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2024-2025 学年高一数学上学期期中模拟卷（天津）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章
5．难度系数：0.6。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．已知集合 ，则(C A)∩B=（ ）
R
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，C A={x|x≥2}，所以(C A)∩B={2,3}.故选D.
R R
2．若函数 ，则 （ ）
A． B．2
C． D．4
【答案】A
【解析】函数 ，则 ，
所以 .故选A．
3．设 ，则有（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
，当且仅当 时，等号成立，故 .故选A
4．设集合 ，则下列选项中，满足 的实数 的
取值范围是（ ）
A． B． ，或
C． D． ，或
【答案】D
【解析】要使 ，则 或 ，解得 ，或 .
所以满足 的实数 的取值范围是 ，或 .故选D
5．若函数 是定义域为 ，且对 ，且 ，有 ，不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 是定义域为 ，且对 ，且 ，有 ，
即 ， 为单调递增函数，
，整理得到： ，
为单调递增函数， ，
解得： ，故选C．
6．若不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】C
【解析】因为不等式 的解集是： ，
所以 和 是方程 的两个实数根，
由 ，解得： ，
故不等式 ，即为 ，
解不等式 ，得： ，所求不等式的解集是： .
故选C．
7．若集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，所以 或 ，
所以 或 ，
当 时， 不成立，所以 ，所以 满足，
当 时，因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
当 时，因为 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司又因为 ，所以 ，所以 ，
综上可知： .故选A.
8．如图所示函数图象的表达式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得：根据图像可得：函数 为偶函数，
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
对于A项： 为偶函数，且 ，
1
当 时，∵y=x单调递增，y=− 单调递增（反比例函数单调性性质），增函数+增函数=增函数，
x
可得： 在区间 上单调递增，
当 时，同理可得： 在区间 上单调递减，
故A项正确.
对于B项： 为偶函数，且 ，
当 时，易得： 在区间 上单调递减，故B项错误.
学科网（北京）股份有限公司对于C项： 为偶函数，且
当 时，易得 ， ， ，
故C项错误；
对于D项： 为偶函数，且 ，
当x>0时，易得 ， ，故D项错误.
故选A.
9．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得， ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .故选A.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10．已知命题 “ ”，则 ：__________．
【答案】
【解析】因为命题 “ ”，则 ： .
故答案为： .
学科网（北京）股份有限公司11．已知函数 是幂函数，且该函数是偶函数，则 的值是__________．
【答案】4
【解析】由题意得 ，解得 或1，
当 时， 为奇函数，不合要求，当 时， 为偶函数，满足要求，
故 .故答案为：4．
12．“不等式 对一切实数 都成立”，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】当 时，不等式 对一切实数 都成立，
所以 成立；
当 时，由题意得 解得： ；
综上所述： .
13． 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．则 时， __________；不等式
的解集是__________．
【答案】
【解析】当 时， ，
所以 ，因为 是奇函数，
所以 ，所以 ，
所以 时， ；
由 可得： ，
学科网（北京）股份有限公司当 时， 在 上单调递增，
因为 是奇函数，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 .
故答案为： ； .
14．已知函数 ，①若对任意 ，且 都有 ，则实数 的取
值范围为__________；②若 在 上的值域为 ，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】①若对任意 ，且 都有 ，
则 在 单调递减，则 ，即 ，所以实数 的取值范围 ；
②当 时，若 在 上的值域为 ， ，
解得 或 （舍去），又 ，所以 ；
当 时，因为 在 单调递减， 则 在 上的最大值为 ，不合题意，所以
实数 的取值范围为 .
故答案为：① ；② .
15．已知函数 在 上的最大值为 ，在 上的最大值为 ，若 ，
则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由函数 ，作出 的图象如下：
学科网（北京）股份有限公司由题得： ，
当 时，函数 在 上的最大值为 ，即 ，
要使 ，则 ，令 ，解得： ， ， ， ，
由图可得，要使函数 在 上的最大值为 ，且 ，
则 ，或 ，解得： .
当 时，
由图， 在 上最大值 ，
在 上单调递增，最大值 ，
不可能成立，
学科网（北京）股份有限公司综上，实数 的取值范围是 ，故答案为： .
三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）
已知集合 ．
(1)求 ，C (A∪B),(C A)∩B；
R R
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【解析】（1）因为 ，
所以 ， ，
所以C (A∪B)={x|x<1}，
R
因为C A={x|x<3}，
R
所以（C A)∩B={x|1≤x<3}．（8分）
R
（2）因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ．
所以实数a的取值范围是 ．（14分）
17．（15分）
已知函数 .
(1)若 ，求函数 在区间 上的最大和最小值；
(2)解不等式 .
【解析】（1）解：当 时，可得 ，
学科网（北京）股份有限公司则函数 表示开口向上的抛物线，且对称轴为 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以，当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
又因为 ，所以函数的最大值为 ，
综上可得，函数 的最大值为 ，最小值为 .（7分）
（2）解：由不等式 ，即 ，
即不等式 ，
当 时，不等式即为 ，此时不等式的解集为空集；
当 时，即 时，不等式的解集为 ；
当 时，即 时，不等式的解集为 ，
综上可得：当 时，不等式的解集为空集；
当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 .（15分）
18．（15分）
已知函数 ，且其定义域为 ．
(1)判定函数 的奇偶性；
(2)利用单调性的定义证明： 在 上单调递减；
(3)解不等式 ．
【解析】（1） 为奇函数，理由如下：
因为 ，且函数定义域为 ，关于原点对称，
所以 为奇函数. （5分）
学科网（北京）股份有限公司（2）任取0<x <x <1，
1 2
所以 ， ，
则 ，
所以 ，
故 在(0,1)上单调递减；（10分）
（3） 可转化为 ，∵f(x)在（0,1）范围内单调
递减，且为奇函数，∴f(x)在（-1,1）内单调递减。
则 ，所以 ，解得 ，
故 的范围为 .（15分）
19．（15分）
某公司决定在公司仓库外借助一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙
的长方体形状的应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：应急
室正面墙体每平方米的报价400元，侧面墙体每平方米的报价均为300元，屋顶和地面及其他报价共
计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为 米 .
(1)甲工程队应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使公司的建造费用最低；
(2)现有乙工程队也参与此应急室的建造竞标，其给出的整体报价为 元 ，若
无论左右两墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 的取值范围.
【解析】（1）由题意知，正面墙体长度为 米， ，则建造费用为
，
当且仅当 即 时，等号成立，
学科网（北京）股份有限公司所以甲工程队应设计应急室左右两侧长度均为4米，正面墙长度为6米，可以使建造费用最低. （6
分）
（2）根据题意， 对任意 恒成立，
整理得 ，
即当 时 恒成立，
等价于当 时， ，（10分）
因为
当且仅当 即 时取等号.
所以若乙队总能竞标成功，则 .（15分）
20．（16分）
设函数 ．
(1)求关于x的不等式 的解集；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若 ，且 ，证明： ．
【解析】（1）因为 ，
所以不等式 可化为， ，
所以 或 ，解得 或 ，
学科网（北京）股份有限公司所以不等式 的解集为 或 ．（4分）
（2）不等式 ，可化为 ，
当 时，可化为 ，
由已知可得 ，所以 ，
当 时，可化为 ，
由已知可得 ，所以 ，
综上， ．（9分）
（3） 可化为
，
所以当 时， 单调递增， ，
当 时， 单调递增， ，
当 时， 单调递减， ，
作函数图象可得，（12分）
设 ，由已知可得 ，
学科网（北京）股份有限公司若 ，则 ，
由 ，可得 ，
所以 ，
所以 ．（14分）
当 时， ，
由 可得 ，
即 ，所以
所以 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 .（16分）
学科网（北京）股份有限公司
