ab + b2， （a - b）2 = a2 - 2ab + b2 的左边和右边分别交换位置，就得到 a2 - b2 =（a + b）（a - b）； a2 + 2ab + b2 =（a + b）2； a2 - 2ab + b2 =（a - b）2. 把它们作为公式，就可以把具备平方差或完全平方式形式的多项式进行因 式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. 例1 把下列各式进行因式分解： （1）4x2 - 25； （2）16a2 - 9b2. 解 （1）4x2 - 25 可以把4x2写成 =（2x）2 - 52 （2x）2，把25写成52， =（2x + 5）（2x - 5）； 因而多项式4x2-25具 备a2 - b2的形式. 121第12章 乘法公式与因式分解 （2）16a2 - 9b2 =（4a）2 - （3b）2 =（4a + 3b）（4a - 3b）. 例2 把下列各式进行因式分解： 1 （1）25x2 + 20x + 4； （2）9m2 - 6mn + n2； （3）x2 + x + . 4 解 （1）25x2 + 20x + 4 =（5x）2 + 2×5x×2 + 22 可以把25x2写成（5x）2， =（5x + 2）2 ； 把4写成22，而20x恰能写成 2×5x×2的形式. （2）9m2 - 6mn + n2 =（3m）2 - 2×3m·n + n2 =（3m - n）2； 1 （3）x2 + x + 4 1 1 = x2 + 2·x· +（ ）2 2 2 1 =（x + ）2 . 2 练 习 1. 把下列各式进行因式分解： 1 （1）x2 - ； （2）4m2 - n2； 9 （3）25 - 4x2y2； （4）49x2 - 36y2. 2. 把下列各式进行因式分解： 1 1 （1）a2 + 8a + 16； （2）m2 - m + ； 2 16 （3）25m2 + 30mn + 9n2； （4）4x2 - 12xy + 9y2. 例3 把下列各式进行因式分解： （1）-2x4 + 32x2； （2）3ax2 - 6axy + 3ay2. 解 （1）-2x4 + 32x2 = -2x2（x2 - 16） 12212.4 用公式法进行因式分解 = -2x2（x + 4）（x - 4）； （2）3ax2 - 6axy + 3ay2 = 3a（x2 - 2xy + y2） 把一个多项式进行因 = 3a（x - y）2. 式分解的步骤是什么？ 例4 把下列各式进行因式分解： （1）（a - 2b）2 -（2a + b）2； （2）50n - 20n（x - y）+ 2n（x - y）2. 解 （1）（a - 2b）2 -（2a + b）2 =［（a - 2b）+（2a + b）］ ［（a - 2b）-（2a + b）］ =（3a - b）（-a - 3b） = -（3a - b）（a + 3b）； （2）50n - 20n（x - y）+ 2n（x - y）2 = 2n［25 - 10（x - y）+（x - y）2］ = 2n［5 -（x - y）］ 2 = 2n（5 - x + y）2. 智趣园 任何整数都能写成两个整数的平方差吗 我们知道 2 015 = 2×1 007 + 1 = 1 0072 + 2×1 007 + 1 - 1 0072 = （1 007 + 1）2 - 1 0072 = 1 0082 - 1 0072. 因此，2 015能写成两个整数的平方差. 是不是任意整数都能写成两个整数的平方差呢？ 一般地，任意奇数都可以写成两个整数（并且是相邻的）的平方差. 事实上，2n + 1 = n2 + 2n + 1 - n2 =（n + 1）2 - n2（n是正整数）. 任意偶数也能写成两个整数的平方差吗？不妨看2 012. 由于 2 012 = 4×503 = 5032 + 2×503 + 1 - 5032 + 2×503 -1 =（503 + 1）2 -（503 - 1）2， 因而，2 012能写成两个整数的平方差. 123第12章 乘法公式与因式分解 一般地，形如4n（n为正整数）的偶数可以写成两个整数的平方差. 事实上，4n = n2 + 2n + 1 - n2 + 2n - 1 =（n + 1）2 -（n - 1）2. 但是，2 014由于不能被4整除，所以不能写成两个整数的平方差. 如果不信，请你 自己试一试. 一般地，形如4n + 2（n为自然数）的偶数都不能写成两个整数的平方差. 其道理将来学过“反证法”后，便会明白. 练 习 1. 把下列各式进行因式分解： （1）x - xy2； （2）9x3 - 18x2 + 9x； 1 （3）4x2 - ； （4）4a - 4a2 - 1. 25 2. 把下列各式进行因式分解： （1）25a2 - 4（b + c）2； （2）（x + y）2 + 6（x + y）+ 9. 习题12.4 复习与巩固 1. 把下列各式进行因式分解： （1）a2 - 9b2； （2）25x2 - 36； （3）1 + 6y + 9y2； （4）49x2 + 28x + 4； （5）a2 - 8a + 16； （6）81m2 - 144mn + 64n2. 2. 把下列各式进行因式分解： （1）a4 - b4； （2）m3n2 - m5n2； （3）ax2 - 4a2x + 4a3； （4）-a3 + 2a2b - ab2. 3. 把下列各式进行因式分解： （1）4（x - 2）2 - 1； （2）（a + 1）2 -（a - 1）2 ； （3）（p + q）2 + 4（p + q）+ 4. 4. 利用因式分解计算： （1）2 0152 - 2 0132； （2）2072 - 207×14 + 49. 124回顾与总结 拓展与延伸 5. 将 391 写成平均数是 20 的两个数的乘积. 6. 把下列各式进行因式分解： 1 （1）x（x - y）+ y（y - x）； （2）a5 - a3； 49 （3）m2（m - 1）- 4（1 - m）2； （4）（a - b）n -（a - b）n-2（n是大于2的整数）. 探索与创新 7. 两个正方形的周长之差为8厘米，面积之差为72平方厘米. 求这两个正方形的边长. 8. 下列各式： 32 - 1， 52 - 1， 72 - 1， 92 - 1 的结果都能被8整除吗？由此你猜测到什么规律？说明你的结论是正确的. 回顾与总结 1. 本章学习了哪些主要内容？总结一下，并与同学交流． 2. 本章中你学过哪些乘法公式？ 3. 什么是因式分解？能举例说明因式分解与多项式乘法的关系吗？ 多项式乘法 m（a + b + c） ma + mb + mc 因式分解 多项式乘法 （a + b）（a - b） a2 - b2 因式分解 多项式乘法 （a±b）2 a2±2ab＋b2 因式分解 从上面的图示中你悟出了什么？ 4. 你学过哪些因式分解的方法？怎样把一个多项式进行因式分解？ 5. 怎样验证因式分解的正确性？ 125第12章 乘法公式与因式分解 综合练习 复习与巩固 1. 填空： 2 1 2 1 4 （1）（ a - b）·（ a + b）= a2 - _________________； 3 2 3 2 9 （2）（3u + 2 ）2 = 9u2 + _____________ + 4 2； 1 1 （3）如果a2 + ma + =（a - ）2，那么m的值是_________________； 4 2 （4）多项式12xy2z3 + 18x2y3z - 30x3yz2各项的公因式是_________________. 2. 计算： （1）（3a + 2b）·（3a - 2b）； （2）（-2y2 + 5x）·（-2y2 - 5x）； 1 1 1 2 （3）（x + ）·（x2 + ）·（ - x）； （4）（-3a + b）2； 2 4 2 3 （5）（-2m - 3n）2； （6）（a - 3b - 3）·（a - 3b + 3）. 3. 选择题： （1）把多项式m2（a - 2）+ m（a - 2）进行因式分解，所得的结果是 （ ）. （A）（a + 2）·（m2 + m） （B）（a - 2）·（m2 - m） （C）m（a - 2）·（m - 1） （D）m（a - 2）·（m + 1） （2）下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（ ）. （A）-a2 + b2 （B）-x2 - y2 （C）49x2 - z2 （D）16m2 - 25n2 （3）下列各式能运用完全平方公式进行因式分解的是（ ）. （A）16x2 - 4xy + y2 （B）m2 + mn + n2 2 1 （C）9p2 - 24pq + 16q2 （D）u2 + u + 3 4 4. 把下列各式进行因式分解： （1）-4a3b2 + 6a2b - 2ab； （2）6（x - y）2 + 3（y - x）3； （3）6（x - 3）2 - 24； （4）5p2q + 10pqr + 5qr2； 1 （5）x2（a - b）+ 4（b - a）； （6）（a + b）2 + a + b + . 4 5. 利用因式分解计算下列各题： （1）2.39×91 + 156×2.39 - 2.39×47； （2）32 012 + 6×32 013 + 32 014 . 126回顾与总结 6. 如图，在边长为a厘米的正方形钢板上，挖去4个边长均为b厘米的小正方形. 利用因 式分解的知识，计算当a = 9.82厘米，b = 2. 41厘米时剩余部分的面积. 127 a a b b （第 6 题） b a a （第 7 题） 7. 如图，请你利用这个图形，解释公式a2 - 2ab + b2 =（a - b）2 . 拓展与延伸 8. 已知（a + b）2 = 7，（a - b）2 = 3，求下列各式的值： （1）ab； （2）a2 + b2 . 9. 研究下列算式，你发现有什么规律？ 32 - 12 = 8 = 8×1， 52 - 32 = 16 = 8×2， 72 - 52 = 24 = 8×3， 92 - 72 = 32 = 8×4， ⋯⋯ 请将你找出的规律用公式表示出来，并说明它的正确性. 探索与创新 10. 利用因式分解计算下列各题： 1 1 1 （1）（1 - ）×（1 - ）×⋯×（1 - ）； 22 32 102 （2）（22 + 42 + 62 + 82 + 102）- （12 + 32 + 52 + 72 + 92）. 11. 小亮有两根长度都是4a厘米的铁丝，打算把其中一根折成正方形，把另一根折成有 一边长为b厘米的长方形. 请你帮助小亮算一算，正方形的面积与长方形的面积哪 一个较大？为什么？ 12. 同一价格的某种商品在三个商场都进行了两次价格调整，甲商场第一次提价的百分 率为 a（a＞0），第二次提价的百分率为b（b＞0）；乙商场两次提价的百分率都是 a + b ；丙商场第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a. 两次提价后，这 2 种商品在哪个商场的售价最高？为什么？第13章 平面图形的认识 128129第13章 平面图形的认识 13.1 三角形 在日常生活中，我们经常看到三角形的形象，图13-1中教具、彩旗、船帆 等就是三角形的. 你还能举出一些类似的实例吗？ 教 具 彩 旗 帆 船 图 13-1 在上一学段，我们已经认识了三角形. 任意画出几个三角形，你能说出这些 三角形是怎样画出来的吗？它们有什么共同特征？ 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角 形（triangle）. 组成三角形的线段叫做三角形的边（side），相邻两边的公共 端点叫做三角形的顶点（vertex）. 相邻两条边所组成的角，叫做三角形的内 角（interior angle），简称三角形的角. 在图13-2中，线段AB，BC，CA是这个三角形的 A 三条边，点A，B，C是这个三角形的三个顶点，∠A， ∠B，∠C是这个三角形的角，边BC，CA，AB分别叫 B C 做∠A，∠B，∠C的对边. 图 13-2 三角形用符号“△”来表示，顶点是A，B，C的三角形记作△ABC，读作 “三角形ABC ”. 13013.1 三角形 实验与探究 （1）用量角器度量图13-3中三个三角形的每个角的度数，它们分别有几个 锐角、几个直角、几个钝角？ （2）你还记得三角形三个角的和是多少度吗？ （3）三角形的一个角能大于180°吗？能等于180°吗？为什么？ （4）观察图13-3，在三角形的三个角中，你发现至少有几个角是锐角？至 多呢？ （5）在三角形中，如果有一个角是直角，这个角是最大角吗？为什么？这 时，其他两个角的和是多少度？ （6）在三角形中，如果有一个角是钝角，这个角是最大角吗？为什么？这 时，其他两个角的和的范围是什么？ A A A B C B C B C ① ② ③ 图 13-3 图13-3①中的三角形的三个角都是 锐角，图②中的三角形有一个角是直角， 图③中的三角形有一个角是钝角. 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形（acute triangle）. 有一个角是 直角的三角形叫做直角三角形（right triangle）. 有一个角是钝角的三角形叫 做钝角三角形（obtuse triangle）. 由此，三角形可按最大角的大小分类如下： 131第13章 平面图形的认识 锐角三角形 A 三角形 直角三角形 边 钝角三角形 斜 直角三角形通常用符号“Rt△”表示，图13-4中的直 B C 角三角形记作Rt△ABC，它的各边的名称如图所示. 直角三角形的两个锐角互余. （7）比较图13-5中每个三角形三条边的长短，你有什么发现？与同学交 流. 132 边角直 直角边 图 13-4 A A A B C B C B C ① ② ③ 图 13-5 A 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（isosceles 顶角 triangle）. 如图 13-6，在等腰三角形ABC 中，AB = 腰 腰 AC，它的各边与各角的名称如图所示. 三边都相等的三角形叫做等边三角形（equilateral 底角 底角 B C triangle），也叫做正三角形. 底边 图 13-6 （8）观察图13-5①②，你认为等边三角形与等腰三角形有什么关系？与同 学交流. D 练 习 C E 1. 如图，线段AC与BD相交于点E，连接AD，AB，BC . （1）指出图中有几个三角形，并分别用字母表示出来； （2）∠AED是哪个三角形的角？∠DBC呢？ A B （3）AE是哪两个三角形的公共边？AB是哪几个三角形的公 （第 1 题）13.1 三角形 共边？图中还有哪些三角形有公共边？ （4）∠D是哪两个三角形的公共角？ 图中还有哪些三角形有公共角？ 2. 在一个三角形中，如果有两个内角互余，这个三角形是什么三角形？为什么？ 3. 在直角三角形中，哪条边最长？为什么？ 观察与思考 任意画出一个三角形（图13-2）. 两点之间线段最短. （1）如果从△ABC任意一个顶点出发，沿三角形 的边走到另外一个顶点，有几条不同的路线？哪条路 线较长？说明理由. （2）你能用式子分别表示（1）中的结论吗？ AB + AC > BC， AC + BC > AB， AB + BC > AC . （3）通过上面的三个式子，你能归纳出什么结论？ 三角形的任意两边之和大于第三边. 例1 分别用下列长度的三条线段能组成三角形吗？为什么？ （1）4，6，10； （2）5，6，7. 加油站 如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，它们就不能组成三角形. 为了简便，只要检验两条较短线段长度的和是否大于第三条线段的长就可以判断这三 条线段能否组成一个三角形. 解 （1）因为4 + 6 = 10， 所以，用这三条线段不能组成三角形； （2）长度分别为5，6的线段是这三条线段中两条较短的线段， 133第13章 平面图形的认识 因为5 + 6＞7， 所以，用这三条线段能组成三角形. 例2 等腰三角形的周长为21厘米，如果它的一边长为5厘米，求其他两 边的长. 解 因为长为5厘米的边可能是等腰三角形的腰，也可能是它的底边， 所以应分两种情况进行讨论. （1）如果底边长为5厘米，设腰长为x厘米，由已知条件，得 5 + 2x = 21， 解这个方程，得 x = 8. 因为5 + 8＞8，8厘米、8厘米、5厘米长的三条线段可以组成三角形. （2）如果腰长为5厘米，设底边长为x厘米，由已知条件，得 2 × 5 + x = 21， 解这个方程，得 x = 11. 但5 + 5＜11，所以用5厘米、5厘米、11厘米长的三条线段不能组成三角形. 由（1）（2）可知，这个三角形其他两边的长都是8厘米. 练 习 1. 分别用下列长度的三条线段能组成三角形吗？为什么？ （1）3，4，5； （2）4，4，8； （3）4，9，9； （4）5，7，11； （5）2，3，6 . 2. 用一根长为7厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的三角形，有几种不同的方案？ 实验与探究 （1）画一个三角形和它的一个角的平分线，这条平分线与该角的对边相交吗？ 三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点和交点之间的 线段叫做三角形的角平分线. 13413.1 三角形 如图13-7，在△ABC中，D是BC边上的一点，且∠BAD = ∠DAC，那么 线段AD就是△ABC的一条角平分线. A （2）一个三角形有几条角平分线？在图13-7 中，画出△ABC所有的角平分线. 再任意画一个三 角形，并画出它所有的角平分线. 你有什么发现？ B C 与同学交流. D 图 13-7 一个三角形有三条角平分线，它们 都在三角形的内部，并且相交于一点. （3）画一个三角形，任取它的一个顶点，画出连接它与对边中点的线段. 在三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段叫做这个三角形的中线 （median）. 如图13-8，在△ABC中，BE = EC，那么线 A 段AE就是△ABC的一条中线. （4）一个三角形有几条中线？在图13-8中， 画出△ABC所有的中线. 再任意画一个三角形，并 B C E 画出它所有的中线. 你有什么发现？与同学交流. 图 13-8 一个三角形有三条中线，它们都在三角形的内部，并且相交于一点（图 13-9）. 这个点叫做三角形的重心（barycenter）. 小资料 A 取一块质地均匀的三角形木 G G 板，用一枚铁钉顶在这个三角形 的重心上，木板会保持平衡（图 B C 图 13-9 13－10）. 这是重心的物理性质. 图 13-10 135第13章 平面图形的认识 1 （5）过去我们学习过三角形的面积公式 S = ah，你能说出什么是三角形 2 的高吗？画一个三角形，你能画出它的一个顶点到对边所在直线的垂线段吗？ 三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的 高（height）. 三角形面积公式中的“高”，实际 上是指高的长度，即一个顶点到对边所 在直线的距离. 如图13-11，在△ABC中，AD⊥BC，D是垂足，那么线段AD就是△ABC的 A 一条高. （6）一个三角形有几条高？分别画出锐角三角形、 直角三角形和钝角三角形，并画出它们所有的高. 你有 B C D 什么发现？与同学交流. 图 13-11 每一个三角形都有三条高. 由于三角形形状不同，三角形的高可能在三角 形的内部（图13-12①），可能与边重合（图13-12②），也可能在三角形外部 （图13-12③）. A A A E E E F C D B B C B C D F ① ② ③ 图 13-12 挑战自我 A 如图13-13所示，七年级一、二班的同学在植树 节前要绿化一块三角形空地. 你能帮助他们把这块地划 分成面积相等且都是三角形形状的两块地吗？你有几 B C 种划分方法？ 图 13-13 13613.1 三角形 练 习 1. 如图，已知△ABC . （1）分别画出△ABC的中线AD和角平分线AE； （2）观察（1）中画出的图形，你能找出图中有哪些等量关系？ A B E F B C D C A G （第 1 题） （第 2 题） 2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，EC⊥BC交AB于点E，CF⊥AB，垂足为 点F，BG⊥AC，垂足为点G . （1）分别写出△ABC各条边上的高； （2）CF是哪几个三角形的高？ A 如图 13-14，AC 是△ABC 的一条边，反向延长 △ABC的另一条边CB，得到射线CE，请你指出边CA B C E 与CE所组成的角. 它与△ABC的内角有什么不同？ 图 13-14 三角形一个角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做三角形 的外角（exterior angle）. 交流与发现 如图13-15，延长△ABC的三边，分别得直 M F A 线DE，FG，MN. 思考下列问题： （1）∠BCG是△ABC的一个外角吗？∠ECG D B C E 呢？为什么？ N G 图 13-15 137第13章 平面图形的认识 （2）写出△ABC的所有外角，并指出它们之间哪些角是相等的； （3）三角形的一个外角（例如∠ACE）跟与它相邻的内角有什么数量关 系？ （4）三角形的一个外角（例如∠ACE）跟与它不相邻的两个内角的和有什 么数量关系？为什么？ 在图13-15中，因为∠ACE +∠ACB = 180°，∠BAC +∠ABC +∠ACB = 180°， 所以∠ACE = ∠BAC +∠ABC . 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. （5）比较三角形的一个外角（例如∠ACE）跟与它不相邻的任何一个内 角，哪个大？能说明你的理由吗？ 在图13-15中，因为∠ACE = ∠BAC + ∠ABC，所以∠ACE ＞∠BAC，∠ACE＞∠ABC . 由此可知，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 例3 如图13-16，已知∠ACD = 150°，∠A = 2∠B，求∠B的度数. 解 因为∠ACD是△ABC的一个外角，所以 ∠ACD = ∠A + ∠B. 又因为 ∠A = 2∠B， A 于是 ∠ACD = 2∠B + ∠B = 3∠B . 由∠ACD = 150°，得 3∠B = 150°， B D C 所以∠B = 50°. 图 13-16 例4 如图13-17，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，∠ABD = ∠A， ∠C = 3∠A . 13813.1 三角形 （1）求△ABC的各内角的度数； （2）求∠ADB的度数. 解 （1）因为 BD 是∠ABC 的平分线，所以∠ABC = 2∠ABD. 因为 ∠ABD = ∠A，所以∠ABC = 2∠A. 在△ABC中， B 因为∠A + ∠ABC + ∠C = 180°， 所以∠A + 2∠A + 3∠A = 180°， 即 6∠A = 180°. C A D 从而∠A = 30°，∠ABC = 60°，∠C = 90°. 图 13-17 1 （2）因为∠DBC = ∠ABC = 30°，且∠ADB是△DCB的外角， 2 所以 ∠ADB = ∠C + ∠DBC = 90°+ 30°= 120°. 挑战自我 45° 将一副三角尺按图13-18的方式放置，如果不计三角尺 α 的厚度，求它们的两条斜边所成的钝角α的度数. 30° 图 13-18 练 习 1.（1）如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，这个三角形是什么三角形？ （2）如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是什么三角形？为什 么？ （3）如果三角形的一个外角大于与它相邻的内角，能判定这个三角形的形状吗？为 什么？ 2. 如图，在△ABC中，∠B = 40°，AE是∠BAC的平分线， A ∠ACD = 106°. 求∠AEC的度数. B E C D （第 2 题） 139第13章 平面图形的认识 习题13.1 复习与巩固 1. 如图，在△ABC中，AE⊥BC，点 E是垂足，点 D是边BC A 上的一点，连接AD. （1）写出△ABE的三个内角； （2）在△ABD中，∠B的对边是______________；在△ABC B D E C 中，∠B的对边是______________； （第 1 题） （3）图中共有_____个三角形， 把它们分别写出来. 这些三角形中，哪些是直角三角 形？哪些是锐角三角形？哪些是钝角三角形？ （4）线段AD是哪几个三角形的公共边？ （5）∠ADC是哪几个三角形的公共角？∠AED呢？ 2. 有5根细木棒，长度分别是2厘米、4厘米、6厘米、8厘米和10厘米. 从中任意取出3 根，能组成多少个不同的三角形？ A 3. 已知等腰三角形的周长是10，且各边长都为整数，求各边的长. 4. AD是△ABC的中线，AB = 10，AC = 7，△ABD的周长比△ACD D 的周长大多少？ 5. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD是AB边上的高. 写出图中的 C B 直角三角形，并指出图中相等的锐角. （第 5 题） 6. 观察右图，填空： C （1）∠ADE = ∠B +∠_______， E ∠ADB = ∠C +∠_______ = ∠AED + ∠ _______； D （2）用“＞”或“＜”填空： A B ∠AEC _____ ∠ADE；∠AEC _____ ∠B. （第 6 题） 7. 如图，在△ABC中，∠B，∠C的角平分线BE，CF交于点D，∠A = 70°. 求∠BDC的 度数. F A A F E D B C B C D E （第 7 题） （第 8 题） 8. 如图，∠BAF，∠CBD与∠ACE是△ABC的三个外角. 你能求出这三个外角度数之和 吗？说明你的理由. 14013.2 多边形 9. 在△ABC中，∠A -∠B = 60°，∠B -∠C = 15°. 求∠A，∠B， A ∠C的度数. D 拓展与延伸 E O 10. 图中具有一条公共边的三角形有多少对？ B C （第 10 题） 11. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部 A 分，求原等腰三角形的腰长和底边长. 12. 如图，△ABC的三条中线相交于一点O，图中哪些三角形 E O F 面积分别相等？为什么？ 13. 一个三角形两个外角的和是与它们都不相邻的内角的3倍， B C D 求这个内角的度数. （第 12 题） 14. 把一副三角尺如图所示放置，如果不计三角尺的厚度， 图中∠α的度数是多少？ α 探索与创新 30° 45° （第 14 题） 15. 现有长为150厘米的铁丝，把它截成n段（n＞2），使其中 A 任意3段均不能作为同一个三角形的边. 请你对于n = 3， 4，5 的情形，各给出一种满足条件的截法. D 16. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC边上的一点，BD = 2AD，BE = 2CE. AE，CD相交于点O. △ADO的面积与 O △CEO的面积是否相等？为什么？ B C E （第 16 题） 13.2 多边形 观察与思考 观察图13-19，你能说出这些图形有什么共同特征吗？ 图 13-19 141第13章 平面图形的认识 平面内，若干条线段首尾顺次相接，且有公共端点的线段不在同一条 直线上，这样得到的图形叫做多边形（polygon）. 组成多边形的各条线段叫 做多边形的边，它们的公共端点叫做多边形的顶点，相邻两条边所组成的 角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 一个多边形有四条边，叫做四边形（quadrilateral）；有五条边，叫做五边 形（pentagon）；一般地，有n条边，叫做n边形（n是大于2的整数）. 观察图13-19，思考下面的问题： 三边形习惯上 （1）把图中四边形、五边形和六边形的顶点分别 叫做三角形，它是 边数最少的多边形. 用字母表示出来，然后分别读出这些多边形，说出这 些多边形的每条边和每个角； （2）对于一个n边形来说，它的边数、顶点个数和角的个数 分别是多少？ （3）分别连接图13-19中四边形、五边形、六边形不相邻 的任意两个顶点，得到哪些线段？ 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线（diagonal）. （4）数一数，四边形一共有几条对角线？五边形呢？六边形呢？ 分别度量图13-20中每个多边形的边和角，你发现它们具有什么特点？ 图 13-20 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形（regular polygon）. 图13-20中的各个多边形分别叫做正三角形（等边三角形）、正方形（正四 边形）、正五边形、正六边形和正八边形. 14213.2 多边形 挑战自我 你能用若干个（个数不限）同样大小的含45°的三角尺拼成四边形吗？这 些四边形内角度数有几种不同情况？试一试. 智趣园 多边形有两类：一类是凸多边形，它的每个内角都小于180°， 例如我们认识的三角形、平行四边形、梯形、正多边形都是凸多边 形；另一类是凹多边形 ，它的内角中至少有一个大于180°. 如图13-21是一面锦旗的图片，它是一个凹五边形. 你能找出它 的哪个内角大于180°吗？图 13-19 中的五角星形是凹多边形吗？ 锦 旗 你能分别画出一个凹四边形和凹六边形吗？试试看. 图 13-21 练 习 1. 举出生活中多边形的实例. 2. 图中的多边形是几边形？说出它的边、顶点与内角. E D D F E C C A B A B （第 2 题） （第 3 题） 3. 如图，画出正五边形ABCDE的所有对角线. 实验与探究 （1）一个正方形的内角和是多少度？一个长方形呢？ （2）在纸上任意画出一个四边形ABCD. 将四边形的四个内角剪下来（图 在本书中主要研究凸多边形. 如果没有特别说明，今后所说的多边形都是指凸多边形. 143第13章 平面图形的认识 13-22），并将剪下来的各个内角按图13-23所示的方式拼在一起，你有什么 发现？ B A 2 1 2 3 4 1 3 4 C D 图 13-22 图 13-23 在图13-23中∠1，∠2，∠3，∠4有公共的 顶点，相邻的角有一条公共边，它们恰好拼成了 一个周角，所以四边形ABCD的内角和是360°. （3）除了利用上面的实验方法外，利用三角形的内 D 角和的性质，能说明四边形的内角和是 360°吗？ C O 如图13-24，在一个任意的四边形ABCD内任取一点 O，连接AO，BO，CO，DO，得到△OAB，△OBC， A B △OCD和△ODA. 图 13-24 这四个三角形所有内角之和为 4×180°，比四 小资料 边形ABCD 的内角和多出了以 O 为顶点的四个角之 和，即 360°. 为了解决问题的需 从而，可以得出任意四边形的内角和等于 要，在原来图形上添画的 线叫做辅助线. 辅助线通 4×180°-360°＝ 360°. 常画成虚线. （4）用上面的方法，你能求出任意五边形的内 角和吗（图13-25）？ E （5）如果O是n边形A A A ⋯A A 内的一点， 1 2 3 n-1 n D 连接OA ，OA ，⋯，OA ，OA ，你能利用△OA A ， 1 2 n-1 n 1 2 △OA A ，⋯，△OA A ，△OA A 的所有内角的度数 2 3 n-1 n n 1 O A 之和，推导出n边形A A A ⋯ A A 的内角和吗？与 1 2 3 n-1 n 同学交流. C B 图 13-25 14413.2 多边形 n边形的内角和等于（n - 2）·180°. 观察与思考 你还记得什么是三角形的外角吗？三角形外角的意义可以推广到多边形上. 多边形一个角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做多边形 的外角. 任意画出一个四边形ABCD. 思考下面的问题： （1）从四边形ABCD的任意一个顶点（例如顶点C）处，画四边形的外角. 你能画出几个？它们具有什么位置关系和数量关系（图13-26）？ （2）四边形ABCD共有多少个外角？ （3）四边形ABCD的一个外角跟与它相邻的内角有什么数量关系？ F E 3 C B C 4 B 2 A A D 1 D 图 13-26 图 13-27 （4）如图13-27，在四边形ABCD的每个顶点处分别画出它的一个外角， 这些外角的和是多少？你是怎样得到这个结果的？五边形呢？六边形呢？ 四边形ABCD的每个外角都与相邻的内 角组成一个平角. 四边形有4个内角，组成 的四个平角的和是4×180°. 再减去四边形 的内角和360°，因此这4个外角的和为360°. 一般地，在多边形的每个顶点处分别取多边形的一个外角， 这些外角的和 叫做多边形的外角和. 如图13-27所示，∠1，∠2，∠3，∠4的和就是四边形 145第13章 平面图形的认识 ABCD的外角和. 四边形的外角和等于360°. （5）n边形的外角和是多少？说明你的理由. n边形的每一个内角跟与它相邻的一个外角都组成一个平角，n边形有n个 内角，所以，这些平角的和为n·180°，其中所有内角的和为（n-2）·180°， 因此n边形的外角和为 真奇妙！多边形的 n·180°-（n-2）·180° 外角和竟然与边数无关. = n·180°- n·180°+ 2×180° = 360°. 多边形的外角和等于360°. 挑战自我 任意多边形的内角中，最多有几个锐角？说明理由. 练 习 1. 分别计算九边形、十二边形、二十边形的内角和. 2. 求正八边形的每个内角与每个外角的度数. 习题13.2 复习与巩固 1. 把n边形内的任意一点与各顶点相连接，这些线段把 n 边形分成多少个三角形？把n 边形一边上的任意一点（不是顶点）与其他边上的各顶点相连接，这些线段把n边形 分成多少个三角形？ 2. 如果一个多边形从一个顶点出发的对角线把这个多边形分成6个三角形，这个多边形 是几边形？ 3. 下面的说法正确吗？如果不正确，你能用一个例子作出说明吗？ （1）如果一个多边形的各边都相等，那么它是正多边形； 14613.2 多边形 （2）如果一个多边形的所有内角都相等，那么它是正多边形. 4. 正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一个内角各是多少度？ 5. 一个多边形的内角和为2 700°，求它的边数. 6. 一个多边形的内角和与外角和相等，这个多边形是几边形？ 拓展与延伸 A 7. 如图，五角星中含有几个五边形？几个四边形？几个三角 F K 形？把它们分别表示出来. B E 8. 能不能找出一个多边形，使它的每一个内角都是与它相邻 G J 外角的3倍？ H C D 探索与创新 （第 7 题） 9.（1）四边形ABCD中，从顶点A引对角线AC，将四边形分为几个三角形？这几个三 角形所有内角之和与四边形内角之和有什么关系？ E D C D A C A B B （第 9（1）题） （第 9（2）题） （2）五边形ABCDE中，过顶点A最多能引几条对角线？它们将五边形分为几个三角 形？这几个三角形所有内角之和与五边形内角之和有什么关系？ （3）过n边形的任意一个顶点最多可引几条对角线？它们将n边形分为几个三角形？ 这几个三角形所有内角之和与n边形内角之和有什么关系？由此你能得出n边形 内角之和的公式吗？试一试. 10. 四边形的边比三角形的边多了一条，内角和多了多少度？五边形的边比四边形的边 多了一条，内角和多了多少度？由此可以推测，多边形的边每多一条，内角和多了多 少度？说明你的理由. 147第13章 平面图形的认识 13.3 圆 观察与思考 圆 桌 车 轮 轴 承 图 13-28 （1）在图13-28中有许多圆的形象，你还能举出圆的几个实例吗？ （2）你能说明用圆规画圆的道理吗？除了可以用圆 规画圆之外，你还有其他画圆的方法吗？用你知道的方 法画圆，体会圆是怎样画出来的. A O 如图13-29，在平面内线段OA绕固定的端点O旋转 一周，另一个端点A所描出的封闭曲线叫做圆（circle）. 点O叫做圆的圆心（center of a circle），连接圆心和圆 图 13-29 上任意一点的线段叫做半径（radius）. 以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆 O”；线段 OA是⊙O的一条半径. （3）一个圆有多少条半径？对于同一个圆来说，这些半径的长相等吗？为 什么？与同学交流. 实验与探究 画一个半径为5厘米的⊙O，在⊙O上任意取A，B两点，连接OA，OB. （1）OA与OB的长分别是多少？ （2）如果OC = 5厘米，你能说出点C的位置吗？ （3）如果M，N是平面内的两点，且OM = 7厘米，ON = 3厘米，你能分 14813.3 圆 别说出点M，N与圆的位置关系吗？ （4）观察图13-30，平面内的点与圆有几种位置关系？ 在平面内，点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内. 例如图13-30中，点 A 在圆外，点 B 在圆上，点 C 在圆内. A 点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径； 点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径； C O 点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径. B 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合. 图 13-30 （5）你能用集合语言描述圆的内部和外部吗？ ① 圆的内部是_______________________________________点的集合； ② 圆的外部是_______________________________________点的集合. （6）在⊙O上任取两点，用线段连接它们，所得到的线段叫做弦（chord）. 再画出一条经过圆心O的弦，它与⊙O的半径有什么关系？ 经过圆心的弦叫做直径（diameter）. 例如图13-31，C，D是⊙O上的两点，线段CD是 D C ⊙O的弦；弦AB过圆心O，它是⊙O的一条直径. 由于 A B OA，OB是⊙O的两条半径，O是AB的中点，因此在同 O 一个圆中，直径等于半径的2倍. 一个圆有无数条直径. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）， 图 13-31 用符号“⌒”表示. 以C，D两点为端点的圆弧记作CD，读作“弧CD”. 由于以 C，D为端点的弧有两条，为了加以区别，有时也用三个字母表示弧. 例如，在 图13-31中，ACD与ABD分别表示两条不同的弧. A C D 圆的一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧 都叫做半圆（semicircle）. 大于半圆的弧叫做优弧，小于 半圆的弧叫做劣弧. 一条弧和经过这条弧的端点的两条半 O 径所组成的图形叫做扇形（sector）. 例如，图13-32中的 B CBD 是优弧，弧 CAD 是劣弧，扇形OCBD和扇形OCAD 图 13-32 分别是由半径OC，OD与CBD和半径OC，OD与CAD组成的扇形. 149第13章 平面图形的认识 练 习 1. 已知⊙O的半径为8厘米， A为平面内的一点. 当OA符合下列条件时，分别指出点A 与⊙O的位置关系： （1）OA = 7.9厘米； （2）OA = 8厘米； （3）OA = 8.01厘米. 2.（1）圆的一条弦所对的弧有几条？ （2）在图13-31中有几条弧？哪些是优弧？哪些是劣弧？ 交流与发现 观察图13-33的两幅图片. ① 硬 币 ② 环形靶 图 13-33 （1）图①中，同一币值的两枚硬币的边缘都是圆. 把其中的一枚硬币放到 另一枚硬币上，这两个圆能重合吗？ （2）图②是一个练习射击用的环形靶，它是由若干个圆组成的. 这些圆的 圆心和半径有什么特点？与同学交流. 能够重合的圆叫做等圆. 如图13-34，⊙O 和⊙O 是等圆. 圆心相同、半径 1 2 不等的圆叫做同心圆. 如图13-35，r > r ，半径分别是r 和r 的两个圆都以点O 1 2 1 2 为圆心，它们是同心圆. r r r 1 r 2 O O O 1 2 图 13-34 图 13-35 15013.3 圆 （3）用圆规分别画出两个等圆和两个同心 圆. 画等圆和画同心圆有什么不同？ 等圆的半径相等，只是圆心的位置不同. （4）你见过国际奥委会的会徽吗（图13- 36）？会徽上的五个圆是等圆吗？你还能举出生 图 13-36 奥运五环会徽 活中等圆的实例吗？ 例1 两个同心圆之间的部分叫做圆环. 如果圆环中大圆的半径为r，小圆 r 的半径为 ，求圆环的面积. 2 解 圆环的面积等于大圆面积与小圆面积的差，所求圆环的面积为 r 3 πr2 - π（ ）2 = πr2. 2 4 例2 （1）用长度分别为1米和2米的两根绳子围成两个同心圆，这两个 圆半径之差是多少？ （2）把地球的赤道近似地看做一个圆. 如果环绕地球赤道有一个圆，它的周 长比赤道的周长多1米，这两个同心圆半径之差是多少？想想看，两圆之间能 伸进你的拳头吗？ 1 解 （1）1米长的绳子围成的圆的半径为 米，2米长的绳子围成的圆 2π 2 的半径为 米. 所以，两个同心圆的半径之差为 2π 2 1 1 － = ≈ 0.159（米）. 2π 2π 2π （2）设地球的半径为r，因为赤道与环绕赤道的圆是两个同心圆，所以这两 个圆半径之差为 2πr + 1 1 1 － r =（r + ）－ r = ≈ 0.159（米）. 2π 2π 2π 一个成年人的拳头高约 8厘米，所以两圆之间能伸 太奇妙了，（1）（2）两 进一个人的拳头. 题的答案竟然都是0.159米. 151第13章 平面图形的认识 挑战自我 （1）如图13-37，将一枚半径为r的硬币沿一条直线从点 M 出发，滚动一 周，到达点 N . 线段 MN 的长是多少？硬币的圆心走过的路程是多少？ M M N 硬币B 硬币A 图 13-37 图 13-38 （2）如图13-38，取两枚半径都为r的硬币A，B，平放到桌面上，将硬币 A固定，硬币B从硬币A的边缘上的一点M出发，沿硬币A的边缘滚动一周， 回到原来的位置. 硬币B的圆心走过的路程是多少？在滚动时硬币B转了几周？ 练 习 1. 你能用图形表示“平面内到点A的距离大于2厘米而小于3厘米的点的集合”吗？ 2. 如果⊙A的周长是⊙B的周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B的面积的几倍？ 习题13.3 复习与巩固 1. 在△ABC中，AB = 3厘米，BC = 4厘米，CA = 5厘米. （1）以点A为圆心，以3厘米长为半径画圆，确定点 B，C与⊙A的位置关系； （2）以点A为圆心，以4厘米长为半径画圆，确定点 B，C与⊙A的位置关系； （3）以点B为圆心，以4厘米长为半径画圆，确定点 A，C与⊙B的位置关系. 2. 早在2 000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读 yu1n），一中同长也.”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合. 其 中，定点是________________，定长是________________. 152回顾与总结 3. A，B两点的距离为4厘米. 用图形表示具有下列 性质的点的集合，并指出它们是怎样 的图形： （1）到点A的距离等于3厘米的点的集合； （2）到点B的距离等于3厘米的点的集合； （3）到A，B两点的距离都等于3厘米的点的集合； （4）到A，B两点的距离都不大于3厘米的点的集合. 4. 以一个定点为圆心，可以画__________个圆，它们是_________；以一条已知线段为 半径画圆，可以画__________个圆，它们是__________；以一个定点为圆心，以一条 已知线段为半径，可以画__________个圆. 5.（1）已知圆的周长为4π，求它的面积； （2）已知圆的周长为c，求它的面积. 6. 在半径为R的圆形工件中截去一个圆孔，剩余面积是圆孔面积的3倍，求圆孔的半径. 拓展与延伸 7. 如图，正方形的边长为2，分别以正方形的两个相对顶点为圆心， 以正方形的一边为半径画弧. 求蓝色图形的面积. 8. 小亮家距学校10千米，小莹家距小亮家3千米. （1）如果小亮家、小莹家、学校在同一条直线上，那么小莹家距 学校多少千米？ （第 7 题） （2）如果小亮家、小莹家、学校在同一平面内，那么小莹家与学校的距离在什么范围 内？你能画一个图形表示出来吗？ 探索与创新 9. 在同一个圆中，画出一条直径与任意一条不过圆心的弦，比较它们的长短，你会得到 什么结论？请说明理由. 回顾与总结 1. 本章学习的主要内容是什么？总结一下，与同学交流. 2. 你会对三角形进行分类吗？分类的依据是什么？ 3. 三角形的三边之间具有怎样的数量关系？如果 a，b，c 是三条线段，且 a + b > c，它们 能组成三角形吗？ 4. 三角形中有哪些主要线段？本章中你学过这些主要线段的哪些性质？这些主要线段有 153第13章 平面图形的认识 哪些相同点和不同点？ 5. 三角形的内角和是多少度？怎样用它推导出多边形的内角和公式？ 6. 什么是三角形的外角？三角形的外角有哪些性质？ 7. 多边形的外角和与它的边数有没有关系？多边形的外角和公式是怎样得出的？ 8. 什么是正多边形？正n边形的每一个内角是多少度？ 9. 圆是一种怎样的几何图形？如何确定平面内的一个点与圆的位置关系？什么叫做弧、 弦、等圆？等圆与同心圆有什么不同？ 综合练习 复习与巩固 1. 选择题： （1）在三角形的三个外角中，钝角的个数最多是（ ）. （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 （2）一个多边形的内角和不可能是（ ）. （A）1 800° （B）1 260° （C）1 080° （D）5 100° 2. 填空题： （1）在△ABC中，如果∠A + ∠B = 2∠C，那么∠C A D E 的度数是 __________________； （2）如图，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E的度数是 __________________ . 3. 下面的说法中哪些是正确的？ B C （1）三角形中最小的锐角不能大于60°； （第 2（2）题） （2）三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和； （3）三角形任意两个内角的和大于第三个内角； （4）直角三角形只有一条高； （5）在同圆中任意两条直径都互相平分； 1 （6）三角形一边上的高小于这个三角形的其他两边. 4. 已知等腰三角形两边的长分别是7厘米和8厘米， 3 求它的周长. 2 5. 如图，已知∠1 = 80°，∠2 = 140°，求∠3 的度数. （第 5 题） 154回顾与总结 6. 一个多边形各个内角的度数的平均数是135°，这是一个几边形？ 7. 如图，线段AC与BD相交于O点，连接AB，CD. ∠A +∠B与∠C +∠D有什么数量 关系？说明理由. B A O D C （第 7 题） （第 8 题） 8. 如图，正方形与正六边形的边长都是1，圆的半径也是1，长度分别等于它们周长的 三条线段能组成一个三角形吗？ 9. 如图，AD是△ABC的角平分线，∠C = ∠ADC，∠B = ∠BAD. 求△ABC各内角的度 数. A D E C B C D A B （第 9 题） （第 10 题） 10. 如图，在五边形ABCDE中，∠A = ∠B，∠BCD =∠DEA，并且∠CED =∠ECD. 你 能判定AB与EC平行吗？为什么？ 拓展与延伸 11. 如图，在△ABC中，D，E是边BC上的两点，∠B =∠EAC，∠ADC = ∠DAC. AD平 分∠BAE吗？说明理由. A A D E F B D E C B C （第 11 题） （第 12 题） 12. 如图，在△ABC中，∠ABC = ∠ACB = 2∠A，BD是∠ABC的平分线，交AB边上的 高CE于点F. 求∠BFC的度数. 155第13章 平面图形的认识 13. 如图，在下列各方格纸中，每个小正方形的边长都是1，分别以小正方形顶点的连 线为边作面积为2的多边形（包括凹多边形）. 请尽可能多地找出不同的答案. （第 13 题） D 14. 如图，∠B = 90°，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求∠D的度数. 1 探索与创新 A 2 15.（1）如果从五边形的每个顶点都引出所有对角线，重合的对 3 角线算作一条，那么五边形共有几条对角线？ 4 B C （2）如果从每个顶点都引出所有对角线，重合的对角线算作 （第 14 题） 一条，那么n边形共有几条对角线？ 16. 如图，正方形的边长是 4 厘米，以各边为直径分别画 4 个半圆. 求所得到的四叶形图 案的面积. 17. 如图，把一个三角尺的直角顶点 D 放置在△ABC内，使它的两条直角边DE，DF分 别经过点B，C. 如果∠A = 30°，那么∠ABD +∠ACD是多少度？ A D C B E F （第 16 题） （第 17 题） 156多边形的密铺 综合与实践 多边形的密铺 图1是用瓷砖拼铺的房屋外墙面或地面的图样. 你见过类似的图案吗？ 观察图1中的两个图案，思考下面的问题： （1）这些图案分别是用什么形状的瓷砖拼成的？ （2）在每一个图案中，找出其中的一块瓷 砖，把它看成一个多边形，它的每条边与相邻 的多边形有怎样的关系？ （3）在每一个图案中，分别找出一个多边 形的顶点，它还是周围哪几个多边形的顶点？ ① ② 像这样，由若干个多边形既无空隙、又不 图 1 重叠地拼接，将平面完全覆盖，称为多边形的密铺. 实验与探究 两人一组，完成下面的活动： （1）用硬纸板分别剪出边长都是3厘米的正三角形、正方形、正五边形、 正六边形纸板各若干个. （2）仿照图1给出的图样，用你剪出的正三角形和正六边形纸板分别进行 密铺. （3）能只用正方形纸板进行密铺吗？ （4）分别观察你拼成的密铺图案，你发现以一个多边形的顶点为公共顶点 的各个角的和是多少度？ 密铺时，多边形的每条边都是该多边 形与相邻多边形的公共边，每个顶点处各 内角之和是360°. 157综合与实践 （5）只用正五边形纸板能进行密铺吗？试一试. （6）用同样大小的正多边形拼接时，为什么单独用正三角形、正方形或正 六边形都可以进行密铺，而单独用正五边形却不能密铺？ 用多边形拼接图案，只有当以任何一个公共顶点为顶点的各个角恰好能拼 成一个周角时，才有可能做到既无空隙又不重叠. 用同一种正多边形拼接图案 时，由于正三角形、正方形、正六边形的每个角依次是60°，90°和120°，所以 在这些多边形的任何一个顶点处，分别用6个正三角形、4个 正方形或3个正六边形的角都可以拼成一个周角. 正五边形的 每个角是108°，而108不能整除360. 如果用3个正五边形拼 接，必有两个正五边形之间留有空隙（图2）；如果用4个正 五边形拼接，必有两个角的一部分相互重叠. 因此单独用正五 图 2 边形不能密铺. （7）除了上述三种正多边形外，还有没有其他的正多边形，只用同样大小 的这种正多边形就可以进行密铺？ 当n>6时，正n边形的每个角大于 120°，小于180°，其度数不能整除360， 所以只用一种这样的正多边形不能密铺. 交流与发现 只用一种形状和大小都相同 的任意四边形能进行密铺吗？ （1）我们知道，用大小相同的正方形可以密铺，用形 状和大小都相同的长方形可以密铺吗？用形状和大小都相 同的平行四边形呢？画一画，试一试. （2）图3是只用一种形状和大小都相同的四边形密铺 而成的图案. 只用一种形状和大小都相同的任意四边形都能 密铺吗？用硬纸片任意裁出形状和大小都相同的四边形若 图 3 158多边形的密铺 干个，试一试. 这时，除考虑在公共顶点处要拼成一个周角外，还应当注意些什 么？由此你能得出什么结论？ 因为四边形的内角和等于360°，并且在 拼接时，可以将两个四边形相等的两条边作 为公共边，所以任意四边形都可以密铺. （3）图4是一个画在方格纸上的四边形，你会只用这种四边形进行密铺吗？ 试试看. 用硬纸片剪一个图4所示的四边形作为模板，在图5的方格纸上画出你的设 计，并与同学交流. 图 4 图 5 （4）用硬纸片剪出若干个形状和大小都相同的任意三角形，用这样的纸片 能进行密铺吗？为什么？ 先用两个三角形中任意两条相等的边作 为公共边，拼成一个四边形. 因为用形状和 大小都相同的四边形能密铺，所以用形状和 大小都相同的三角形也能密铺. 159综合与实践 观察与思考 （1）观察图6和图1，这两种密铺方式有什么不同和相同？每个图案是由 哪几种正多边形密铺而成的？在图6的每个图案中，各个正多边形的边长有什 么关系？ ① ② ③ 图 6 图6 ①②③都是用正三角形和正方形这两种多边形密铺的，你能说出这三 种密铺方式有什么不同吗？你能用这两种正多边形设计出其他的密铺图案吗？ 试一试. （2）我们知道，只用正八边形不能 密铺. 如果用边长相等的正八边形和正方 形，能密铺吗？ （3）观察图7和图8. 它们是同一种 图 7 图 8 密铺图案吗？为什么？ （4）观察图9中的几个图案，它们分别是由哪几种正多边形密铺而成的？ 请你用同样的正三角形和与正三角形边长相等的正六边形设计密铺图案，与同 学交流. ① ② ③ ④ 图 9 （5）再设计几个用不同的正多边形密铺的图案，并在全班展示. （6）你能围绕正多边形的密铺问题，作进一步的探索吗？就你的研究过程 和结果写成一篇小论文，并在班内交流. 160多边形的密铺 智趣园 课外活动时间，学校足球场热火朝天. 七年级的同学们聚在一起，热烈地谈论着刚 才的足球比赛. 小莹忽然想起：“这黑白相间的足球真吸引人，它的黑块和白块各有多 少呢？” 大家围着一个足球仔细地观察，发现黑块是球面正五边 形，白块是球面正六边形. 大家好不容易查清了黑块共 12 块 （图 10），白块的个数就不容易数清了. 一会儿，小亮先想出了一个办法：在白块上分别贴上带有 1，2，3，⋯的标签，就容易查清了！ 很快地，小莹也想出了另一个解决的方法：设有n个白块 图 10 足 球 正六边形，因为每个白块正六边形都有3条边是它与黑块正五边形的公共边，足球上 所有这样的公共边共有3n条. 而12个黑块正五边形共有60条边，于是3n = 60，解得n = 20，所以白块正六边形共有20个. 小莹的结论对吗？ 习题 复习与巩固 1. 只用一种正多边形密铺时，如果每个顶点处有3个这种正多边形相拼接，那么这种正 多边形是正几边形？ 2. 请分别用如图所示的三种梯形纸片进行密铺，与同学交流. 60° 45° 60° 60° 60° ① ② ③ （第 2 题） 拓展与延伸 3. 我们知道，只用同样大小的正五边形不能密铺. 那么，正五边形与其他正多边形组合有密 铺的可能吗？用同样大小的正五边形与同样大小的顶角为36°的等腰三角形组合能进行 密铺吗？如果你认为可能密铺，请画出图形；如果你认为不可能密铺，请说明原因. 161第14章 位置与坐标 162163第14章 位置与坐标 14.1 用有序数对表示位置 观察与思考 思考下面的问题： （1）在体育课上，全班48人站成一行，怎样表示某个同学所处的位置？ （2）如果48人站成了6行8列（图14-1），你能分别说出队列中小亮和小 莹所在的位置吗？ 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第7列 第8列 第6行 第5行 小亮 第4行 第3行 小莹 第2行 大刚 第1行 图 14-1 在图14-1中，小亮的位置是第5行第3列，小莹的位置是第3行第5列. 为 了说明小亮的位置，用了5，3一对数. 为了说明小莹的位置，用了3，5一对 数，这里数对5，3和3，5所表示的实际意义不相同，在这两对数中，每个数 的出现都是有先后顺序的. 为了分别表示二人的位置，把小亮的位置记作（5， 3），把小莹的位置记作（3，5）. 像这样，一对有顺序的数叫做一个有序数对 （ordered pair）. （3）你能用一个有序数对表示出图中大刚的位置吗？ （4）如果下列位置上的同学是学校田径队的队员： （6，1），（2，2），（1，8），（5，4），（3，6）. 16414.1 用有序数对表示位置 你能在图14-1中分别标出这些同学所处的位置吗？ 这里，一个有序数对表示队列 中一个同学的位置；反之，一个同 学的位置可以用一个有序数对表示. （5）在地图上和现实中，每个城市、山峰、岛屿、船只等的地理位置都可 以用它所处地点的（经度，纬度）这样的有序数对表示，例如，北京的位置是 东经 116.46 度，北纬 39.92 度，可以记为（东经 116.46°，北纬 39.92°）. 你能用 这种方法表示你所在市的位置吗？ （6）日常生活中还有哪些用有序数对表示位置的例子？你能举出一个来吗？ 交流与发现 图14-2是在一张方格纸上绘出的时 代中学的校园平面图. 图中每个小正方形 学生宿舍 的边长为 1 个单位长度. 教学楼 （1）如果用有序数对（0，0）表示办 实验楼 公楼的位置，（0，-2）表示校门的位置， 北 （3，0）表示体育馆的位置，你能根据有 办公楼 体育馆 序数对（0，-2）和（3，0），说明校门 阶梯教室 校门 和体育馆相对于办公楼的位置吗？ 图 14-2 （2）有序数对（-4，-1）表示图中 哪座建筑物的位置？其他几座建筑物的位置又怎样表示呢？ （3）如果图中的横线和纵线表示校园中的道路，你能根据有序数对（0，0） 和（-4，-1）说出如何由办公楼前往阶梯教室吗？你还能说出如何由办公楼前往 学生宿舍吗？ （4）在图14-2中，如果把图的左下角标上数字0，然后从左到右每条竖直 线依次标上数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，自下而上每条水平线标 上字母A，B，C，D，E，F，G，H，I，便可得到图14-3. 这样，校园内每座建 筑物也可以用数字和字母表示出来. 例如，办公楼可表示为（6，B）. 你能用这 种方法表示出校园内其他建筑物的位置吗？ 165第14章 位置与坐标 I H 平面内点的位置的表示 学生宿舍 G 方法可以是多种多样的. F 教学楼 E 实验楼 D C 办公楼 体育馆 B 北 A 阶梯教室 校门 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 图 14-3 练 习 1. 在生活中可用有序数对表示的例子很多. 例如，7年级2班可以记作（7，2），开始上 m 课的时间8时10分，记作8：10；数学中的分数 ，也可记作（m，n）. 你还能举 n 出生活中和数学中，可用有序数对表示的例子吗？ 习题14.1 复习与巩固 1. 在如图所示的方格纸中，如果用（1，1）表示点A的位置，用 （3，1）表示点B的位置，那么 C （1）图中点C的位置可以表示为（ ）； （2）如果点A，B，C是一个正方形的三个顶点，那么正方形的 A B 第四个顶点的位置可以表示为（ ）； （第 1 题） （3）如果点B的位置用（0，0）表示，那么点A的位置可以表示为（ ），点C的位 置可以表示为（ ）. 2. 如图，A表示渤海一路与黄河三路的交叉 渤 渤 渤 渤 路口，记作（1，3）；B表示渤海三路与黄 黄 河 四 路 海 海 海 海 河一路的交叉路口，记作（3，1）. 如果用 A 黄 河 三 路 （1，3）→（2，3）→（3，3）→（3，2） 一 二 三 四 黄 河 二 路 →（3，1）表示由A到B的一条路径. 路 路 路 路 （1）请你在图中画出这条路径； 黄 河 B 一 路 （2）用上面的方式写出由A到B的另外一条路径： （第 2 题） 16614.1 用有序数对表示位置 （1，3）→（ ）→（ ）→（ ）→（3，1）； （3）设计一条由A经过（4，4）到B的路径. 拓展与延伸 3. 如图，在围棋盘上有四枚棋子，如果黑棋 的位置用有序 数对（0，-1）表示，黑棋 的位置用有序数对（-3，0） 表示. 那么白棋③④的位置分别应当如何表示？ 4. （1）某次考试按下述方式安排考场：从第1列的第1行开始 依次编号（如图）. 考生单人单桌，按考号入座. 小莹的 考号是13，小亮的考号是24，在图中分别标出他们的 （第 3 题） 座位 ； （2）如果用（a，b）表示考场内座位的位置， 第1列 第1行 1 其中a，b分别表示座位所在的行和列，那 第2行 2 11 么小莹的位置是（ ），小亮的位置是 3 10 （ ）； 4 9 （3）如果由你来安排考场，你喜欢用考号还是 5 8 用（2）中的方法布置考场？说说你的看法. 6 7 （第 4 题） 探索与创新 5. 如图是某剧场平面示意图. 坐席分A，B，C，D，E五个区，每区各10排，第1排均为6 个座位；从第2排开始，每排比前一排多出1个座位. 剧场的入场券上用1个字母和有 顺序的2个数分别表示座位位于哪一区、第几排、第几号. C B D A 10 9 E 8 7 6 5 4 3 2 11 2 3 4 5 6 舞台 出口 出口 （第 5 题） （1）小亮坐在B区、倒数第3排右数第2个座位上，那么他位于B区的几排几号？ （2）小莹的入场券上标明的一个字母和两个数依次为C，6，8. 她走出剧场时应当选 择哪个出口？走哪条过道最近？在上图中把它画出来. 167第14章 位置与坐标 14.2 平面直角坐标系 观察与思考 （1）如何确定一个点在一条已知直线上的位置？ 我们可以把这条直线看做一条数轴，即在这条直线上选定一个点作为原点， 规定直线的一个方向为正方向，选取适当的长度为单位长度，利用这个点在数 轴上表示的数，刻画该点的位置. （2）如何确定一个点在平面内的位置呢？ 我们已经知道平面内的点的 位置可用有序数对来刻画，能利 用两条数轴解决这一问题吗？ 如图14-4，在平面内画出两条互相垂直而且有公共原点的数轴，水平 的一条叫做x轴（x - axis）或横轴，习惯上取向右的方向为正方向，铅直的 一条叫做y轴（y - axis）或纵轴，取向上的方向为正方向，这样就组成了平 面直角坐标系（rectangular coordinates in two dimensions），简称直角坐标系. x轴与y轴统称坐标轴，它们的公共原点叫做坐标原点，简称原点，一般用O 表示. 在直角坐标系中，x轴和y轴把平面分为 四个部分（图14-4）：位于原点右上方的部分 叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依 次叫做第二象限、第三象限和第四象限. 坐标 轴上的点不在任何一个象限. 建立了直角坐标系后，我们可以用下面的 方法确定点在平面内的位置. 例如，A是直角坐 标系中第二象限内的一个点（图14-5），过点 图 14-4 16814.2 平面直角坐标系 A分别作x轴与y轴的垂线，垂足M 在x轴上所表示的数为-2，垂足N在y轴上 所表示的数是3. 我们就说点A的横坐标是-2、纵坐标是3. 有序数对（-2，3） 叫做点A的坐标（coordinate），记作A（-2，3）. 原点的坐标记作（0，0），M 点的坐标记作（-2，0），N点的坐标记作（0，3）. 在表示一个点的坐标的 括号内，横坐标要写在纵坐 标的前面，中间用逗号隔开. 图 14-5 （3）你能用上面的方法，写出图14-6中A，B，C，D，E，F各点的坐标吗？ A（3，1），B（0，3）， C（-3，2），D（-2，0）， E（-2，-3），F（2.5，-3）. 图 14-6 利用坐标就可以确定一个点在直角坐标系中的位置了. （4）在直角坐标系中，已知一个点的坐标是（a，b），怎样描出这个点？与 同学交流. 根据这个点的横、纵坐标，分别在x 轴、y轴上找出坐标是（a，0），（0，b） 的点，过这两个点分别作所在坐标轴的垂 线，它们的交点就是所求的点. 169第14章 位置与坐标 例1 在直角坐标系中描出下列各点，并分别 指出它们在直角坐标系中的位置： A（-3，2），B（4，-1），C（-2，-3.5）， D（1，3），E（3，0），F（0，-2）. 解 所描各点如图14-7所示. 点A在第二象 限内，点B在第四象限内，点C在第三象限内，点 D在第一象限内. 点E在x轴上原点的右侧，点F在 图 14-7 y轴上原点的下方. 交流与发现 观察图14-6、图14-7中各点的位置和它们的 横、纵坐标的符号，你发现直角坐标系中，x轴及y （-，+） （+，+） 轴上点的横、纵坐标有什么规律？各个象限内点的 横、纵坐标的符号有什么规律？与同学交流. 直角坐标系中，x轴上各点的纵坐标都为0，y （-，-） （+，-） 轴上各点的横坐标都为0. 各个象限内点的横、纵坐 标的符号，可用图14-8表示. 图 14-8 史海漫游 坐标法的奠基人——笛卡儿 笛卡儿（Descartes，1596－1650），法国哲学家、数学家、 物理学家，解析几何学的奠基人之一. 他认为数学是其他一切科 学的理论和模型，提出了以数学为基础的、以演绎为核心的方 法论，对哲学、数学和自然科学的发展起到了巨大的推动作用. 笛卡儿从小就养成了喜欢安静和善于思考的习惯. 1612年他 以优异成绩从中学毕业，后来到普瓦捷大学攻读法学，四年后 获博士学位. 为了“读世界这一本大书”，他投笔从戎，游历欧 笛卡儿 17014.2 平面直角坐标系 洲，后来移居荷兰. 在荷兰长达20多年的时间里，笛卡儿对哲学、数学、天文学、物理 学、化学和生理学等领域进行了深入的研究. 在数学方面，笛卡儿对代数方程理论的发 展作出了重要贡献. 据说笛卡儿在一次患病时，躺在床上思考问题，偶然发现有一只蜘蛛在墙角上下前 后运动，吐丝结网，由此启发他研究如何用坐标刻画平面内点的位置. 1637年，笛卡儿编 著出版了《几何学》，书中把平面内的一个点与一对有序数联系起来，改变了自古希腊 以来代数与几何分离的倾向，把“数”与“形”统一起来，使几何曲线与代数方程相结 合，从而创立了数学的一个重要分支——解析几何学. 笛卡儿的这一天才创见，为微积分 的创立奠定了基础，使数学由常量数学进入到变量数学的广阔领域. 笛卡儿是17世纪欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的 始祖”. 练 习 1. 如图，在直角坐标系中： （1）写出A，B，C，D，E，F，O各点的坐标. （2）在以上各点中，找出横坐标为0的点，这 些点的位置有什么特点？ （3）在以上各点中，找出纵坐标为0的点，这 些点的位置有什么特点？ （4）在以上各点中，纵坐标为3的点有哪几个？ 连接这几个点的直线与 x 轴有什么位置关 （第 1 题） 系？ 2. 分别说出点A（6，2），B（-3，-1），C（-2，4），D（2，-4）在直角坐标系中所在 的象限，并在坐标系中分别描出这些点. 习题14.2 复习与巩固 1. 点P（-2，3）在第几象限内？它到x轴和y轴的距离分别是多少？点 （3，-2）呢？ 在直角坐标系中，分别描出它们. 171第14章 位置与坐标 2. 在直角坐标系中，如果一个点的纵坐标与横坐标同号，它可能在第几象限？如果一个 点的纵坐标与横坐标异号，它可能在第几象限？如果至少有一个坐标是0呢？ 3.（1）如果点P（a，b）在第二象限，那么a与b分别是正数还是负数？ （2）如果a＞0，b＜0，那么点A（a，b）在第几象限？点B（b，a）在第几象限？点 C（-a，b）在第几象限？ 4. 填空： （1）在y轴上，到原点的距离为2的点的坐标是_________ ； （2）在直角坐标系中，点A（a，0）的位置在 _________ ； （3）如果点P（a，b）在第三象限，那么点 （-a，-b）在第_________象限； （4）如果点P（m - 3，2 + m）在x轴上，那么点P的坐标是_________ . 拓展与延伸 5.（1）在直角坐标系中，经过点A（-2，0）画平行于y轴的直线，这条直线上的点的 坐标有什么特点？ （2）在直角坐标系中，经过点B（-2，-1）画平行于x轴的直线，这条直线上的点的 坐标有什么特点？ 6. 对于二元一次方程3x + 2y = 1，写出它的5个解. 分别以每一个解中的x值为点的横 坐标、y值为点的纵坐标，在直角坐标系中描出这些点. 你发现这些点的位置的分布 有什么规律？ 14.3 直角坐标系中的图形 交流与发现 y 6 5 A （1）在直角坐标系中分别描出下列各点： 4 3 A（3，4），B（5，2），C（4，2），D（4， 2 G B F C 0），E（2，0），F（2，2），G（1，2）. 1 E D （2）顺次连接点A，B，C，D，E，F，G，A. x O 1 2 3 4 5 6 你得到一个怎样的图形（图14-9）？ 图 14-9 17214.3 直角坐标系中的图形 简单图形的各顶点坐标确定后，它 在直角坐标系中的位置也就确定了，可 以用它的各个顶点的坐标刻画这个图形. 例1 在如图14-10所示的直角坐标系中， y D A（3，1） 正方形ABCD的各边都分别平行于坐标轴. 已知点A x 的坐标是（3，1），正方形的边长是5，写出点B的 O 坐标. 解 由点A的横坐标为3，可知点A到 y 轴 C B 的距离为3，因为AB平行于y轴，所以点B到y轴 图 14-10 的距离也为3，且点 B 在y轴右侧，因此点B的横坐标是3. 由点A的纵坐标为1，可知点A到 x 轴的距离为1. 因为AB的长为5，点B到 x轴的距离为5－1 = 4，且点B在x轴下方，所以点B的纵坐标是－4，因此点B 的坐标为（3，-4）. 你能写出点C和点D的坐标吗？试一试. 例2 如图14-11，在直角坐标系中： （1）写出△ABC各顶点的坐标； （2）求△ABC的面积. 解 （1）由图14-11可以看出，△ABC 各顶点的坐标是： 图 14-11 A（-2，-2），B（3，-2），C（0，2）. （2）由（1）可知， A，B 两点的纵坐标相 小资料 等，都是 -2，所以线段 AB 平行于 x 轴，从而 利用直角坐标系可以把 AB⊥y轴. 数与图形有机地结合起来， 在△ABC中，点A，B分别在y轴的两侧， 有利于用代数方法研究几何 且到y轴的距离分别为2和3，所以AB = 5. 由 问题，也有利于借助图形直 于点C在y轴上，纵坐标为2，y轴垂直于线段 观地探索数量关系的规律性. 173第14章 位置与坐标 AB，从而可知点C到边AB的垂线段的长为4，即底边AB上的高为4. 1 所以，△ABC的面积 = × 5 × 4 = 10. 2 智趣园 直角坐标系中三角形面积的计算 如图14-12，在直角坐标系中，有一个红色的三 角形，三个顶点坐标分别为（4，7），（1，1），（8，3）. 怎样利用它们的坐标计算这个三角形的面积呢？ 可以用下面两种方法： 方法1 如图14-13，画出如图所示的长方形， 将长方形面积减去三个黄色三角形的面积. 方法2 如图14-14，将原三角形分割为两个三 角形，一个是紫色的，一个是棕色的. 它们有公共的 图 14-12 底边，它们的高可以从图上看出. 图 14-13 图 14-14 请你用上面两种方法分别计算这个三角形的面积. 你还有其他的方法吗？ 练 习 1. 在同一直角坐标系中分别描出下列各点： A（0，2），B（1，1），C（2，2），D（3，0），E（-3，0），F（-2，2）， G（-1，1），A（0，2）. 将各点顺次连接起来，观察这个图形，你觉得它像什么？ 17414.3 直角坐标系中的图形 2. 在同一直角坐标系中分别描出下列各点，然后将各组中的点顺次连接起来： （1）（1，1），（6，1），（6，8），（1，8），（1，1）； （2）（－2，－2），（3，－2），（3，5），（－2，5），（－2，－2）. 你得到两个什么样的图形？从中你发现了什么？ 观察与思考 如图14-15，有一个长方形的儿童游泳池，南北长50米，东西宽20米. 小 亮在游泳池的西北角上，小莹恰好游到游泳池的中心. 你能适当地建立直角坐标 系，利用长方形游泳池的各个顶点坐标，刻画这个长方形的形状和大小，并描 述小亮和小莹的位置吗？ （1）以游泳池的西南角为原点，经过原点的东西方向的直线为x轴，向东 的方向为x轴的正方向；经过原点的南北方向的直线为y轴，向北的方向为y轴 的正方向，用1米为单位长度，建立直角坐标系（图14-16）. 你能说出长方形游 泳池另外三个顶点的坐标吗？小亮、小莹所在位置的坐标分别是什么 ？ y 50 小亮 小亮 40 我所在位置的 坐标是（0，50）！ 30 小莹 小莹 25 20 我所在位置的坐 10 标是（10，25）！ x 20米 O 10 20 175 米05 图 14-15 图 14-16 （2）以小莹所在的位置为原点，经过原点的东西方向的直线为x轴，向东 的方向为x轴的正方向；经过原点的南北方向的直线为y轴，向北的方向为y轴 的正方向，用1米为单位长度，建立直角坐标系（图14-17）. 你能说出长方形 游泳池的四个顶点的坐标吗？小莹、小亮所在位置的坐标分别是什么？第14章 位置与坐标 y 小亮 25 20 我所在位置的坐 10 标是（0，0）！ 小莹 - x -10 O 10 -10 我所在位置的坐 -20 标是（-10，25）！ -25 图 14-17 （3）由（1）（2），你是否发现同一个简单图形的顶点坐标在不同的直角坐 标系中会发生变化？如果告诉你在某个坐标系中一个长方形游泳池的四个顶点 坐标分别是（0，0），（0，-50），（20，-50），（20，0），通过这些顶点在坐标系 中的位置，你能说出这个游泳池的形状和大小，并描述它在坐标系中的位置吗？ （4）对于上述长方形游泳池中建立直角坐标系的问题，你还有哪些不同的 方法？画出你所建立的坐标系和长方形游泳池在坐标系中的位置，写出顶点坐 标. 在实际应用中，可以通过建立适当 的坐标系，以描述相关物体的位置. 挑战自我 如图14-18，在直角坐标系中，已知点O'的 y' y 坐标是（a，b）. 以点O′为原点，以经过点O′平 P 行于x轴的直线为x′轴，向右的方向为x′轴的正 （a，b） x' O′ 方向；以经过点O′平行于y轴的直线为y′轴，竖 x 直向上的方向为y′轴的正方向，单位长度相同， O 建立新的直角坐标系. 如果点P在原坐标系中的坐 标为（x，y），在新坐标系中的坐标为（x'，y'）， 图 14-18 那么x′与x，y′与y之间应分别满足什么关系？ 17614.3 直角坐标系中的图形 练 习 1. 画出一个边长为 5 厘米的正方形，选择两种直角坐标系，分别写出正方形各顶点的坐 标. 2. 在图14-2中，如果改为（0，0）表示校门的位置，这时校园内其他建筑物的位置各 用怎样的坐标表示？ 习题14.3 复习与巩固 1. 在同一个直角坐标系中描出下列各点，并分别将各组中两个点连接起来： ①（0，0），（2，0）； ②（0，1），（2，1）； ③（0，2），（2，2）； ④（0，0），（0，2）. 你得到的图案像哪个字母？去掉上面的哪一组点后可以得 到另一个字母？ D 2. 在如图所示的直角坐标系中，每个方格是边长为 1 的正方 A 形，点 A 的坐标是（0，2）. （1）分别写出B，C，D三个点的坐标 ； O C （2）将 A，B，C，D四个点顺次连接起来，如果点E的坐 B 标为（3，2），描出这个点，并说出点E是在四边形 （第 2 题） ABCD 的内部，还是外部. 3. 建立一个直角坐标系，使一个长 3 厘米、宽 2 厘米的长方形的顶点中有一个坐标为 （1，1）. 你有几种方法？ 4. 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（6，1），C（6，-5）. （1）求顶点D的坐标 ； （2）选择一个新的直角坐标系，使A，B，C 三点的坐标分别是（0，0），（4，0）， （4，-6）. 这时D点的坐标是什么？ 拓展与延伸 5. 在直角坐标系中， （1）已知A（0，0），B（4，2），C（2，5），求△ABC 的面积； 177第14章 位置与坐标 （2）已知A（0，0），B（9，0），C（7，5），D（2，7），求四边形 ABCD 的面积. 6. 如图，红十字标志是由五个边长都相等的正方形组成的. 试建立一个 直角坐标系，并选取红十字标志上的若干点，以便刻画这个图形的 红十字标志 形状和大小. 写出这些点的坐标. （第 6 题） 探索与创新 7. 在直角坐标系中描出以下各点： A （0，0），A （1，0），A （1，-1），A （-1，-1），A （-1，1），A （2，1）， 1 2 3 4 5 6 A （2，-2），A （-2，-2），A （-2，2），A （3，2），A （3，-3），A （-3，-3）. 7 8 9 10 11 12 顺次连接这些点，你发现了什么？按照上面各点中位于第三象限的点的规律，你能 写出A ，A ，A ，A 的坐标吗？ 100 101 102 103 14.4 用方向和距离描述两个物体的相对位置 观察与思考 除了可以用建立直角坐标系的方法描述物体的位置外，在实际应用中还有 没有描述物体位置的其他方法呢？ 图14-19是时代中学周边环境示意图. （1）从图中可以看出奥体中心位于学 B 少年宫 校的正东方向，到学校的距离约2.4千米. 这 就是说，我们可以学校为参照点，用相对于 F A E 水族馆 学校 新华书店 奥体中心 C 学校的方向和距离来描述奥体中心的位置. G 百花小区 类似地，你能以学校为参照点，分别描述新 H 购物广场 华书店和水族馆的位置吗？反之，你能分别 以新华书店和水族馆为参照点，描述学校的 图 14-19 位置吗？ 17814.4 用方向和距离描述两个物体的相对位置 （2）以学校为参照点，百花小区的位置应当怎样描述？与百花小区同一方 向的还有什么场所？如何才能区分它们相对于学校的位置？ 加油站 北 北偏东 A 在测量学中，被观测物体的方向除了用正南、 北偏西 25° 正北、正东、正西描述之外，还可用地球南北方向 B 57° 与观测者观测物体视线方向的夹角 α 的角度来表示 东 O （0°＜α＜90°）. 如图中A，B，C各点相对于观测 36° 者 O 的方向分别是北偏东25°、北偏西57°、南偏 C 南偏东 南偏西 西36°等（图14-20）. 图 14-20 （3）借助量角器和刻度尺，你能用方向和距离描述少年宫相对于学校的位 置吗？反之，你能描述学校相对于少年宫的位置吗？由此你发现了什么？ 少年宫在学校的北偏西32°的方向，到 学校的距离约1.7千米；反之，学校在少年 宫南偏东32°的方向，距离约 1.7 千米. 为什么表示方位的这 两个角都是32°？ 如图14-21，射线AN的方向是正北方向，射线BS的方向是 B N 正南方向，如果以A为参照点，点B的方向可用∠NAB 表示；以 点B为参照点，点A的方向可用∠SBA 表示. 因为AN∥BS，∠NAB和∠SBA是内错角， S A 所以 ∠NAB = ∠SBA. 图 14-21 描述平面上A，B两点的相对方位时，如果由A观测B的方向是北（南） 偏西（东）n°，那么由B观测A的方向是南（北）偏东（西）n°. 179第14章 位置与坐标 （4）借助于刻度尺和量角器，你能确定图14-19中购物广场相对于百花小 区的位置吗？少年宫与奥体中心相对于新华书店的位置呢？ 例1 如图14-22，某海岸救援中心接到海上一艘船的求救信号. 经测定， 该船方向是北偏东75°，距救援中心80千米. 请在图中标出遇险船只的位置. 该 船船员怎样描述救援中心的位置？ 解 如图14-22，过救援中心所在位置O画 N 出射线ON，方向是正北方向. 以O为顶点，ON为 始边，按顺时针方向用量角器画出∠NOP = 75°. 北 P 该船距救援中心的距离是80千米，依据图中给 M O 出的比例尺，换算为图上距离： 救援中心 1 80 000 × = 0.02（米）. 4 000 000 比例尺1∶4 000 000 图 14-22 在OP上截取线段OM，使OM = 2厘米. 点M就是图中遇险船只的位置. 该船船员观察救援中心的方向是南偏西75°，距离是80千米. 练 习 1. 如图，一只蜘蛛静候在蜘蛛网的中心. 当发现一只昆虫被蛛丝粘住时，它会本能地用 怎样的方式确定猎物的位置？ 2. 如图是A市与周围城市的示意图. 分别表示以A市为参照点时各城市的位置和A市相 对于各城市的位置. C B A D 北 E 比例尺1∶100 000 000 （第 1 题） （第 2 题） 180回顾与总结 习题14.4 复习与巩固 1. 取一张中国地图，借助量角器和刻度尺，用方向和距离近似地描述下列城市相对于北 京的位置和北京相对于这些城市的位置： （1）上海； （2）重庆； （3）沈阳； （4）乌鲁木齐. 2. 灯塔A在灯塔B的南偏东74°方向，与灯塔B的距离是4海里. 轮船C在灯塔B的正 东方向，在灯塔A的北偏东40°方向. 试画图确定轮船C的位置（用1厘米代表1海 里）. 3. 测量员沿着一块地的周围测绘时，先从点A向北偏东 75°方向走240米到点B，再从 B向北偏西20°方向走360米到点C，再从点C向南偏西65°方向走450米到点D，最 后从D回到A. 用1厘米表示60米，画出示意图，量出点A到点D的图上距离，并算 出A与D两点间的实际距离，以及从点D观测点A的方向. 拓展与延伸 4. 某渔船 8：00 从小岛出发向西航行，10：00 折向 90° 120° 60° 北航行，平均航速均为20千米 / 时. 当11：30 时该 150° 渔船航行到什么位置？请先画出航线示意图（比 D 30° A B 例尺1：1 000 000），然后量出渔船相对于小岛的 C 方向和距离. 180° 0° 1 探索与创新 2 210° 3 E 4 330° 5. 如图，在一台雷达的屏幕上的A，B，C，D， 5 240° 300° E各点处同时发现可疑目标. 如果你是一名雷达 270° 兵，你如何向上级报告各目标所在的位置（图中 （第 5 题） 的1个单位长度表示10千米）？ 回顾与总结 1. 本章学习的主要内容是什么？总结一下，并与同学交流. 2. 如何用有序数对表示平面内点的位置？ 181第14章 位置与坐标 3. 什么是平面直角坐标系？在直角坐标系中，如何根据坐标描出点的位置？如何由点的 位置写出它的坐标？ 4. 直角坐标系将平面分为几部分？各部分的名称分别是什么？各部分点的坐标有什么特 征？坐标轴上点的坐标有什么特征？ 5. 如何利用坐标描述一个简单的图形？ 6. 你体会到直角坐标系对于建立数与图形之间的联系有怎样的作用？ 7. 怎样用方向和距离描述平面内两个物体的相对位置？试举例说明. 8. 学过本章后，你有哪些收获和体会？与同学交流. 复习与巩固 1. 指出下列各点的横坐标和纵坐标，并按所在象限将它们进行分类： A（4，2），B（-2，2），C（3，1），D（-1，-3），E（-2，1），F（-2，-2）， G（2，3），H（4，-1）. 2. 在直角坐标系中描出下列各点，分别将各组中的点顺次连接起来，得到怎样的图形？ （1）（-1，-2），（-1，2），（1，2），（1，-2），（-1，-2）； （2）（1，0），（2，2），（3，0），（2，-2），（1，0）. 3. 如图，请用两种不同的方式建立直角坐标系，并用 坐标表示图形中各顶点的位置. 4. 在直角坐标系中，任意选定A，B两点，找出分别以 A，B的横坐标的平均数为横坐标、以A，B的纵坐 标的平均数为纵坐标的点C. 你发现A，B，C三点 的位置有什么关系？ 5 5. 填空： （1）如果点（a，-b）在第一象限，那么a ____0，b ____ 0（填“＞”或“＜”）； （2）如果点（a，b）在第一象限，那么点（-b，a）在第____ 象限； （3）如果点（a，b）在第二象限，那么点（b，-a）在第____象限； （4）如果点（a，b）在第四象限，那么点（-b，-a）在第____象限. 6. 如图，⊙O的半径r = 4，圆心O在直角坐标系的原点，⊙O与坐标轴分别交于点 A， B，C，D . 写出A，B，C，D各点的坐标. 182 3 5.3 综合练习 3.5 （第 3 题）回顾与总结 7. 如图，要在一个尺寸为80厘米×40厘米的长方形木板ABCD上钻一个圆孔，圆孔的 圆心为P，点P到AD的距离为30厘米，到AB的距离为15厘米. 建立适当的坐标系， 以10厘米为单位长度，分别写出圆心P及A，B，C，D各点的坐标. y B D C A C x O A B D （第 6 题） （第 7 题） 8. 学校位于小亮家北偏东30°方向，距离为300米；学校位于大刚家南偏东45°方向， 距离为400米. 用刻度尺和量角器，选择适当的比例尺画出学校和他们两人的家的位 置，并分别求出大刚家相对于小亮家的位置和小亮家相对于大刚家的位置. 拓展与延伸 9. 如图是某县的地图（局部），每个小方格的边长表示 3 公里. （1）借助刻度尺和量角器，描述各镇相对于城关镇的位置. 如果以C镇为参照点呢？ （2）分别以城关镇和C镇为坐标原点建立直角坐标系，写出各城镇的坐标. A镇 C镇 城关镇 B镇 北 D镇 （第 9 题） 10. 在直角坐标系中，有A（-2，3），B（2，-3），C（2，3），D（-2，-3）四个点. （1）哪个点与点F（-3，4）连接的线段与x轴、y轴都不相交？ （2）哪个点与点F连接的线段只与x轴相交，而不与y轴相交？ 183第14章 位置与坐标 （3）哪个点与点F连接的线段与x轴和y轴都相交？ 探索与创新 11. 俄国著名作家列夫·托尔斯泰在他的作品中写过一个故事：一个叫巴赫姆的人到草原 上购置土地. 卖地的人提出一个奇怪的条件：只要有人肯出1 000卢布（俄国货币）， 从日出到日落买地人走过的路线所围成的土地都归他. 但是，如果日落之前回不到原 来的出发点，不但得不到土地，也不退回1 000卢布. 贪心的巴赫姆付钱后从一大早就 开始他的圈地旅行. 他先向正东方向走了10俄里（1俄里≈1.067千米），再朝正北方 向走了12.7俄里，又朝正西方向走了2俄里. 这时，他发现天色不早，就向着出发点 直奔而去，终于在日落时跑回出发点，但一头栽在地上，再也没有醒过来. （1）请你选择适当的比例尺，画出巴赫姆走过的路线； 4 （2）当他发现天色不早时，出发点在他的什么方向？距离出 发地有多远（精确到0.1俄里）？ 5 12. 如果需要在电话中向一个同学说明如图所示的图形，你将怎 3 样描述才能让他听明白？ 4 13. 在直角坐标系中，下面各点按顺序依次排列： （0，1），（1，0）， （0，-1），（0，2），（2，0）， （第 12 题） （0，-2），（0，3），（3，0），（0，-3），⋯ （1）这列点中的第1 000个点的坐标是什么？ （2）（0，2 012）是这列点中的第几个点？ 184后 记 这套义务教育七〜九年级数学教科书是在原《义务教育课程标 准实验教科书 数学（七〜九年级）》（青岛出版社 2005年1月第一 版）的基础上，依据教育部2011年颁布的《义务教育课程标准》修订 完成的. 经教育部基础教育课程教材专家工作委员会审查通过，准许 使用. 本套教科书由展涛担任主编，殷建中担任执行主编，参加本册教 材编写的有（按姓氏笔画为序）：于沛海、云鹏、李元庆、李师正、 李树臣、苗学良、高玉岱、谢廷桢等同志，由李师正担任本册主编. 在本套教科书的编写工作中，我们得到了关心我们教材建设的许多专 家、学者以及广大数学教育工作者的大力支持和热情帮助. 在此，我 们一并致谢. 欢迎教师和同学们在使用本书过程中，向我们提出改进的意见和 建议. 编 者(cid:736) (cid:736)(cid:3)(cid:1206)(cid:3)(cid:3075)(cid:3)(cid:5484)(cid:3)(cid:3075)(cid:3)(cid:4917)(cid:3)(cid:755) (cid:1206) (cid:3075) (cid:3733)(cid:33)(cid:4305) (cid:5484) (cid:3075) (cid:4917) (cid:755) (cid:3733) (cid:33)(cid:33) (cid:4305) (cid:3327) (cid:3150) (cid:2346) (cid:33)(cid:33) (cid:3733) (cid:4305) (cid:3327)(cid:3150)(cid:2346)(cid:33)(cid:33)(cid:4144)(cid:1449) (cid:4144) (cid:1449) (cid:2383)(cid:2029)(cid:3260)(cid:4890)(cid:4052)(cid:2173)(cid:470)(cid:2907)(cid:1856)(cid:1984)(cid:2383)(cid:2029)(cid:2179)(cid:503)(cid:51)(cid:49)(cid:51)(cid:51)(cid:505)(cid:49)(cid:51)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:51) (cid:4974)(cid:5347)(cid:1278)(cid:1156)(cid:790)(cid:1461) (cid:2569)(cid:1298)(cid:1737)(cid:2246)(cid:470)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54) (cid:1768)(cid:2383)(cid:470)(cid:50)(cid:49)(cid:47)(cid:57)(cid:58)(cid:33)(cid:4590) QINGDAOCHUBANSHE